Série harmonique et sagesse populaire

Piste bleue Le 12 octobre 2014  - Ecrit par  Aboubakar Maitournam Voir les commentaires (3)

Nous présentons une analogie entre la divergence de la série harmonique
et certains proverbes.


Même si elle est un tantinet exagérée, l’affirmation galiléenne selon laquelle « la nature est écrite en langage mathématique » (Galilée, « L’essayeur », 1623) établit un rapport implicite entre les vérités mathématiques et populaires. En particulier, selon René Descartes dans son célèbre ouvrage (« Discours de la méthode, pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences », 1637), « le bon sens est la chose la mieux partagée au monde ».

Le bon sens commun est illustré dans toute société humaine par des maximes et des proverbes destinés à apprendre la sagesse aux gens. Ces maximes et proverbes se retrouvent dans toutes les civilisations et à toutes les époques (maximes du grec Ésope, citations latines, proverbes bibliques, maximes de François de La Rochefoucauld, de Jean de La Bruyère, fables de Jean de La Fontaine, proverbes africains,..). La maxime ou le proverbe est une référence morale pour une société donnée, résumée dans une expression synthétique. Jean de La Bruyère disait par exemple (« Les caractères », 1688) que « [les maximes] sont comme des lois dans la morale ».

De même, un théorème ou un objet mathématique est un résumé, une référence symbolique. Par exemple, les
séries de Riemann en général et la série harmonique en particulier sont des objets mathématiques de référence pour l’étude de la convergence des sommes infinies de nombres positifs. Ainsi, comme nous le verrons dans la suite, la série harmonique, objet éminemment mathématique, est aussi un symbole et un trésor de sagesse populaire. En effet, elle présente une analogie avec bien des citations célèbres, comme nous l’expliquerons dans la dernière partie de ce texte. Mais
auparavant, définissons cette série.

Définition de la série harmonique

La série harmonique [1] est définie mathématiquement par :
\[\begin{equation} \label{eq1} S=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ \cdots \end{equation} \]
$S$ est alors appelée somme de la série harmonique et pour tout entier naturel $n \ge 1$, la $n$-ème somme partielle $S_{n}$ de la série est définie par :
\[\begin{equation} \label{eq2} S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} + \cdots+\frac{1}{n}. \end{equation} \]
La série harmonique signifie donc que l’on ajoute indéfiniment des fractions rationnelles de l’unité (somme infinie des inverses des entiers non nuls).

Dans le cas où les sommes partielles d’une série mathématique deviennent de plus en plus proches d’un nombre fini $l$ quand $n$ devient infiniment grand (tend vers l’infini), on dira que cette série converge et que sa somme est égale à $l$. Par exemple :
\[ \sum_{i=0}^{+\infty}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{i}=2. \]
Dans le cas où les sommes partielles d’une série à termes positifs dépassent tout nombre positif aussi grand qu’on se donne (tendent vers l’infini) quand $n$ devient infiniment grand, on dira qu’elle diverge. La propriété de convergence ou de divergence d’une série ne change pas si on laisse tomber un nombre fini de termes de cette série [2].

Les problèmes asymptotiques ou limites, c’est-à-dire ceux pour lesquels les quantités impliquées tendent vers l’infini (ou sont pratiquement très grandes) ont une importance constante en mathématiques et en ingénierie car ils permettent de connaître les limites d’un phénomène au sens propre du terme.

Divergence de la série harmonique

La série harmonique diverge, comme l’a prouvé Nicole Oresme dès 1360. Depuis lors, on a découvert plusieurs autres preuves de cette divergence [Labelle-04]. Par exemple, considérons pour $n$ entier $\ge 1$, les sommes partielles de la série harmonique $S_{n}$ définies en ($\ref{eq2}$)
et :
\[ S_{2n}=\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{i}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ \cdots+\frac{1}{2n}. \]
Supposons alors que la série harmonique converge, ce qui impliquerait que les suites de sommes partielles $(S_{n})_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ et $(S_{2n})_{n \in \mathbb{N}^{*}}$ seraient aussi convergentes, avec la même limite qui serait celle de la série harmonique. Ainsi, lorsque $n$ tend vers l’infini, la différence des deux sommes partielles tendrait vers zéro. Or :

\[ S_{2n}-S_{n}=\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{i}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\Big( (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots + \frac{1}{n})+\frac{1}{n+1} \cdots+\frac{1}{2n}\Big)-\Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\Big) = \\ =\Big(S_{n}+\frac{1}{n+1} \cdots+\frac{1}{2n}\Big)-S_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2n}. \]

En minorant chacun des termes $\dfrac{1}{n+k},k=1, \cdots, n$ par $\dfrac{1}{2n}$, on aura ainsi :
\[\begin{equation} \label{eq33} S_{2n}-S_{n} \ge \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}. \end{equation} \]
Par conséquent, d’après l’équation ($\ref{eq33}$), la différence des sommes partielles ne peut pas tendre vers zéro. Ceci prouve que la série harmonique diverge.

La série harmonique et les proverbes

La série harmonique est un exemple emblématique du fait qu’une somme d’éléments négligeables (les fractions rationnelles de l’unité) n’est pas toujours négligeable. En effet, plus un entier augmente, plus son inverse (terme général de la série) diminue et tend vers $0$.

La divergence de la série harmonique a ainsi une analogie avec les maximes et proverbes communs comme :

« Les petits ruisseaux font les grands fleuves ».

ou :

« Les grains de sable amassés forment une montagne ».

En effet, le petit ruisseau ou le grain de sable sont physiquement des subdivisions négligeables, infinitésimales respectivement du fleuve ou de la montagne. Ces derniers étant infiniment grands relativement à leurs subdivisions. Toutefois l’analogie entre la série harmonique et les proverbes ci-dessus n’est pas exclusive. En effet, ces derniers peuvent aussi être considérés comme une formulation de l’axiome d’Archimède pour l’ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.

L’interprétation quintessentielle des proverbes précédents est qu’avec de la persévérance soutenue et progressive, on peut faire de grands accomplissements comme « déplacer (ou même dépasser) des montagnes ». Un proverbe africain ne dit-il pas que :

« La persévérance est un talisman pour la vie ».

La série harmonique présente aussi une très forte analogie avec bien des quêtes spirituelles, qu’elles soient cabalistiques, ascétiques ou soufies. En effet, dans les religions monothéistes, en progressant petit à petit (chaque petit pas étant une station, une montée, une progression ou mahaloth ou maqaam) dans l’austérité physique et morale, on peut tendre vers une fusion avec Ein Sofer, l’Infini, Dieu. Elle reflète aussi des aspects du bouddhisme, car l’idéal du bouddhisme est de conduire le disciple au nirvana ou anéantissement suprême ou fusion avec l’infini cosmique.

La série harmonique indique qu’il est possible de parvenir à son idéal infini en faisant des pas qui s’évanouissent dans l’infiniment petit, pourvu que l’on ne s’arrête pas d’avancer !

Plus prosaïquement et en ces temps d’austérité budgétaire, la série harmonique illustre aussi les conséquences d’une somme de petites négligences qui peuvent faire de « gros dégâts au portefeuille ». Ainsi si vous négligez les petites fuites de votre robinet ou si vous partez en vacances en oubliant l’électricité allumée, cela peut se traduire à la fin du mois par des consommations importantes et donc des factures conséquentes. Au final, d’une manière qui peut être surprenante, parfois une somme de causes de plus en plus petites peut avoir de grands effets.

Bibliographie

Wikipédia, Série de Riemann.

Wikipédia, Série harmonique .


J. Labelle, La série harmonique et ses surprises, Bulletin AMQ, Vol. XLIV, No 3, Octobre 2004.

Jean-Paul Allouche, Sommes de séries de nombres réels, Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

Aurélien Alvarez et Michèle Audin, Il y a cent quarante ans : la mort de Galois, Images des Mathématiques, CNRS, 2011.

Petit Larousse illustré, 2011.

Encyclopédia Encarta, Le coin des mots, 2004.

Post-scriptum :

L’auteur remercie le rédacteur en chef de la revue « Images des mathématiques » monsieur Etienne Ghys, le responsable de la rubrique « Café des mathématiques » monsieur Patrick Popescu-Pampu ainsi que les relecteurs Clément Caubel, Fluvial, César Martinez et Gilles Schneller pour leurs suggestions pertinentes.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Voir aussi [Labelle-04] et Alvarez et Audin, 2011.

[2Pour des explications plus poussées sur la convergence et la divergence des séries, on pourra consulter (Allouche, 2010).

Partager cet article

Pour citer cet article :

Aboubakar Maitournam — «Série harmonique et sagesse populaire» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Wikimedia Commons
Author : Alex Mak
Date : 2 Mai 2009

Commentaire sur l'article

  • Série harmonique et sagesse populaire

    le 27 octobre 2014 à 12:23, par fluvial

    Bonjour,

    Merci beaucoup de votre article.

    Juste une petite question de calcul :
    En minorant chacun des termes 1/n+k ,k=1,⋯,n par 1/2n , on aura ainsi S2n −Sn ≥ 1/2n +1/2n +1/2n +⋯+1/2n =n/2n =1/2.

    Pourquoi cela fait-il à chaque fois 1/2n svp ?
    Le calcul à faire est 1/(n+k) - 1/2n, est-ce bien cela ?

    Merci beaucoup !
    fluvial

    Répondre à ce message
    • Série harmonique et sagesse populaire

      le 31 octobre 2014 à 17:01, par Aboubakar Maitournam

      Cher Fluvial,

      merci aussi à vous car vos questions et suggestions ont permis d’améliorer la version finale de l’article. Par rapport à votre question, n étant un nombre entier fixé (même si on ne lui a pas donné une valeur explicite), on considère les nombres entiers n+1, n+2, n+3, ...etc jusqu’à n+n=2n, donc on considère les n nombres entiers suivant n. Ceci est mathématiquement résumé par n+k, pour k allant de 1 à n (k=1,...n). Chacun de ces n nombre entiers : n+1, n+2,.......jusqu’à n+n=2n est clairement inférieur ou égal à n+n (=2n). En inversant ces nombres entiers le sens des inégalités change (3 > 2 mais 1/3 < 1/2) (« Beaucoup d’entre les premiers seront les derniers »). Ainsi l’inverse de chacun des n nombres : n+1, n+2,....n+n ; est supérieur ou égal à 1/2n et comme il y en a n, la somme est supérieure ou égale à ½. Bref l’ingrédient est la remarque triviale p>q (p, q entiers non nuls supérieurs à 1) implique que (1/p < 1/q).

      Amicalement.

      Aboubakar Maitournam

      Répondre à ce message
      • Série harmonique et sagesse populaire

        le 3 novembre 2014 à 11:05, par fluvial

        bonjour,
        merci de vos excellentes explications ! j’ai compris le calcul mais il faut avoir l’idée de faire tout ça ! ça ne me serait jamais venu à l’esprit.....

        Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM