’’Ah, ¿usted es matemático ?’’, me respondió el desconocido con un tono sorprendido, apenas impresionado, pero con una pizca de desconfianza también, tal vez buscando ya la defensa en el caso de que sintiera la necesidad. Y agregó : ’’¡entonces las cifras no tienen secretos para usted !’’. Ahora bien, las cifras no siempre tienen con mucho la primicia. En mis días de optimismo, trato de explicar que las formas me interesan al menos tanto como las cifras, la geometría tanto como la aritmética, las descripciones tanto como las fórmulas (y los ejemplos tanto como los teoremas, pero ésa es otra historia).
Insisto : las cifras no constituyen los únicos objetos matemáticos que están vinculados con las cosas que pasan por ser concretas.

¿Qué más ’’concreto’’ que la moneda ? Bueno, su aparición en la historia de los hombres está ligada a representaciones geométricas tanto como a la escritura de las cifras. Es lo que se puede aprender en un libro de Clarisse Herrenschmidt, Les trois écritures : langue, nombre, code, en español ’’Las tres escrituras : lengua, número, código’’, (Bibliothèque des sciences humaines, Gallimard, 2007).

Los historiadores parecen estar de acuerdo en el momento y el lugar de la invención de la escritura : hace 5300 años, aproximadamente, en Mesopotamia y en Egipto. Si las escrituras arcaicas notan bien los números, el salto cualitativo que me interesa aquí es netamente más tardío. Es aquél de la aparición de la moneda acuñada, en el siglo VII antes de nuestra era, en Jonia, en la región de la actual ciudad turca de Esmirna, en la costa oeste de Asia Menor. Sobre esas monedas figura una ’’escritura de números y de sus proporciones sin consideración por su expresión lingüística, que comienza por figuras geométricas impresas en el reverso de monedas griegas’’ (página V del libro ya citado). En otras palabras : ’’La escritura monetaria aritmética no es para nada una escritura en el sentido ordinario del término : no consiste en la grafía de una lengua mediante la cual los hombres hablan. Se trata de una escritura de números y sus proporciones, históricamente asociada a la moneda acuñada.’’ (ibídem, página 263).

Las figuras representadas sobre esas monedas hacen alusión para nosotros (y para algunos jónicos tal vez) a asuntos geométricos famosos : un cuadrado inscrito en un círculo (la cuadratura del círculo), dos cuadrados, el pequeño cuyos vértices son los medios de los lados del grande (problema de la duplicación del cuadrado y alusión a la relación de la longitud de la hipotenusa con aquélla del lado en un triángulo rectángulo isósceles, relación que es el número irracional $\sqrt 2$), o una estrella regular con cinco brazos inscrita en un círculo (construcción del pentágono regular).

Por otra parte, esas monedas son contemporáneas de Tales de Mileto, nacido hacia 625 AC y muerto hacia 545 AC. A él se le atribuye el teorema según el cual en un triángulo una paralela a un lado interseca el triángulo inicial según un triángulo más pequeño que tenga los mismos ángulos que el primero.
Tales es el más antiguo matemático cuyo nombre ha retenido la historia. Era aproximadamente 45 años mayor que el matemático Pitágoras, y antecedió por bastante tiempo a la redacción de los Elementos de Euclides (hacia 300 AC, vea acá), que contiene la primera demostración escrita que nos haya llegado del teorema de Tales. Pero bien parece que no se ha podido datar la existencia de las primeras demostraciones como del propio Tales (deduciendo los teoremas de definiciones y de axiomas), mientras que los enunciados anteriores, por ejemplo babilónicos, estaban justificados de manera diferente.

De ese modo, hubo el problema clave del intercambio monetario, y para resolverlo, la adopción de monedas cuyo valor uno podía conocer al mirarlas, sin tener necesidad por lo tanto de conocer ni una lengua grabada sobre una de sus caras ni su peso ni la composición exacta de su aleación. La solución consistió en hacer figurar sobre las monedas diseños geométricos que codificaban sus valores.

Raramente me he sentido en tan buena compañía. Hace unos 2600 años, en Jonia, en ciertas mentes y en ciertos mercados, nacieron simultáneamente las primeras demostraciones matemáticas y las primeras representaciones geométricas de los números, sobre la moneda acuñada. Hace bastante tiempo que le geometría es inseparable de la aritmética.