Sobre la conexidad de los conejos

(O sobre la conejidad de los conexos)

El 20 junio 2011  - Escrito por  Patrick Popescu-Pampu
El 18 febrero 2019  - Traducido por  Andrés Navas
Artículo original : De la connexité des lapins Ver los comentarios
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Cómo un simpático error puede llevar a interrogarse sobre la conexidad de los conejos.

A fines de los años 1990 di mis primeras charlas de matemática en español. Aún recuerdo uno de mis errores, el que desató carcajadas entre los asistentes. Queriendo decir que cierto conjunto era conexo [1], enuncié:

Este conjunto es conejo.

La explicación es evidente: confundí conexo y conejo, en parte debido al uso ambiguo que se le da a la X en español. Por ejemplo, México se escribe con una X, y no con jota... Además, palabras que se escriben con X en francés llevan la jota en español, como complejo/complexe, eje/axe o lujo/luxe

Recientemente, recordando esta anécdota, me acordé también de un conejo matemático, el conejo de Douady, y me pregunté si es conexo.
Pues bien, así es, por lo que podemos enunciar seriamente el teorema siguiente:

El conejo de Douady es conexo.

Pero, ¿cuál es este conejo? La manera más sencilla de presentarlo es mostrando una imagen de él. La siguiente fue tomada del artículo de Tan Lei en este sitio, en el cual el lector puede hallar mucha información sobre el contexto en el cual nació este objeto matemático.

Le lapin de Douady {GIF}

Según los autores, el conejo puede ser tanto el conjunto pintado de negro en la imagen precedente como su frontera, esta última representada en el logo de este artículo. ¡Ambos conjuntos son conexos!

Gracias al talento de Arnaud Chéritat, el lector podrá también ver al conejo practicar la danza del vientre. Y por cierto, se puede escuchar al propio Maestro hablar de su conejo en la película ’’La dinámica del conejo’’.

Conexidad del conejo de Douady.

A continuación presento una prueba de de la conexidad del conejo de Douady, tal cual me fue comunicada por Arnaud Chéritat. Bien que sea difícil de entender si no se es geómetra, eso no impide constatar el sentido del teorema sobre la imagen.

El conejo de Douady es el conjunto de Julia del polinomio $P(z)=z^2+c$, donde $c$ es escogido de modo que el punto crítico $(z=0)$ sea periódico de periodo 3. Para ello, hay tres valores solución de $c$, dos de ellos complejos conjugados. Se considera entonces aquel que tiene la parte real positiva.

Notemos que este parámetro se ubica en la parte 1/3 del conjunto de Mandelbrot $M$; de hecho, es el ’’centro’’ de la copia hiperbólica (el dominio que se parece a un disco) adherido en el borde de $M$.

La connexidad se prueba de la siguiente forma: $J$ est la frontera de $K$, que es el complemento de la cuenca de atracción del infinito. Para un polinomio, $K$ es conexo si y solo si $J$ es conexo, lo cual equivale a que ningún punto crítico se escape al infinito. Esto se demuestra tomando las preimágenes sucesivas de un gran disco. Como su único punto crítico es periódico, el conejo es conexo.

Seamos un poco más precisos. Sea $D$ un disco lo suficientemente grande de modo de contenir a $K$. Si todos los puntos críticos tienen una órbita acotada,
entonces ellas permanecen dentro de $D$. La preimagen de un abierto conexo que contiene a todos los valores críticos es conexa. $K$ es la intersección decreciente de los compactos conexos $adherence(f^{-n}(D))$, y por tanto es conexo.

Si al menos un punto crítico se escapa, se debe verificar que la preimagen tiene, a partir de cierto momento, al menos dos componentes conexas (y por tanto mientras más iteramos hacia atrás, más componentes habrá). Dicho momento es el primero en que al menos un punto crítico no está en la $n$-ésima preimagen $f^{-n}(D)$. En efecto, la $(n-1)$-ésima preimagen es conexa. Ahora, por el principio del máximo, la preimagen de un abierto simplemente conexo es la unión (finita) de abiertos simplemente conexos. La fórmula de Riemann-Hurwitz nos da entonces que hay más de uno.

Cometer errores puede entonces ser a la vez una fuente de alegría y de aprendizaje, siempre y cuando no se sienta vergüenza y se conserve ante todo la curiosidad. Esta es una de las cosas más importantes que intento transmitir a mis estudiantes.

Post-scriptum :

Mis agradecimientos sentidos para Arnaud Chéritat por sus detalladas enseñanzas sobre el conejo de Douady.

Notas

[1Es decir, de un solo trazo, como un punto, un segmento, un círculo, etc.

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Para citar este artículo:

Andrés Navas — «Sobre la conexidad de los conejos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - El logo viene del sitio Wikimedia Commons, en la dirección http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Douady_rabbit.png (por Prokofiev).

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