A continuación presento una prueba de de la conexidad del conejo de Douady, tal cual me fue comunicada por Arnaud Chéritat. Bien que sea difícil de entender si no se es geómetra, eso no impide constatar el sentido del teorema sobre la imagen.

El conejo de Douady es el conjunto de Julia del polinomio $P(z)=z^2+c$, donde $c$ es escogido de modo que el punto crítico $(z=0)$ sea periódico de periodo 3. Para ello, hay tres valores solución de $c$, dos de ellos complejos conjugados. Se considera entonces aquel que tiene la parte real positiva.

Notemos que este parámetro se ubica en la parte 1/3 del conjunto de Mandelbrot $M$ ; de hecho, es el ’’centro’’ de la copia hiperbólica (el dominio que se parece a un disco) adherido en el borde de $M$.

La connexidad se prueba de la siguiente forma : $J$ est la frontera de $K$, que es el complemento de la cuenca de atracción del infinito. Para un polinomio, $K$ es conexo si y solo si $J$ es conexo, lo cual equivale a que ningún punto crítico se escape al infinito. Esto se demuestra tomando las preimágenes sucesivas de un gran disco. Como su único punto crítico es periódico, el conejo es conexo.

Seamos un poco más precisos. Sea $D$ un disco lo suficientemente grande de modo de contenir a $K$. Si todos los puntos críticos tienen una órbita acotada,
entonces ellas permanecen dentro de $D$. La preimagen de un abierto conexo que contiene a todos los valores críticos es conexa. $K$ es la intersección decreciente de los compactos conexos $adherence(f^{-n}(D))$, y por tanto es conexo.

Si al menos un punto crítico se escapa, se debe verificar que la preimagen tiene, a partir de cierto momento, al menos dos componentes conexas (y por tanto mientras más iteramos hacia atrás, más componentes habrá). Dicho momento es el primero en que al menos un punto crítico no está en la $n$-ésima preimagen $f^{-n}(D)$. En efecto, la $(n-1)$-ésima preimagen es conexa. Ahora, por el principio del máximo, la preimagen de un abierto simplemente conexo es la unión (finita) de abiertos simplemente conexos. La fórmula de Riemann-Hurwitz nos da entonces que hay más de uno.