Solución de ecuaciones de grado 3 y 4

Piste noire Le 30 janvier 2014  - Ecrit par  Amine Marrakchi
Le 18 mars 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Résolution des équations de degré 3 et 4 Voir les commentaires
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Este texto —que retoma una exposición del seminario Mathematic Park dada por el autor en octubre de 2011 con ocasión de las celebraciones del bicentenario del nacimiento de Évariste Galois— propone mostrar algunos aspectos de la resolución de ecuaciones de grado 3 y 4 a través de un pequeño paseo matemático que comienza en el siglo XVI con los matemáticos del Renacimiento italiano y termina en el siglo XVIII con los trabajos de Lagrange.

Introducción

Antes de abordar la resolución de las ecuaciones propiamente tal, es necesario precisar de qué ecuaciones se habla y lo que uno entiende por ’’resolución’’.

¿Qué es una ecuación algebraica ?

Una ecuación algebraica (o polinomial) es una ecuación de la forma

\[x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x +a_0= 0,\]

donde la incógnita es $x$ y $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$ son números conocidos que llamamos coeficientes de la ecuación. Se dice que la ecuación es de grado $n$.

Por ejemplo, las dos ecuaciones siguientes son algebraicas, de grado 2 y 3 respectivamente :

\[x(x+2)+4=0 \quad ; \quad x^3+3x^2+2x+7=0.\]

Por el contrario, esta no lo es :

\[x^2-\sin x=0\]

Los matemáticos se interesaron muy tempranamente en las ecuaciones algebraicas, ya que ellas figuran entre las más simples que uno pueda plantearse (¡lo que no quiere decir que son fáciles de resolver !) y también porque ellas pueden, cuando su grado es menor que 3, ser vinculadas con problemas concretos, haciendo intervenir longitudes, áreas o volúmenes.

El problema consistente en ’’resolver’’ este tipo de ecuaciones puede tomar diferentes formas según las necesidades. Por ejemplo, uno puede buscar soluciones aproximadas utilizando métodos numéricos. O bien, tratar de construir geométricamente las soluciones como intersecciones de ciertas curvas en el plano. Históricamente, el problema de la resolución de tales ecuaciones adquirió, para los algebristas y por lo tanto para Galois, un sentido muy preciso : el de la resolución por radicales.

Resolubilidad por radicales

Tratemos de comprender la noción de resolubilidad por radicales a través de diversos ejemplos. Tomemos primero una ecuación de grado 1, por ejemplo, $3x+2=0$. La solución es $x=-\frac{2}{3}$. Para resolverla no tuvimos necesidad de otra cosa que las cuatro operaciones básicas : $+$,$-$,$\times$ y $\div$.

Si tratamos de hacer lo mismo para la ecuación $x^2+2x-1=0$ de grado 2, no lo conseguiremos. En efecto, los números que se pueden obtener con las operaciones básicas a partir de los coeficientes de la ecuación son números racionales, es decir, números que son cocientes de dos enteros. Las soluciones de esta ecuación son $-1+\sqrt{2}$ y $-1-\sqrt{2}$, y los griegos ya sabían desde hace mucho tiempo que $\sqrt{2}$ no es racional.

¿Cómo hace uno para encontrar las soluciones de la ecuación $x^2+2x-1=0$ ? Más generalmente, para resolver una ecuación de grado 2 cualquiera de la forma $x^2+2bx+c=0$, se puede proceder como sigue. Sabemos que $x^2+2bx$ es el comienzo del desarrollo de $(x+b)^2=x^2+2bx+b^2$. Esto sugiere que la incógnita $u=x+b$ es más pertinente para nuestro problema. En efecto, después de cambiar la variable, nuestra ecuación se reescribe bajo la forma (uno habla de forma canónica ) $u^2-b^2+c=0$.

Tenemos entonces el siguiente sistema, que es equivalente a la ecuación inicial :

\[\left\{\begin{array}{l} u^2=b^2-c \\ x=u-b \end{array}\right.\]

Notemos que para encontrar una expresión de $x$, basta ahora con escribir $u=\pm \sqrt{b^2-c}$ y después utilizar $x=-b+u=-b \pm \sqrt{b^2-c}$.

En realidad, hemos resuelto todas las ecuaciones de grado 2. En efecto, una ecuación de grado 2 cualquiera $Ax^2+Bx+C=0$ puede siempre escribirse la forma $x^2+2bx+c=0$, dividiendo primero la ecuación por $A$ para obtener una ecuación de la forma $x^2+mx+c=0$, y después reemplazando $m$ por $2b$. La expresión $x=-b \pm \sqrt{b^2-c}$ escrita en función de $A$, $B$ y $C$ da entonces la expresión bien conocida $x=\frac{-B \pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$ aprendida en el colegio.

Observemos ahora la ecuación siguiente (de grado mucho más elevado) :
\[(x^3-1)^8+2b(x^3-1)^4+c=0\]

Si uno plantea $v=x^3-1$, vemos que $v^8+2bv^4+c=0$, es decir que $v^4$ verifica la ecuación $y^2 + 2by + c = 0$ que resolvimos hace un rato. Decimos entonces que tenemos un sistema de la forma

\[\left\{\begin{array}{l} u^2=b^2-c \\ v^4=u-b \end{array}\right.\]

En seguida, dado que $x^3=v+1$, se obtiene el siguiente sistema :

\[\left\{\begin{array}{l} u^2=b^2-c \\ v^4=u-b \\ x^3=v+1 \end{array}\right.\]

Una vez más, se puede dar una expresión de $x$ utilizando las funciones $\sqrt{\cdot}$, $\sqrt[3]{\cdot}$ y $\sqrt[4]{\cdot}$ para expresar primero $u$, luego $v$ y finalmente $x$.

En conclusión, para cada una de las ecuaciones precedentes, hemos logrado escribir un sistema de la forma

\[\left\{\begin{array}{l} u_1^{p_1}=\cdots\\ u_2^{p_2}=\cdots\\ \vdots \\ u_r^{p_r}=\cdots \end{array}\right.\]

con $u_r=x$ y en el que cada miembro de la derecha se expresa con las cuatro operaciones básicas a partir de los coeficientes de la ecuación y de las incógnitas precedentes.

Cuando se puede mostrar que las soluciones de una ecuación algebraica verifican un sistema de esta forma, decimos que la ecuación es resoluble por radicales. El término ’’radicales’’ viene del hecho que se puede obtener una expresión de la solución $u_r=x$ escribiendo en cada etapa $i$ que $u_i$ es una raíz $p_i$-ésima del segundo miembro. Se obtiene al final una expresión de $x$ a partir de los coeficientes de la ecuación inicial y utilizando solo las operaciones básicas y las funciones $\sqrt[n]{\cdot}$ : una expresión por radicales. Por ejemplo,

\[\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{-1+\sqrt{2}}}{5}.\]

Ecuación de tercer grado y cuarto grado

Vimos más arriba cómo resolver por radicales todas las ecuaciones de grado 1 y 2. Los babilonios sabían resolver esas ecuaciones hace ya 4000 años. Hubo que esperar hasta el renacimiento italiano para que otros progresos significativos se lograran en ese campo : primero la resolución (por radicales) de la ecuación de tercer grado gracias a las fórmulas de Tartaglia-Cardan, y poco tiempo después, la de la ecuación de cuarto grado gracias al método de Ferrari.

Ecuación de tercer grado : método de Cardan

Jérôme Cardan (1501–1576) {JPEG}

El primer método conocido para resolver una ecuación de tercer grado fue entregado por el italiano Jérôme Cardan. De hecho, este método le habría sido confiado por otro matemático italiano conocido sólo bajo el nombre de Tartaglia. Después de haberle prometido guardar el secreto, Cardan terminó por publicarlo en 1545... ¡para gran sorpresa de Tartaglia ! (en esa época, los matemáticos tenían la costumbre de organizar desafíos y concursos de resolución de ecuaciones, entre otras, de grado 3 ; ¡es por eso que Tartaglia quería conservar su método en secreto !). He aquí el método.

Uno busca resolver la ecuación $x^3+px+q=0$. Veremos más adelante por qué uno no se interesa más que en las ecuaciones que son de esta forma. La idea del método de Cardan consiste en buscar $x$ bajo la forma $x=u+v$ y de tratar de dar una condición sobre $u$ y $v$ a posteriori con el fin de obtener una ecuación más simple de resolver.
Reemplazando en la ecuación, uno obtiene $(u+v)^3+p(u+v)+q=0$. Después de desarrollar y reordenar los términos, encontramos $u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$. Pensando en simplificar la ecuación, la condición sobre $u$ y $v$ que uno va a imponer es $3uv+p=0$. La ecuación se transforma ahora en $u^3+v^3=-q$, y la condición sobre $u$ y $v$ se reescribe $uv=-\frac{p}{3}$. Obtenemos el sistema siguiente :

\[\left\{\begin{array}{l} u^3+v^3 = -q \\ u^3v^3 = -\left( \frac{p}{3} \right)^3 \end{array}\right.\]

Ahora bien, si uno conoce la suma y el producto de dos números (en este caso, $u^3$ y $v^3$), entonces ¡se puede encontrar los números como soluciones de una ecuación de segundo grado ! En efecto,

\[(X-u^3)(X-v^3)=X^2-(u^3+v^3)X+u^3v^3=X^2+qX-\left( \frac{p}{3} \right)^3\]

Así, $u^3$ y $v^3$ son las soluciones de la ecuación $X^2+qX-( \frac{p}{3} )^3 = 0$. Como sabemos resolver esta ecuación por radicales, sabemos que $u^3$ y $v^3$ se pueden expresar por radicales a partir de los coeficientes $q$ y $( \frac{p}{3} )^3$, y por lo tanto a partir de los coeficientes $p$ y $q$ de la ecuación inicial. Finalmente, como $x=u+v$, $x$ se puede expresar por radicales a partir de $p$ y $q$.

Se deduce de esto que la ecuación de grado 3, $x^3+px+q=0$, es resoluble por radicales. Una solución genérica posible es dada por

\[x=\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{q^2+4 \left( \frac{p}{3} \right)^3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{q^2+4 \left( \frac{p}{3} \right)^3}}{2}}.\]

El método de Cardan posee en ciertos casos algunas dificultades. Por ejemplo, si uno busca resolver la ecuación $x^3-15x-4=0$, entonces la ecuación de segundo grado intermediaria que necesitamos resolver es $X^2-4X+125=0$, la cual no admite soluciones (su discriminante es negativo). Sin embargo, ¡la ecuación inicial sí admite una solución : $x=4$ ! Bombelli fue el primero (en 1572) que pensó en aplicar formalmente la fórmula genérica dada más arriba, ¡lo que obliga a considerar una raíz cuadrada de un número negativo ! Él efectuó los cálculos usando este número imaginario con las reglas habituales y encontró finalmente la solución buscada $x=4$. Ese fue el nacimiento de los números complejos : números de la forma $x+\sqrt{-1}\:y$, donde $x$ e $y$ son números reales y $\sqrt{-1}$ es un número imaginario ¡que verifica $(\sqrt{-1})^2=-1$ ! Durante mucho tiempo, estos números fueron considerados como rarezas cuyo único interés consistía en fomentar el ego de los matemáticos que participaban en los concursos. Pero poco a poco, los números complejos fueron aceptados y utilizados, hasta transformarse en una herramienta fundamental ineludible en matemática e incluso en física. Está lejos de ser el único ejemplo, en matemática, de un descubrimiento al principio sin interés, que llega a ser fundamental con el pasar de los siglos.

Expliquemos ahora por qué nos contentamos en considerar las ecuaciones de tercer grado de tipo $x^3+px+q=0$. La razón es que toda ecuación del tercer grado puede expresarse así. En efecto, si uno tiene una ecuación de la forma $x^3+ax^2+bx+c=0$ entonces, implementando el cambio de variable $x=y-\frac{a}{3}$, el término $x^3=(y-\frac{a}{3})^3$ se desarrolla en $y^3-ay^2+\cdots$ y el término $ax^2=a(y-\frac{a}{3})^2$ se desarrolla en $ay^2+\cdots$. Vemos que los dos términos $-ay^2$ y $ay^2$ se simplifican, y queda una ecuación en $y$ de la forma $y^3+py+q=0$, la cual sabemos resolver. Luego, encontramos $x$ a partir de la relación $x=y-\frac{a}{3}$.

Ecuación de cuarto grado : método de Ferrari

La ecuación del 4to grado fue resuelta en 1540 por Ferrari a la edad de 18 años. Su solución se apoya en el método de Cardan, de quien era alumno en ese entonces.

Se busca resolver la ecuación $x^4=px^2+qx+r$. Como para la ecuación de grado 3, un cambio de variable permite reducir toda ecuación de cuarto grado a una ecuación de esta forma.

La idea de Ferrari consiste en añadir un parámetro suplementario $t$ escribiendo que $x^4=(x^2+t)^2-2x^2t-t^2$. Se obtiene entonces $(x^2+t)^2-2x^2t-t^2=px^2+qx+r$ o incluso $(x^2+t)^2=(2t+p)x^2+qx+(t^2+r)$.

Se elige ahora un valor de $t$ adecuado, de tal manera que la cantidad $(2t+p)x^2+qx+(t^2+r)$ se factorize bajo la forma $(\alpha x +\beta)^2$. Ahora bien, que $ax^2+bx+c$ se factorize bajo la forma $(\alpha x +\beta)^2$ equivale a que su discriminante $b^2-4ac$ sea nulo. En nuestro caso, la condición sobre $t$ es entonces $q^2-4(2t+p)(t^2+r)=0$. Esto nos da una ecuación de tercer grado en $t$. Para resolverla, Ferrari utiliza el método de Cardan. Él encuentra entonces $t$, después calcula $\alpha$ y $\beta$ para obtener finalmente $(x^2+t)^2=(\alpha x +\beta)^2$, donde $\alpha$ y $\beta$ se expresan por radicales en función de $p$, $q$ y $r$.

Como $A^2=B^2$ es equivalente a $A=\pm B$, se deduce que $x$ verifica una de las dos ecuaciones siguientes :

\[\left\{\begin{array}{l} x^2+t=\alpha x +\beta \\ x^2+t=-\alpha x -\beta \end{array}\right.\]

Ambas son ecuaciones de grado 2 (que sabemos resolver por radicales). Encontramos entonces que la ecuación $ x^4=px^2+qx+r$, es resoluble por radicales.

Funciones simétricas y método de Lagrange

La resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado dio un impulso considerable al álgebra durante los siglos que siguieron. Sin embargo, a pesar de todos los esfuerzos desplegados por los matemáticos, fue necesario esperar cerca de 300 años para que Abel y luego Galois entregaran finalmente la respuesta (¡negativa !) a la pregunta sobre la resolubilidad por radicales de las ecuaciones de grado superior. En el intertanto, se lograron progresos importantes, incluyendo la aparición de las notaciones algebraicas modernas y la utilización sistemática de los números negativos, incluso complejos.

Una propiedad importante de los números complejos fue así descubierta (aunque la prueba, aportada por Gauss, demoró en llegar) : toda ecuación de grado $n$ admite exactamente $n$ soluciones en el conjunto de números complejos. Por lo tanto, siempre podemos plantear la ecuación

\[x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x +a_0= 0\]

en la forma

\[(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)=0\]

donde los $r_i$ son los números complejos soluciones de la ecuación, que uno llamará las raíces del polinomio $P(x)=x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x +a_0$. Notemos que los $r_i$ no son necesariamente distintos. En caso de igualdad se habla de raíces múltiples.

De lo anterior surgen identidades que relacionan las raíces $x_i$ con los coeficientes $a_i$. En efecto, si ponemos por ejemplo el polinomio de segundo grado $x^2+bx+c$ bajo la forma $(x-r_1)(x-r_2)$, desarrollando encontramos $x^2+bx+c=x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2$, de donde

\[\left\{\begin{array}{l} r_1+r_2=-b \\ r_1r_2=c \end{array}\right.\]

Notemos que ya habíamos utilizado estas relaciones para el método Cardan con el fin de calcular $u^3$ y $v^3$.

Del mismo modo, para un polinomio de grado 3 escribimos $x^3+bx^2+cx+d=(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ y obtenemos

\[\left\{\begin{array}{l} r_1+r_2+r_3=-b \\ r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3=c\\ r_1r_2r_3=-d \end{array}\right.\]

Relaciones similares existen cualquiera sea el grado $n$. Se les llama relaciones coeficientes-raíces.

Es interesante notar que las expresiones $r_1+r_2+r_3$, $r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3$, $r_1r_2r_3$ son simétricas en las raíces. Esto significa que si uno permuta las raíces entre ellas, entonces estas cantidades no cambian. Por ejemplo, $(r_1+r_2)r_3^2+(r_1+r_3)r_2^2+(r_2+r_3)r_1^2$ también es simétrica, en tanto que $(r_1-r_2)(r_1-r_3)(r_2-r_3)$ no es simétrica ya que si uno intercambia $r_2$ y $r_3$, entonces la expresión se transforma en su opuesta.

Isaac Newton (1643-1727) {JPEG}

Los coeficientes de un polinomio se expresan de este modo como funciones simétricas de las raíces. Por lo tanto, lo mismo sucede con todas las cantidades que uno puede formar adicionando y/o multiplicando esos coeficientes.

Newton hace entonces un descubrimiento notable : si —recíprocamente— se considera una cantidad que es una función simétrica de las raíces de un polinomio, entonces esta puede ser expresada a partir de los coeficientes de ese polinomio mediante sumas y productos. Por ejemplo, siempre en el caso del polinomio de grado 3, tomemos la cantidad simétrica $r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$. Un poco de cálculo muestra que :

\[\begin{array}{l} r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 \\ \hspace{0.5cm} = (r_1+r_2+r_3)^3 - 3(r_1r_2^2 + r_2r_1^2 + r_1r_3^2 + r_3r_1^2 + r_2r_3^2 + r_3r_2^2) - 6r_1r_2r_3 \\ \hspace{0.5cm} = (r_1+r_2+r_3)^3 - 3(r_1+r_2+r_3)(r_1r_2+r_2r_3+r_1r_3)+3r_1r_2r_3 \end{array}\]

Por lo tanto, según las relaciones coeficientes-raíces dadas más arriba, se obtiene $r_1^3 + r_2^3 + r_3^3=-b^3+3bc-3d$. De este modo, la cantidad $r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$ y, más generalmente, toda cantidad que es simétrica en las raíces, puede ser expresada directamente con la ayuda de los coeficientes del polinomio ¡sin tener que encontrar las raíces previamente !. Este teorema fundamental, que uno admitirá aquí, es de una importancia capital y constituye la piedra fundadora de la Teoría de Galois. Es también el punto de partida de los trabajos de Lagrange.

El método de Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) {JPEG}

Las ideas de Lagrange pueden ser consideradas como los comienzos de la teoría de Galois. Además, Galois encontró ciertamente su inspiración leyendo los escritos de Lagrange : su memoria Reflexiones sobre la resolución algebraica publicada en 1771 o, más probablemente, una nota sobre esa memoria que él habría escrito más tarde. Lagrange desarrolla una reflexión general sobre la resolución de ecuaciones estudiando cómo se transforman ciertas cantidades expresadas en función de las raíces de un polinomio cuando uno permuta esas raíces. Gracias a esto, Lagrange entrega un método muy general de resolución de ecuaciones, que permite en particular unificar los métodos conocidos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Es lo que vamos a ver.

Lagrange hace la siguiente observación : cuando uno busca resolver una ecuación cuyas raíces son $r_1, r_2, \ldots,r_n$ y uno considera una cierta cantidad $t$ que es función de estas raíces $t=f(r_1,r_2,\ldots,r_n)$, entonces es muy fácil calcular $t$ en función de los coeficientes de la ecuación cuando, según la propiedad vista más arriba, $f$ es simétrica en las raíces $r_i$. En este caso, cuando uno permuta las raíces $r_i$ entre ellas, la expresión $t=f(r_1,r_2,\ldots,r_n)$ mantiene un valor constante. Paralelamente, cuando $f$ es muy poco simétrica, por ejemplo cuando $t=r_1-r_3$, entonces $t$ puede ser muy difícil de calcular. Esta vez, cuando uno permuta las raíces $r_i$, $t$ puede potencialmente tomar muchos valores distintos. Por ejemplo, para $n=3$, $t$ puede tomar los valores $r_1-r_3$, $r_2-r_3$, $r_1-r_2$, $r_2-r_1$, $r_3-r_1$ y $r_3-r_2$.

Calcular directamente una cantidad $t$ poco simétrica (típicamente, cuando $t$ es una raíz) es poco probable. Calcular las cantidades totalmente simétricas es desde luego fácil, pero verdaderamente no hace avanzar el problema. La idea de Lagrange es tratar de formar una cantidad que sea a la vez suficientemente simétrica —con la esperanza de que ella no tome más que un número pequeño de valores y también que sea suficientemente fácil de calcular—, y a la vez no muy simétrica, con la esperanza de que las raíces podrán ser expresadas a partir de esta cantidad. Estas cantidades son llamadas resolventes de Lagrange. Veamos de inmediato cómo se articula este principio para la ecuación de grado 3.

Ecuación de tercer grado

Se busca resolver una ecuación de grado 3 cuyas raíces (hasta el momento desconocidas) son $r_1$, $r_2$ y $r_3$. En vistas de resolver la ecuación, la cantidad intermediaria que uno va a considerar es $u=r_1+jr_2+j^2r_3$, donde $j$ es un número complejo diferente de 1 que verifica $j^3=1$ (tal número existe ya que la ecuación $x^3=1$ admite tres soluciones en el conjunto de números complejos, de las cuales dos son diferentes de $1$).

Primera etapa

¿Cuáles son los valores que toma $u$ cuando uno permuta las raíces $r_1$, $r_2$ y $r_3$ ? Representemos $r_1$, $r_2$ y $r_3$ por los vértices $A$,$B$ y $C$ de un triángulo equilátero. Permutar las raíces $r_1$,$r_2$ y $r_3$ es lo mismo que aplicar una isometría al triángulo $ABC$. Estas isometrías pueden ser rotaciones (de ángulo $0°$, $120°$, o $-120°$), o simetrías axiales con respecto a una de las tres mediatrices del triángulo. Comencemos por las rotaciones. La rotación que envía $A$ a $B$, $B$ a $C$ y $C$ a $A$ puede ser representada por el tablero

\[\begin{pmatrix} A&B&C\\ B&C&A \end{pmatrix}\]

donde la segunda línea indica las imágenes de los puntos de la primera línea. Las tres rotaciones están dadas entonces por

\[\begin{pmatrix} A&B&C\\ A&B&C \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} A&B&C\\ B&C&A \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} A&B&C\\ C&A&B \end{pmatrix}\]

Los valores respectivos que toma $u$ son entonces

\[\left\{\begin{array}{l} u = r_1 + jr_2 + j^2r_3 \\ u' = r_2 + jr_3 + j^2r_1 \\ u'' = r_3 + jr_1 + j^2r_2 \\ \end{array}\right.\]

Notemos ahora que $u=ju'=j^2u''$ ¡gracias a la relación $j^3=1$ Elevando al cubo obtenemos $u^3=u'^3=u''^3$. Por lo tanto, efectuar una rotación de las raíces ¡deja la cantidad $u^3$ invariable !

Ahora, observemos las simetrías axiales, que están descritas por los siguientes
tableros :

\[\begin{pmatrix} A&B&C\\ A&C&B \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} A&B&C\\ C&B&A \end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix} A&B&C\\ B&A&C \end{pmatrix}\]

Por medio de estas transformaciones, $u$ toma de nuevo tres valores, a saber, $v=r_1+jr_3+j^2r_2$, $v'=r_3+jr_2+j^2r_1$ y $v''=r_2+jr_1+j^2r_3$. Una vez más notamos que $v^3=v'^3=v''^3$. Así, cuando se aplica una simetría axial cualquiera a $u^3$, entonces $u^3$ se transforma en $v^3$.

En conclusión, las rotaciones no cambian $u^3$ y las simetrías axiales transforman $u^3$ en $v^3$. Finalmente, cuando uno efectúa una permutación cualquiera de las raíces, $u^3$ no toma sino los dos valores $u^3=(r_1+jr_2+j^2r_3)^3$ y $v^3=(r_1+jr_3+j^2r_2)^3$. Esto va a permitirnos expresar $u^3$ y $v^3$ a partir de los coeficientes de la ecuación inicial. En efecto, las dos cantidades $S=u^3+v^3$ y $P=u^3v^3$ son totalmente simétricas en las raíces ya que aplicar una permutación de las raíces no hace sino cambiar $u^3$ y $v^3$. En consecuencia, según la propiedad fundamental que se vio más arrriba, $S$ y $P$ pueden ser expresadas directamente en función de los coeficientes de la ecuación inicial sin tener que calcular las raíces previamente. Pero una vez conocidas $S$ y $P$, obtenemos un sistema suma-producto, del cual se encuentran $u^3$ y $v^3$ como soluciones de la ecuación de segundo grado $y^2-Sy+P=0$. Esto permite afirmar entonces que $u^3$ y $v^3$ son expresables por radicales ¡a partir de los coeficientes de la ecuación inicial ! Esta es la primera etapa.

Segunda etapa

Ahora que conocemos $u^3$ y $v^3$, ¡hace falta poder encontrar las raíces ! Para eso se va a usar la identidad $1+j+j^2=0$. En efecto, esta identidad se verifica ya que de $j^3=1$ se deduce $j^3-1=(j-1)(1+j+j^2) = 0$ y luego $1+j+j^2 = 0$, ya que $j \neq 1$. Ahora, acordémonos que $u=r_1+jr_2+j^2r_3$, $v=r_1+jr_3+j^2r_2$. Además, la suma $\sigma = r_1+r_2+r_3$ es simétrica en las raíces, y por lo tanto conocida. Tenemos entonces el sistema

\[\left\{\begin{array}{l} \sigma = r_1+r_2+r_3 \\ u = r_1+jr_2+j^2r_3 \\ v = r_1+jr_3+j^2r_2 \end{array}\right.\]

Sumando término a término se obtiene

\[\sigma + u + v = 3r_1+(1+j+j^2)r_2+(1+j+j^2)r_3=3r_1\]

de donde $r_1=\frac{\sigma + u + v }{3}$. Igualmente, $r_2=\frac{\sigma + u' + v'' }{3}=\frac{\sigma + j^2u + jv }{3}$ y $r_3 = \frac{\sigma + u'' + v' }{3} = \frac{\sigma + ju + j^2v }{3}$. Tuvimos bastante éxito en expresar las soluciones de la ecuación con la ayuda de $u$ y $v$. Como $u^3$ y $v^3$ se pueden expresar por radicales a partir de los coeficientes de la ecuación inicial, entonces las raíces también.

Notemos que como con el método Cardan, la resolución de la ecuación necesitó la resolución de una ecuación de segundo grado intermediaria, además de la extracción de dos raíces cúbicas a partir de $u^3$ y $v^3$. Los métodos son fundamentalmente idénticos pero, como vamos a ver, la idea de Lagrange se adapta para la ecuación de grado 4.

Ecuación de cuarto grado

El principio es el mismo. Se busca resolver una ecuación cuyas raíces son $r_1$, $r_2$, $r_3$ y $r_4$. Esta vez, la cantidad que vamos a formar es $x=r_1 r_2 + r_3 r_4$.

Primera etapa

GIF

¿Cuáles son los valores tomados por $x$ cuando uno permuta las raíces $r_1$, $r_2$, $r_3$ y $r_4$ ? Esta vez, se puede representar cada permutación de las raíces por una isometría de un tetraedro regular de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$. El tetraedro $ABCD$ posee tres pares de aristas opuestas : $\{AB,CD\}$, $\{AC,BD\}$ y $\{AD,BC\}$. Además, cada isometría del tetraedro transforma un par de aristas opuestas en otro. Por ejemplo la isometría

\[\begin{pmatrix} A&B&C&D\\ B&C&D&A \end{pmatrix}\]

transforma $\{AB,CD\}$ en $\{AD,BC\}$ y deja $\{AC,BD\}$ sin cambiar. Si uno hace corresponder al punto $A$ la raíz $r_1$, al punto $B$ la raíz $r_2$, etc., a la arista $AB$ el producto $r_1 r_2$, etc. y al par de aristas $\{AB,CD\}$ la cantidad $r_1 r_2 + r_3 r_4$, etc., se deduce de lo que precede que toda permutación de raíces transforma la cantidad $x=r_1 r_2 + r_3 r_4$ en una de las cantidades siguientes (que corresponden a los tres pares de aristas) : $x=r_1 r_2 + r_3 r_4$, $y=r_1 r_3 + r_2 r_4$ o $z=r_1 r_4 + r_2 r_3$. Como en el caso del grado 3, se deduce que las tres cantidades $S=x+y+z$, $T=xy+yz+xz$ y $P=xyz$ son simétricas. Por lo tanto, son conocidas, y uno puede determinar $x$, $y$ y $z$ como soluciones de la ecuación de tercer grado $X^3-SX^2+TX-P=0$.

Segunda etapa

Ahora se trata de encontrar las raíces $r_1$, $r_2$, $r_3$ y $r_4$, conociendo las cantidades $x=r_1 r_2 + r_3 r_4$, $y=r_1 r_3 + r_2 r_4$ y $z= r_1 r_4 + r_2 r_3$. Para eso, escribamos $p_{12}=r_1 r_2$ y $p_{34}=r_3 r_4$. Tenemos ahora $p_{12}+p_{34}=x$, pero se verifica también que $p=p_{12}p_{34}=r_1r_2r_3r_4$ es simétrico en las raíces. Entonces $p$ es conocido y, en consecuencia, se llega una vez más al sistema suma-producto :

\[\left\{\begin{array}{l} x = p_{12}+p_{34} \\ p = p_{12}p_{34}\\ \end{array}\right.\]

del cual se deducen los valores de $p_{12}$ y $p_{34}$ resolviendo una ecuación de grado 2. Definamos ahora $s_{12}=r_1 + r_2$ y $s_{34}=r_3+ r_4$. Tenemos que $s=s_{12}+s_{34}=r_1+r_2+r_3+ r_4$ es simétrico, y por lo tanto conocido. Además

\[\begin{array}{rcl} g&=&p_{34}s_{12}+p_{12}s_{34}\\ &=&r_3r_4(r_1+r_2)+r_1r_2(r_3+r_4)\\ &=&r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4 \end{array}\]

también es simétrico, y por lo tanto conocido. Las dos incógnitas $s_{12}$ y $s_{34}$ verifican entonces el siguiente sistema

\[\left\{\begin{array}{rrrcl} s_{12}&+&s_{34}&=&s \\ p_{34}s_{12}&+&p_{12}s_{34}&=&g\\ \end{array}\right.\]

el cual es un sistema lineal (recordemos que $p_{12}$ y $p_{34}$ ya fueron determinados más arriba). Uno puede fácilmente resolverlo, por ejemplo escribiendo $s_{34}=s-s_{12}$ y reemplazando $s_{34}$ en la segunda ecuación para tener una ecuación de primer grado en $s_{12}$. Después de haber calculado $s_{12}$, encontramos $s_{34}$ con $s_{34}=s-s_{12}$. ¡Ya casi estamos ! Conocemos $s_{12}$ y $p_{12}$, es decir, ¡la suma y el producto de $r_1$ y $r_2$ ! Entonces, resolviendo una segunda ecuación de segundo grado, podemos encontrar $r_1$ y $r_2$. Finalmente, para encontrar $r_3$ y $r_4$, se puede notar que son soluciones del sistema lineal siguiente

\[\left\{\begin{array}{rrrcl} r_3&+&r_4&=&s_{34} \\ r_1r_3&+&r_2r_4&=&y\\ \end{array}\right.\]

Hemos demostrado que la ecuación de grado 4 es resoluble por radicales.

Notemos una vez más que el método de Lagrange posee muchos puntos en común con el de Ferrari. En particular, en ambos métodos tuvimos que calcular una cantidad intermedia resolviendo una ecuación de tercer grado, lo que nos permitió de inmediato encontrar las 4 raíces de la ecuación inicial resolviendo otras dos ecuaciones de segundo grado. Los resultados de la teoría de Galois muestran de hecho que uno no puede evitarlos, cualquiera sea el método utilizado.

Évariste Galois (1811-1832) {JPEG}

Lagrange no se detiene aquí, y su método permite resolver incluso ecuaciones de grado mayor a cuatro, pero en casos muy particulares. Él presiente que las ecuaciones de grado superior no son resolubles en general y desarrolla incluso algunos argumentos en favor de esta hipótesis. Son Abel y Galois quienes, apoyándose ambos en los trabajos de Lagrange, terminarán por demostrar, independientemente el uno del otro, que la ecuación de grado 5 no es resoluble por radicales. Galois va más lejos y responde completamente a la pregunta de la resolubilidad, dando una condición necesaria y suficiente para que una ecuación sea resoluble por radicales.

Conclusión : hacia la Teoría de Galois

Podemos deducir al menos dos cosas de lo que hemos hecho. Primero, que las ecuaciones de grado menor a 4 son resolubles. Además, que en esa resolución, como lo muestra Lagrange, las permutaciones de raíces juegan un papel central pero misterioso. Sin embargo, Galois es el primero en considerar verdaderamente el conjunto de permutaciones de $n$ elementos (en este caso $n$ raíces) como un objeto matemático en sí mismo, del cual podemos estudiar las propiedades y la estructura. Esta estructura toma, gracias a Galois, el nombre de grupo. Galois muestra entonces que cada propiedad de una ecuación se traduce en una propiedad del grupo correspondiente (grupo de Galois) y vice versa. Este enfoque le permite formular un criterio de resolubilidad de una ecuación ¡con la ayuda de su grupo de Galois !

Post-scriptum :

Agradezco a Gregoire Dubost, Mateo_13, Rémi Coulon y a Ejam, quienes contribuyeron a mejorar este texto gracias a sus esfuerzos de relectura. Agradezco también, y en forma particular, a Xavier Caruso, por su ayuda y sus valiosos consejos durante la redacción de este artículo.

Article original édité par Xavier Caruso

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Solución de ecuaciones de grado 3 y 4» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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