Précisons tout de suite la question du titre.

Question. Quels sont les nombres entiers $n$ qui peuvent s’écrire comme la somme de trois cubes de nombres entiers ? Autrement dit, en formules, qui peuvent s’écrire sous la forme
\[ n = a^3 + b^3 + c^3 \]
où $a,b,c$ sont eux-mêmes des nombres entiers ?

On a ici une équation diophantienne, c’est-à-dire une équation dont on cherche uniquement les solutions en nombres entiers. Cette problématique est fort ancienne. Diophante s’en était fait le chantre il y a plus de deux mille ans déjà.

L’apparente simplicité de la question du titre est trompeuse. Y répondre complètement pourrait prendre des siècles de recherches et nécessiter des avancées conceptuelles inimaginables de nos jours, les mathématiques actuelles n’étant probablement qu’une vague ébauche de celles du futur lointain.

Mais en amont, vouloir répondre à cette question, quel intérêt ? Au niveau individuel, il s’agit avant tout de satisfaire une curiosité scientifique insatiable. Au niveau collectif, tenter d’atteindre cet objectif — qui s’avère être d’une redoutable difficulté — ne peut qu’engendrer de nouvelles idées et méthodes qui pourraient servir dans d’autres contextes. Et donc, augmenter notre capacité collective à résoudre des problèmes, quels qu’ils soient, et contribuer à l’accroissement général des connaissances.

Exemples

Voici quelques petits exemples de nombres entiers qui sont sommes de trois cubes de nombres entiers :
\[ \begin{array}{rcl} 3 & = & 1^3+1^3+1^3 \ ; \\ 10 & = & 1 + 1 + 8 \\ & = & 1^3 + 1^3 + 2^3 \ ; \\ 36 & = & 1 + 8 + 27 \\ & = & 1^3 + 2^3 + 3^3 \ ; \\ 20 & = & 1 + (-8) + 27 \\ & = & 1^3+(-2)^3+3^3. \end{array} \]

Contre-exemples

Peut-on s’attendre à ce que tout nombre entier soit la somme de trois cubes d’entiers ? Eh bien non. Il y a un petit obstacle arithmétique qu’on va maintenant décrire.

Par exemple, on peut prouver qu’il est impossible d’écrire $4$ ou $5$ comme somme de trois cubes de nombres entiers.

Plus généralement, prenons un nombre entier $m$ quelconque. On peut alors prouver qu’il est impossible d’écrire $9m+4$ ou $9m+5$ comme somme de trois cubes de nombres entiers.

Autrement dit, aucun des nombres entiers $n$ de la suite
\[4, \ 5 \ ; \ \ 13, \ 14 \ ; \ \ 22, \ 23 \ ; \ \ 31, \ 32 \ ; \ \dots\] ne peut se décomposer sous la forme \[n=a^3+b^3+c^3\] avec $a,b,c$ entiers.

Un petit aperçu de preuve est donné dans le bloc déroulant ci-dessous. Cela dit, en sauter la lecture ne nuira nullement à la compréhension de la suite de l’article.

Sommes de deux carrés

La question principale de cet article s’inscrit dans une très ancienne lignée de questions analogues ayant toutes trait aux sommes de puissances de nombres entiers.

Considérons une telle question a priori plus simple : quels sont les nombres entiers qui sont la somme de deux carrés de nombres entiers ? Autrement dit, quels nombres entiers $n$ peuvent s’écrire sous la forme
\[ n = a^2+b^2 \]
avec $a,b$ eux-mêmes entiers ?

Par exemple, entre $1$ et $10$, quels nombres trouve-t-on ? Autrement dit, quelles sont les sommes de deux termes quelconques pris parmi $0$, $1$, $4$ et $9$ ? C’est facile. En sommant ces quatre termes deux par deux, on trouve
\[ 0, \, 1, \ 2, \ 4, \ 5, \, 8, \, 9, \ 10. \]

Et donc, ni $3$, ni $6$, ni $7$ ne sont sommes de deux carrés d’entiers.

Alors, comment distinguer a priori les entiers qui sont sommes de deux carrés d’entiers de ceux qui ne le sont pas ?

Il se trouve qu’on sait répondre complètement à cette question, même si la réponse — et sa preuve, obtenue bien plus tard — ne sont pas complètement évidentes. C’est Pierre de Fermat (1601-1665) qui l’a devinée en premier. Elle est décrite dans le bloc déroulant ci-dessous. Rien qu’en soi, cette caractérisation est déjà assez subtile.

Incidemment, s’agissant de Fermat, d’équations diophantiennes et de sommes de puissances de nombres entiers, on ne peut pas ne pas rappeler ici son fameux Grand Théorème et l’anecdote qui va avec : dans une marge de sa copie du livre Arithmetica de Diophante, il a écrit au sujet de ce théorème : « J’en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. »

Théorème. Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à $3$. Alors aucune puissance $n$-ème d’un nombre entier strictement positif n’est la somme de deux puissances $n$-èmes de nombres entiers strictement positifs. Autrement dit, en formules, l’équation diophantienne
\[ x^n = y^n + z^n \]
n’admet aucune solution en nombres entiers strictement positifs.

Malgré l’affirmation un peu légère — voire légèrement facétieuse — de Fermat, cet énoncé a gardé le statut de conjecture célèbre pendant plus de trois siècles. Malgré de nombreuses preuves au fil du temps pour des exposants $n$ particuliers, ce théorème n’a été démontré en toute généralité qu’en 1993 par Andrew Wiles [1].

Sommes de quatre carrés

Revenons aux sommes de carrés d’entiers. Maintenant que l’on connaît toutes les sommes de deux carrés d’entiers, qu’en est-il des sommes de trois carrés d’entiers, de quatre carrés d’entiers, etc ? Sait-on toutes les déterminer ?

La réponse est oui ! Examinons d’abord le cas des sommes de quatre carrés d’entiers. Avant tout, notons que $0$ est admis comme carré utilisable, puisque $0=0^2$. Ainsi par exemple, $5$ est bien une somme de quatre carrés d’entiers, puisque
\[ \begin{array}{rcl} 5 & = & 1^2+2^2 \\ & = & 1^2+2^2+0^2+0^2. \end{array} \]

Donc, pour les nombres $n$ décrits plus haut qui sont sommes de deux carrés d’entiers, il n’y a plus rien à faire, il suffit d’ajouter $0^2+0^2$ et le tour est joué !

Par contre, on a vu ci-dessus que $3,6,7$ étaient exclus de la famille des sommes de deux carrés d’entiers. Mais maintenant, avec quatre carrés permis au lieu de deux, ça passe :

\[ \begin{array}{rcl} 3 & = & 1^2+1^2+1^2+0^2, \\ 6 & = & 1^2+1^2+2^2+0^2, \\ 7 & = & 1^2+1^2+1^2+2^2. \end{array} \]

Eh bien, quels entiers sont-ils la somme de quatre carrés d’entiers ? Un célèbre théorème donne cette réponse extraordinaire.

Théorème (Lagrange, 1770). Tout nombre entier positif est la somme de quatre carrés d’entiers.

Il semble que Diophante avait déjà eu l’intuition d’un tel résultat, comme cela est noté dans la traduction en latin de son livre Arithmetica [2] par Bachet en 1621. Voir l’article de Wikipedia à ce sujet.

Sommes de trois carrés

Qu’en est-il des sommes de trois carrés d’entiers ? Peut-on aussi les caractériser ?

Il se trouve que oui. Là encore, on dispose d’une caractérisation complète, obtenue par le même Lagrange en 1797-1798, soit bien après son fameux théorème des quatre carrés.

Le théorème des trois carrés de Lagrange affirme que tout nombre entier positif est la somme de trois carrés d’entiers, à l’exclusion de ceux qui sont de la forme $n = 4^k(8m+7)$ où $k,m$ sont eux-mêmes entiers positifs. Cela exclut donc $7, 15, 23, 28, 31,$ etc.

Des carrés aux cubes

Une simple mais importante différence entre carrés et cubes, c’est que le carré d’un entier même négatif est toujours positif, tandis que le cube d’un entier négatif reste négatif ! Par exemple,

\[ \begin{array}{rclcrcl} 5^2 & = & 25, & & (-5)^2 & = & 25,\\ 5^3 & = & 125, & & (-5)^3 & = & -125. \end{array} \]

Cette différence rend le problème avec les cubes beaucoup plus difficile qu’avec les carrés, puisqu’il va falloir prendre en compte les cubes négatifs.

Par exemple, est-ce que $6$ est la somme de trois cubes d’entiers ? Si l’on se restreint aux cubes positifs, à savoir $0=0^3$, $1=1^3$, $8=2^3$, $27=3^3,$ etc., la réponse est non, évidemment : le nombre $6$ n’est pas une somme de trois termes pris parmi $0,1,8, 27,\dots$.

Mais on dispose aussi des cubes d’entiers négatifs, à savoir
\[ \begin{array}{rcl} (-1) & = & (-1)^3,\\ (-8) & = & (-2)^3,\\ (-27) & = & (-3)^3, \end{array} \]
etc. Grâce à cette souplesse supplémentaire, eh bien oui, on peut écrire $6$ comme la somme de trois cubes d’entiers :
\[ \begin{array}{rcl} 6 & = & 8 + (-1) + (-1)\\ & = & 2^3+ (-1)^3 + (-1)^3. \end{array} \]

À toute puissance : le problème de Waring

Bien sûr, outre les sommes de carrés et les sommes de cubes, on peut — et on doit, histoire de trouver ses limites — se demander ce qu’il en est des sommes de puissances quatrièmes d’entiers, de puissances cinquièmes d’entiers, etc.

Cette question générale, tout au moins lorsqu’on se restreint aux sommes de puissances d’entiers positifs, est connue sous le nom de problème de Waring, formulé en 1770 par Edward Waring (1734-1798).

David Hilbert s’est attaqué à ce problème au début du 20e siècle, et l’a résolu de façon spectaculaire.

Théorème (Hilbert). Pour tout exposant entier $k \ge 2$ donné, il existe un nombre déterminé $N(k)$, qu’on peut prendre minimal pour fixer les idées, avec la propriété suivante : tout entier positif $n$ peut s’écrire comme la somme de seulement $N(k)$ puissances $k$-èmes d’entiers positifs.

Le bloc déroulant ci-dessous décrit l’état des connaissances pour les exposants $k=2$ et $k=3$.

Notons que, pour un exposant $k$ fixé et sans même recourir au théorème de Hilbert, on peut toujours écrire un entier positif $n$ quelconque comme somme de puissances $k$-èmes d’entiers positifs, à savoir :
\[ n = 1^k + 1^k + \dots + 1^k. \]
Le problème dans cette très naïve solution, c’est que le nombre de sommants requis vaut $n$, et donc dépend de $n$.

La force du théorème de Hilbert, c’est l’affirmation qu’on peut s’en sortir, pour $k$ fixé, avec un nombre de sommants indépendant de $n$. C’est là une généralisation fantastique du théorème des quatre carrés de Lagrange.

L’épineux cas $n=33$

Quant à la question principale de l’article, déterminer tous les entiers qui sont sommes de trois cubes d’entiers, positifs ou négatifs, on sèche.

Pour chacun des entiers de $1$ à $32$, on savait depuis longtemps s’ils étaient, ou pas, des sommes de trois cubes d’entiers. Les seuls ne l’étant pas étant
\[4,5 ; 13, 14 ; 22, 23; 31, 32; \dots \]
soit ceux de la forme $9m+4$ ou $9m+5$ mentionnés plus haut, pour lesquels un simple obstacle arithmétique s’y oppose.

Mais le cas de $n=33$ s’est révélé particulièrement résistant. Ce n’est qu’en mars 2019, après plusieurs décennies d’attente, que la réponse est enfin tombée. Oui, $33$ est bien une somme de trois cubes d’entiers. Voici comment :

\[\color{red}{33 = (8\, 866\, 128\, 975\, 287\, 528)^3 + (−8\, 778\, 405\, 442\, 862\, 239)^3+ (−2\, 736\, 111\, 468\, 807\, 040)^3.} \]

Bigre ! C’est Andrew Booker, de l’université de Bristol, qui a réalisé cet exploit. Il l’a fait grâce à un nouvel algorithme de recherche de solutions, beaucoup plus efficace et ciblé que ceux précédemment connus, et à trois semaines de calculs intensifs avec cet algorithme sur de puissants ordinateurs [3].

Pourquoi a-t-il été si difficile de trouver cette solution ? Parce que les nombres impliqués ont 16 chiffres chacun, et que les calculs de Booker ont établi en cours de route qu’il n’existe aucune solution avec moins de chiffres.

Et le cas $n=42$ ?

Parmi tous les entiers de $1$ à $100$, il ne reste désormais plus qu’un unique cas non résolu pour la question principale de cet article, c’est $\color{red}{n=42}$.

Est-il, oui ou non, une somme de trois cubes d’entiers ? Combien de temps faudra-t-il pour y répondre ? Tous les paris sont ouverts. Ça peut être une semaine comme cinquante ans, voire beaucoup plus. Impossible de le savoir à l’avance. Cela dépend, entre autres, de la taille minimale des solutions... s’il y en a.

Par exemple, pour $n=33$, la taille minimale des solutions est de $16$ chiffres, on l’a dit plus haut. Si cette taille minimale avait été de $20$ chiffres, disons, la découverte d’une solution aurait pu prendre encore plus de temps.

Toujours est-il qu’Andrew Booker, déjà tombeur du cas $n=33$, planche activement sur $n=42$, l’ultime cas ouvert à deux chiffres.

Une conjecture sur les sommes de trois cubes

Pour conclure, voici une conjecture due à Roger Heath-Brown. Elle répond complètement, et de façon particulièrement ambitieuse, à la question principale de cet article.

Conjecture (Heath-Brown, 1992). Pour tout entier positif $n$ qui n’est pas de la forme $9m+4$ ou $9m+5$, il existe une infinité de façons d’écrire $n$ comme somme de trois cubes d’entiers.

Vous rendez-vous compte ? Après plusieurs décennies d’attente, on sait désormais que $33$ est une somme de trois cubes d’entiers. On sait même qu’il faut aller chercher des entiers à 16 chiffres minimum pour ça. Mais à ce stade, on ne connaît qu’une seule solution à ce problème, celle découverte par Andrew Booker en mars 2019 et donnée en rouge ci-dessus. Or la conjecture de Heath-Brown prédit, en particulier, que l’équation diophantienne \[33=x^3+y^3+z^3\] admet une infinité de solutions en nombres entiers !

On ne peut que souhaiter bon courage et bon succès à tous les chercheurs présents et futurs qui se lanceront à l’assaut de cette fabuleuse conjecture.