Sommes exponentielles

A propos d’un résultat de Pierre Deligne, prix Abel 2013.

Hors-piste 21 mai 2013  - Ecrit par  Christine Huyghe Voir les commentaires

Pierre Deligne, un mathématicien qui sait compter

Nous
présentons ici un résultat de Pierre Deligne, un peu ancien,
mais, nous semble-t-il, compréhensible à qui sait ce qu’est un nombre complexe et une
racine complexe de l’unité. Mais avant cela, autorisons-nous un petit détour à l’IHES
 [1], où Deligne travailla de 1969 à 1984.
Deligne y était en effet de retour le 24-ième ventôse, jour de la Pâquerette 2013
 [2].
Au programme en 2013 : un problème de comptage d’analogues d’équations
différentielles, sur certains objets géométriques et arithmétiques, et toute une série
d’exposés sur ce problème. Il y a encore beaucoup de problèmes à résoudre à propos
de cette question récente, ce qui fera dire à Deligne qu’il allait aussi
expliquer ce « qu’il ne connaissait
pas » de ce problème de comptage.

Ce problème de comptage n’est pas sans évoquer la démonstration, par Deligne,
des conjectures de Weil [3] au début des années 70, qui sont en partie un
problème de comptage de points sur des objets géométriques et arithmétiques, et dont nous
exposons ici un corollaire : les majorations de sommes exponentielles.

Sommes exponentielles en une variable

Cette question d’arithmétique est assez ancienne. Ces sommes, que nous décrirons plus
loin, sont
introduites pour des entiers $n$ généraux mais il se trouve que les calculs se ramènent au cas
des nombres premiers divisant $n$. Dans la suite, nous fixons donc un
nombre premier $p$.
Notons
\[\zeta_p=e^{2i\pi/p}=cos(2\pi/p)+i sin(2\pi/p).\] Ce nombre vérifie $\zeta_p^p=1$, c’est
une racine $p$-ième de l’unité. Et la
formule de Moivre nous dit comment calculer les puissances de $\zeta_p$
\[\zeta_p^k=e^{2ik\pi/p}=cos(2k\pi/p)+i sin(2k\pi/p).\]
En particulier, l’argument de $\zeta_p^k$ vaut $k$ fois l’argument de $\zeta_p$.
Voici un dessin dans le plan complexe des racines $11$-ième de l’unité.

Ecrivons $\zeta_p^k=e^{2ik\pi/p}$, soit par la formule de Moivre
$\zeta_p^k=cos(2k\pi/p)+i sin(2k\pi/p).$ Alors,
$\zeta_p^p=cos(2\pi)+isin(2\pi)=1$. A quelle condition a-t-on $\zeta_p^k=1$ ?
Divisons $k$ par $p$ : $k=np+k'$ avec $k'\leq p-1$. Alors
$\zeta_p^k=\zeta_p^{np}\zeta_p^{k'}$, soit $\zeta_p^k=1^n\zeta_p^{k'}=\zeta_p^{k'}$. Or,
$\zeta_p^{k'}=cos(2k'\pi/p)+isin(2k'\pi/p)$. Ce nombre vaut $1$ si et seulement si $k'=0$, puisque $0\leq k'\leq p-1$.

Moralité : $\zeta_p^{np}=1$ et si $\zeta_p^{k}=1$, alors
$k$ est multiple de $p$. De plus,

si $k=k' \; mod \,p$, alors \[\zeta_p^{k}=\zeta_p^{k'}.\]

On rappelle
que deux entiers sont égaux $\; mod \,p$ si leur différence est un multiple de $p$.

Soit maintenant $f\in \mathbf{Z}[X]$ un polynôme à coefficients entiers de degré $d$
\[ f(x)=a_d x^d +a_{d-1}x^{d-1}+\ldots + a_0.\]
Dire que $f$ est de degré $d$ c’est dire que $a_d\neq 0$. On suppose de plus
que $f$ n’est pas constant égal à $a_0$. Cela nous permet enfin de donner
l’expression d’une somme exponentielle (ou somme trigonométrique). Une somme
exponentielle s’écrit
\[S=\sum_{k=0}^{p-1}e^{2i f(k)\pi/p}= \sum_{k=0}^{p-1}\zeta_p^{f(k)}.\]

Question : peut-on calculer cette somme ? Et, à défaut, trouver un nombre $M$
tel qu’on ait $|S|\leq M $ ?

Dans le deuxième cas, on dit que $M$ est un majorant de la somme exponentielle $S$. La
somme $S$ fait intervenir un certain nombre de racines $p$-ième de l’unité, celles qui sont
de la forme $\zeta_p^{f(k)}$.

Une première remarque est que l’ensemble sur lequel nous sommons peut-être pris
comme $\{0,\ldots,p-1\}$, mais aussi $\{3p,1,2,\ldots,p-1\}$. Plus généralement,
tout nombre $k$ de cette somme peut-être remplacé par $k+np$ pourvu que $n$ soit un
entier, puisque, si
$f$ est un polynôme à coefficients entiers, alors $f(k+np)=f(k)\; mod \,p$.
Ceci assure que l’on a une certaine marge « à un multiple de $p$ près » pour définir les
sommes que l’on regarde, ce qui sera exploité plus loin.

Il y a bien entendu, une majoration évidente, grâce à l’inégalité triangulaire. Comme
on somme $p$ nombres complexes de module $1$, on a forcément
\[|S|\leq p.\] Mais on peut trouver une meilleure borne pour cette somme.

Prenons un cas simple : $f(k)=k$. Eh bien, dans ce cas on sait calculer la somme suivante :
$S=\sum_{k=0}^{p-1}e^{2i k\pi/p} .$ En effet, cette somme n’est rien
d’autre que \[S=1+\zeta_p+\zeta_p^2+\ldots+\zeta_p^{p-1},\]
\[S=\frac{\zeta_p^p-1}{\zeta_p-1}=0.\]
Si $f(k)=k$, on fait la somme de toutes les racines de l’unité,
ce qui donne $0$. C’est aussi vrai si $f(k)=k+1$ (ou $f(k)=k+n$ où $n$ est un entier).
Pour $f(k)=k+1$, $\zeta_p^{f(k)}=\zeta_p^{k}\zeta_p$. Donc on effectue une
rotation d’angle $2\pi/p$ sur les racines $p$-ième de l’unité. De nouveau, on les somme
toutes, et on trouve $0$.

En revanche, si $f(k)=k^2$, cela se corse sérieusement et on trouve une somme dite de
Gauss [4]. Le calcul de cette somme est déjà difficile et le résultat est le suivant :

  • si $p=2$, $S=0$. Ce cas est facile puisqu’alors
    \[ S= e^0+e^{i\pi}=1-1=0.\]
  • si $p\neq 2$, et si $p=1\; mod \,4$, alors $S=\sqrt{p}$,
  • si $p\neq 2$, et si $p=3\; mod \,4$, alors $S=i\sqrt{p}.$

On remarque qu’on a toujours $|S|\leq \sqrt{p}$.

Et voici le dessin, pour $p=7$ et $f(k)=k^2$. En vert foncé, on a les points
$f(\zeta^k_p)$, le cercle vert est de rayon $2\sqrt{p}$, et nombre complexe $S$
représente la somme cherchée. Remarquons aussi $3^2=4^2=2 \; mod \,7$,
$5^2=4 \; mod \,7$, $6^2=1 \; mod \,7$, ce qui explique que seuls les points
$1,\zeta_7,\zeta_7^2, \zeta_7^4,$ interviennent pour calculer la somme $S$. Mais
attention, certains éléments de cette somme sont pris plusieurs fois. Plus précisément,
dans ce cas
\[ S= 1 +2 (\zeta_7 + \zeta_7^2+ \zeta_7^4).\]

Mais revenons à notre question : peut-on trouver un majorant $M$ de la somme $S$, en fonction des données
qui sont $d$, le degré de $f$, et le nombre $p$ ?

La réponse à cette question, donnée par Deligne en 1974 est la suivante. Si
$p$ ne divise pas $d+1$ ($d$ le degré de $f$), alors

dans la plupart des cas [5], on a \[ |S|\leq d \sqrt{p}.\]

Nous donnerons plus loin le résultat obtenu par Deligne pour $r$ variables.

Voici une figure pour $p=31$ et $f(k)=k^3$. En vert foncé, on a les points
$\zeta_p^{f(k)}$, le cercle vert est de rayon $3\sqrt{p}$, et le nombre complexe $S$
représente la somme cherchée. Comme pour $p=7$, toutes les racines $31$-ième de l’unité
n’apparaissent pas dans cette somme, et certaines sont prises plusieurs fois
 [6]

Sommes de Kloosterman

Une autre variante de ces sommes fut introduite au début du 20e siècle par le
mathématicien néerlandais Kloosterman. Voyons comment ces sommes sont définies. Pour un
entier $k$, il existe, comme $p$ est premier, des nombres entiers $y$ et $u$ tels que
$ky +pu=1$. C’est le théorème de Bézout. Ce qui veut dire que $ky =1 \; mod \,p$. On note
$y(k)$ l’un des entiers définis de la sorte. Cet
entier n’est pas bien défini, mais deux entiers satisfaisant la relation voulue
diffèrent d’un multiple de $p$.
Donc si $c\in \mathbf{Z}$, la somme
\[ S_K= \sum_{k=0}^{p-1}e^{2i (k+c y(k))\pi/p}= \sum_{k=0}^{p-1}\zeta_p^{k+c y(k)},\] est bien définie, et ne dépend pas du
choix de $y(k)$.

Weil [7], en 1948, s’appuyant sur
un résultat de Hasse, a montré le

Théorème (Weil) : \[|S_K| \leq 2 \sqrt{p}.\]

Ces résultats ont été généralisés par Deligne. Précisons un peu la géométrie qui apparaît dans la
méthode de démonstration de Deligne (en une variable), et déjà dans la démonstration faite
par Weil.

Un peu de géométrie algébrique.

Mais qu’est-ce que la géométrie algébrique ? Cela consiste à étudier des objets définis
par des équations polynomiales, dont les fonctions sur ces objets sont des fractions rationnelles (de plusieurs
variables), i.e. quotient de deux polynômes. Par exemple, la courbe d’équation $x^2+y^2=1$ est un objet de la géométrie
algébrique mais la paramétrisation de ce cercle par les fonctions $(cos\,t,sin\,t)$ n’est pas
admissible en géométrie algébrique (et ne marchera que sur les nombres réels). Cependant,
on peut paramétrer algébriquement le cercle par des fractions rationnelles $\left(\frac{1- t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)$.

La méthode de Weil, pour démontrer sa majoration des sommes de Kloosterman rappelée
ci-dessus,
fait intervenir les points d’une courbe, une hyperbole. Il faut en effet penser à
$y(k)$ comme à un inverse de $k$ [8], de sorte que
pour calculer $S_K$ on doit comprendre les points qui se situent sur la courbe d’équation
$yx=c$, ce qui définit une hyperbole.
Le problème est alors un problème de coefficients où
regarder cet objet, qui ne sont pas continus, au sens où nous ne sommes ni dans le monde
des nombres réels, ni dans celui des nombres complexes. Nous souhaitons en effet travailler avec des coefficients entiers, ou des nombres rationnels (des fractions), ou encore des coefficients $mod\, p$ [9], .... Nous arrêterons là avec ces considérations, mais c’est évidemment
une difficulté majeure que de faire de la géométrie avec des coefficients qui ne sont ni des nombres réels, ni des nombres complexes.
Pour commencer, il
n’est pas possible de faire de dessins, mais comme il faut bien en faire tout de même,
nous ferons des dessins comme si les objets
en question étaient réels ou complexes, même si ces dessins sont faux. Voici donc
l’hyperbole des sommes de Kloosterman pour $c=1$.

Nous constatons que la courbe est tangente à deux directions à l’infini (les axes
de coordonnées),
notées sur le dessin, auxquelles nous penserons dans la suite comme des points à l’infini
de cette courbe.

Deligne énonce en fait un critère géométrique pour démontrer la
majoration de Weil, que nous ne donnerons pas ici. Nous expliquerons seulement pourquoi ce
critère est vérifié dans le cas des sommes de Kloosterman. Dans l’espace à $3$ paramètres
$(x,y,z)$, il faut considérer
la courbe plane ${\cal C}$ d’équations \[xy-c=0 \text{ et } t=0,\]
qui se trouve dans le plan de coordonnées $(x,y, 0)$,
puis la courbe ${\cal C}'$
d’équations, dans l’espace : \[xy-c=0 \text{ et } t^p-t=x+y.\] Du point de vue arithmétique, tout
se passe bien et il y a exactement $p$ points distincts de ${\cal C'}$ au-dessus de tous les points de ${\cal C}$ qui ne sont pas à l’infini. Il
faut considérer la situation au-dessus des points à l’infini de ${\cal C}$ [10]. Et si au-dessus de ces points particuliers, il n’y a pas exactement $p$ points
distincts, ce qui correspond au fait qu’un certain polynôme aura des racines
multiples au lieu d’avoir $p$ racines distinctes, alors Deligne établit que \[|S|\leq 2 \sqrt{p}.\]
Si l’on est dans ce cas, on dit que ${\cal C'}$ est ramifiée au-dessus de tous les points
à l’infini de $C$.

Il se trouve que c’est le cas pour l’hyperbole ${\cal C}$ des sommes de Kloosterman qui a deux points à l’infini. Tentons de
faire un dessin de ce qui se passe au voisinage d’un de ces points.

On regarde la courbe ${\cal C'}$. Si on prend un point
de ${\cal C'}$ de coordonnées $(x,y,t)$, alors le point de coordonnées $(x,y,0)$ est un
point de
${\cal C}$ (puisque $xy-c=0$). Ainsi, on a une application de projection $p$ : ${\cal C'}\rightarrow {\cal C}$, surjective, qui envoie le point de coordonnées $(x,y,t) $ sur le
point de coordonnées $(x,y,0)$. Intuitivement, la courbe ${\cal C'}$ est au-dessus de ${\cal C}$. Et,
d’un point de vue arithmétique, il y a exactement trois points distincts $Q1,Q2,Q3$ de ${\cal C'}$ au-dessus de
chaque point $Q$ de ${\cal C}$. Voyons ce qui se passe
au-dessus d’un point à l’infini $P$. C’est ce que montre le dessin ci-dessus, qui est une
loupe de l’application $p$ au voisinage d’un point à l’infini $P$. Si $Q\neq P$, alors
${\cal C'}$ a exactement $3$ points distincts au-dessus de $Q$. En $P$, point à l’infini,
ces trois points sont confondus et donc ${\cal C'}$ est ramifiée au-dessus de tous les points
à l’infini de $C$, et
on peut appliquer le critère de Deligne, qui démontre le théorème de Weil. Le lecteur attentif aura remarqué qu’en l’infini,
l’hyperbole ressemble à une parabole. Ce n’est pas qu’une impression...

La courbe ${\cal C'}$ est nommée revêtement d’Artin-Schreier de la courbe de ${\cal C}$.

Un peu plus de géométrie algébrique.

Nous l’avons déjà souligné : Weil a introduit beaucoup d’outils et d’idées au sujet des
sommes exponentielles. En plus de celles précédemment évoquées, il faut ajouter le
morphisme de Frobenius, qui joue un rôle fondamental dans cette histoire. Il s’agit de
faire la remarque suivante. Si $k$ est un entier, alors \[k^p=k \; mod \,p,\]
c’est-à-dire $k^p-k$ est un multiple de $p$.

Et voici même une démonstration de ce fait.

Ecrivons d’abord le coefficient binomial, pour
$m\in\{1,\ldots,p-1\}$,
\[\binom{p}{m}=\frac{p!}{m!(p-m)!}=\frac{p(p-1)\cdots (m+1)}{(p-m)!}.\]
Comme le coefficient binomial est un entier, le dénominateur $D$ de la
fraction divise le numérateur $N=pN'$ de la fraction.
Mais comme $D$ est premier au nombre premier $p$, $D$ divise $N'$, ce qu’on peut écrire
$N'=lD$, avec $l$ un entier. Finalement, pour $m\in\{1,\ldots,p-1\}$, $\binom{p}{m}=pl$ est un
multiple de $p$, i.e. $\binom{p}{m}=0\; mod \,p.$

Ensuite on procède par récurrence. Supposons que $k^p-k$ est multiple de $p$, i.e.
$k^p-k=0\; mod \,p$, alors \[(k+1)^p-(k+1)=\sum_{m=0}^p \binom{p}{m} k^m -(k+1),\]
soit \[(k+1)^p-(k+1)=k^p+1 -(k+1) \; mod \,p,\]
car les coefficients binomiaux intermédiaires valent $0\; mod \,p$.
Ainsi \[(k+1)^p-(k+1)=k^p -k\; mod \,p=0\; mod \,p.\]
On conclut par récurrence sur $k$ que $k^p-k $ est divisible par $p$.

Or, comme nous l’avons déjà remarqué, on ne change pas une somme exponentielle en remplaçant
les nombres $k$ sur lesquels on somme par des nombres qui différent de $k$ d’un multiple de
$p$. La conclusion de tout ceci est donc
\[ S= \sum_{k=0}^{p-1}e^{2i f(k^p)\pi/p} .\]
Le fait que l’on puisse faire cette opération se traduit géométriquement dans le
fait que l’on a une action, l’élévation à la puissance $p$, sur les objets géométriques
que l’on veut associer aux sommes exponentielles. Cette action est appelée l’action du
Frobenius, et est fondamentale dans le travail de Weil, et dans les résultats de Deligne.

Une autre remarque est la suivante : la géométrie algébrique, qui n’autorise comme
fonctions que les fonctions rationnelles, est plutôt rigide. Prenons par exemple
la courbe d’équation $y-x^2=0$ dans le plan de coordonnées $(x,y)$. Autour du point
de coordonnées $(1,1)$, on peut paramétrer cette courbe en posant $x=\sqrt{y}$. Or, la fonction
$y\mapsto \sqrt{y}$ n’est pas une fonction rationnelle en $y$.

Si tel était le cas ... (...)

Si tel était le cas ...

cette fonction s’écrirait $P(y)/Q(y)$ et aurait un degré $d=deg(P)-deg(Q)$. Mais
comme $\sqrt{y}^2=y$ est un polynôme de degré $1$ en $y$, alors $1=2d$, ce qui est
absurde. Ainsi, on ne peut pas trouver de paramétrage algébrique en fonction de la variable
$y$ de la courbe algébrique $y-x^2=0$.

Il s’agit là d’un problème crucial : se restreindre aux fractions rationnelles impose
quelques restrictions. Grothendieck a introduit toute
une machinerie permettant de passer outre ce genre d’obstacles. Cette théorie, « la
cohomologie étale $l$-adique » consiste à
introduire des invariants à coefficients arithmétiques $l$-adiques
(pour $l$ un nombre
premier différent de
$p$), des objets de la géométrie algébrique.
C’est en utilisant cette
machinerie difficile et délicate que Deligne a montré les conjectures de Weil. Une conséquence, pour les
majorations de sommes exponentielles, est le théorème suivant, pour les sommes en
$r$ variables.

Le théorème de Deligne fait intervenir des objets géométriques non singuliers.
Voici une image d’une courbe singulière ${\cal C}'$ en l’origine et une image d’une courbe ${\cal C}$
qui ne l’est pas. Pour
autre chose que les courbes, ces notions sont plus difficiles à introduire.

Etre singulière pour une courbe revient à avoir quelque part « un coin ». Comme le nom
l’indique bien, une courbe ne présente pas, en général, de singularité.

Précisons maintenant l’énoncé de théorème de Deligne.
Soit $f$ un polynôme à coefficients entiers, de degré $d$ en $r$ variables
$(k_1,\ldots ,k_r)$, et
\[S_r=\sum_{(k_1,\ldots,k_r)\in \{0,\ldots, p-1\}^r}e^{2i f(k_1,\ldots ,k_r)\pi/p} .\]
Notons \[f=\sum_{u_1+\ldots +u_r=d}a_{u_1,\ldots ,u_r}k_1^{u_1}\cdots k_r^{u_r}+\text{termes de degré }\leq d-1,\] ou encore
\[f=f_d(k_1,\ldots,k_r)+\text{termes de degré }\leq d-1.\]
Autrement dit $f_d$ est la partie homogène de plus haut degré $d$ de $f$.
On suppose qu’au moins un des coefficients $a_{u_1,\ldots ,u_r}$ n’est pas divisible par
$p$.

Théorème (Deligne). Supposons que $p$ ne divise pas $d$, et que $f_d$ définisse un objet non
singulier (cette condition géométrique est vraie en général), alors
\[ |S_r| \leq (d-1)^r p^{r/2}.\]

Le lecteur attentif aura remarqué que si on applique cette formule pour $r=1$, le degré
considéré ici vaut le degré de $f$ de la première partie, augmenté de $1$. Cela est dû à
une subtilité pour passer de $f$ à $f_d$, liée aux points à l’infini, que je ne détaillerai
pas.

Bref, pour un polynôme en une variable, c’est bien le degré $d$ du
polynôme qu’il faut prendre : la formule du premier paragraphe est juste ! Et le théorème
de Deligne en $r$ variables aussi ...

Post-scriptum :

Un grand merci pour leur relecture rapide et efficace aux mathématiciens strasbourgeois Adriano Marmora et Nicolas Juillet. Un grand merci aussi à Clément Caubel, pour la minutie de sa relecture. Merci aussi à Carole Gaboriau,
pour ses corrections attentives et sa gentillesse. Sans leur aide, ce texte n’aurait jamais été prêt à temps.

Article édité par Ariane Mezard

Notes

[1Institut des Hautes Etudes Scientiques, à Bures sur Yvette.

[2Deligne, Vicomte du royaume de Belgique, aime beaucoup le calendrier républicain.

[3Voir ce texte.

[4mathématicien allemand du 19e siècle.

[5la condition sera explicitée plus loin.

[6C’est un bon exercice sur les racines de l’unité que de comprendre
ce qui se passe dans ce cas-là, que nous laissons au lecteur.

[7Voir ici ou
.

[8c’est vraiment un inverse, $\;mod\,p$.

[9et d’autres encore.

[10vue comme courbe
projective.

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Pour citer cet article :

Christine Huyghe — «Sommes exponentielles» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

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