De l’autre côté du miroir...

Spectre

Piste rouge 4 novembre 2013  - Rédigé par  San Vũ Ngọc Voir les commentaires (9)

Dessine-moi un spectre

Fais-nous un article sur le spectre ! La demande sous-entend
que je suis censé être un spécialiste de ce genre d’objet à consonance
inquiétante. C’est ainsi que, d’une voix mal assurée, je demande :
« hein, euh, quoi, quel spectre ? ». Du tac au tac, mon
interlocuteur qui avait visiblement prévu le coup me précise : « toi,
tu t’occupes du spectre des matrices ! ».

Ah, les matrices, ça je connais. On met des nombres dans les cases d’un tableau
(un tableau « à double entrée » comme on dit dans les
écoles). Par exemple, voici une matrice parfaitement inutile :
[
\beginpmatrix
1 & 2 & 3\
8 & \pi & 0,1\
0 & 0 & 1/3
\endpmatrix
]
Mais le spectre ? L’air sournois de mon interlocuteur force la
méfiance. Du coup, je me renseigne. J’interroge une petite fille de 9
ans (au hasard, évidemment). Elle me répond sans hésiter : « ben oui,
un spectre, c’est un peu comme un fantôme, mais c’est plus méchant,
c’est plus sombre. » Puis, se rendant compte que, décidément, les
adultes ça ne comprend pas vite, elle me fait un dessin.

Comment distinguer un spectre d’un fantôme

Je sais bien que la vérité sort de la bouche des enfants, mais malgré
tout, je ne suis pas très avancé avec ma matrice... et je fais donc
un tour sur G$\infty$gle images. Pas de doute, un spectre c’est
assez méchant [1] :

Le Spectre, c’est aussi un super-héros

Disons qu’un spectre, c’est une rémanence quelque peu fantomatique
d’un être qui vit dans un autre monde. C’est un peu l’autre côté du
miroir... on le voit mais il n’est pas vraiment là. De là à
s’imaginer ce que pourrait être le spectre d’une matrice... je vous
laisse juge de ma première tentative :

Inquiétante, l’idée du spectre d’une grande matrice...

Je suis sur la bonne voie, c’est certain. Cependant, le doute ne
s’étant pas complètement dissipé, je poursuis mes recherches et je
tombe sur des images bien plus rassurantes qui ressemblent davantage à
des arcs-en-ciel qu’à des fantômes : le spectre de la lumière visible ! Mais oui, je me souviens : quand un rayon de soleil passe
dans un prisme, on voit les couleurs de l’arc-en-ciel. Je mets tout
ensemble, ça se tient : la lumière, ça vient d’un autre monde, et son
spectre, ça permet d’en avoir une autre représentation, de comprendre un peu comment elle est fabriquée.

Le spectre de la lumière visible

Comme je sens que je tiens le bon bout, j’envoie un petit mél à un
collègue « spectroscopiste » (ça ne s’invente pas) et je reçois des
images fascinantes : des spectres de molécules ! Les molécules, c’est
petit, c’est difficile à étudier, c’est un peu un autre monde (le
monde microscopique, le monde quantique), alors on regarde des
spectres pour essayer de les comprendre.

Spectres d’oscillations

Revenons à la lumière (sic). La lumière, pour faire simple, c’est une
« onde lumineuse », ou plus précisément un « paquet d’onde
lumineuse ». Onde, c’est un joli mot. Pour les mathématiciens,
c’est un signal qui oscille. Par exemple un signal représenté par la
fonction $x\mapsto \sin(2\pi n x)$ est une onde dont la fréquence (le
nombre d’oscillations lorsque la variable $x$ parcourt un intervalle
de longueur $1$) est égale à l’entier $n$.

Ci dessus, le graphe de la fonction x↦sin(2πx). À chaque fois que l’abscisse x augmente d’une unité, on ajoute une « oscillation »

Cette fois-ci, le graphe de la fonction x↦sin(6πx). Il oscille trois fois plus vite que le précédent.

La magie des ondes est qu’elles peuvent osciller à plusieurs
fréquences simultanément
 ; ce qui est difficile à concevoir
intuitivement s’écrit ici très simplement en langage mathématique : on
fait la somme d’ondes élémentaires (ou ondes pures
[sic] c’est-à-dire à une seule fréquence). D’autre part, pourquoi ne considérer que des fréquences qui seraient des nombres entiers ? Prenons par exemple un nombre compliqué : $\ln 2\simeq 0,69$.
Ainsi le signal
[

« Onde »

\quad x\mapsto \sin(2\pi x) + 2\sin(2\pi\ln(2) x)
]
est une onde qui oscille à la fois à la fréquence $1$ et à la
fréquence $\ln 2$.

Création d’une onde qui oscille aux fréquences 1 et ln(2)

L’œil est directement sensible à la fréquence des ondes
lumineuses. Chaque fréquence est interprétée par le cerveau comme une
couleur, et une superposition de fréquences donne une
autre couleur (comme un mélange de palette). Par exemple, une onde lumineuse qui oscille entre 610THz et 650THz [2] va être considérée en général comme bleue, alors que si elle oscille entre
520THz et 610THz, elle sera verte [3].

On peut maintenant proposer une définition beaucoup plus précise du
spectre, au moins pour une onde : le spectre d’un signal est
l’ensemble des fréquences auxquelles il oscille
. Ah, il y a un point à
préciser... Reprenons notre exemple « Onde » : le deuxième
sinus a un coefficient “$2$” : c’est la somme de deux sinus de
même fréquence. On dira que, dans le spectre, cette fréquence possède
une amplitude égale à $2$. Avec cette information, on peut donc
proposer une représentation graphique très pratique d’un tel spectre : en abscisses, on donne la fréquence, et en ordonnées, l’amplitude. Tenez, justement, pour faire du $\color{brown}{\text{marron}}$, il faut un savant mélange de couleurs de l’arc-en-ciel : parmi les recettes qui marchent, on peut essayer de superposer une dose de bleu, une dose de vert, et quatre doses de rouge... je vous laisse dessiner le spectre de ce marron-là !

Le spectre du signal représenté à la figure précédente

La lumière blanche est particulière, car elle contient toutes les fréquences lumineuses possibles. La petite image « arc-en-ciel », ci-dessus, je l’ai aussi appelée spectre, alors qu’elle ne mentionne pas l’information sur les amplitudes. Eh oui, c’est une autre utilisation du mot « spectre », qui désigne ici l’ensemble des fréquences possibles.

La lumière n’est pas la seule onde omniprésente dans la nature. Et,
d’ailleurs, si on veut faire des petites expériences « spectrales »,
c’est bien plus facile avec les ondes sonores. Un son, c’est une
vibration de l’air, c’est donc un signal oscillant, et donc... ça a un
spectre ! Cette fois-ci, la magie s’opère dans notre oreille, qui est
directement sensible aux fréquences du signal sonore [4], et cette
fréquence est interprétée par le cerveau comme une
tonalité. Programmez sur votre ordinateur un petit métronome : un
« tac » toutes les secondes, par exemple. Puis, augmentez la
fréquence : 10, 20, 30, ... montez jusqu’à environ 110 « tac » par
seconde. Votre oreille entend une note ! (un « la » grave). Vous n’entendez
plus vraiment le signal, mais son spectre !

Les mathématiciens ont découvert un outil génial qui agit un peu comme
une oreille : la transformée de Fourier. Cette formule magique
transforme un signal en son spectre... bref elle vous fait passer dans
un autre monde, l’autre côté du miroir. Et ce qui est extraordinaire,
c’est qu’elle le fait avec n’importe quel signal, même s’il ne semble
pas vraiment « oscillant ». En fait, on peut démontrer qu’un signal
d’énergie finie peut toujours s’écrire comme une superposition d’ondes
élémentaires... mais il faudra peut-être en additionner une infinité.

Opérateur, fais-moi un petit signal

Bon, j’ai compris : à partir d’un signal compliqué, on calcule son
spectre, et ça nous donne des informations pertinentes (couleur,
tonalité). Mais c’est une approche empirique. J’aimerais bien avoir une
compréhension plus globale : de la création du signal jusqu’au
spectre. Revenons donc à la source : d’où sort ce signal ?

Je n’ose pas tout de suite demander à mon collègue pourquoi ses
molécules émettent des signaux oscillants. Je préfère réveiller le
guitariste qui sommeille en moi et gratter une corde. Prenons cette
corde-ci (la corde « la ») [5]. Un petit coup
d’ongle et, à l’œil nu, on voit bien qu’elle vibre très vite (en
principe 110 fois par seconde). En même temps, je jette un œil à la
page wikipédia « Onde sur une corde vibrante » (ou bien à cet article). Si j’identifie le
manche de la guitare avec l’intervalle $[0,L]$, chaque position
$x\in[0,L]$ correspond à un point sur la corde. On peut noter $y(x,t)$
le déplacement de ce point perpendiculairement au manche. Pour
simplifier, on suppose qu’il se déplace dans une seule direction (par
exemple parallèlement à la caisse de la guitare). En première
approximation, les lois de la physique nous disent que $y$ doit
vérifier l’équation des ondes : « l’accélération du point $y$ est proportionnelle à sa dérivée seconde par rapport à la position $x$. » En notations mathématiques, voici ce que ça donne :
[
\frac\partial\,^2 y\partial x^2 - \frac1v^2\frac\partial \,^2 y\partial t^2 = 0.
]
où $v$ est une constante physique (vitesse de propagation de l’onde
le long de la corde) qui augmente avec la tension de la corde et
diminue lorsque la masse linéaire de la corde augmente.

On peut calculer (à peu près) la vibration d’une corde de guitare

En régime « stationnaire », une fois que le doigt est parti et avant
que la vibration ne s’arrête, on peut supposer que la vibration $y$
est périodique en temps. Notre théorie de Fourier nous dit qu’elle est
donc une superposition d’ondes à une seule fréquence (on parle ici
d’« harmoniques »). Mais est-ce que toutes les fréquences sont
possibles ? Évidemment non, car alors il n’y aurait pas de raison que
j’entende une note particulière lorsque je mets un micro sous le point
$x$. Pour que le point $x$ puisse osciller, la corde elle-même a
besoin d’onduler le long de sa longueur. Or, elle est fixée aux
extrémités du manche. Ces conditions aux bords sont cruciales
pour sélectionner une gamme précise de fréquences autorisées... et
donc pour produire le spectre sonore de la corde !

Retroussez vos manches et cliquez ici pour voir un peu comment ça marche.

Je m’intéresse à une harmonique de fréquence inconnue
$\omega$. À cause des conditions aux bords (ou plus simplement en regardant l’image de la corde de guitare ci-dessus), on voit que l’amplitude de l’oscillation doit dépendre de la position $x$. Je vais appeler cette amplitude $u(x)$ ; l’onde prend alors la forme mathématique suivante :
[
y(x,t) = u(x)\sin(2\pi\omega t).
]
Je mets ça dans l’équation des ondes, et j’obtiens la
nouvelle équation, dont les inconnues sont la fonction $u(x)$ et le
nombre réel $\omega$ :
[
\fracd^2udx^2 + \frac(2\pi\omega)^2v^2u = 0.
]
Introduisons quelques symboles pour rendre ça plus joli. Posons
$\lambda=\frac{(2\pi\omega)^2}{v^2}$ (c’est donc une nouvelle
inconnue) et $\Delta=\frac{d^2}{dx^2}$. Ce $\Delta$ est la
transformation qui à une fonction $u$ associe sa dérivée seconde
$\Delta u =\frac{d^2 u}{dx^2}$. Il possède la propriété remarquable
que si $u_1$ et $u_2$ sont deux fonctions, $\Delta(u_1+u_2)=\Delta u_1 + \Delta u_2$. On appelle $\Delta$ un opérateur, et on dit qu’il
agit sur la fonction $u$. Mais quelles sont les fonctions $u$
autorisées ? Évidemment, puisque la corde est attachée à ses deux extrémités,
les “conditions
aux bords” doivent être satisfaites : $u(0)=u(L)=0$.
On note $\mathcal{H}$ l’ensemble des fonctions autorisées ; on remarque que si on ajoute de telles fonctions, ou si on les multiplie par un nombre, le résultat vérifie encore les conditions aux bord : on dit que $\mathcal{H}$ est un espace vectoriel. Voici finalement ce qu’est devenue notre équation :
[
\Delta u = \lambda u, \qquad u \in \mathcalH.
]
Une telle équation s’appelle équation aux valeurs propres. Évidemment, la function nulle $u=0$ est toujours solution : la corde ne bouge pas... mais elle n’est pas très intéressante ! Les
valeurs $\lambda$ pour lesquelles il existe une solution $u$ non nulle
s’appellent les valeurs propres de l’opérateur $\Delta$. Dans
notre cas, l’ensemble de ces valeurs propres s’appelle... le spectre !

Pour ceux qui voudraient aller plus loin dans la théorie, il faut dire que la
formulation n’est pas encore assez précise : a priori, la
fonction $u$ doit être deux fois dérivable, mais l’opérateur $\Delta$
n’agit pas dans l’espace des fonctions deux fois dérivables,
puisque $\Delta u$ n’a plus de raison d’être dérivable... La branche
des mathématiques qui s’occupe de tels problèmes s’appelle
l’analyse fonctionnelle.

Heureusement pour notre corde vibrante, l’équation est suffisamment
simple pour être résolue par l’analyse classique. Les solutions sont
de la forme $u(x) = A \cos(\sqrt{\lambda}x) + B \sin(\sqrt{\lambda}x).$ Les conditions aux bords imposent $A=0$ et
$\sin (\sqrt\lambda L)=0.$ Cette dernière condition, équivalente à ce
que $\sqrt\lambda L$ soit un multiple de $\pi$, répond à notre
question, puisque qu’elle relie les fréquences possibles $\omega$ avec
les caractéristiques physiques de la corde :
[
\omega = \fracnv2L, \qquad n \text entier positif.
]

Cette idée de décomposition en harmoniques, couplée avec l’équation des ondes, fournit le résultat suivant : le spectre de ma corde est constitué d’une fréquence
fondamentale $\omega_0=v/2L$ (en principe $110$ Hz pour la corde en
question) et de tous ses multiples : $2\omega_0, 3\omega_0$, etc. Ça
implique un fait remarquable : quelle que soit la façon dont je
gratte ma corde, les seules fréquences que je vais pouvoir produire
dans mon signal sonore sont les multiples de $\omega_0$. Ah ah, voici
quelque chose que je peux expérimenter facilement. J’approche la
guitare de l’ordinateur, je gratte encore une fois ma corde de « la »,
et j’enregistre. Avec un logiciel d’édition sonore [6], je sélectionne une seconde de son, à un moment où ça a
l’air à peu près « stationnaire » ; voici une représentation du signal :

Une petite portion du son de guitare enregistré sur un ordinateur. Ici le graphe représente l’oscillation de la pression de l’air en fonction du temps.

À vue de nez, ce n’est pas si évident d’y retrouver la fréquence fondamentale. Mais on a défini plus haut le « spectre d’un signal » (la transformée de
Fourier) . Or, c’est un calcul que le logiciel sait faire, j’essaie donc ! Un petit clic de souris plus tard, et on voit parfaitement sur la figure (courbe rouge)
que les fréquences ayant les plus grandes amplitudes sont bien des multiples de
$\omega_0=112$ Hz [7] ! On dira ce qu’on voudra, c’est beau la science...

Le spectre de la corde de « la »

C’est le spectre du signal de la figure précédente. On y voit des multiples de la
fréquence fondamentale $\omega_0=112$ Hz. Bien sûr, on voit
aussi plein d’autres choses qui ne sont pas prédites par notre
modèle simpliste : les vibrations des cordes voisines, celles de
la caisse, etc.

Récapitulons. Je me retrouve avec deux notions de spectre ! Ma corde de guitare a un spectre, qui est le spectre de l’opérateur $\Delta$. C’est un ensemble de fréquences qui décrit les possibilités d’oscillations de la corde. Les sons que je peux produire avec cette corde sont nécessairement des superpositions (=sommes) d’harmoniques (=sinusoïdes) dont les fréquences sont dans le spectre. Le spectre, c’est un peu l’âme de la corde... D’un autre côté, lorsque j’écoute ma corde vibrer, j’ai un signal capté par mon oreille (ou un micro branché sur mon ordi), et je peux calculer le spectre de ce signal particulier ; ce n’est pas exactement le même objet que le spectre de la corde, puisque d’une part il ne contient pas forcément toutes les harmoniques possibles, et d’autre part chaque harmonique est parée d’une amplitude. Les guitaristes savent varier le timbre de la corde en la pinçant de différentes façons, de manière à varier les amplitudes des différentes harmoniques.

Il en va de même pour les molécules. Si je « gratte » ma molécule en
lui envoyant un rayon laser, elle va émettre une « lumière » (une onde
électromagnétique) qui ne sera composée que de certaines fréquences
bien précises. L’ensemble des fréquences qu’on pourra obtenir sera le
spectre de cette molécule. C’est sa carte d’identité ! Comme avec la corde de ma guitare et l’équation des ondes, les lois de la physique permettront
de modéliser cette molécule par un opérateur $P$, et le spectre sera
obtenu en résolvant l’équation $Pu = \lambda u$. Évidemment, $P$ sera
en général plus compliqué que l’opérateur $\Delta$ qu’on avait découvert pour la corde, mais malgré tout, on peut
penser à notre molécule comme à une certain nombre de cordes vibrantes
reliées entre elles : les liaisons entre les atomes.

Pour ceux qui aimeraient aller plus loin dans cette direction, je peux ajouter que la physique impliquée ici est la physique quantique. Le fait que la carte d’identité d’une molécule soit un spectre (discret), au lieu de caractéristiques classiques (continues) comme la température, la vitesse, etc. est typique du monde quantique. Dans ce monde, qui régit l’infiniment petit, les quantités observables comme l’énergie sont « quantifiées », c’est-à-dire discrètes, à l’image des fréquences possibles d’une corde de guitare.

PNG - 273.2 ko
Spectre de la molécule CuSH (hydrosulfide de cuivre)
Cette représentation du spectre est à rapprocher de celle de la figure plus haut montrant le spectre du signal « Onde ». Les pics du graphe correspondent à des fréquences présentes dans le signal utilisé pour étudier cette molécule. La connaissance de telles « raies spectrales » permet de caractériser la molécule.
Cette image est tirée de l’article "D.L. Kokkin et al. / Journal of Molecular
Spectroscopy 268 (2011) 23–27".

Matrice, c’est fini

Le cas de la corde de guitare est l’un des rares pour lesquels on
sache mener à bien les calculs jusqu’à obtenir une formule explicite
pour le spectre. En général, on n’y arrive pas ! Mais on sait très
bien faire des calculs approchés à l’aide d’un ordinateur.

Bien sûr, ce n’est pas si simple. Par exemple, comment coder dans un
ordinateur notre espace $\mathcal{H}$ de fonctions $u$ admissibles ?
Toutes les fonctions $u_n(x)=\sin(\pi nx/L)$, pour un entier positif
$n$ quelconque, sont dans $\mathcal{H}$, et aucune d’entre elles ne
peut s’obtenir en faisant des sommes des autres : on dit que
$\mathcal{H}$ est de dimension infinie. Pour coder une fonction
prise au hasard dans $\mathcal{H}$, il faut un nombre infini de
paramètres. Or, l’infini, l’ordinateur n’aime pas. Pas du tout. Il
faut donc trouver un nouvel espace $\tilde{\mathcal{H}}$ de dimension
finie, et un nouvel opérateur $\tilde{\Delta}$ qui agirait sur
$\tilde{\mathcal{H}}$, pour lesquels les solutions de l’équation aux
valeurs propres
[
\tilde\Delta u = \lambda u, \qquad u \in \mathcal\tildeH, \quad
u \neq 0
]
donneraient une bonne approximation du vrai spectre de $\Delta$. Le
domaine des mathématiques qui s’occupe de ce type de questions est
l’analyse numérique.

Ah, mais un opérateur sur un espace de dimension finie, ça
s’appelle... une matrice ! Ça y est, je l’ai dit... je me sens
mieux. Reprenons calmement. Un espace de dimension finie, c’est par exemple le plan à deux dimensions (${\mathbf{R}}^2$) ou
l’espace à trois dimensions (${\mathbf{R}}^3$). Dans ${\mathbf{R}}^2$, un point est
donné par deux nombres : ses coordonnées $(x,y)$. Dans ${\mathbf{R}}^3$, un
point est donné par trois coordonnées $(x,y,z)$. Bon, il n’y a pas de
raisons de s’arrêter : dans ${\mathbf{R}}^d$, un point $u$ est donné par $d$
nombres, qu’on appelle encore ses coordonnées, et qu’on peut noter par
exemple
[
u = (x_1,\dots,x_d).
]
C’est tout ! On dit que ${\mathbf{R}}^d$ est un espace de dimension $d$. (Dans notre espace $\mathcal{H}$, de dimension infinie, un « point » était une fonction $u$. Dans tous les cas, dimension finie ou pas, on aime bien appeler ce $u$ un « état ». On voit bien pourquoi $u$ dans $\mathcal{H}$ représente l’état de la corde de guitare lorsqu’elle vibre.) Ceci
dit, restons dans le plan, ça sera plus facile. Prenons une matrice
$A$ de taille $2\times 2$ très simple,
[
A =
\beginpmatrix
\colorred 2 & \colorred1\
\colorgreen 1 & \colorgreen1
\endpmatrix.
]
Je prétends que cette matrice est un opérateur sur ${\mathbf{R}}^2$ :
c’est-à-dire une transformation qui prend un point $u=(x,y)$ et
fournit en sortie un nouveau point $u'=(x',y')$. Le plus simple est
de donner la formule directement (ok, ce n’est pas spécialement joli, mais au
moins on voit que c’est facile à coder dans un ordinateur) :
[
\beginaligned
x’ = & \colorred 2x + \colorred 1y\
y’ = & \colorgreen1x + \colorgreen1y
\endaligned
]
Les coefficients $x,y$ sont multipliés par les nombres qui
apparaissent dans la matrice, puis sommés, dans l’ordre indiqué. On
note tout simplement $u' = Au$.

Avec ma corde de guitare, j’avais obtenu un opérateur : $\Delta$, et son spectre était composé des fréquences d’oscillation possibles de la corde. Maintenant, je n’ai plus de corde, mais j’ai un opérateur : A, et donc j’ai un spectre ! Comme précédemment, le
spectre de $A$ est l’ensemble des valeurs propres de $A$, c’est-à-dire des nombres $\lambda$ pour lesquels il
existe une solution non nulle $u$ de l’équation

[
Au = \lambda u, \qquad u\in\mathbfR^2.
]
La branche des mathématiques qui manipule ce genre d’objets s’appelle
l’algèbre linéaire. Il y a plein de méthodes pour résoudre ces
équations aux valeurs propres (de façon exacte lorsque c’est possible,
ou de façon approchée sinon), et on sait bien les implémenter sur
un ordinateur. D’ailleurs elles sont évidemment incluses aussi bien
dans les logiciels de calcul numérique comme Scilab
que dans les logiciels de calcul
formel comme Xcas.

Une matrice de taille $d\times d$ admet au plus $d$ valeurs propres, et ces valeurs propres sont des nombres complexes. Il se trouve que notre matrice exemple possède
un spectre réel, composé des deux racines de
$\lambda^2-3\lambda+1$ :
[
\beginaligned
\textSpectre de ~; A = &\left{\frac32 + \frac\sqrt 52 ; \quad \frac32 - \frac\sqrt 52\right}\
\simeq & {2,62\quad ; \qquad 0,38}
\endaligned
]
Pour chaque valeur propre $\lambda$, on peut choisir un « état propre » u, qui vérifie l’équation $Au = \lambda u$. Si on voit $A$ comme l’opérateur d’une « corde de guitare discrète », alors l’état propre décrit la forme de la corde lorsqu’elle émet un son pur, une harmonique. Et comme tout son produit par la corde est une superposition d’harmoniques, on retrouve ce fait remarquable : n’importe quel état (= point) dans $\mathbf{R}^2$ peut s’écrire comme superposition de deux états propres de $A$.

Avec ce calcul du spectre d’une matrice, j’espère avoir atteint le but que mon interlocuteur m’avait fixé au début de cette histoire, et il semblerait bien que mon exploration touche à sa fin... Reprenons, concluons. Dans la nature, il y plein de signaux qui oscillent très vite, comme les ondes sonores, ou lumineuses. On peut les voir simplement comme ce qu’elles sont : des ondes, telles des vagues à la surface de l’eau. Mais elles apportent une information cachée, que seuls des outils perfectionnés peuvent révéler : l’oreille, l’œil,... ou la transformée de Fourier ! C’était donc ça, l’au-delà, le monde du spectre... Et puis, si on cherche à comprendre comment ces oscillations sont possibles, si on remonte à la source (du bruit, de la lumière), on obtient un opérateur, dont les valeurs propres fournissent le spectre de toutes les oscillations possibles.

Oui, mais... lorsque mon opérateur agit sur un espace de dimension finie, il n’y a pas beaucoup d’oscillations possibles, ça paraît un peu décevant. OK, c’est fondamental si on veut faire des calculs sur machine. D’accord, la dimension finie existe dans la nature [8]. Néanmoins, j’estime qu’il reste une remarque à faire avant de boucler cette expédition spectrale.

Un peu de dynamisme

Même en dimension finie, le spectre est un outil passionnant.
Certains lecteurs ont peut-être de mauvais souvenirs de calculs d’algèbre linéaire... Pourtant, le nombre d’applications de cette idée simple de trouver des valeurs
propres de matrices est phénoménal. Un domaine particulièrement concerné est celui des
systèmes dynamiques. Le spectre permet de comprendre l’évolution d’une situation au bout d’un temps très long (pensez par exemple aux migrations de populations, à la propagation d’une épidémie, ou simplement à la météo de la semaine prochaine !). Cette fois-ci, l’opérateur $A$ doit être compris comme une petite transformation : si $u$ désigne le temps qu’il fait aujourd’hui à 14h28, alors le calcul du transformé $u'=Au$ fournit le temps qu’il fera à 14h29... Pour obtenir le temps de la semaine prochaine, il faudrait appliquer la transformation $A$ 10000 fois de suite, ce qui pose souvent de gros problèmes numériques. Il se trouve que les données spectrales permettent d’éviter ce calcul tout en fournissant une très bonne idée de ce qu’il va se passer !

Cliquer ici pour un petit exemple (pas si) anodin

Imaginez une photocopieuse un peu spéciale
qui, au lieu de recopier fidèlement vos dessins, lui applique la transformation donnée par la matrice $A$ [9]. Notons
$D_0$ le dessin original et $D_1$ le dessin obtenu à la sortie :
$D_1=A(D_0)$. Puisque $A$ a deux valeurs propres $\lambda_1\simeq 2,62$ et $\lambda_2\simeq 0,38$, il existe un vecteur du plan $u_1$
tel que $A(u_1)=\lambda_1 u_1$ et un autre vecteur $u_2$ tel que
$A(u_2)=\lambda_2 u_2$ : ce sont des états propres. Donc dans la direction de $u_1$, le
dessin va subir une dilatation de rapport $2,62$ : il va beaucoup
grossir, mais dans le même temps la direction de $u_2$ va subir une
contraction de rapport $0,38$ : elle va se ratatiner !
(on le voit bien sur la figure ci-dessous). Maintenant, je prends le nouveau dessin $D_1$
et je le remets à la photocopieuse pour obtenir $D_2$... et ainsi de
suite ! Que va-t-il se passer ? On voit bien que le dessin va s’étirer
de plus en plus dans la direction de $u_1$, jusqu’à ressembler à la
droite $(0,u_1)$. Cette expérience montre que le phénomène observé
(un système dynamique) s’explique facilement à l’aide des
valeurs propres et vecteurs propres de la matrice $A$. Les vecteurs
propres donnent les directions dans lesquelles s’effectuent les
transformations, et les valeurs propres précisent les vitesses de ces
transformations. Cette idée est très générale, et valable pour toutes
les transformations qui peuvent s’écrire à l’aide d’opérateurs.

En fait, l’idée de voir un opérateur comme le « générateur » d’un système dynamique s’applique aussi à la lumière et à mes molécules quantiques, via la fameuse équation de Schrödinger ; mais arrêtons-là, à force de côtoyer l’au-delà, on va finir par y prendre goût !

Bon, cette fois-ci, l’histoire est terminée... quoique, avec les maths, quand on commence à creuser, on peut être certain de faire surgir de nouveaux trésors. À l’aide d’un peu d’imagination, cette idée simple se métamorphose en un problème particulièrement mystérieux. Ainsi, le mathématicien V. Arnold [10] avait imaginé faire cette transformation $A$ sur
un tore : c’est-à-dire qu’il part d’un carré de côté 1, et après la
transformation, tous les points qui sortent d’un côté du carré, il les
fait rentrer du côté opposé (comme dans le jeu PacMan). Ce
simple modèle permet d’illustrer la théorie du chaos... mais
c’est une autre histoire !

PNG - 66.1 ko
Le chat d’Arnold
Partant d’une image de chat, on lui applique la transformation donnée par la matrice $A$, puis on « replie » pour rester dans le carré.
Post-scriptum :

Je remercie chaleureusement les pré-lecteurs qui ont bien voulu me faire part de leurs remarques : Alexandre Boritchev, Shalom Eliahou, Luc Hillairet, Phénakistiscope et Patrick Popescu-Pampu. Un grand merci à Marc Joyeux pour ses spectres de molécules.

Notes

[1voir ici

[21THz = un térahertz, soit $10^{12}$ oscillations par seconde.

[3La séparation entre deux couleurs qui se touchent dans la gamme des fréquences est arbitraire. Par exemple, en vietnamien, toute la gamme du vert au bleu est considérée comme une seule couleur (xanh) !

[4les cellules ciliées dans l’oreille interne jouent un rôle important dans la traduction des oscillations en fréquences.

[5Merci Boby

[6J’aime
beaucoup praat, mais un
logiciel plus standard comme
audacity marchera très bien
aussi.

[7Oui, apparemment, il faut que j’accorde un
peu ma guitare.

[8Un exemple sophistiqué de dimension finie dans l’infiniment petit : le spin est une caractéristique d’une particule quantique (comme un électron) qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs : son opérateur est bien une matrice ! Et si vous saviez comme les physiciens s’y intéressent en ce moment... car c’est une des clefs pour construire des « ordinateurs quantiques ».

[9Une copie fidèle serait plutôt obtenue
avec la transformation identité correspondant à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $.

[10Vladimir I. Arnold ; A. Avez (1967). Problèmes Ergodiques de la Mécanique Classique. Gauthier-Villars, Paris

Commentaire sur l'article

  • Spectre

    le 4 novembre 2013 à 08:47, par Aurélien Djament

    Il est vrai que le terme spectre inspire beaucoup les mathématiciens : outre le sens évoqué dans cet article, les spectres des géomètres algébristes ou de l’homotopie stable peuvent s’avérer tout aussi inquiétants de prime abord ! Cela dit, quel que soit le contexte, j’ignore la raison exacte de l’introduction de cette terminologie par nos prédécesseurs, peut-être certains contributeurs ou lecteurs d’IdM pourront-ils nous éclairer dans ces ténèbres fantomatiques ?
    Merci d’avance !

    Bien cordialement,

    AD.

    Répondre à ce message
    • Spectre

      le 4 novembre 2013 à 20:17, par Nils Berglund

      D’après ce que j’ai pu glaner sur la toile, le lien avec les fantômes vient de la signification apparition pour spectrum en latin. L’arc-en-ciel est une apparition optique, au même titre que les halos et les parhélies. La décomposition en arc-en-ciel de la lumière blanche dans un prisme aura donné d’une part le lien avec les valeurs propres d’opérateurs linéaires, et d’autre part la notion de continuum de possibilités (« cette personne a un spectre large »). J’imagine que les autres usages mathématiques sont postérieurs aux valeurs propres, mais je peux me tromper.

      Répondre à ce message
    • Sur les origines de « Spectre »

      le 5 novembre 2013 à 22:38, par Patrick Popescu-Pampu

      Parfois on lit que c’est Newton qui a introduit le terme Spectrum en sciences dans son « Opticks ». En tout cas, on le trouve très présent dans cet ouvrage, comme on peut le voir en faisant une recherche sur le pdf, accessible ici.
      Mais je n’ai pas trouvé d’endroit où Newton motive son choix. Y en aurait-il dans des lettres ? Il faudrait poser la question à de fins connaisseurs de l’histoire de ces chapitres de la physique ... Enfin, est-ce bien Newton qui l’utilisa de cette manière, ou bien en parlait-on déjà au sujet de la réalité fantomatique de l’arc-en-ciel ?

      Répondre à ce message
    • Spectre

      le 6 novembre 2013 à 10:13, par San Vũ Ngọc

      il semble que l’origine du spectre se perde dans la nuit des temps... quoi de plus naturel ! ;)

      Après quelques recherches, le mot « spectre » en français est attesté par le CNRTL dès 1524 dans le sens d’« apparition », et en 1586 la définition qu’on en donne est « Spectre est une imagination d’une substance sans corps qui se presente sensiblement aux hommes contre l’ordre de nature, et leur donne frayeur ».

      Ceci dit, on s’approche davantage de l’origine du mot latin « spectrum » avec Cicéron, qui a l’air de dire que les latins auraient inventé ce mot pour traduite le « eidolon » (idole) grec : cf. Lettres de Cicéron à Cassius, DXXII, an 708, qu’on peut lire sur google books :

      « ...car vous ne devez pas ignorer que ce que le vieillard de Gargette appelait des idoles, à l’exemple de Démocrite, Catius, épicurien mort depuis peu, le nomme des spectres. »

      La suite est assez amusante car il dit que si le spectre de son correspondant pouvait lui apparaître, ça serait plus pratique que de lui écrire ! (ce qui va très bien avec mon article ;) )

      Le Gaffiot traduit « spectrum » en « spectres, simulacres émis les objets ».

      Quant à la question de Patrick, si Newton est le premier à utiliser « spectrum » pour la lumière, je ne sais pas ! c’est ce que prétend wikipedia en tous cas (qui prétend aussi que c’est bien Newton qui a le premier compris la décomposition de la lumière).

      Répondre à ce message
      • Spectre

        le 6 novembre 2013 à 10:57, par San Vũ Ngọc

        d’ailleurs je viens de voir que dans la traduction de 1747 des lettres de Cicéron, le traducteur (M. l’Abbé Prévost) ajoute la note :

        « Les Épicuriens croyaient que pour penser à quelque chose, il fallait que le spectre ou la forme de cette chose vint se présenter à l’esprit. »

        Des précurseurs (de la mécanique quantique), ces épicuriens !

        Répondre à ce message
  • Spectre

    le 5 novembre 2013 à 20:18, par Mateo_13

    Je n’ai pas de réponse à l’origine du mot « Spectre » en mathématiques, mais je connais un professeur de collège qui appelle « Spectre d’un nombre » sa décomposition en produit de facteurs premiers. Sans doute en référence au mot « Décomposition ».

    Ce professeur a par ailleurs écrit un livre de construction axiomatique de la géométrie de collège : http://www.mathemagique.com

    Amicalement,
    — 
    Mateo.

    Répondre à ce message
  • Spectre

    le 6 novembre 2013 à 19:04, par denise

    Bonjour,

    Merci pour cet article, très pédagogique.

    Une question de naïve : il est toujours question de sommes d’ondes élémentaires ; pourriez-vous m’indiquer ce qu’il en est si on considère des produits d’ondes sinusoïdales plutôt que des sommes.

    Y a-t-il aussi un opérateur, un spectre, etc, ou bien ceci ne « marche t-il » que dans le cas de sommes d’ondes ?

    Cordialement,

    Denise Chemla

    Répondre à ce message
    • Spectre

      le 6 novembre 2013 à 21:15, par San Vũ Ngọc

      la réponse simple c’est : non, ça ne marche pas avec les multiplications. En fait, la structure d’espace vectoriel est fondamentale : il faut voir les « ondes » comme des vecteurs, donc on ne peut que les ajouter, ou multiplier par un nombre. Pour un physicien, c’est le « principe de superposition ». Et les « ondes pures » forment une « base » de l’espace.

      les réponses compliquées :

      * oui, on peut multiplier des sinus, ça fait des sommes de sinus grâce aux formules trigonométriques. On peut expliquer ainsi les phénomènes de « battements » lorsqu’on joue ensemble deux notes avec des fréquences très proches. Mais on s’éloigne de la théorie du spectre.

      * si on multiplie deux signaux puis qu’on intègre le résultat, on obtient un nombre : le produit scalaire des signaux. Pour deux ondes pures différentes, ça fait zéro !
      Et ça, ça fait partie intégrante de la théorie « spectrale »...

      Répondre à ce message
  • Spectre

    le 6 novembre 2013 à 21:52, par denise

    Merci de votre réponse.

    Vous pouvez voir ici quelle est l’idée que j’avais derrière la tête en vous interrogeant à propos de ces produits de sinus.

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,817579,817599#msg-817599

    Je ne me rappelle même plus comment on intègre donc c’est encore trop compliqué pour moi...

    Cordialement,

    Denise Chemla

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM