Spin et anomalies topologiques

Piste noire 4 juillet 2013  - Ecrit par  Julien Marché Voir les commentaires (7)

Au début des années 1920, en pleine effervescence liée au développement de la jeune mécanique quantique, a été découverte une propriété étonnante de la matière : le spin.
Cette propriété - plutôt abstraite - a été introduite par Samuel Goudsmit et George Uhlenbeck en 1925 pour comprendre les propriétés spectrales de la matière (rayonnement émis et absorbé) comme l’effet Zeeman anomal, la structure hyperfine de l’atome d’hydrogène, ou encore l’expérience de Stern et Gerlach. On y reviendra dans cet article.

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De gauche à droite, George Uhlenbeck, Hendrik Kramers et Samuel Goudsmit.

Très intuitivement, le spin représente la rotation d’une particule sur elle-même dans une certaine direction ce qui modifie son interaction avec le champ électromagnétique extérieur, par exemple, le type de radiation qu’elle absorbe et émet.

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Le physicien Wolfgang Pauli avait imaginé le futur modèle du spin en 1924 sans pouvoir [1] le relier à cette image de la particule en rotation sur elle-même. C’est trois ans plus tard qu’il a donné la description définitive du spin et son interprétation.

L’histoire de cette découverte est passionnante, mais ce n’est pas l’objet de cet article qui est plutôt d’expliquer cette modélisation d’une façon élémentaire, en partant du jeu de pile ou face.

Le terme « anomalie » donné au spin est bien mérité, une particule qui a fait un tour complet sur elle-même n’est pas revenue à son état initial mais l’aura rejoint après deux tours !
Bien que ce ne soit qu’une analogie, une bonne façon d’y penser est d’imaginer une fourmi se déplaçant le long d’une bande de Möbius : après un tour, elle revient au point de départ mais pas tout à fait puisqu’elle a la tête en bas. Après deux tours, elle revient vraiment au point de départ. [2]

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Ruban de Möbius d’après Escher.

Ce mystère et ses nombreuses variantes sont très étudiés par les mathématiciens qui s’intéressent à la théorie quantique des champs. C’est ce que l’on appelle anomalie topologique.

Modélisation

Prenons une pièce de monnaie et lançons là sur la table. Si la pièce est normale, les deux résultats possibles - pile ou face - ont la même probabilité c’est-à-dire qu’on n’a pas plus de chance de gagner en pariant sur l’un que sur l’autre. Si ce n’est pas le cas, c’est que la pièce est truquée, par exemple si un côté est plus lourd que l’autre.

On modélise mathématiquement ceci en attribuant à chaque résultat ici pile ou face un nombre entre 0 et 1. Notons les $p_{pile}$ et $p_{face}$ : dans le cas habituel, on a $p_{pile}=p_{face}=1/2$. La relation entre ces nombres et le jeu réside par exemple dans la loi des grands nombres. Lançons un très grand nombre de fois (noté $N$) la pièce et notons $N_{pile}$ le nombre de fois que la pièce tombe sur pile et $N_{face}$ le nombre de fois que la pièce tombe sur face. Alors, les quantités $\frac{N_{pile}}{N}$ et $\frac{N_{face}}{N}$ sont d’autant plus proches de $p_{pile}$ et $p_{face}$ que $N$ est grand. Notons au passage que $N_{pile}+N_{face}=N$ et que donc $p_{pile}+p_{face}=1$.
Autrement dit, $p_{pile}$ et $p_{face}$ représentent la répartition statistique du nombre de fois que la pièce tombe sur pile ou face.

Si par exemple $p_{pile}=0$ et $p_{face}=1$, la pièce tombera sur face à chaque lancer. Si $p_{pile}=\frac{1}{3}$, elle tombera sur pile en moyenne une fois sur trois.

Nous allons modéliser une particule de spin $\frac{1}{2}$ [3]
en complétant le modèle de la pièce. En plus de $p_{pile}$ et $p_{face}$, on se donne deux angles quelconques $a_{pile}$ et $a_{face}$. Une bonne façon de se représenter ces données est d’introduire deux nombres complexes, qu’on assimilera dans cet article à des points du plan notés $z_{pile}$ et $z_{face}$ et représentés en vert et rouge dans l’animation.
L’angle $a_{pile}$ est l’angle entre le segment $Oz_{pile}$ et l’axe des $x$ tandis que $p_{pile}$ est le carré de la distance entre $O$ et $z_{pile}$ (de même pour $z_{face}$).

Comme on a $p_{pile}+p_{face}=1$, on a nécessairement $Oz_{pile}^2+Oz_{face}^2=1$. L’animation montre quelques valeurs possibles pour $z_{pile}$ et $z_{face}$.

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On passe successivement par des situations très différentes : au début, $z_{pile}$ est à l’origine donc $p_{pile}=0$ et $p_{face}=1$. A deux reprises, les deux points sont au contraire confondus. On a alors nécessairement $p_{pile}=p_{face}=1/2$ : c’est le jeu de pile ou face normal.

Est-ce que chacune des positions des points verts et rouges représente un modèle différent ? Ne peut-on pas simplifier le modèle en ne considérant que les quantités $p_{pile}$ et $p_{face}$ ? On ne peut le savoir qu’en réalisant une expérience ; faisons alors deux remarques élémentaires mais fondamentales.

  • l’expérience de la pièce de monnaie ne peut-être réalisée qu’en présence d’un expérimentateur (le lanceur), la force de gravité et une table.
  • ce qui nous intéresse, c’est d’expliquer tous les résultats possibles d’un ou plusieurs lancers, ainsi que leur fréquence statistique. En particulier, peu importe si la pièce est en bronze ou en nickel, en euros ou en dollars.

Ces remarques nous aident à ne pas nous fourvoyer dans ce qu’on peut comprendre au sujet d’une particule élémentaire :

  • si on ne manipule pas la particule (un physicien dirait observer), on ne peut rien en dire.
  • on ne sait pas ce qu’est une particule, on sait seulement expliquer certaines expériences qui la mettent en jeu. Si on pense au jeu de pile ou face, on ne retient de toute la mise en scène du lancer que les deux nombres $p_{pile}$ et $p_{face}$ ; de là à imaginer qu’il s’agit de la nature physique de la pièce, il y a un pas qu’on aurait du mal à franchir. C’est certainement l’aspect le plus fascinant et révoltant à la fois de la physique des particules : elles n’appartiennent pas directement au monde sensible et les mathématiques deviennent l’unique langage permettant de les décrire.

Une particularité du modèle est qu’il évolue au cours du temps, et même très vite. En effet, l’équation de Schrödinger (version simple) stipule que les points $z_{pile}$ et $z_{face}$ tournent tous les deux simultanément autour de l’origine à raison de $\frac{E}{\hbar}$ tours par seconde. Ici, $\hbar$ est la constante de Planck et $E$ l’énergie de la particule. En particulier, lors de cette rotation, les points $z_{pile}$ et $z_{face}$ restent à la même distance de l’origine et donc les probabilités $p_{pile}$ et $p_{face}$ sont inchangées : on peut se demander si cette rotation change vraiment quelque chose...

Mesure du spin

Pour le savoir, venons-en à l’expérience : comment « jeter la particule sur la table » ? Comme pour la pièce de monnaie, on agit par l’intermédiaire d’une force extérieure : la gravité étant négligeable à l’échelle microscopique, on lui préfère un champ magnétique appliqué par exemple à l’aide du dispositif de Stern et Gerlach représenté ci-dessous.

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On fait donc passer un faisceau de particules - ici des atomes d’argent - à travers un aimant présentant une pointe.
Le résultat de l’opération est que la particule est déviée soit vers le haut (pile) soit vers le bas (face), on peut donc commencer les paris.

Première expérience, mettons bout à bout deux appareils de mesure de telle sorte que seulement une particule qui a été déviée vers le haut par le premier appareil passe par le second.

Résultat : elle sera à nouveau déviée vers le haut.

En terme de pièce de monnaie, refaire passer dans la machine revient à ne rien faire du tout. Il faut imaginer que les particules sont comme des pièces de monnaie en suspension. Passer dans la machine revient à les « aplatir ». Une fois aplatie, la pièce reste dans sa position pile ou face.

Peut importe par quel procédé cela a pu arriver, l’important est de s’accorder sur la chose suivante. Une fois que la pièce est tombée sur pile (disons), on peut l’assimiler à une pièce qui vérifie $p_{pile}=1$ et $p_{face}=0$.

Pour notre particule, c’est la même chose, mais à condition de tenir compte des nombres complexes $z_{pile}$ et $z_{face}$. Si la particule est déviée vers le haut (pile), alors $z_{face}$ devient confondu avec l’origine tandis que $z_{pile}$ est mis à distance 1 de l’origine sans changer son angle. Si la particule est déviée vers le bas, on applique la même règle avec $z_{face}$.

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Dans la figure ci-dessus, $p_{pile}=1/3$ et $p_{face}=2/3$. En effet, la distance entre l’origine et le point vert est $\frac{1}{\sqrt{3}}$ tandis que celle entre l’origine et le point rouge est $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
Suivant notre interprétation, avec une chance sur trois, la particule sera déviée vers le haut et représentée par la figure en haut à droite, avec deux chances sur trois elle sera déviée vers le bas et représentée par la figure en bas à droite.

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Ici, l’analogie entre la pièce de monnaie et la particule semble s’essouffler : relancer la pièce n’a pas vraiment de pendant microscopique. On va pourtant voir qu’il y a une opération comparable qui réside dans le fait qu’on peut facilement changer le sens du champ magnétique en tournant l’aimant.
Si on cherche une analogie avec la pièce de monnaie, on peut imaginer ce qui se passe si on met une pièce dans une boîte carrée que l’on fait tourner comme sur la figure.

Lois de transformation

Que se passe-t-il donc si on fait passer la particule dans un appareil que l’on a tourné ? Pour répondre à cette question, encore faut-il bien préciser comment on le tourne... cela devrait être clair dans les animations suivantes :

Règle 1 : si on tourne l’appareil d’un angle quelconque dans le plan de la table alors le nombre $z_{pile}$ est tourné de l’angle moitié tandis que le nombre $z_{face}$ est tourné de l’angle moitié dans l’autre sens.

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Du point de vue de l’expérience, rien n’a changé. La particule est toujours déviée vers le haut ou vers le bas avec la même probabilité, mais voyons la règle suivante.

Règle 2 : Tournons l’appareil le long de son axe suivant un certain angle : considérons l’ellipse de centre $O$ passant par $z_{pile}$, $z_{face}$ et leurs opposés par rapport à l’origine. Le nouveau $z_{pile}$ s’est déplacé le long de l’ellipse de l’angle moitié tandis que $z_{face}$ a tourné de l’angle moitié opposé.

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Règle 3 : Si on tourne l’appareil suivant le troisième axe, le même genre de règle s’applique mais encore un petit peu plus compliqué : contentons-nous de l’animation :

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Dans cette dernière animation, on dirait que la règle qui veut $Oz_{pile}^2+Oz_{face}^2=1$ semble violée mais ce n’est pas le cas, quand un des points s’approche de l’origine, le carré de sa distance devient très petit et l’autre point semble confondu avec le cercle alors qu’il n’en est rien.

Ces règles peuvent sembler arbitraires : elles sont au contraire très cohérentes mathématiquement, on peut comprendre l’effet de n’importe quelle rotation à partir de celles décrites ici en les appliquant successivement.

Supposons par exemple qu’on a tourné l’appareil d’un angle de 90° le long de son axe et que la particule est déjà passée par l’appareil dans sa position initiale. Cette situation est représentée dans la figure orange ci-dessous.

Quelle que soit la façon dont la particule est décrite à l’origine, après le premier passage, si elle a été déviée vers le haut, son paramètre $z_{face}$ sera à l’origine tandis que $z_{pile}$ pourra se situer n’importe où sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1.
L’ellipse dont parle la règle deuxième est complètement aplatie : elle n’est plus qu’un segment joignant $z_{pile}$ à son opposé. Si on fait « tourner » $z_{pile}$ et $z_{face}$ le long de ce segment d’un angle de 45°, ils deviennent confondus au milieu du segment $Oz_{pile}$.

Que se passe-t-il donc ? la particule va être déviée dans une direction ou l’autre avec la même probabilité : autrement dit, tout se passe comme si on avait relancé la pièce !

Si on avait tourné l’appareil de 180°, $z_{pile}$ et $z_{face}$ seraient simplement échangés, autrement dit, la particule serait nécessairement déviée vers le bas : rien de très étonnant puisqu’ayant retourné l’appareil, on a échangé le haut et le bas !
Pour expérimenter ces phénomènes, rien de mieux que manipuler soi-même des appareils de Stern et Gerlach, ce que nous permet cette application web.
Expérience de Stern et Gerlach
Voici une capture d’écran de cette application : choisissez « number of magnets=2 », et appuyez sur « autofire ». Un canon lancera des spins à travers deux Stern-Gerlach mis bout à bout. Grâce aux deux molettes, vous pouvez changer l’orientation des deux appareils et mesurer la probabilité qu’une particule soit déviée vers le haut ou vers le bas.

Polarisation

Si ces lois peuvent sembler très curieuses, elles sont pourtant similaires à une propriété remarquable de la lumière, la polarisation.
Sans rentrer dans les détails de cette théorie, rappelons que la lumière est une onde électromagnétique qui se déplace (en première approximation) en ligne droite.
Le champ électrique pointe dans un plan orthogonal à la direction de propagation et oscille dans ce plan à peu près comme un pendule (sphérique) au bout d’une ficelle. Faire passer la lumière à travers un verre polarisant revient à forcer le pendule à osciller dans une direction déterminée : en particulier, si le pendule oscillait au préalable dans une direction orthogonale à celle du verre polarisant, la lumière serait alors arrêtée tandis que si elle oscillait dans la même direction, elle serait intégralement transmise.
Si on y pense, c’est exactement comme si la lumière était formée de particules (des photons) qui passaient à travers un appareil de Stern et Gerlach à la différence près que les photons déviés dans une direction donnée (vers le bas) sont arrêtés.

Ceci est plus qu’une analogie : c’est un grand principe de la mécanique quantique : la dualité onde-corpuscule. Toute particule se comporte à la fois comme une onde (la lumière) et un corpuscule (le photon) : la polarisation est la manifestation ondulatoire du spin du photon [4].

Un mystère mathématique

Tout de même, on est en droit de se demander ce que signifient ces deux points $z_{pile}$ et $z_{face}$, si ce n’est physiquement du moins géométriquement. Comment peut-on décrire une particule vivant dans un espace à trois dimensions par deux points du plan ?
Une part du mystère disparaît quand on remarque que cette description n’a rien d’absolu : ces nombres complexes dépendent de la position de l’appareil de mesure dans l’espace. Géométriquement, ils sont déterminés par un repère cartésien. Ils ne sont donc pas plus absolus que la vitesse d’un solide dans un référentiel galiléen.

L’intuition voudrait pourtant qu’ils décrivent une direction dans l’espace, comme si une particule était une toupie microscopique qui tournait autour d’un axe. C’est bien le cas d’une certaine manière mais pour le comprendre, on ne peut pas échapper à un passage dans la quatrième dimension [5].

On va voir qu’on peut associer aux deux nombres complexes $z_{pile}$ et $z_{face}$ une direction dans l’espace de manière à ce qu’elle ne change pas quand on fait tourner simultanément $z_{pile}$ et $z_{face}$ autour de l’origine et de telle sorte que si on fait tourner l’appareil de mesure, la direction associée aux nouvelles valeurs de $z_{pile}$ et $z_{face}$ ait tourné de la même façon.

Solution :

  • Si $z_{face}$ est confondu avec l’origine, la direction est « vers le haut »
  • Si $z_{pile}$ est confondu avec l’origine, la direction est « vers le bas »
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  • En général, on peut représenter la direction du spin à l’aide de deux angles (dits d’Euler) $\theta$ et $\phi$, comme sur la figure. Ils correspondent à la latitude et la longitude sur le globe terrestre.

L’angle $\phi$ est simplement l’angle entre les vecteurs $Oz_{pile}$ et $Oz_{face}$ tandis que l’angle $\theta$ est le double de l’angle formé par un triangle rectangle dont les côtés adjacents ont les mêmes longueurs que $Oz_{pile}$ et $Oz_{face}$ comme ci-dessous.

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Le problème semble résolu mais il ne faut pas s’y tromper : il ne suffit pas de connaître cette direction pour connaître un état de spin, il faut vraiment connaître les nombres $z_{pile}$ et $z_{face}$ mais de cela on ne peut se convaincre que si on fait d’autres expériences que celle qui est décrite ici.

Dévoilons le plus grand mystère de cette affaire : que se passe-t-il si on fait un tour complet avec l’appareil ? Quelle que soit la direction autour de laquelle on fait un tour complet, les nombres $z_{pile}$ et $z_{face}$ ont été changés par leurs opposés par rapport à l’origine : c’est-à-dire que le spin n’est pas tout à fait le même quand il a fait un tour sur lui-même, mais deux tours, oui !

Voilà un problème qui demande un grand effort pour être résolu et qu’on retrouve dans beaucoup de branches des mathématiques comme la topologie, la géométrie différentielle et la théorie des groupes. Donnons un aperçu des applications de la notion de spin.

A quoi ça sert

Comme on l’a dit dans l’introduction, le spin a été introduit comme la seule façon raisonnable d’interpréter certains phénomènes physiques comme l’effet Zeeman anomal (décalage des raies spectrales en présence d’un champ magnétique). Il a été retrouvé par Dirac en 1928 comme un élément indispensable pour réconcilier la mécanique quantique et la théorie de la relativité.
Depuis, bien des choses ont été découvertes en prenant modèle sur le spin : prenez un dé à 3 faces coloriées en bleu, rouge et vert et transformez-le en objet quantique comme dans cet article, vous tenez un quark !

Parlons à peine des applications concrètes tellement le sujet est vaste : le spin est utilisé comme principe de base pour l’imagerie médicale (résonnance magnétique nucléaire). Plus avant-gardiste encore, les physiciens-informaticiens rêvent de pouvoir manipuler les spins de manière individuelle : ils ont conçu ainsi le principe d’un ordinateur quantique ou chaque « bit » d’information serait remplacé par un état de spin, nommé q-bit. Cette machine hypothétique calculerait infiniment plus vite que nos machines actuelles !

Pour aller plus loin

Pour finir sur une note mathématique, revenons sur le paradoxe de l’état qui est changé en son opposé quand on fait un tour complet. Les mathématiciens résolvent ce problème en ajoutant à l’espace ambiant tridimensionnel la notion de « structure spinorielle ». Un modèle raisonnable de l’univers devrait être un espace-temps (de dimension 4) auquel on a ajouté cette structure spin. Est-ce que cette propriété impose une restriction parmi les modèles possibles de l’univers ?

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Deux mathématiciens-physiciens contemporains ont considérablement développé ces interactions entre théorie quantique des champs et topologie : il s’agit de Michael Atiyah et Edward Witten [6]. Difficile d’aborder leur œuvre sans un solide bagage mathématique mais le jeu en vaut la chandelle !

Post-scriptum :

L’auteur tient à remercier chaleureusement toutes les personnes impliquées dans le travail de relecture de ce texte, notamment Laurent Charles, Serge Cantat, Olivier Reboux, Jacques Lafontaine, Nathanael Jeune et Mélanie Guenais.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1et sans doute sans le vouloir, on lira à ce sujet la conférence iconoclaste donnée par Goudsmit en 1971 au sujet de sa propre découverte.

[2Une explication plus réaliste mais imprécise est la suivante : déplacer la particule revient à la faire tourner sur elle-même d’un certain angle autour d’un axe. On ne peut déterminer l’angle que si on a orienté l’axe et l’état du spin dépend de cette détermination.

[3le spin peut prendre toute valeur demi-entière, on se contentera dans cet article de la valeur $\frac{1}{2}$

[4qui est une particule de spin 1 contrairement à l’électron qui a un spin 1/2, cf par exemple le cours de Mécanique quantique de Feynman

[5Voir par exemple la fibration de Hopf, décrite dans le DVD mathématique Dimensions

[6Une référence bien que difficile est le livre Knots and Physics de M. Atiyah

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Pour citer cet article :

Julien Marché — «Spin et anomalies topologiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Commentaire sur l'article

  • Spin et anomalies topologiques

    le 4 juillet 2013 à 10:39, par B !gre

    C’est assez habituel de rencontrer ce genre d’affirmations, mais c’est un peu décevant de la trouver sur Images de maths, qui est d’habitude assez rigoureux : il est faux de dire qu’un ordinateur quantique « calculerait infiniment plus vite que nos machines actuelles »¹, et cela reste faux en remplaçant « infiniment » par « exponentiellement ». En tout cas, ce n’est pas démontré pour « exponentiellement », et tout ce qui est démontré est « quadratiquement » (algorithme de Grover). Bien sûr, disposer d’ordinateurs quantiques serait sans aucun doute assez révolutionnaire, mais n’en rajoutons pas !

    ¹ Si tant est que cela veuille dire quelque chose...

    Répondre à ce message
  • Spin et anomalies topologiques

    le 4 juillet 2013 à 14:49, par Julien Marché

    Je n’ai pas développé cet aspect (dont je ne suis pas du tout spécialiste) mais il me semble que mon affirmation a bien un sens. Je précise donc : si pour résoudre un problème avec une donnée n un ordinateur classique met un temps a(n) et un ordinateur quantique met un temps b(n) alors je dis que l’ordinateur quantique calcule infiniment plus vite si le rapport a(n)/b(n) tend vers l’infini avec n. Ce que vous dites précise cette divergence.

    Répondre à ce message
    • Spin et anomalies topologiques

      le 8 juillet 2013 à 11:06, par B !gre

      Au temps pour moi, l’explication me convainc. Je crois que je suis un peu trop susceptible sur ce sujet sur lequel on n’entend pas uniquement des choses très justes...

      Répondre à ce message
  • Spin et anomalies topologiques

    le 6 juillet 2013 à 09:52, par hsolatges

    Bonjour. Merci pour cet article. Mais je n’ai pu en apprécier toute la saveur puisque je n’ai pas QuickTime (et que je n’en veux pas). Vous serait-il possible de vous rapprocher d’un format vidéo plus standard (webm, ogg ou mp4) ? Merci d’avance !

    Répondre à ce message
    • Spin et anomalies topologiques

      le 8 juillet 2013 à 15:27, par Jean-Paul Allouche

      Bonjour

      Si vous n’avez pas de lecteur de fichier .mov, vous pouvez enregistrer ce fichier, puis le convertir « online » par un convertisseur en ligne comme celui-ci.
      Il ne vous reste plus (éventuellement) qu’à effacer le fichier .mov devenu inutile.

      jpa

      Répondre à ce message
  • Spin et anomalies topologiques

    le 7 juillet 2013 à 13:21, par levangileselonsaintmatheux

    Bonjour.
    Vous avez Windows ? Si oui : Cliquez sur les vidéos pour les enregistrer. Dans la rubrique « téléchargements », faites un clic droit sur la vidéo que vous désirez regarder. Choisissez votre lecteur dans « Ouvrir avec ».
    Moi, je les ai regardées avec DiviX. Entre autres !

    Répondre à ce message
  • Spin et anomalies topologiques

    le 12 novembre 2014 à 12:12, par sebastien de roo

    Bonjour Julien :-)

    Article très intéressant, même si je t’ai perdu à la moitié de l’article, ça m’a rappelé de bons souvenirs de lycée...

    Bonne continuation !

    Répondre à ce message

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