Sur les nombreuses façons de réaliser physiquement l’égalité mathématique entre deux fonctions

Piste bleue Le 2 août 2017  - Ecrit par  Aboubakar Maitournam Voir les commentaires

L’égalité mathématique entre deux fonctions dans le cas où ces dernières modélisent des dispositifs physiques se focalise sur l’entrée et la sortie plutôt que sur les systèmes qui génèrent cette sortie. Par conséquent, il y a de nombreuses manières de réaliser physiquement l’égalité mathématique entre deux fonctions.

Par définition, une égalité mathématique est une relation entre deux objets mathématiques, qui peuvent être des nombres, des vecteurs, des matrices, des variables, des ensembles, ou d’autres objets encore, signifiant qu’ils seront interchangeables, qu’ils auront la même valeur, le même sens, le même contenu, le même rôle dans les calculs ou démonstrations mathématiques. On pourra se référer à l’article d’Etienne Ghys pour un aperçu sur les différentes facettes de la définition de l’égalité mathématique.

En particulier, l’égalité mathématique entre deux fonctions $f$ et $g$ notée $f = g$, signifie qu’en appliquant ces dernières à tout objet mathématique $x$ pour lequel elles sont définies, on obtiendra le même résultat (la même image) soit $f(x) = g(x)$.

Physiquement (en particulier électroniquement), les fonctions mathématiques peuvent modéliser des dispositifs ou boîtes noires ou capteurs, avec $x$ représentant l’information quantitative (signal, variable, input) analogique ou numérique  [1] fournie en entrée au système et $f(x)$ la sortie (output, résultat, image). Dans ce cas de figure, l’égalité entre deux fonctions $f$ et $g$ signifie que pour n’importe quelle entrée $x$ admissible, le système physique modélisé par la fonction $f$ donnera le même résultat que celui modélisé par la fonction $g$. Les deux systèmes modélisés respectivement par $f$ et $g$ peuvent pourtant être physiquement très différents. Ceci est illustré par l’exemple suivant de la relation entre trois grandeurs électriques analogiques à savoir une tension $U$ fonction d’une intensité $I$ via une résistance fixe $R$ soit $U=RI=f(I)$.

En effet, si on remplace la résistance $R$ par deux résistances $R_{1}$ et $R_{2}$ montées soit en parallèle auquel cas

\[ \frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\] soit \[R=\frac{R_{1} R_{2}}{ R_{1}+R_{2}} \]

ou par deux résistances $ R_{1}'$ et $ R_{2}'$ montées en série auquel cas

\[ R=R_{1}'+R_{2}', \]

on aura les deux dispositifs physiques (en parallèle et en série) qui seront techniquement différents du premier (utilisant $R$ seulement). Pourtant si on désigne par $g$ et $h$ les fonctions mathématiques modélisant respectivement les montages en parallèle et en série on aura $f=g$ et $f=h$.

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Figure 1 : Montages électriques équivalents, modélisés par les fonctions f, g et h.

De même, on peut remplacer $R$ par un nombre arbitrairement grand de résistances, obtenant ainsi un très grand nombre de montages équivalents.

Ces remarques relatives aux circuits électriques sont aussi observables dans le cas des circuits électroniques modélisés par les fonctions booléennes pour lesquelles les entrées sont numériques. Les fonctions dites booléennes ou logiques dérivant de l’algèbre de Boole, fournissent un autre exemple frappant de la multitude de façons de réaliser électroniquement l’égalité mathématique entre deux fonctions.

L’algèbre de Boole est une théorie mathématique clé pour l’électronique et l’informatique. Elle fut créée par George Boole au milieu du XIXe siècle pour chiffrer le calcul des propositions (phrases vraies ou bien fausses), en attribuant la valeur 1 à une proposition vraie et 0 à une proposition fausse. Ce qui permet littéralement d’additionner ou multiplier des phrases. Une algèbre de Boole est constituée :

  • d’un ensemble $B$ formé de deux éléments appelés variables booléennes : 0 et 1 correspondant respectivement à « Faux » et « Vrai » de la logique des propositions ou physiquement au fait que « le courant ne passe pas » ou que « le courant passe » ou à une « tension basse » ou une « tension haute »  ;
  • de deux opérations sur $B$ : $+$ (addition) et $\bullet $ (multiplication) correspondant respectivement aux « Ou » et « Et » logiques, et d’une opération $x\mapsto\overline{x}$ appelée complémentation ou inversion correspondant à la négation logique. Cette dernière transforme donc le 1 (Vrai) en 0 (Faux) et inversement.

Les axiomes de l’algèbre de Boole

Comme toute science déductive, l’algèbre de Boole est basée sur un certain de nombres de postulats ou axiomes qui sont :

  •  $0 \bullet 0 = 0$ (Faux et Faux donne Faux)
  •  $0 \bullet 1 = 1 \bullet 0 = 0$ (Faux et Vrai donne Faux). Par exemple « Tout homme est mortel et tout homme est immortel » est une proposition « multipliant » vrai ($1$) par faux ($0$) donc est fausse et aura la valeur $0$. 

  • $1 \bullet 1 = 1$ (Vrai et Vrai donne Vrai)

  • $ \overline{0}=1$ (La négation du Faux donne Vrai)
  • $1+1=1$ (Vrai ou Vrai donne Vrai). Par exemple « Tout homme est mortel ou tout homme a un âge limite » est une proposition « additionnant » vrai ($1$) plus vrai ($1$) donc est vraie et aura la valeur $1$.
  • $1+0 = 0+1 = 1$ (Vrai ou Faux donne Vrai) [2].
  • $ 0+0 = 0$ (Faux ou Faux donne Faux).
  • $ \overline{1}=0$ (La négation du Vrai donne Faux)

Les théorèmes de base de l’algèbre de Boole déduits à partir de ces axiomes, sont utilisés pour simplifier les fonctions booléennes.

On appelle alors fonction booléenne une fonction qui prend en entrée une ou plusieurs variables booléennes et retourne en sortie une ou plusieurs variables booléennes. Les fonctions booléennes sont utilisées en électronique sous forme de portes logiques construites à partir de plusieurs transistors reliés entre eux. Les portes logiques élémentaires sont les portes « et », « ou » et « non » correspondant respectivement à la multiplication, l’addition et la négation ou inversion ou complémentation booléennes (voir la figure 2 et les tables de vérité ci-dessous) . Elles sont utilisées pour le contrôle électronique ou la conception optimale (modélisation et simplification) des circuits électroniques. Ceci depuis que Claude Shannon l’auteur de la théorie mathématique de l’information (dont on a fêté en 2016 le centenaire) montra en 1938 que les circuits électriques à relais sont décrits par des fonctions booléennes.
Deux fonctions booléennes sont alors égales (on dit aussi équivalentes) si elles possèdent la même table de vérité [3] donc si et seulement si les circuits correspondants pour les mêmes entrées donnent les mêmes sorties. Du coup deux montages électroniques peuvent être fonctionnellement égaux mais techniquement différents (l’un utilisera plus de composants que l’autre).

Par exemple les fonctions booléennes

\[f(a,b)=a \bullet b+a \bullet \overline{b}+ \overline{a} \bullet b\] et \[g(a,b)=a+b\] sont égales [4]. Pourtant $g$ est visuellement, visiblement et techniquement plus simple que $f$. En effet algébriquement et visuellement pour obtenir $f(a,b)$, il faut effectuer trois multiplications, deux inversions et deux additions alors que l’obtention de $g(a,b)$ ne requiert qu’une addition.

Par conséquent, techniquement le dispositif modélisé par $g$ utilisera uniquement la porte symbolique de l’addition tandis que celui modélisé par $f$ utilisera sept portes logiques symboliques (2 pour l’inversion, 3 pour la multiplication et 2 pour l’addition, voir la figure 3 ci-dessous). Électroniquement parlant, le dispositif modélisé par $g$ utilisera moins de transistors que celui modélisé par $f$.

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Figure 2 : De gauche à droite, portes logiques représentant respectivement l’inversion (négation, « non » logique), la multiplication (« et » logique) et l’addition (« ou » logique).

|a |$\overline{a}$|
|0| 1 |
|1| 0 |

Table de vérité de l’inversion

|a| b| $a \bullet b$|
|0| 0 | 0|
|0| 1 | 0 |
|1| 0 | 0 |
|1| 1 | 1 |

Table de vérité de la multiplication booléenne

|a| b|a+b|
|0| 0 | 0|
|0| 1 | 1 |
|1| 0 | 1 |
|1| 1 | 1 |

Table de vérité de l’addition booléenne

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Figure 3 : Représentations symboliques des fonctions booléennes 
$f(a,b)=a \bullet b+a \bullet \overline{b}+\overline{a} \bullet b$ et $g(a,b)=a+b$.

En définitive, l’égalité mathématique entre deux fonctions se focalise physiquement (en particulier électroniquement) sur l’information fournie en entrée (variable) et la sortie (résultat) et non sur le système ou dispositif technique qui génère ce résultat. Il y a donc pratiquement un très grand nombre (théoriquement une infinité) de dispositifs physiques qui sont fonctionnellement égaux mais techniquement différents. Toutefois dès qu’on cherche un dispositif optimal (plus rapide ou moins coûteux, ou politiquement correct...) les solutions sont limitées à un nombre réduit de possibilités.

Post-scriptum :

L’auteur remercie le responsable et toute l’équipe du café des mathématiques, en particulier Patrick Popescu et Marie Lhuissier pour leurs suggestions pertinentes. Il remercie aussi les relecteurs Christian Néel, LALANNE, fluvial, B Igre, Arthur Milchior, et le CNRS qui à travers la revue Images Des Mathématiques (IDM) offre un espace inclusif d’expression scientifique transversale.

Article édité par Marie Lhuissier

Notes

[1 Une grandeur physique est analogique ou continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle. Elle est numérique ou discontinue ou discrète si elle ne peut prendre qu’un ensemble de valeurs isolées. En électronique numérique et en informatique, les grandeurs sont numériques car leurs valeurs sont représentées par des bits soit 0 ou 1.

[2Il faut noter ici que contrairement au langage courant où la conjonction de coordination « ou » est employée dans son sens exclusif comme par exemple dans la phrase : Nous irons au café « Vienna Kreiss » ou au cinéma (pas au café et au cinéma) ; en mathématiques, le mot « ou » est toujours utilisé dans son sens non exclusif. Ainsi dans la phrase précédente, mathématiquement on pourra aller soit au café « Vienna Kreiss », soit au cinéma, soit au café Vienna Kreiss et au cinéma. Par conséquent en mathématiques, la disjonction de deux propositions c’est-à-dire leur liaison au moyen du mot « ou » est tenue pour vraie lorsqu’au moins l’une d’elles est vraie (Tarski, 1971). Ainsi, le mathématicien se fie à la rigueur froide de la démonstration car la négation d’une phrase du type « vrai ou faux » serait une phrase du type « faux et vrai » qui est faux. Par conséquent puisque la négation d’une phrase du type « vrai ou faux » est fausse, une telle phrase est vraie. Ainsi pour un mathématicien, une proposition comme « tout homme est mortel ou tout homme est immortel » est parfaitement vraie.

[3 La table de vérité d’une fonction logique est un tableau énumérant les différentes valeurs possibles des entrées et leurs images (sorties) par la fonction booléenne. Pratiquement, on place les variables booléennes (entrées) dans les colonnes de gauche du tableau en les faisant varier de façon à couvrir l’ensemble des possibilités. La colonne la plus à droite donne les valeurs prises par la fonction (sorties) pour les différentes combinaisons des valeurs d’entrée.

[4Le lecteur pourra s’en assurer en le vérifiant pour toutes les valeurs de $a$ et $b$ dans $\{0,1\}$.

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Pour citer cet article :

Aboubakar Maitournam — «Sur les nombreuses façons de réaliser physiquement l’égalité mathématique entre deux fonctions» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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