Sur les traces (géométriques) de grands carrés magiques

Des symétries, rien que des symétries !

Piste bleue Le 23 octobre 2020  - Ecrit par  Roland Coquard Voir les commentaires (5)

Comment, en s’appuyant sur un sens aigu de l’observation, des figures géométriques simples, les symétries planes classiques (axiale et centrale)… et un ordinateur rudimentaire, deux amis tout de même très éclairés ont réussi à mettre au point une méthode inédite de construction de très grands carrés magiques.
La géométrie est partout, même où on ne l’attendait pas !

Mais qu’ont donc de « magique », les curiosités arithmétiques que sont ces carrés ?

Tout d’abord, le carré lui-même, lié au nombre $4$ :

$4$ saisons, $4$ points cardinaux, sans compter que les mots DIEU, ALLH [1], YHWH n’ont que quatre lettres, le carré en lui-même est une figure hautement symbolique, l’un des $4$ symboles fondamentaux avec le centre, le cercle et la croix [2]. Le carré, symbole de l’accomplissement, s’oppose au mouvement du cercle, mais symbolise aussi le ciel et la Terre : nombre d’édifices religieux sont de forme carrée, les « cartes du ciel » jusqu’à la fin du XIXe siècle n’étaient pas rondes, mais carrées.

« Nombre de villes et de monuments sont bâtis sur un plan carré, à commencer par la Jérusalem Céleste du Livre de l’Apocalypse, et tels que la Cour carrée de la Mosquée du Prophète à Médine, la place publique d’Athènes, la base carrée de la Pyramide de Kukulcan à Chichèn Itza, le temple de Borobudur à Java ou celui du Ciel à Pékin, ou encore celui d’Angkor Vat au Cambodge. Les villes et les camps militaires romains sont implantés sur plan carré, divisé en quatre quartiers par les voies cardinales orthogonales. Alors que les camps et les tentes des peuples nomades, non sédentarisés, sont ronds. Des villes sur plan carré sont bâties au Moyen Âge : Ste Foy, Montpazier… »
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$kandaki.com

Ensuite, la disposition des nombres qui le composent :

Depuis l’an mil, les occultistes de tout poil, Astrologues, Kabbalistes (la Guematria, branche de la Kabbale, scrutait les textes écrits en grec et et en hébreu : les lettres y étant aussi des nombres, deux mots de même valeur numérique étaient considérés comme synonymes, ce qui ouvrait la porte à toutes les spéculations sur un supposé sens caché des textes sacrés), adeptes des différentes mancies, Alchimistes et leur pierre philosophale, prospéraient …
Et certains étaient capables de disposer, pour $n$ variant de $3$ à $10$, les $n^2$ premiers nombres entiers (zéro exclu) dans des carrés de côté n de façon que les sommes de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales valent toutes la valeur prédéterminée $n(n^2+1)/2$ (la «  constante  [3] du carré »).

Et même avant l’an mil… Un Enchiridion surprenant.

Vers 795, le pape Léon III, celui-là même qui couronna Charlemagne empereur, écrivit pour lui et lui offrit son Enchiridion leonis papae (Manuel du pape léon) [4]
dont des oraisons qu’il contenait pouvaient paraître peu en rapport avec sa charge : pour gagner au jeu, pour lever tous les sorts et enchantements, pour se faire aimer d’une personne etc.
Mais ledit enchiridion contient également - sans aucune explication – une table de $81$ nombres, qui se révèle être un carré magique normal de dimension $9$ [5], au mode de remplissage assez singulier…
Plus que surprenant, si on pense que le premier traité sur la construction de carrés magiques (en Europe,) est attribué au grec Manuel Moschopoulos (XIIIe-XIVe siècle).

Le profane ne pouvait que s’en montrer stupéfait, en éprouver sinon une forme de crainte, du moins de révérence respectueuse…
Et de là à y voir la mise en œuvre d’un savoir magique, caché, réservé à un petit nombre d’élus, il n’y avait qu’un pas, aisément franchi, tant l’être humain (à l’époque ?) avait besoin de merveilleux.

Un peu de dénombrement.

Il y a 35 ans, lorsqu’avec un ami, libraire de son état, nous avions commencé à nous intéresser aux carrés magiques avec les livres de Lucien Géradin [6], nous avions accepté sa définition : deux carrés magiques « normaux » sont dits différents s’ils ne se déduisent pas l’un de l’autre par rotation, permutation ou symétrie (un carré de dimension $n$ est dit « normal » lorsqu’il est composé des entiers de $1$ à $n^2$).

En foi de quoi nous avions considéré que le carré normal de dimension $3$ était unique.
Je n’ai plus ces ouvrages, 3 déménagements sont passés par là. Aujourd’hui, le seul site que j’ai pu trouver, évoquant l’unicité du carré de $3$ est celui de Gérard Villemin .
Mais ici sur le présent site, j’ai pu constater qu’aucun des éminents contributeurs que j’ai pu lire ne partage cette définition… Je salue au passage ces auteurs, leur savoir et la qualité de leur production grâce auxquels j’ai pu enrichir mes modestes connaissances et tout particulièrement Gautami Bhowmik (Les carrés magiques de Nārāyaṇa), OlivierDruet (Les carrés magiques de Dirichlet) et Andrés Navas (Des carrés magiques en cadeaux).

Sur les $20 922 789 888 000 880$ carrés normaux de dimension $4$ ($16!$ , n’est-ce pas ?), seuls $880$ (Lucien Gérardin dixit) forment des carrés magiques différents.

Les carrés magiques peuvent être répartis en 3 catégories selon leur type de dimension [7]

  • Les carrés de dimension multiple de $4$
  • Les carrés de dimension impaire
  • Les carrés de dimension double d’un nombre impair ($6$, $10$, $14$, $18$, $22$...)

Ne sera traité ici que le cas de carrés de cette dernière catégorie, à laquelle s’applique la méthode de construction déterminée de façon très empirique il y a environ 35 ans par un ami libraire passionné de carrés magiques sur un carré magique de dimension 6, le « carré du soleil ». Méthode que j’avais ensuite contribué à étendre à des carrés de plus grande dimension.

Contrairement aux méthodes classiques de construction à partir d’observations arithmétiques, l’originalité de cette méthode est de reposer exclusivement sur des déplacements géométriques simples de figures également simples… même si les déterminer a tout été sauf simple !
Vous trouverez ci-dessous les différentes étapes de la découverte – encore une fois très empirique – de cette méthode et de son extension à la création de carrés beaucoup plus grands et jamais construits jusque là.

Les carrés de dimension double d’un nombre impair

Cas particulier des carrés de dimension $6$.

$666$, pour certains, c’est le « chiffre » de la bête, du diable (Apocalypse selon Saint Jean, chapitre 13, verset 18) !

Certes, mais ici $666=\frac{(36\times 37)} {2}$, est la somme des nombres de $1$ à $36$ et $111 = 666/6$, celle - commune - des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales de ces tableaux de $6 \times 6$...
Rien de bien original pour l’instant…

Mais, bien que tous ces carrés magiques de dimension $6$ soient associés au soleil et à l’or, un seul (sous plusieurs présentations) est connu sous le nom de « Carré du soleil », celui-ci :

Le Roi-Soleil et le carré du même nom :

La médaille ci-dessous avait été offerte à Louis XIV, le « Roi Soleil », par le duc d’Aumont, capitaine de ses gardes [8].

Mais, et le lecteur attentif le découvrira aisément, ce carré n’est pas magique : les nombres $24$ et $34$ ont été intervertis...

Gaffe ou consigne expresse ? L’Astrologie revêtait toujours une importance considérable à l’époque : à la naissance du Roi, une médaille, avait été frappée, où le revers comportait, non notre carré, mais une représentation de sa « carte du ciel »...
Il est donc envisageable que le donneur d’ordre ait hésité à offrir à son Roi un talisman frappé du « nombre de la bête »...

Le Père Claude du Molinet, spécialiste de la numismatique, bibliothécaire de l’Abbaye Sainte-Geneviève de 1675 à 1687 (et créateur de son cabinet des curiosités), s’en était aperçu qui en donna en 1692 une reproduction rectifiée :

Pourquoi ce carré précisément ?

Partageons-le en quatre quadrants et intéressons-nous aux paires de nombres de somme $37$ :

  • Les nombres écrits en vert, situés sur les deux diagonales, sont symétriques par rapport au centre théorique du carré.
    (Ce sont les nombres qui, lors de la construction du carré magique à partir d’un carré « naturel » - carré numéroté de $1$ à $36$ depuis la case supérieure droite, en écrivant vers la gauche puis en descendant - n’ont pas été déplacés)
  • Les nombres écrits en bleu sont symétriques par rapport à l’axe de symétrie vertical du carré et, écrits en rouge, par rapport à l’axe de symétrie horizontal du carré.
  • $6$ paires de nombres « bleus » (une par ligne), six paires de nombres « rouges » (une par colonne) : la somme des 2 nombres de chaque paire est constamment 37 (on peut remarquer que $37\times3 =111$) .

Nous avons donc là une structure rayonnante autour du centre.

Exploitation des symétries des paires de nombres complémentaires à 37

Ce constat des symétries amena, considérant le « carré naturel de dimension $6$ », mon ami libraire à se demander s’il ne serait pas possible de trouver une suite logique de déplacements, s’appuyant sur ces symétries, pour aboutir au « Carré du soleil »...

Après de nombreux tâtonnements il apparut que oui, en utilisant uniquement des triangles isocèles isométriques (dont les sommets pointaient sur trois cases à déplacer) et des transformations très simples : deux symétries axiales et une symétrie centrale.

Sans plus tarder, voici, étape par étape, une construction purement géométrique du Carré du soleil (dans sa présentation avec le « $1$ » à gauche) :

Comment déterminer les nombres à déplacer ?

Utilisons le carré du soleil qui aura subi une symétrie d’axe vertical :

1. Tracer 2 carrés de $6\times6$ vides. Remplir l’un de façon naturelle, et l’autre avec les diagonales (elles resteront en place).

2. Tracer dans chaque carré de $3\times3$ (chaque quadrant) deux triangles isocèles comme on peut le voir sur l’image ci-dessous.

3. Déplacer les nombres marqués par les sommets des triangles selon le tableau ci-dessous
(les symétries axiale et centrale mentionnées sont par rapport aux axes correspondants du grand carré et à son centre) :

Du centre au barycentre

À ce stade, et à regarder ce carré magique et ces symétries, j’imaginais un plateau carré où seraient matérialisées 36 cases de même dimension, contenant chacune, parfaitement centrée, l’une des 36 masses de 1 à 36 g...

Et de me demander où serait situé le centre de gravité du plateau (et donc le barycentre desdites cases – pondérées selon la valeur qu’elles contenaient) ?
Après calcul, il apparut que le centre de gravité était le centre géométrique du carré !
(Et après vérification sur des carrés de dimension multiple de 4 – y compris pandiagonaux et « enchantés », donc bien plus que simplement magiques – et des carrés impairs pandiagonaux, il fut constaté non sans une certaine surprise, que pour eux, ce n’était pas le cas)

Pandiagonalité et enchantement

Carré magique pandiagonal (encore appelé « diabolique ») :

Cette propriété fait appel à la notion de diagonale « brisée » :

La constante de ce carré de $7$ est $\frac{7(49+1)}{2}=175$.
$3$ diagonales brisées sont matérialisées sur le dessin :

  • En rouge : $46+15+40+9+34+3+28 = 175$
  • En vert : $22+31+40+49+2+11+20 = 175$
  • En bleu : $5+23+48+17+42+11+29 = 175$

Vous pouvez le vérifier : toutes les sommes valent $175$

Carré magique « enchanté » (ou encore « Plus que Parfait ») :

Si un carré peut être diabolique, pourquoi ne pourrait-il pas être enchanté ?
Considérons le carré de $4$ suivant :

Quelle que soit la position d’un carré de $4$ nombres sur le carré de $4$, la somme de ces $4$ nombres est toujours la même.
Cette valeur, ou constante d’enchantement, se calcule ainsi :
la constante d’un carré de dimension $n$ est $\;\frac{n(n^2+1)}{2}$.

Sur $2$ lignes consécutives, combien de carrés de $2\times2$, adjacents, peut-on placer ?
Réponse : $\frac{n}{2}$ (cela exclut déjà les carrés de dimension impaire).
La somme des nombres de $2$ lignes consécutives vaut $2$ constantes du carré, soit $n(n^2+1)$.
Quelle est donc la somme des nombres contenus dans $1$ carré de $2\times2$, donc la constante d’enchantement ?

Réponse : $\frac{n(n^2+1)}{\frac{n}{2}}= \frac{2n(n^2+1)}{n}=2(n^2+1)$

Ici donc, avec $n = 4$ : $\quad 2(16+1)=34$

  • $1+8+15+10 = 34$
  • $10+5+3+16 = 34$
  • Vous pouvez tester les autres positions, vous trouverez également $34$.

    Ce carré est « enchanté »… mais aviez-vous remarqué que :

  • $8+15+9+2$ est une diagonale brisée, la somme associée est $34$...
  • $14+15+3+2$ en est une autre, la somme associée est $34$...
  • Si vous vérifiez les autres diagonales brisées, vous trouverez également $34$.

Ce carré magique est donc diabolique (pandiagonal) et enchanté !

D’aucuns doivent peut-être penser : « Jusque-là, quelle que soit son originalité, cette approche géométrique a tout de même quelques ressemblances avec la méthode d’Euler – le Cavalier du jeu d’Échecs ne se déplace-t-il pas selon l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont l’un horizontal et l’autre vertical ? »
Certes, et ils ont parfaitement raison.

Sur la piste de plus grands carrés construits sur les mêmes principes

Mais, sachant que personne n’avait jamais pu construire, avec ce type de structure, des carrés de dimension supérieure (depuis 35 ans, personne n’a encore apporté de démenti), mon ami, joueur d’échecs, passionné de carrés magiques et d’ésotérisme s’était ensuite mis en tête de voir s’il était possible d’étendre le principe « des triangles et des symétries ».

Et là, après tout de même quelques tâtonnements sur les triangles à privilégier, surprise... !!
Voici le carré naturel de $10$ et l’amorce du carré magique bâti selon les règles sus-citées :

Se contenter du carré initial serait trompeur, le carré inachevé met bien en lumière la problématique : il reste encore beaucoup de nombres à déplacer. Mon ami avait bien pensé à d’autres triangles, mais cela ne fonctionnait pas...

Que faire ?

La réponse était « simple » (!) : inventer une autre structure (heureusement étaient apparus récemment quelques ordinateurs personnels...) . Après plusieurs semaines d’intenses cogitations, il inventa le « bitriangle » que je préfère appeler nœud papillon ou quadrilatère croisé avec 2 côtés parallèles de longueurs inégales...

Ces quadrilatères croisés se répartissaient comme ci-dessous : il leur a été affecté ici deux couleurs neutres différentes selon que le petit côté était en haut ou bas...

Il faut bien penser qu’aucun modèle n’existant, il était donc hors de question de s’en inspirer pour en déduire le mode de déplacement à mettre en œuvre.

En outre, rien ne garantissait que le type de déplacement resterait le même en passant de la dimension $6$ à la dimension $10$ et au-delà, même si cela était apparu logique, dans la continuité du « Carré du Soleil ».

Découverte...
La suite fut le résultat de l’exécution d’une partition à « quatre mains ».
Les deux premières mains, celles sans lesquelles rien n’aurait été trouvé, appartenaient à celui qui eut l’intuition de la nouvelle structure.
Mais il restait encore, dans chaque sous-carré de $5$, à trouver comment déplacer les nombres placés sur ces quadrilatères croisés, comment utiliser ces trois symétries H, V, C (à appliquer par 2 et pouvant être les mêmes).
Soit pour chaque sous-carré les possibilités suivantes : (H,V), (V,H), (H,C), (C,H), (C,V), (V,C), (H,H), (V,V), (C,C).
Ce qui représentait un nombre non négligeable de solutions, de pages de tests et d’heures de calcul et n’aboutit pas...
Les deux autres mains étaient les miennes.
Un Amstrad CPC 6128, fraîchement acquis, avec ses 128 ko de RAM et son processeur Z80 8 bits à la vitesse d’horloge qui fait sourire maintenant (4,77 Hz...) fut mis à contribution.

Avec une telle machine, il fallait réfléchir soigneusement à ce qui allait devoir être fait.

  • Étape n°1
    Écriture de formules permettant d’obtenir à coup sûr les coordonnées des nombres à déplacer et valables pour toute dimension supérieure.
  • Étape n°2
    Recherche, avec la même problématique, des formules de transformation de ces coordonnées dans les 3 symétries.
  • Étape n°3
    Phase de test de la magie : c’était long, mais pas très compliqué...
    (Le programme complet de constructions a depuis été récrit, d’abord en Turbo Basic, puis en langage Python).

    Les essais s’étaient révélés frustrants au possible !

Des semaines plus tard, une recherche plus méthodique, rationnelle sur ces quadrilatères croisés, abandonnant les tests basés sur l’estimation personnelle au profit de ce qui est aujourd’hui qualifié de « brute force » (quand même $9^4=6561$ tests possibles), avec progression dans la complexité, permit assez vite d’obtenir un carré de $10$ magique !

Et la solution était si simple : le programme avait testé la même configuration dans les 4 quadrants et seulement deux symétries, horizontale et verticale. Belle leçon d’humilité !

L’ensemble des structures à déplacer et les symétries à utiliser

Et dans la foulée, furent alors construits et testés les carrés de $14$ et $18$ : ils étaient magiques eux aussi...
M. Lucien Gérardin, contacté, incrédule, avait demandé à voir. Cela fut fait, mais notre relation épistolaire s’était arrêtée là.

Peut-être d’ailleurs y a-t-il d’autres solutions ?

Écrivant ces lignes, une question m’apparut hautement probable : « La méthode de construction proposée permet d’obtenir des carrés de dimensions supérieures conservant cet aspect rayonnant et leur caractère magique. Mais qu’en est-il des barycentres des cases de ces carrés (pondérées par la valeur qu’elles contenaient) ? »

J’eusse été confus d’avoir à reconnaître que je n’y avais pas pensé.
L’ouvrage a donc été remis deux fois sur le métier, et les « barycentres des carrés » de dimensions 10 et 14 déterminés, à l’aide cette fois-ci d’un ordinateur récent et d’un petit script en Python… qui permit de vérifier que dans les deux cas, le barycentre était au centre de symétrie du carré.

Pour aller plus loin : et si on se penchait sur la répartition des nombres selon leur parité ?

Intéressons-nous maintenant à la répartition des nombres selon leur parité dans le carré de $22$ ci-dessous, établi à partir du carré naturel (en vert, les nombres impairs) :

Ladite répartition est surprenante : on distingue nettement une ligne de fracture verticale et malgré tout une régularité dans la répartition.
En augmentant la dimension du carré, la structure ne se déforme pas, mais s’étend...

(Une expérience intéressante a aussi été de reproduire cette structure sur une carte perforée de machine à tricoter et de tester ensuite l’aspect visuel obtenu en utilisant deux couleurs de laine.

Le résultat était curieux, mais l’esthétique pas suffisamment enthousiasmante pour attirer les foules !)

L’idée m’était alors venue de tester d’autres configurations que celle dite naturelle, en jouant sur la répartition des nombres dans le carré initial en fonction de leur parité.

Le but était de vérifier, après mise en œuvre des déplacements, d’abord si le résultat était un carré magique ou pas, puis ce que devenait la structure pairs/impairs...

Ces nouvelles expérimentations se sont révélées à la hauteur des attentes, voire au delà !

Le premier test (en rouge) a été effectué avec un remplissage initial normal par quadrants repérés dans le sens horaire (en partant du quadrant en haut et à gauche du carré)

Ci-contre : remplissage normal
par quadrants pour l’ordre $10$.

À simplement juger sur la première ligne, on pourrait penser que les nombres pairs et impairs se succèdent dans le même ordre et être surpris par la différence de structure.
La 2e ligne nous montre qu’il n’en est rien...

Le deuxième essai (en bleu) nous donne à voir encore une autre structure voisine par sa forme de X, mais beaucoup plus homogène, compacte.
Il n’étonnera personne que le carré de base ait été rempli en deux parties :

➢ la moitié supérieure avec la suite des nombres impairs écrits dans l’ordre croissant.

➢ la moitié inférieure avec la suite des nombres pairs écrits dans l’ordre croissant.

Là, la ligne de fracture apparaît comme plus « logique ».

Une anecdote, à propos de ces lignes de fracture. Lorsque je proposai mon article à mon éditeur (et ami) Philippe Colliard, l’une de ses premières remarques fut : « As-tu remarqué que tes lignes de fracture séparent les carrés en deux demi-carrés dont l’un est le négatif de l’autre ? ».
À dire vrai, je ne l’avais pas remarqué… peut-être y a-t-il encore quelque chose à voir là-dessous ?

Troisième essai avec un remplissage initial par lignes :
en alternance, une ligne de nombres impairs (écrits dans l’ordre croissant) et une ligne de nombres pairs (écrits dans l’ordre croissant).
La structure obtenue semblait différente, mais si on appliquait une rotation de centre le centre théorique du carré et d’angle $-\pi /2$ , suivie d’une symétrie d’axe vertical, on retrouvait la structure issue du carré normal.

Trois autres remplissages ont encore été testés : leurs structures sont voisines, et les carrés tous magiques...
Tout se passe comme si, à partir d’un remplissage du carré initial de dimension $n$, avec les nombres de $1$ à $n^2$, remplissage selon un ordre précis, l’application de ces trois symétries suffit à rendre le carré magique.

Pour ces variantes, je n’ai pas jugé utile de rechercher la position des barycentres, le remplissage initial n’étant plus « normal ».

Quelques mots de conclusion

Je ne suis pas un chercheur, tout juste un amateur obstiné qui ne voulait pas lâcher le morceau : j’ai simplement mis au point une méthode empirique de construction de grands carrés magiques pressentie par un ami, je l’ai testée jusqu’à des carrés de dimension 142, via mon script en Python. Cette méthode reste-t-elle valable pour de plus grands carrés ? Et éventuellement pourquoi ? J’aimerais bien connaître la réponse, peut-être de vrais chercheurs y réfléchiront-ils ?

Post-scriptum :

Et je ne saurais en terminer sans remercier chaleureusement mes deux relecteurs Fati Ouarr et Samuel Sendera qui auront permis à ce document d’être enrichi, précisé et de rester (du moins je l’espère) dans l’esprit du site, et, last but not least, Clément Caubel pour son intervention finale qui aura encore permis d’affiner la mise au point...

Je n’oublie pas non plus mon Éditeur, collègue et ami, Philippe Colliard - sa modestie dût-elle en souffrir - qui s’est beaucoup investi en amont encore et qui a permis aux relecteurs de faire un travail efficace.

Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1Ne manquerait-il pas un A à ALLH ?
Remarque faite lors de la relecture.
D’après le dictionnaires des symboles de MM. Jean Chevalier et Alain Gheerbrant Ed Seghers 1973 :

Abû Ya’qûb dit de la tétrade, nombre du carré, qu’elle est le plus parfait des nombres : celui de l’Intelligence et de celui des lettres du Nom divin (Allh).

Cette source simbolismo/61_quadrato est plus précise :

Abù Ya’qub dice della tetrade, numero del quadrato, che è il numero più perfetto : il numero dell’intelligenza e il numero delle consonanti del Nome divino (’llh).

Soit :
Abû Ya’qûb dit de la tétrade, nombre du carré, qu’elle est le plus parfait des nombres : le nombre de l’Intelligence et le nombre des consonnes du Nom divin (’llh).

Ou encore : islam-le-nombre-4

DIEU a une réalité exprimée en 4 lettres :
ALLAH : Alif - Lam - Lam - Heu

(Seul site où j’ai vu « Heu », les autres écrivent « Hou » ou « Hâ »)

Qui était Abû Ya’qûb et quelle autorité en la matière pouvait-il avoir : wikipedia

[2Dictionnaire des Symboles

[3Constante d’un carré magique :
la somme des nombres de $1$ à $n$ vaut $S=\frac{n(n+1)}{2}$ (pour la démonstration voir Somme de $1$ à $n$). Un carré magique « normal » de dimension $n$ est composé des nombres de $1$ à $n^2$.
Si, dans la formule ci-dessus, on remplace n par $n^2$, on obtient pour la somme des nombres de $1$ à $n^2$ : $S=\frac{n^2(n^2+1)}{2}$.
Or, dans un carré magique, quelle que soit la ligne, la colonne ou la diagonale, la somme des nombres qui la compose a la même valeur, la constante $c$ du carré. Dans un carré de dimension $n$, il y a $n$ lignes (et $n$ colonnes), la constante s’obtient donc en divisant la somme ci-dessus par $n$ : $\frac{\frac{n^2(n^2+1)}{2}}{n}=\frac{n^2(n^2+1)}{2n}=\frac{n(n^2+1)}{2}$

Ainsi la constante du carré de $4$ vaut $c =\frac{4(16+1)}{2}=34$, celle d’un carré de $9$ : $c =\frac{9(81+1)}{2}=369$

[4Les carrés magiques : mystérieuses harmonies de nombres. – Lucien Gérardin Ed. Dangles
On le trouve d’occasion au format broché, ou au format kindle ou encore ebook.
Les 77 premières pages sont en clair sur Gallica :
Livre Lucien Gerardin

[5Reproduction de l’enchiridion de Léon III :
books.google

[6Etude du carré du carré de dimension 9 présent dans l’enchiridion : journals.oenedition

[7Rares sont les méthodes de construction universelles, on use plutôt de méthodes différentes selon les catégories....
Le grec Moschopoulos (avec notamment une méthode de remplissage en Cavalier du Jeu d’échecs), Bachet de Méziriac (avec son damier crénelé), Pascal, Simon de la Loubère (« ambassadeur » de Louis XIV au Siam), le général Eutrope Cazalas, Euler (outre les carrés gréco-latins, il a redécouvert la méthode basée sur le déplacement du Cavalier du jeu d’Echecs)… ont tous apporté leur pierre à la construction de carrés magiques dans une catégorie et dimension particulière.

[8Les carrés magiques : mystérieuses harmonies de nombres. – Lucien Gérardin Ed. Dangles

Et encore : Persee.fr : Talisman de Louis XIV – Article de Josèphe Jacquiot Comptes rendus des séances de l’Académie des Inscriptions et Belles-Lettres - Année 1969 113-1 pp. 18-34.
Images utilisées gracieusement avec leur aimable autorisation

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Pour citer cet article :

Roland Coquard — «Sur les traces (géométriques) de grands carrés magiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Commentaire sur l'article

  • Sur les traces (géométriques) de grands carrés magiques

    le 25 octobre à 17:30, par Rémi Peyre

    Bonjour M. Coquard,

    .

    Je pense que vous serez intéressé d’avoir un retour d’un “vrai” mathématicien (que je suis) sur votre travail — quand bien même, je tiens à le préciser, ce retour reste strictement personnel ! 0 ;-)

    .

    Votre article est certes écrit dans un style peu académique ; mais la construction que vous présentez est intéressante, et il me semble effectivement tout à fait plausible qu’elle soit nouvelle :-) : je vous suggère d’ailleurs de donner un nom à cette famille de carrés magiques que vous avez exhibée, par exemple le vôtre ou celui de votre ami libraire… !

    .

    Pour ce que j’ai compris de votre construction, il devrait être plutôt facile, pour un·e mathématicien·ne aguerri·e, de démontrer rigoureusement que les propriétés que vous avez observées demeurent vraies pour toutes tailles de carrés. Il est même fort probable que la preuve soit tellement “immédiate” (pour des professionnels, s’entend) qu’elle ne soit même pas publiable. Mais cela n’enlève rien à la performance d’avoir mis au jour cette nouvelle construction ; et d’ailleurs sa publication sur Images des Mathématiques est bien une preuve de la reconnaissance de la pertinence de votre travail ! :-D

    .

    En tout cas, personnellement j’ai trouvé tout cela fort intéressant ; et je me dis d’ailleurs que cette question de la démonstration des propriétés que vous avez trouvées pourrait faire un bel exercice d’initiation à la recherche pour des étudiants ;-) Du coup, si vous souhaitez me donner plus de détails sur votre construction pour une taille quelconque de carrés — par exemple, les codes des algorithmes en Python — ainsi que pour les variantes que vous avez mises au point (celles que vous évoquez en fin d’article), n’hésitez pas à m’envoyer un mél à titre privé ! (Vous trouverez facilement mon adresse sur le web).

    .

    Bien cordialement,

    /Rémi Peyre

    Répondre à ce message
  • Sur les traces (géométriques) de grands carrés magiques

    le 25 octobre à 21:19, par Roland Coquard

    Bonsoir,

    Merci de votre réponse.
    Oui, mon écriture n’a pas été conventionnelle, j’ai pris le pari risqué que la forme ne nuirait pas au fond... ;-)
    Donc, oui, J’ai mon programme Python, hérité du vieux programme en Turbo Basic (qui ne fonctionne plus sur un OS en 64 bits), lui-même hérité de l’original en Basic Locomotive de feu le CPC 6128 (que j’ai toujours, qui fonctionne, mais les disquettes n’étant pas très fiables, quelques-unes m’ont lâché !).

    J’étais en train de rendre mon script un peu plus « propre », quand - Président d’une Association, Rédacteur de sa revue trimestrielle et webmestre de son site internet, ex Prof de Maths de Collège qui « sévit » sur un Forum, je me suis interrompu, pour « plus urgent »... :-(
    Je peux vous le faire parvenir « as is », mais il est fonctionnel...

    Par contre, il est quand même programmé de façon structurée par fonctions aux noms évocateurs...
    Le script n’affiche pas les grands carrés au delà de la dimension 30 sauf en élargissant la capacité d’affichage de l’IDE utilisé...
    Mais il est prévu de les stocker sur disque par morceaux pour chargement dans un traitement de textes par ex, impression et via découpage/collage, a fin de reconstitution d’un carré de dimension supérieure...
    Petite précision.
    La programmation a ceci d’intéressant qu’elle ne nécessite pas la construction du carré naturel, il est suffisant de produire des formules - plus ou moins absconses - permettant de connaître (selon la variante choisie) quel est le nombre placé dans une case de coordonnées données.

    Je ne suis pas un mathématicien de haut-vol, donc je ne me sens pas compétent pour justifier rigoureusement la construction : ayant poussé jusqu’à la dimension 142, et observé les structures des carrés dimensions de dimensions 10 à 30, ainsi que je l’ai dit, j’ai constaté que la structure pairs/impairs restait cohérente...

    Bien que ce soit là une affirmation osée en l’absence de preuve incontestable, j’ai estimé que la probabilité (dont je ne vois d’ailleurs pas comment la calculer) que la construction n’ait pas de faille, même très faible en regard du nombre de dimensions possibles, était « suffisante » pour que je tente le coup... au risque d’être démenti.
    Mais ce serait également intéressant de voir où git ladite faille et pourquoi...

    Je vais donc chercher votre adresse mail et je vous ferai parvenir mon script avec grand plaisir...

    Cordialement,

    Roland Coquard

    Répondre à ce message
  • Sur les traces (géométriques) de grands carrés magiques

    le 28 octobre à 11:57, par Dasson

    Merci pour ce carré magique du soleil que j’ai utilisé dans cette vidéo
    https://www.youtube.com/watch?v=JXGzmu_u05g
    Une occasion d’utiliser des symétries dans un dessin ensoleillé...

    Répondre à ce message
    • Sur les traces (géométriques) de grands carrés magiques

      le 28 octobre à 17:42, par Roland Coquard

      Bonjour,

      Merci de votre intérêt...
      La médaille du Roi Soleil - à part que le carré magique gravé soit faux - était déjà apparue sous diverses présentations plus ou moins proches...

      Si vous êtes intéressé, sur Google tapez : médaille talismanique jésuite Kircher, puis choisissez de cliquer sur l’entrée : les Carrés magiques : Mystérieuses harmonies de nombres.
      La page affichée, vous avez une médaille voisine de celle de Louis XIV.
      Scrollez un peu jusqu’à lire :
      Agrippa écrit à son sujet :
      « Gravé sur une lame d’or, représentant le Soleil fortuné, cette table rend celui qui la porte sur soi glorieux, aimable, gracieux, puissant en toutes ses œuvres...
      Représentant un Soleil infortuné, cette table fait de celui qui la porte un tyran, un ambitieux, un insatiable dont la fin sera très mauvaise ! »
      Agrippa c’est Agrippa de Nettesheim (1486-1535) dans son ouvrage De occulta philosophia4 tome 2 (édition de 1531).

      Voyez également le sceau de Paracelse
      https://arbredor.com/ebooks/Archidoxe.pdf p. 106, 107
      lequel sceau est vraiment très proche de la médaille de Louis XIV :
      Théophraste Paracelse (1493 - 1541) dans « Les sept livres de l’Archidoxe Magique »...

      Cala vous inspirera peut-être encore ;-)

      Cordialement,

      Roland Coquard

      Répondre à ce message
    • Sur les traces (géométriques) de grands carrés magiques

      le 28 octobre à 18:26, par Philippe Colliard

      Bonsoir Roland (eh oui, quand deux Roland se rencontrent !)

      c’est une très belle idée que tu as eue là…
      et qui évidemment, venant de toi, n’a rien de surprenant :)

      Bien amicalement,

      Philippe

      Répondre à ce message

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