L’Académie des Sciences norvégienne vient de décerner à la mathématicienne Karen Keskulla Uhlenbeck le prix Abel, l’une des récompenses les plus prestigieuses en mathématiques. Ses travaux ont eu une influence profonde en calcul des variations, en géométrie différentielle, en analyse des équations aux dérivées partielles, et ont joué un rôle crucial dans les progrès réalisés en topologie et en physique mathématique durant ces dernières années.

Karen Uhlenbeck, de nationalité américaine, a débuté sa carrière dans la recherche à la fin des années soixante, une époque pas si lointaine, mais à laquelle il était quasiment hors de question qu’une femme puisse être recrutée dans une des plus prestigieuses universités américaines. Cette situation a commencé à évoluer timidement les années suivantes, mais il restait encore bien du chemin à parcourir pour que les femmes trouvent une place dans ce monde quasiment exclusivement masculin qu’est la recherche en mathématiques (et cela est toujours vrai).
Karen Uhlenbeck fut ainsi la deuxième femme dans l’histoire à être invitée à donner une conférence plénière au congrès mondial des mathématiciens, en 1990, après Emmy Noether, en 1932 !
Karen Uhlenbeck a contribué à faire évoluer cette situation en co-fondant, avec Chuu-Lian Terng, le programme
«  Women and Mathematics  » en 1994 à Princeton. Son souci d’ouvrir les mathématiques au plus grand nombre l’a conduit aussi à créer avec le mathématicien Dan Freed un programme annuel pour former les plus jeunes et les enseignants en mathématiques dans la petite ville de Park City, nichée dans les montagnes de l’Utah, qui remporte un grand succès depuis sa création dans les années 1990.

Le calcul des variations

Une grande partie des travaux de Karen Uhlenbeck est fondée sur le Calcul des Variations et nous devons
expliquer en quelques mots en quoi cela consiste. Nous savons depuis l’Antiquité que les rayons
lumineux se déplacent en ligne droite. Or les lignes droites se distinguent de toutes les autres courbes
par le fait qu’elles nous montrent le plus court chemin pour aller d’un point à un autre.

Les lois de la réflexion vues par Héron d’Alexandrie

Cette observation avait été utilisée de
façon élégante par Héron d’Alexandrie pour retrouver les lois de la réflexion sur un miroir et beaucoup plus tard, elle fut
adaptée de façon astucieuse par
Pierre de Fermat pour expliquer les lois de la réfraction de Descartes—Snell.

Les lois de la réfraction vues par Pierre de Fermat

Au dix-huitième siècle Pierre Louis Moreau de Maupertuis proposa un
principe similaire pour retrouver les équations de la dynamique de Newton : la trajectoire suivie par un corps physique rendait
«  minimale  » (en réalité pas vraiment minimale, comme nous le verrons plus loin)
une certaine quantité appelée action. Cette idée fut développée de façon considérable par Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, William Rowan Hamilton, etc. donnant naissance à une théorie aux multiples ramifications : le Calcul des Variations.

Un principe à la base de la Physique

Aujourd’hui cette théorie est à la base des principes de
la Physique : elle peut servir à décrire un système physique à l’équilibre, l’action est alors l’énergie totale
et l’état d’équilibre correspond à l’état d’énergie minimale. Mais cette théorie peut également nous dicter les lois de la dynamique
pour un système en mouvement. Ainsi par exemple l’action de Maupertuis
$\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{1}{2}m|\frac{dx}{dt}|^2 - V(x(t))\right) dt$ est
l’intégrale sur un intervalle de temps de la différence
entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle d’une particule. Cette action permet de retrouver les équations de la dynamique de Newton de la particule. Le sens de l’action de Maupertuis est longtemps resté mystérieux. Mais, lorsque plus de 150 ans après Maupertuis, Max Planck introduisit la constante $h$ qui porte son nom, le fait remarquable que $h$ se mesure dans les mêmes unités que l’action de Maupertuis fut
un indice important dans l’édification de la mécanique quantique.

Au fond des lacs, sur les cols et au sommet des montagnes

Il faut préciser qu’en général un état d’équilibre ou une trajectoire ne correspond pas forcément à une valeur minimale de l’énergie, mais à ce qu’on appelle un point critique, c’est dire un point
dans l’espace de tous les états ou de toutes les trajectoires possibles (lequel est souvent de dimension infinie) en lequel la variation de l’action sous l’effet d’une perturbation infinitésimale quelconque est nulle.

Différents types de points critiques

Cette condition se traduit par un système d’équations satisfaites par le point critique, appelées
équations d’Euler—Lagrange. Dans le cas du principe de Maupertuis, on retrouve ainsi les équations de Newton de la dynamique.
Ainsi un point critique peut être un point où l’action est plus petite (ou plus grande)
que partout ailleurs —on parle alors de minimum (ou de maximum) global— ; ou bien un point où l’action est minimale (ou maximale) dans un voisinage de ce point —on parle alors de minimum (ou de maximum) local— ; ou encore un point selle.
Dans ce dernier cas, en comparant l’espace de configuration avec
la surface d’un territoire montagneux et l’action avec l’altitude,
un point selle serait situé à un col : à cet endroit le sol est plat, si l’on fait quelques pas dans une direction,
on descend, si l’on se déplace dans la direction perpendiculaire, on monte.

Un outil pour les mathématiciens

Outre son importance capitale en Physique, le Calcul des Variations fournit aux mathématiciens des méthodes efficaces
pour prouver l’existence de solutions à de nombreuses équations différentielles (ou pour les approcher numériquement sur
ordinateur) : il faut pour cela chercher des points critiques.
Le cas le plus favorable est celui où l’action ne peut pas descendre en dessous d’une certaine valeur.
L’action s’apparente alors à une énergie et l’idée la plus simple, appelée «  méthode directe  », est d’aller
chercher les points où la valeur de l’action est la plus basse possible.
De même que l’eau des rivières s’écoule du sommet des montagnes vers le fond des vallées,
on imagine une suite de points en lesquels la valeur de l’action tend vers le minimum et
on montre que cette suite converge et que sa limite est bien
un point critique. Dans beaucoup de cas, cette méthode marche et
ne présente pas de trop grandes difficultés.

Dans le monde des lacets élastiques

Cependant se contenter des minima globaux ne suffit pas en général et le problème
suivant va nous montrer pourquoi. Imaginons par exemple
une surface ou, plus généralement, une variété $\mathcal{N}$ de dimension quelconque $n$, sans bord
et considérons l’ensemble de tous les lacets, c’est-à-dire
des courbes fermées lisses tracées sur cette variété. Cet espace, dans
lequel chaque point s’identifie à un lacet dans $\mathcal{N}$, a
forcément un nombre infini de degrés de liberté.
Il est commode de représenter chacun de ces lacets comme l’image d’une application $\gamma$
définie sur le cercle $\mathcal{C}$ (ou sur un intervalle) à valeurs dans $\mathcal{N}$.
Si $\mathcal{N}$ est munie d’une métrique riemannienne, nous pouvons définir la longueur
d’un lacet $\int_\mathcal{C}|\frac{d\gamma}{dt}(t)|dt$ ou encore son énergie élastique
$\int_\mathcal{C}\frac{1}{2}|\frac{d\gamma}{dt}(t)|^2dt$. Les images des applications $\gamma$ qui sont
points critiques de la longueur ou de l’énergie élastique sont des géodésiques,
c’est-à-dire des courbes qui sont les analogues sur $\mathcal{N}$ des lignes droites dans l’espace euclidien.

Qu’est-ce qu’une variété ? Les variétés les plus simples sont les courbes, que l’on peut tracer par exemple sur une feuille de papier (on parle alors de variété de
dimension un), ou les surfaces, que l’on peut visualiser dans l’espace (il s’agit alors de variétés de dimension deux). Au cours du XIXe siècle une notion plus abstraite de surface pris forme (notamment avec les travaux de Bernhard Riemann) : elle consiste à envisager une surface indépendamment de la façon dont elle est plongée dans l’espace. Si l’on pense à la surface de la Terre (approximativement une sphère), ce point de vue abstrait est celui d’un être vivant sur terre incapable de survoler la terre ou d’aller dans l’espace afin de pouvoir l’observer de loin : cet être vivant aura l’impression que la terre est plate. Néanmoins, s’il pouvait marcher tout droit 40 mille kilomètres, il reviendrait à son point de départ et s’apercevrait ainsi que la terre n’est pas plate.

L’astéroïde du Petit Prince

Le Petit Prince n’a pas besoin de marcher sur 40 mille kilomètres pour faire le tour de son astéroïde et revenir à son point de départ.

Une autre généralisation, très naturelle pour les mathématiciens, est de considérer des analogues des surfaces de dimension supérieure à deux : on parle alors de variétés. Ce point de vue s’avéra essentiel pour la théorie de la relativité générale, puisque celle-ci suppose que l’on peut décrire l’espace-temps comme une variété de dimension quatre. Si on a fixé une règle pour mesurer les distances sur le voisinage infinitésimal de chaque point de la variété, celle-ci est alors dite riemannienne.

Notons qu’il est préférable d’utiliser l’énergie élastique, que l’on peut imaginer comme celle d’un lacet fait d’une matière
idéale et homogène d’une longueur donnée, qui pourrait s’étirer ou se contracter indéfiniment le long d’une géodésique. En effet,
à l’équilibre, la tension à l’intérieur de l’élastique est la même en chaque point,
ce qui a pour conséquence qu’un point critique $\gamma$ qui décrit sa configuration parcourt $\mathcal{N}$ avec
un étirement (ou une «  vitesse  ») constant.

Rien d’intéressant au fond du lac

Mais pour rechercher des lacets géodésiques,
la «  méthode directe  » (avec la longueur ou l’énergie) ne donne rien d’intéressant :
si l’on autorise un lacet dans $\mathcal{N}$ à adopter une énergie ou une longueur minimale, celui-ci
va tout simplement se ratatiner en un point, de longueur nulle et le résultat sera dénué d’intérêt.

Le lacet de longueur minimal est simplement un lacet constant !

Pour obtenir des géodésiques non triviales, on doit donc
soit chercher des lacets qui sont des points selle (en utilisant la théorie de Lusternik—Schnirelmann ou celle de Morse, voir le livre de Michael Struwe pour plus de
détails), soit,
dans le cas où la variété $\mathcal{N}$ possède des anses, minimiser la longueur ou l’énergie parmi les lacets qui
tournent un nombre donné de fois autour de cette anse. Dans ce dernier cas, cela revient à minimiser l’action
non pas parmi tous les lacets, mais
dans un sous-ensemble de l’espace des lacets. Ce sous-ensemble est une classe d’homotopie,
c’est-à-dire une famille de lacets que l’on peut relier les unes aux autres par des déformations continues
à l’intérieur de $\mathcal{N}$ (c’est aussi une composante connexe de l’espace de tous les lacets).

Le lacet pris au piège

Nous sommes ainsi amenés à, par exemple, minimiser l’énergie d’un lacet dans une classe d’homotopie de lacets
dans une variété riemannienne $\mathcal{N}$. Du point de vue de l’analyse, cela ne présente pas de
difficultés : on considère une suite de lacets élastiques dans une classe d’homotopie
dont l’énergie tend vers le minimum et il n’est pas difficile de montrer que cette suite converge
vers un lacet, que ce lacet appartient bien à la même classe d’homotopie et est d’énergie minimale dans cette classe.

Le lacet de longueur minimale dans une classe d’homotopie non triviale.

Membranes élastiques et applications harmoniques

Mais que se passe-t-il si nous remplaçons l’ensemble des applications $\gamma$ définies sur le cercle par
celui des applications $u$ définies sur une surface ou, plus généralement, sur
une variété riemannienne $\mathcal{M}$ de dimension $m$ plus grande que 1 ? Nous
allons voir que la situation se complique et c’est là que Karen Uhlenbeck,
dans un important travail en collaboration avec Jonathan Sacks, entrera en scène.

L’action est alors l’énergie $E_\mathcal{M}(u) = \int_\mathcal{M}\frac{1}{2}|du|^2dv$,
où l’élément de volume $dv$ utilisé pour intégrer sur $\mathcal{M}$ est construit à partir de la métrique
riemannienne sur $\mathcal{M}$ et la densité d’énergie $|du|^2$ est une quantité quadratique en les dérivées partielles
premières de $u$ construite à partir des métriques riemanniennes sur $\mathcal{M}$ et $\mathcal{N}$.
Les points critiques de cette action sont appelés les applications harmoniques.

Rappelons qu’une fonction $f$ de $m$ variables réelles
$x^1,\cdots,x^m$ et à valeur réelle
est harmonique si elle est régulière et si elle est solution de
l’équation
$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{(\partial x^1)^2} + \cdots + \frac{\partial^2 f}{(\partial x^m)^2} = 0$.
Lorsqu’on remplace l’ensemble des $m$ variables réelles de départ par
une variété riemannienne $\mathcal{M}$ et l’espace d’arrivée $\mathbb{R}$ par une
autre variété riemannienne $\mathcal{N}$,
on parle alors d’application. Notons que, grâce au théorème
de plongement isométrique de John Nash, dans le cas où $\mathcal{N}$
est compacte (ce que nous supposerons ici),
on peut toujours supposer que
$\mathcal{N}$ est une sous-variété plongée dans un espace euclidien.
Alors une application à valeur dans la sous-variété $\mathcal{N}$ est harmonique
si, en chaque point $x$ de la variété de départ, le vecteur $\Delta u(x)$
(dont chaque composant est le laplacien de la composante correspondante
de $u$ en $x$)
est orthogonal au sous-espace tangent à la sous-variété $\mathcal{N}$
en $u(x)$

De ce fait l’équation des applications harmoniques est non linéaire et ses
solutions ne sont en général ni régulières, ni
uniques (même si l’on impose des conditions topologiques ou des conditions au bord
qui suffiraient à assurer l’unicité dans le cas linéaire) .

La notion d’application harmonique est très générale, elle contient
à la fois les lacets parcourant des géodésiques à vitesse constante, si $m=1$, et les fonctions harmoniques, si
la variété d’arrivée $\mathcal{N}$ est simplement la droite réelle. En général
on peut s’imaginer que ce problème correspond à emprisonner à l’intérieur
de la variété $\mathcal{N}$ un objet que l’on aurait fabriqué avec un matériau imaginaire idéalement élastique, dans un moule ayant la forme de la variété
de départ $\mathcal{M}$.

Le cas des applications harmoniques définies sur des surfaces (c’est-à-dire des variétés de dimension 2)
est particulier à bien des points de vue, comme nous allons le voir.

Applications harmoniques et fonctions holomorphes

Lorsque la variété de départ est de dimension 2, il existe des liens profonds
entre les notions d’applications harmoniques, de fonctions
holomorphes et d’applications conformes. Ces liens sont particulièrement forts
pour les fonctions harmoniques à valeur réelle (voir encadré),

Les fonctions harmoniques de deux variables réelles
à valeur dans la droite réelle $\mathbb{R}$
sont très proches des fonctions holomorphes, lesquelles sont aussi appelées fonctions analytiques d’une variable complexe parce que, sur
voisinage de n’importe quel nombre complexe $z_0$, une fonction holomorphe $f$
d’une variable complexe $z=x+iy$ peut s’écrire comme
la somme d’une série $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n$.
En effet la partie réelle d’une fonction holomorphe
est une fonction harmonique des deux variables $x$ et $y$ et, réciproquement, toute fonction harmonique peut s’écrire ainsi.

ou encore pour les applications conformes entre deux surfaces.

Une classe particulièrement intéressante d’applications définies sur les surfaces
(c’est-à-dire sur les variétés de dimension 2) est constituée par les applications conformes.
Une application $u$ d’une surface $\mathcal{M}$
vers une variété $\mathcal{N}$ est conforme si, lorsque deux courbes sur $\mathcal{M}$ se rencontrent en un point
avec un certain angle, leurs images dans $\mathcal{N}$ par $u$
se rencontrent avec le même angle.
Si, de de surcroît, la variété d’arrivée $\mathcal{N}$ est aussi de dimension 2,
on a alors que toute application conforme
entre deux surfaces est harmonique. De plus, si l’on utilise des coordonnées conformes sur les deux variétés, une application
de $\mathcal{M}$ vers $\mathcal{N}$ est conforme si et seulement si elle est représentée dans ces coordonnées
par une fonction holomorphe (ou anti-holomorphe).

Toute surface riemannienne admet des coordonnées locales (ou des cartes) conformes, d’après un théorème de Bernhard Riemann.
Ainsi, par exemple, on connaît plusieurs cartes de la sphère $S^2$ de dimension 2
(à condition d’enlever au moins un point à la sphère) qui respecte les angles,
la plus connue étant celle de Mercator. (Cependant les mathématiciens préfèrent utiliser la projection stéréographique
qui applique la totalité d’une sphère moins un point sur le plan euclidien.)

Toute application harmonique de $S^2$ dans $S^2$ s’identifie via la projection stéréographique à une application holomorphe ou anti-holomorphe (laquelle est de surcroît une application rationnelle, c’est-à-dire de la forme $z → P (z)/Q(z)$ ou $\overline{P(z)}/\overline{Q(z)})$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes).

Toute application conforme
d’une surface vers $S^2$ (donc harmonique) se décrit comme une fonction holomorphe (ou anti-holomorphe) à travers
une telle carte (voir encadré). Mais les applications conformes ne sont que des cas particuliers d’applications
harmoniques car elles sont solutions d’un système d’équations différentielles du premier ordre, alors que
l’équation des applications harmoniques fait intervenir des dérivées du second ordre et admet donc
beaucoup plus de solutions en général.

Revenons à la recherche d’applications harmoniques entre deux variétés. Nous souhaitons étendre
la méthode que nous avons appliquée avec succès pour les géodésiques, afin de trouver
des applications harmoniques sur une variété $\mathcal{M}$ de dimension supérieure ou égale à 2.
Il s’agit donc de minimiser l’énergie à l’intérieur d’une classe d’homotopie
d’applications entre $\mathcal{M}$ et $\mathcal{N}$.
Nous allons voir que la mise en œuvre cette approche bute sur
de sérieuses difficultés.

Des ennuis avec les membranes élastiques

Pour décrire le phénomène en jeu, considérons une situation très simple. Supposons que $\mathcal{M}$
est un «  disque  » ou une «  boule  » de dimension $m$ et
de rayon $r$ fabriqué avec notre matière idéalement élastique (si $m=1$, ce sera
simplement un fil de longueur $2r$).
Supposons également que $\mathcal{N}$ est un disque de dimension $m$, mais de rayon 1. Appliquons en dilatant
de façon uniforme le disque $\mathcal{M}$ sur $\mathcal{N}$ (donc par une application $u$
qui est une homothétie de rapport $1/r$). Alors
l’énergie de $u$ sera égale à $(\alpha_{m-1}/2)r^{m-2}$, où $\alpha_{m-1}$ est le volume de la sphère de rayon 1
de dimension $m-1$. Cela se voit assez facilement dans la mesure où
l’énergie s’obtient en intégrant une quantité constante, égale, à un facteur près, à $\frac{1}{r^2}$
sur un disque de volume égal à $(\alpha_{m-1}/2m)r^m$. On voit que, si $m=1$, plus
$r$ est petit, plus cette énergie est grande (ce qui est conforme à notre intuition d’un élastique :
plus on le tend, plus son énergie augmente).

L’énergie d’une application qui dilate un disque ne dépend pas du coefficient de dilatation du disque, mais uniquement de l’aire couverte par l’image en dimension 2. En dimension m ≥ 3, cette énergie diminue quand le coefficient de dilatation augmente, si le volume couvert reste le même.

Mais pour $m=2$, l’énergie ne dépend pas de $r$ et,
si $m\geq 3$, l’énergie diminue lorsque $r$ tend vers zéro !
La conséquence est que, pour $m=1$, le fait de savoir que l’énergie d’un élastique ne
dépasse pas une certaine valeur nous informe que cet élastique ne peut pas trop
s’allonger, ni faire trop de zigzags et cela nous permettra de contrôler une suite minimisante.
Mais la même information sur l’énergie d’une application en dimension 2 ou plus n’interdit pas
que l’application s’étende indéfiniment par endroits.

La sphère dans la sphère

En adaptant le calcul précédent, on peut alors montrer la chose suivante :
supposons que $\mathcal{M}$ et $\mathcal{N}$
sont toutes les deux des copies de $S^m$, la sphère unité de rayon 1 et de dimension $m$.
Considérons la classe des applications de $S^m$ dans $S^m$ qui sont homotopes
à l’application identité. Alors, si $m\geq 3$, le minimum de l’énergie dans cette classe d’homotopie est nul !
Pour s’en convaincre, fixons un point $x_0$ dans la sphère de départ et construisons
une application qui applique une petite calotte sphérique de
rayon $r$ centrée sur $x_0$ sur (presque toute) la sphère image et qui envoie le (grand) complémentaire
de la petite calotte sphérique sur une toute petite portion de la sphère image.

Figure 8 – La calotte rouge sur la sphère de gauche est envoyée sur la grande calotte sur la sphère de droite, la calotte bleue sur la sphère de gauche est envoyée sur la petite calotte sur la sphère de droite.

Nous pouvons de plus choisir cette application de façon à ce qu’elle soit conforme, c’est-à-dire qu’elle préserve les
angles : il suffit pour cela de «  transformer  » la sphère (moins un point) en un espace plat $\mathbb{R}^m$
par une projection stéréographique (qui existe en toute dimension), notre application agira
alors comme une dilatation uniforme dans $\mathbb{R}^m$. Alors
cette application est homotope à l’identité, mais, sur la base
du calcul précédent, on peut voir que son énergie sera très
petite si $m\geq 3$. En faisant tendre $r$ vers 0, on obtient ainsi une suite d’applications dans la classe
d’homotopie de l’identité dont l’énergie tend vers 0. Cette suite converge fortement
vers une limite particulièrement décevante, puisque cette limite sera une application constante, envoyant
la sphère $S^m$ sur un seul point de la sphère image !

La même «  expérience  » pour $m=2$ donnera quelque chose de
subtilement différent, mais tout aussi
déroutant : la suite d’applications que nous
avons construite (avec la projection stéréographique) a une énergie constante, égale à $4\pi$ et le minimum de
l’énergie dans la classe d’homotopie de l’identité n’est pas 0 mais $4\pi$. Cependant notre suite
ne converge pas fortement, elle converge dans un sens faible, vers une application constante !

Les facéties des bulles

Que se passe-t-il en fait si $m=2$ ? la suite converge
vers une application constante partout sur la sphère, sauf en $x_0$, car l’image d’un voisinage de
ce point par la suite d’applications couvre pratiquement toute la sphère, comme si une bulle
se formait en $x_0$. Il résulte une concentration d’énergie qui a lieu en $x_0$ et cette concentration
est un obstacle à la convergence forte.
En revanche la suite converge faiblement car, dans la convergence faible,
on ne «  voit  » pas la bulle. L’énergie volée par la bulle, qui est égale à $4\pi$, aura simplement
été retranchée à celle de la suite dans la limite faible.

Cette situation est générale pour les applications entre une surface entre $\mathcal{M}$ et
une variété $\mathcal{N}$ :
lorsque nous choisissons une classe d’homotopie d’applications entre $\mathcal{M}$ et $\mathcal{N}$,
il n’y a pas de difficulté à trouver une suite d’applications dans cette classe dont
l’énergie tend vers le minimum et de montrer qu’elle «  converge  » vers une limite,
sauf que la convergence est faible et il n’est pas exclu a priori que la limite
s’échappe de la classe d’homotopie dans laquelle se trouvaient les points de la suite.
Du coup, la limite n’est pas le point critique non minimisant convoité
mais un autre point critique, voire même une application constante.

Tout se passe comme si, au moment où le chasseur ou la chasseuse de point critique non minimisant
croyait avoir saisi la proie dans ses mains, il ou elle découvrait
en ouvrant ses mains que celles-ci sont vides.
Comment déjouer ce sortilège ?

L’invariance conforme

Notons que ces phénomènes, particuliers à la dimension 2, sont liés au fait que, pour
cette dimension, l’énergie est invariante par changement conforme sur la variété de départ,
c’est-à-dire par des transformations qui changent les distances sans changer les angles.
De plus, si $\mathcal{M}$ et $\mathcal{N}$ sont toutes les deux des surfaces, les applications
conformes (c’est-à-dire qui préservent les angles) sont toujours des applications minimisantes dans
leur classe d’homotopie et leur énergie est égale à l’aire qu’elle balayent dans la variété d’arrivée.
C’est pourquoi par exemple le minimum de l’énergie parmi les applications
de $S^2$ dans $S^2$ qui sont homotopes à l’identité est égal à $4\pi$, l’aire de la sphère.

Dompter les bulles

Tous ces phénomènes sont à l’origine des obstacles rencontrés lorsqu’on cherche des applications minimisant
l’énergie dans une classe d’homotopie d’applications $u$ allant d’une surface $\mathcal{M}$
vers une variété de dimension quelconque $\mathcal{N}$. Des réponses partielles dues à Luc Lemaire
[8] et Richard Schoen et Shing-Tung Yau [12]
avaient été apportées via des approches ingénieuses dans le cas où les variétés de départ et d’arrivée
ont des groupes d’homotopie $\pi_1$ non triviaux (ces groupes dénombrent le nombre de classes d’homotopies de
lacets). Toutefois, la difficulté liée au phénomène de bulles décrit précédemment n’avait pas été abordée
de front.

Le travail de Jonathan Sacks et Karen Uhlenbeck

Dans leur travail [1,2],
J. Sacks et K. Uhlenbeck commencent par remplacer l’énergie $E_\mathcal{M}(u)$
par une énergie modifiée
\[ E_{\mathcal{M},\alpha}(u):= \int_{M}(1+|du|^2)^\alpha dv_g, \]
dans laquelle $\alpha$ est un paramètre réel tel que $\alpha>1$
et que l’on fera tendre vers 1. Mise à part des questions techniques,
la minimisation de cette énergie dans une classe d’homotopie d’applications
entre deux variétés ne pose pas beaucoup plus de problèmes que la recherche de lacets géodésiques, car $\alpha>1$.
Cela permet à J. Sacks et K. Uhlenbeck de remplacer une suite minimisant $E_\mathcal{M}$
par une suite d’applications $u_\alpha$, chacune minimisant $E_{\mathcal{M},\alpha}$ pour une certaine valeur de $\alpha$, tout en faisant tendre
$\alpha$ vers 1.
Cette suite possède de meilleures propriétés et cela permet de se mettre au travail dans de bonnes conditions.

Concentration de l’énergie et bulles

Le résultat principal qu’ils obtiennent est que, en général, l’énergie d’une (sous-suite de) $(u_\alpha)_\alpha$
se concentre en un nombre
fini de points $x_1,\cdots, x_k$ sur $\mathcal{M}$ et, en chacun de ces points, une bulle se forme. La suite
$u_\alpha$ converge fortement vers une application harmonique $u$ en dehors des points $x_1,\cdots, x_k$
et converge faiblement partout. Le comportement limite de $u_\alpha$ au voisinage de chaque point $x_j$ est décrit par
une application $v_j$ définie sur $S^2$ et à valeurs dans $\mathcal{N}$, obtenue après un changement d’échelle autour
de $x_j$ permettant de «  zoomer  ».

L’inégalité fondamentale obtenue
\[ E_\mathcal{M}(u) + \sum_{j=1}^k E_{S^2}(v_j) \leq \lim_{\alpha\rightarrow 1} \sup E_{\mathcal{M},\alpha}(u_\alpha), \]

La somme de l’énergie de l’application limite et de celle des bulles est inférieure ou égale à la valeur limite des énergies des applications dans la suite. En fait Thomas Parker [10] a montré qu’il y a égalité.

signifie que la perte d’énergie en passant de $u_\alpha$ à $u$ est supérieure ou égale à la somme des énergies $E_{S^2}(v_j)$
des bulles. L’apparition de bulles est le symptôme précis du fait que la limite faible $u$ n’est pas dans la
même classe d’homotopie que $u_\alpha$.

Comment les bulles sont-elles décelées ? En chaque point $x_j$ en lequel
la densité d’énergie $|du|^2$ aurait tendance à se concentrer, on observe
le comportement de la suite $u_\alpha$ au voisinage de ce point
avec un microscope grossissant de plus en plus, lorsque $\alpha$ tend vers 1.
Cela se fait en définissant
une suite d’applications $v_{\alpha,j}$ telle que
$v_{\alpha,j}(y) = u_\alpha(r_{\alpha,j}(x_j+y))$, où $r_{\alpha,j}$ est
une suite de réels qui tend vers 0. Alors, si on choisit convenablement le rayon
$r_{\alpha,j}$, $v_{\alpha,j}$ tend (fortement cette fois-ci)
vers l’application limite $v_j$, que
l’on peut voir comme une application de la sphère $S^2$ vers $\mathcal{N}$,
grâce à l’invariance conforme, d’où le surnom de bulle.

Les bulles sont en nombre fini, car chacune d’elle coûte au moins
un certain «  quantum  » d’énergie et l’énergie totale est bornée.

Les bulles maîtrisées

Grâce à cette information, J. Sacks et K. Uhlenbeck retrouvent immédiatement la plupart des résultats précédents sur les applications minimisantes,
qui reposaient sur l’hypothèse que toute sphère $S^2$ immergée dans $\mathcal{N}$ soit déformable en un point
(on dit alors que le deuxième groupe d’homotopie $\pi_2(\mathcal{N})$ est trivial), puisque cette hypothèse
interdit les bulles minimisantes.

Mais J. Sacks et K. Uhlenbeck vont bien plus loin et déduisent de leur analyse une grande variété
de nouveaux résultats, dès que le groupe d’homotopie $\pi_2(\mathcal{N})$ est non trivial.
Mentionnons d’abord que, comme le terme groupe le sous-entend, les éléments du groupe $\pi_2(\mathcal{N})$
d’homotopie peuvent être «  ajoutés  » ou «  retranchés  » entre eux
(de façon commutative). Par exemple, dans le cas où
$\mathcal{N} = S^2$, une classe d’homotopie $\pi_2(S^2)$ est totalement caractérisée par le degré des
applications contenues dans cette classe, qui est un nombre entier relatif indiquant le nombre (algébrique) de fois
qu’une application dans cette classe recouvre la sphère image. Alors la loi d’addition dans
$\pi_2(S^2)$ correspond à l’addition des entiers.

Des molécules de bulles

Ainsi un résultat de K. Uhlenbeck et J. Sacks est que,
si $\mathcal{M}$ est la sphère $S^2$ et si, dans l’ensemble des applications
de $S^2$ vers $\mathcal{N}$, il existe une classe d’homotopie $\Gamma$ stable
(voir encadré) et non triviale , alors le minimum de $E_\mathcal{M}$ est atteint dans $\Gamma$.

Nous dirons qu’une classe d’homotopie $\Gamma$
d’applications de $S^2$ vers $\mathcal{N}$ est stable s’il
existe une valeur $\delta >0$ satisfaisant la propriété que, pour toute décomposition de $\Gamma$
en la somme de deux autres classes d’homotopie non triviales $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$
(on écrit $\Gamma\subset \Gamma_1 + \Gamma_2$), on a :
\[\inf_{v\in \Gamma}E_\mathcal{M}(v)\leq \inf_{v\in \Gamma_1}E_\mathcal{M}(v) + \inf_{v\in \Gamma_2}E_\mathcal{M}(v) - \delta\,, \hspace{1cm} (1)\]

Si l’énergie minimale dans une classe d’homotopie $\Gamma$ est strictement plus petite que la somme des énergies
dans n’importe quelle paire de classes d’homotopies $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ telles que $\Gamma\subset \Gamma_1 + \Gamma_2$,
alors le minimum de l’énergie est atteint dans la classe $\Gamma$.

Ce dernier résultat (qui rejoint et éclaire un phénomène similaire observé auparavant par Thierry Aubin [3] pour le problème de Yamabe) peut paraître un peu technique, mais il n’est que l’analogue en topologie et en
géométrie d’une situation bien connue en Physique.
Expliquons cela.
Pourquoi un noyau atomique, composé de nucléons (protons
et neutrons) et qui a le bout goût de ne pas être radio-actif, est-il stable ? Pourquoi ne se brise-t-il pas en plusieurs
morceaux (comme cela se produit dans une bombe A ou un réacteur nucléaire) ? Parce que son
énergie est strictement plus petite que la somme des énergies de ses constituants s’ils étaient
séparés et, ce, quelle que soit la façon de casser le gros noyau en noyaux plus petits.
Le même principe explique pourquoi, à température ordinaire, les atomes préfèrent s’associer en molécules, plutôt
que de rester dans leur coin.
Dans les résultats de K. Uhlenbeck et J. Sacks, le rôle des nucléons est tenu par des bulles qui, en s’associant et en conjuguant leurs topologies, forment des applications plus stables,
pourvu que l’inégalité $(1)$ soit satisfaite.

L’article de K. Uhlenbeck et J. Sacks va plus loin encore. En effet ils déduisent des résultats
similaires pour des applications non minimisantes (situées en des cols dans des classes d’homotopie), en utilisant la théorie de Morse. Mais surtout, ils ont mis en évidence et apprivoisé ce phénomène de bulle, qui joue un rôle capital dans de nombreux problèmes.

Un résultat important : pas de singularités ponctuelles

Au passage K. Uhlenbeck et J. Sacks montrent un résultat important dont ils ont besoin et qui s’avérera d’une grande utilité
par la suite,
à savoir le fait qu’une application harmonique et d’énergie finie qui est régulière sur une surface
sauf en un point peut être prolongée en une application harmonique lisse en ce point :
ainsi la singularité apparente est effacée. Ce résultat, annoncé en 1977, fut le premier théorème
de régularité, avant d’autres résultats partiels [6] et d’autres plus généraux [7, 11].

Succès de la théorie

Le phénomène des bulles a été exploré et approfondi dans de nombreux
autres travaux sur les applications harmoniques, les surfaces minimales, leur flot par
l’équation de la chaleur, à travers les travaux de J. Jost, H. Brezis et J.-M. Coron, T.H. Parker, M. Struwe, etc...
Un exemple est lorsqu’on cherche à montrer l’existence des surfaces à courbure moyenne constante dans l’espace,
lesquelles décrivent précisément la forme des... bulles de savon. Henry Wente [13] avait montré en 1971
l’existence d’un petit bout de bulle de savon s’appuyant sur une courbe fermée. On chercha alors à montrer
l’existence d’un deuxième morceau de surface, ayant la même courbure moyenne, mais plus gros (par exemple
si la courbe fermée est un cercle plan et si on choisit une sphère qui contient ce cercle, les deux calottes
dans cette sphère situées de part et d’autre du cercle sont deux surfaces de même courbure moyenne et, en général,
l’une est plus grande que l’autre).
Après que H. Wente [14] eut mis en évidence le phénomène de bulle pour ce problème,
Haïm Brezis et Jean-Michel Coron [4] montrèrent l’existence de cette deuxième solution.
Plus largement, l’influence des concepts introduits par K. Uhlenbeck et J. Sacks s’est fait sentir
dans d’autres travaux majeurs comme, par exemple, la théorie des courbes holomorphes
dans des variétés symplectiques de Misha Gromov [5], lequel revisite le phénomène de bulle
dans un contexte et avec des techniques différentes. On retrouve également cette influence dans le principe
de compacité-concentration de Pierre-Louis Lions [9], principe fondé sur une inégalité analogue à
$(1)$ et qui permet de prouver l’existence de certains états physiques liés
(comme par exemple une molécule).

Dans la partie II de cet article nous présenterons d’autres travaux sur les applications harmoniques et sur les équations de Yang-Mills.

\[ \]

Bibliographie

Pour découvrir le calcul des variations

Un très beau livre, avec de belles images et de belles figures est :

• S. Hildebrandt & A. Tromba, Mathématiques et formes optimales : L’explication des structures naturelles, L’Univers des Sciences, Pour la Science Belin. Version française de : The Parsimonious Universe : Shape and Form in the Natural World, Springer-Verlag, 1996.

Le lecteur curieux et néophyte pourra aussi consulter le chapitre VII du beau livre :

• R. Courant, H. Robbins, Qu’est-ce que les mathématiques ?, Cassini, 2016.
  pour un premier aperçu du calcul des variations.

Pour approfondir (ça devient sérieux !)

• S. Donaldson, Karen Uhlenbeck and the Calculus of Variations,
  Notices of the AMS, Vol. 66, No. 33, 2019.

• M. Struwe, Variational Methods : Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer, 2008.

• F. Hélein, J. C. Wood, Harmonic maps, in Handbooks of Global Analysis,
  D. Krupka & D. Saunders, ed., Elsevier, 2007.

Articles de Karen Uhlenbeck

• [1] J. Sacks & K. Uhlenbeck, The existence of minimal immersions of 2-spheres, Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, 1033–1036.

• [2] J. Sacks & K. Uhlenbeck, The existence of minimal immersions of 2-spheres, Ann. of Math. (2) 113 (1981), no. 1, 1–24.

Publications par d’autres auteurs

• [3] T. Aubin, Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire, J. Math. Pures Appl. (9) 55, no. 3, 269-296 (1976).

• [4] H. Brezis & J.-M. Coron, Multiple solutions of H-systems and Rellich’s conjecture, Comm. Pure Appl. Math. 37, no. 2, 149-187, (1984).

• [5] M. Gromov, Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds,
  Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307–347.

• [6] M. Grüter, Regularity of weak H-surfaces, J. Reine Angew. Math. 329, 1981, 1—15.

• [7] F. Hélein, Régularité des applications faiblement harmoniques entre une surface et une variété riemannienne, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, t. 312, Série I, 1991

• [8] L. Lemaire, Applications harmoniques de surfaces riemanniennes, J. Diff. Geom., 13, 51-78 (1979) ; C. R. Acad. Sci. Paris 279, 925-927 (1974) and 280, 897-899 (1975).

• [9] P.-L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case. I., Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 1 (1984), no. 2, 109–145 ; The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case. II
  Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 1 (1984), no. 4, 223–283.

• [10] T.H. Parker, Bubble tree convergence for harmonic maps, J. Differential Geom. 44 (1996), 595–633.

• [11] T. Rivière, Conservation laws for conformally invariant variational problems, Invent. Math., 168(1), 2007, 1—22.

• [12] R. Schoen & S.T. Yau, Existence of incompressible minimal surfaces and the topology of three-dimensional manifolds with nonnegative scalar curvature, Ann. of Math., 110, 127-142 (1979)

• [13] H. Wente, A General Existence Theorem for Surfaces of Constant Mean Curvature, Math. Z. 120, é77-288 (1971).

• [14] H. Wente, Large Solutions to the Volume Constrained Plateau Problem, Arch. Rat. Mech. Anal. 75, no. 1, 59-77 (1980).