Les champs de Yang—Mills

Les champs de Yang—Mills sur un espace-temps sont, en physique, les ingrédients fondamentaux des théories de jauge, qui
modélisent les forces électro-faibles et fortes. En géométrie différentielle l’étude des champs
de Yang—Mills sur des variétés de dimension quatre a conduit à des résultats spectaculaires en topologie,
durant les années 1980, avec les travaux de Simon Donaldson. Un des résultats les plus
frappants est la construction de structures différentielles «  exotiques  » sur l’espace de dimension quatre
$\mathbb{R}^4$. Or cette théorie n’aurait pas pu voir le jour sans une série de résultats d’analyse difficiles
qui furent démontrés par K. Uhlenbeck et Clifford Taubes.

Les équations de Maxwell de l’électro-magnétisme

Les équations de Yang—Mills peuvent être vues comme une généralisation non linéaire
des équations de Maxwell de l’électro-magnétisme.
Ces dernières s’interprètent comme les équations d’Euler—Lagrange d’une action qui
est l’intégrale sur l’espace-temps de Minkowski
$\int_{\mathbb{R}^4} \frac{1}{2}|E|^2 - \frac{1}{2}|B|^2$, où $E$ est
le champ électrique et $B$ est le champ magnétique.
(Rappelons que les équations d’Euler-Lagrange sont les conditions nécessaires
et suffisantes que les champs doivent satisfaire
pour que la valeur de l’action soit stationnaire sous
l’effet d’une variation infinitésimale des champs, cf. partie I.)
Cependant, pour de multiples raisons (notamment le couplage avec la matière chargée et une formulation
plus en accord avec les principes de la Relativité), il est plus approprié
de ne pas manipuler directement $E$ et $B$,
mais un potentiel-vecteur $A$ dont ils «  dérivent  », c’est-à-dire un champ comportant quatre
composantes définies sur l’espace-temps de Minkowski, dont les dérivées premières permettent de
retrouver le champ électromagnétique. Ce champ $A$ est un objet mystérieux et insaisissable : il est
une construction abstraite, la solution non unique d’un système d’équations, et il est impossible de le mesurer physiquement,
tout simplement parce que cela n’aurait aucun sens ! La seule chose qui ait un
sens physique, c’est l’intégrale $\oint_\mathcal{C}\langle A, \tau\rangle$
de la circulation de $A$ le long d’un lacet fermé $\mathcal{C}$
quelconque dans l’espace-temps (dans cette intégrale $\tau$ est le vecteur tangent au lacet de norme 1). Cette intégrale représente le flux du champ électrique ou
du champ magnétique (selon l’orientation de la boucle $\mathcal{C}$ dans
l’espace-temps) à travers un morceau de surface bordé par $\mathcal{C}$.

La circulation du champ $A$ le long d’une boucle fermée $\mathcal{C}$ (orientée par un sens de parcours) est l’intégrale sur $\mathcal{C}$ du produit scalaire de $A$ par le vecteur $\tau$ tangent à $\mathcal{C}$ et de norme 1.

L’action est alors égale à $\int_{\mathbb{R}^4} \frac{1}{4}|dA|^2$, dans
laquelle $dA$ ne contient que certaines combinaisons des dérivées partielles premières de $A$ : chaque composante de $dA$ peut être vue comme la version infinitésimale
du quotient du flux $\oint_\mathcal{C}\langle A, \tau\rangle$
par l’aire d’un petit morceau de surface bordé par $\mathcal{C}$
(cette aire étant calculée avec la métrique de Minkowski).
Le calcul de $|dA|^2$ utilise ainsi la métrique de Minkowski.

Une généralisation non linéaire des équations de Maxwell

De même les équations de Yang—Mills portent sur des analogues du potentiel-vecteur
$A$, appelés connexions, mais qui sont des objets plus complexes, car leurs
composantes ne sont plus à valeurs dans les nombres réels, mais dans un espace vectoriel
qui code les symétries supplémentaires (une algèbre de Lie, nous en reparlons un peu plus loin).
L’action a alors
la forme plus compliquée $\int_{\mathbb{R}^4} \frac{1}{4}|dA+\frac{1}{2}[A\wedge A]|^2$.
Dans le terme supplémentaire $[A\wedge A]$, le produit extérieur
$\wedge$, que l’on peut voir ici comme une généralisation du produit
vectoriel de l’espace de dimension trois, est antisymétrique. On pourrait
donc s’attendre à ce que ce terme soit nul, mais ce n’est pas le cas en général, car
le produit entre deux composantes de $A$ se calcule en remplaçant
la multiplication ordinaire par le crochet de Lie $[\cdot,\cdot]$, l’opération
naturelle dans une algèbre de Lie.
Le terme $[A\wedge A]$ induit ainsi
un couplage de $A$ avec lui-même et est source de difficultés.
Les points critiques de cette action satisfont l’équation de Yang—Mills.
Un point important est que, pour Yang—Mills comme pour
Maxwell, les champs $A$ ne sont pas définis
de façon unique : on peut les transformer par ce qu’on appelle des
transformations de jauge, sans que cela change la valeur de l’action, ni
les observations physiques. Cette particularité a des conséquences importantes
et déroutantes, car elle signifie que, d’une certaine façon, deux connexions $A$ et $\tilde{A}$
qui sont reliées par une transformation de jauge représentent le même «  état  »
(lequel pourrait être représenté par le même
champ électro-magnétique $E$ et $B$ dans le cas de l’électro-magnétisme,
mais qu’on ne peut pas représenter directement dans le cas des équations de Yang—Mills).

Les champs de jauge $A$, $\tilde{A}$ ne sont pas observables directement car ils contiennent des ambiguïtés, des informations redondantes qu’il est impossible de mesurer. Dans le cas de l’électromagnétisme, les seuls champs
mesurables sont le champ électrique $E$ et le champ magnétique $B$.

Du bon choix d’une jauge

L’autre conséquence de cette ambiguïté est que les équations d’Euler—Lagrange sont fortement
dégénérées. Du coup une connexion $A$ «  choisie au hasard  » parmi les points critiques de
l’action de Yang—Mills n’aura aucune chance d’être
régulière et donc il sera très difficile
d’en tirer quoi que ce soit. Pour remédier à cela il est indispensable de modifier la connexion $A$
par une transformation de jauge et de la remplacer par une connexion $\tilde{A}$ qui lui
est «  physiquement  » équivalente
et qui satisfait, en plus, une «  bonne  » condition de jauge. Un exemple de bonne condition de jauge
est la condition de Coulomb, qui s’écrit $d(*\tilde{A})=0$ et qui signifie en gros que les composantes
de $\tilde{A}$ sont à divergence nulle. Alors, si $A$ satisfait les équations de Yang—Mills,
$\tilde{A}$ sera simultanément une
solution des équations de Yang—Mills (parce que ces équations sont invariantes par transformation de jauge)
et de la condition de jauge $d(*\tilde{A})=0$ et il devient raisonnable d’espérer montrer que la connexion est régulière.

Les grandes sœurs des applications harmoniques de surface

Les équations de Yang—Mills sur une variété de dimension 4 possèdent des analogies frappantes
avec les applications harmoniques sur des surfaces. Elles sont invariantes
par transformation conforme sur la variété, propriété qui sera à l’origine de phénomènes
de bulles analogues à ce que nous avons vu pour les applications harmoniques
(cf. partie I).
Une autre caractéristique de la dimension quatre est l’existence de solutions particulières, dites
auto-duales. Celles-ci sont les solutions d’une équation différentielle faisant intervenir les
dérivées premières, mais qui entraînent automatiquement qu’elles sont solutions des équations de Yang—Mills,
lesquelles font intervenir les dérivées secondes. Ces solutions particulières apparaissent donc comme des
analogues des applications conformes entre surfaces en dimension deux que l’on pouvait décrire
par des fonctions holomorphes (cf. partie I).
Enfin, la condition d’être
auto-duale est également invariante par transformation conforme.

Un nouvel espace à partir des solutions de Yang—Mills sur une variété

Comme annoncé plus haut, l’étude de l’équation de Yang—Mills sur une variété de dimension quatre, que nous noterons $\mathcal{N}$ dans la suite,
a conduit, dans les années 1980, à des résultats sur la topologie de ces variétés.
La preuve de ce résultat repose de façon étonnante sur la construction d’une famille
de solutions des équations de Yang—Mills auto-duales sur ces variétés. (Dans cette famille
on ne distingue pas deux connexions qui sont «  physiquement  » équivalentes, c’est-à-dire
qui ne diffèrent que par une transformation de jauge.) Cette famille
forme elle-même une variété $\mathscr{M}$, que l’on appelle un «  espace de module  », de dimension cinq.
La variété $\mathscr{M}$ est lisse partout sauf en un nombre de fini de points singuliers en lesquels
$\mathscr{M}$ ressemble localement à un cône (s’appuyant sur la variété de dimension quatre $P\mathbb{C}^2$). Enfin le bord de $\mathscr{M}$
s’identifie à la variété $\mathcal{N}$ de dimension quatre
à partir de laquelle $\mathscr{M}$ est construite. Les points singuliers, au sommet des cônes, correspondent à des
solutions auto-duales dégénérées.

L’espace $\mathscr{M}$ de «  module  » des (classes d’équivalence de jauge des) connexions auto-duales sur une variété $\mathcal{N}$ de dimension 4.

Encore des bulles

Comment se fait-il que le bord de $\mathscr{M}$ s’identifie à la variété $\mathcal{N}$ ? À cause d’un phénomène
de bulle à nouveau ! En effet, pour chaque point $x$ de $\mathcal{N}$, il existe
parmi les solutions auto-duales sur une variété $\mathcal{N}$,
des suites de solutions qui se concentrent en $x$ d’une façon analogue aux bulles des applications
harmoniques sur une surface. Ce phénomène est possible parce que les équations en jeu
sont invariantes par transformation conforme. Ces solutions étaient connues explicitement
(grâce à des constructions twistorielles, voir plus bas) si la
variété $\mathcal{N}$ est la sphère $S^4$. Clifford Taubes montra [23] qu’il est possible de
les construire sur une variété quelconque (satisfaisant néanmoins quelques hypothèses).
Il montra ainsi qu’au voisinage de son bord, $\mathscr{M}$ ressemble au produit
de $\mathcal{N}$ par un petit intervalle réel.

Navigation à risque

L’espace de module $\mathscr{M}$ se présente donc à nous maintenant comme un océan de dimension cinq, bordé par une côte que
nous avons identifiée avec $\mathcal{N}$.
Pour compléter le programme de S. Donaldson et ramener à bon port les informations topologiques
contenues dans les singularités coniques,
il nous faut maintenant naviguer dans cet océan, à la recherche des îlots
que sont les singularités coniques, sans risquer de rencontrer Charybde et Scylla et en étant certain de ne pas
se perdre à l’infini dans quelque direction. C’est là que les résultats
de K. Uhlenbeck s’avèrent cruciaux pour garantir la tranquillité de cet océan,
à savoir que $\mathscr{M}$ est compact.

Trouver la bonne jauge

Un premier résultat capital de K. Uhlenbeck [2] concerne l’existence de transformations de jauge permettant de
remplacer une connexion quelconque donnée par une autre qui lui est physiquement équivalente et qui satisfait la
jauge de Coulomb. La difficulté et l’intérêt de ce résultat est qu’il s’applique à des
connexions très peu régulières a priori :
il suffit en effet que l’intégrale
$\int |\partial A|^{2+\varepsilon}$ (pour $\varepsilon >0$ et
dans laquelle $\partial A$ représente les dérivées partielles de $A$)
soit bornée et que la courbure $F = dA+\frac{1}{2}[A\wedge A]$
(dont les composantes peuvent s’interpréter
comme celles d’un champ de force électro-faible ou forte)
soit telle que $\int |F|^{2}$
soit bornée (elle montre en fait un résultat en toute dimension $n$,
en remplaçant les exposants 2 par $n/2$).

Bannir les singularités ponctuelles

Un deuxième résultat est un résultat de régularité, qui précise que toute connexion sur une variété de dimension
quatre qui est une solution régulière des équations de Yang—Mills en dehors d’un point et
qui est d’énergie finie peut s’étendre en une connexion régulière en ce point
[1]. Comme pour les applications harmoniques d’énergie finie sur une surface, les singularités ponctuelles
peuvent donc être effacées. Bien que similaires, les preuves des deux résultats diffèrent,
les difficultés n’étant pas les mêmes : ainsi, pour les connexions de Yang—Mills, le choix et la
construction d’une jauge sont des étapes cruciales.

Au-delà des connexions auto-duales

K. Uhlenbeck a obtenu d’autres résultats remarquables sur l’équation de Yang—Mills. L’un d’eux
est le travail en collaboration avec Lesley et Robert Sibner [7] : ils y démontrent
l’existence de connexions de Yang—Mills qui ne sont pas auto-duales
sur la sphère de dimension quatre $S^4$. La preuve exploite de façon habile un lien entre ce problème avec
les monopoles magnétiques en dimension trois. Ce résultat est étonnant car on savait depuis [10]
que toute connexion minimisant l’énergie de Yang—Mills est
forcément auto-duale et donc la solution obtenue est forcément non minimisante. Elle correspond en effet à un
point selle.

Un autre résultat important obtenu par K. Uhlenbeck à l’aide de ces méthodes est celui
avec S.-T. Yau [5] dans lequel ils montrent l’existence de connexions
hermitiennes de Yang—Mills sur les fibrés vectoriels stables, qui a d’importantes
conséquences en géométrie algébrique.

Applications harmoniques en dimension plus grande

Tous les travaux cités précédemment concernaient des problèmes variationnels invariants par
transformation conforme, qui correspondent à des situation qu’on appelle «  critiques  », au sens où les hypothèses de régularité sont
pile-poil suffisantes pour obtenir les résultats attendus et il est nécessaire de développer des arguments
très fins et assez subtils pour faire aboutir les preuves. Lorsqu’on considère les mêmes problèmes
en dimension plus grande, la situation devient plus sauvage et les solutions faibles d’équations aux
dérivées partielles peuvent être très irrégulières.

Des applications harmoniques avec des singularités

C’est le cas notamment de la théorie des applications harmoniques $u$ entre une variété $\mathcal{M}$ de dimension $m$ et une variété
$\mathcal{N}$ de dimension $n$ :
dès que la dimension $m$ de la variété de départ $\mathcal{M}$ est supérieure
ou égale à 3,
une application faiblement harmonique n’est plus nécessairement lisse. Un exemple très simple est l’application
de la boule unité de $\mathbb{R}^3$ vers la sphère $S^2$ définie par $u(x) = \frac{x}{|x|}$ : cette application admet
une singularité en 0, néanmoins son énergie sur une boule centrée en 0 est bornée et, de plus, elle
est faiblement harmonique. Mais alors que peut-on dire en général ? Un résultat important de R. Schoen et
K. Uhlenbeck [3,4] répond à la question dans le cas des applications qui sont minimisantes,
c’est-à-dire qui réalisent le minimum de l’énergie $\int_\mathcal{M}\frac{1}{2}|du|^2$
parmi toutes les applications $u$ de $\mathcal{M}$ vers $\mathcal{N}$.
Ils montrent qu’une telle application est lisse partout sur $\mathcal{M}$ en dehors d’un sous-ensemble
dont la mesure (de Hausdorff) de dimension $m-3$ est bornée. Cette dernière conclusion signifie que, si par exemple $m=3$,
il n’y a qu’un nombre fini de singularités ponctuelles, si $m=4$, les singularités ne sont pas plus grosses
que des morceaux de courbes, etc. Ce résultat fondateur (qui avait été obtenu indépendamment, mais avec des hypothèses plus fortes,
par M. Giaquinta et E. Giusti [18]) a été le point de départ de très nombreux travaux.

Des singularités partout

Il est optimal car on sait par exemple que l’application $x\longmapsto \frac{x}{|x|}$ de la boule unité vers
$S^2$ est minimisante. De plus l’hypothèse faite par K. Uhlenbeck et R. Schoen,
que les applications soient minimisantes, est essentielle.

L’application $x\longmapsto \frac{x}{|x|}$ définie sur la boule dans l’espace et à valeur dans la sphère envoie chaque segment joignant le centre de la boule à un point sur le bord de la boule vers ce point sur le bord. Elle admet une singularité au centre de la boule.

Le résultat précédent n’est plus valable pour des applications faiblement harmoniques en général. En effet Tristan
Rivière [22] a construit des applications faiblement harmoniques définies sur une variété de dimension trois et à valeurs
dans la sphère $S^2$, qui sont discontinues partout !
Il est intéressant de noter à ce sujet que ce dernier résultat se rattache à la descendance des travaux
de K. Uhlenbeck : après que Haïm Brezis, Jean-Michel Coron et Eliott Lieb [11], puis
Robert Hardt et Fang Hua Lin [19] aient étudié les conséquences des résultats de
K. Uhlenbeck et R. Schoen, on a pu comprendre que, paradoxalement, les singularités «  aidaient  » les applications
harmoniques à valeurs dans la sphère $S^2$ à avoir une énergie plus basse !

Interdire les singularités coûte de l’énergie

Imaginons en effet un domaine de l’espace en forme de boîte à camembert : ce sera notre
espace de départ. Pour fixer les idées, nous imaginons que notre boîte est posée horizontalement.
Considérons une application $u$ définie sur cette boîte à camembert, à valeurs dans $S^2$ et
supposons que la valeur de $u$ ne dépend pas de la hauteur. L’application $u$
est donc décrite par ses valeurs prises sur la face située au-dessus (ou en-dessous) de la boîte. Supposons de plus que,
sur la face du dessus, l’application $u$ est constante partout sauf sur un petit disque au centre, de rayon $r$ et
que l’image de ce petit disque par $u$ recouvre totalement la sphère.

Interdire les singularités force l’application définie sur le camembert à avoir une énergie plus grande que $4\pi$ fois la hauteur du camembert.

Alors, l’énergie de la restriction de $u$ à la face sera plus grande que l’aire couverte par son
image dans $S^2$, c’est-à-dire que $4\pi$.
Cette situation n’est pas sans nous rappeler les bulles de J. Sacks et K. Uhlenbeck !
Mais, en découpant la boîte en une infinité de tranches horizontales, un calcul identique peut être
fait sur chaque tranche et, en sommant, nous trouvons que l’énergie
élastique de l’application $u$ sur toute la boîte à camembert sera
forcément plus grande que
$4\pi$ fois la hauteur de la boîte.

Les autoriser permet d’en économiser : le dipôle

D’un autre côté nous pouvons construire une application ayant exactement les mêmes valeurs sur le bord
de la boîte, mais qui aura une énergie beaucoup plus petite (et même en prenant le rayon $r$ du petit disque aussi petit que l’on veut,
cette énergie pourra être arbitrairement petite) ! L’astuce pour cela est d’ajouter deux singularités à l’intérieur de la boîte,
de degrés topologiques opposés, l’une très proche du centre du petit disque de rayon $r$ situé au-dessus
et l’autre située près du petit disque en-dessous.

En revanche si on autorise des singularités à l’intérieur (ici sous la face du dessus et au-dessus de la face du dessous), l’énergie peut être rendue arbitrairement petite.

L’effet est d’«  absorber  » le
degré topologique. Une telle construction a été appelée un «  dipôle  » car elle repose sur une paire de singularités de degrés
topologiques opposés. C’est en forçant l’apparition d’une infinité de tels dipôles, à l’aide d’une action introduite par
Fabrice Bethuel, H. Brezis and J.-M. Coron [8], que T. Rivière a réalisé sa construction.

Systèmes complètement intégrables

Changement de décor (mais nous rencontrerons à nouveau des quantités
comme $dA + \frac{1}{2}[A\wedge A]$ et des algèbres de Lie...) :
nous terminons avec d’autres contributions de K. Uhlenbeck à la théorie des applications
harmoniques, vues comme systèmes complètement intégrables.

Le caillou cache un diamant

Les systèmes complètement intégrables font figure de joyaux rares dans le monde des équations
différentielles. Il s’agit d’équations différentielles non linéaires, dont l’aspect peut être assez
rebutant à première vue, comme l’équation de Korteweg-de Vries $\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^3 u}{\partial x^3} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} = 0$, mais qui recèlent
des beautés cachées et, en particulier, un nombre infini de symétries, si bien qu’il
est possible de les «  résoudre  » par des méthodes algébriques.

Les applications harmoniques ne sont pas toutes des solutions d’un système complètement intégrable, loin
de là ! Mais, lorsque la variété de départ est de dimension 2, circonstance qui est l’origine d’une
invariance par transformation conforme, comme nous l’avons déjà vu, et lorsque, de surcroît, la
variété d’arrivée $\mathcal{N}$ est elle-même hautement symétrique, cela est le cas. Nous allons
voir comment.

Des espaces très symétriques

Les variétés «  hautement  » symétriques en question sont, mis à part l’espace euclidien, la sphère $S^n$, et plus généralement
les espaces homogènes. On peut les décrire à partir de leur groupes de symétrie, qui sont
des groupes de Lie. On peut voir un groupe de Lie comme une variété munie d’une structure
de groupe (donc une loi de multiplication) qui agit sur la variété de façon lisse. Les groupes
de Lie comme par exemple, l’ensemble des rotations du plan ou de l’espace, sont eux-mêmes des espaces
homogènes.

Les cristaux de la géométrie différentielle

Si on comparait les variétés à des objets matériels, on pourrait dire que les espaces homogènes
y joueraient le rôle de cristaux parfaits, alors qu’une variété quelconque serait faite de matière
amorphe. Et de même que la structure d’un cristal est la manifestation à l’échelle macroscopique de la structure des molécules qui
le composent et de la façon dont elles s’accrochent les unes aux autres, la forme d’un espace
homogène est dictée par la façon dont les petits morceaux infinitésimaux qui le composent s’agencent les
uns aux autres. Cette «  chimie moléculaire  » infinitésimale est codée par une structure : celle de l’algèbre
de Lie du groupe de Lie des symétries, que nous avons déjà rencontrée à propos des champs de Yang—Mills.
Mathématiquement une algèbre de Lie est un espace vectoriel que l’on peut identifier à l’espace
tangent au groupe de Lie en chaque point, muni d’une sorte de produit, appelée crochet
de Lie, qui est une version infinitésimale de la loi de produit sur le groupe.

Le cristal réduit en poudre

Suivant ce point de vue
Elie Cartan a inventé une manière très utile de représenter localement une application $u$
définie sur une variété $\mathcal{M}$ et à valeurs
dans un groupe de Lie $\mathfrak{G}$ (et qu’on peut adapter pour étudier une application à valeurs dans
un espace homogène). Il s’agit de la forme de Maurer—Cartan,
une différentielle sur $\mathcal{M}$ à coefficients dans l’algèbre de Lie, que l’on peut définir
par $A = u^{-1}du$. On peut se représenter $A$
comme une façon d’immerger, en chaque point $x$ de $\mathcal{M}$, l’espace tangent à
$\mathcal{M}$ en $x$ dans une copie de l’algèbre de Lie ou bien, en comparant l’algèbre de Lie à une
molécule infinitésimale, une manière de coller une molécule sur une sorte de membrane infiniment
flexible, dans le rôle de la variété de départ $\mathcal{M}$.

Le cristal reconstitué

Réciproquement, étant donnée une différentielle $A$ à coefficients dans l’algèbre de Lie, à quelle
condition a-t-on $A = u^{-1}du$ ? C’est comme si nous imaginions que nous avions collé une molécule infinitésimale en chaque point
notre membrane flexible $\mathcal{M}$, et si nous nous demandions à quelle condition ces molécules
peuvent s’accrocher les unes aux autres, comme elles le font dans un groupe de Lie, c’est-à-dire en respectant les règles codées dans l’algèbre de Lie. La réponse est que la condition
de Maurer—Cartan $dA + \frac{1}{2}[A\wedge A] = 0$ doit être satisfaite partout.
Nous reconnaissons au passage dans le terme de gauche de cette équation
la courbure $dA + \frac{1}{2}[A\wedge A]$ d’une connexion
qui intervient dans l’action de Yang—Mills.

Membrane cristalline articulée

Quel rapport avec les applications harmoniques à valeurs dans un espace homogène ?
Il se trouve qu’une application $u$ définie sur une surface (avec des coordonnées locales complexes
$z = x+iy$ et $\bar{z} = x-iy$) et à valeurs dans un groupe de Lie
est harmonique si et seulement si, quand on déforme sa forme de Maurer—Cartan $A$ en
\[ A_\lambda := \frac{1}{2}(1-\lambda^{-1})A_zdz + \frac{1}{2}(1-\lambda^{-1})A_{\bar{z}}d\bar{z}, \]
où $\lambda$ est un paramètre complexe non nul
et où $A_{\bar{z}}:= A(\frac{\partial}{\partial \bar{z}})d\bar{z}$ et
$A_z:= A(\frac{\partial}{\partial z})dz$, alors la nouvelle forme $A_\lambda$
est encore une solution de l’équation de Maurer—Cartan
\[dA_\lambda + \frac{1}{2}[A_\lambda\wedge A_\lambda] = 0, \hspace{1cm}(2) \]
et, ce, pour toute valeur du paramètre $\lambda$.
Noter que, pour $\lambda = -1$, $A_\lambda$ coïncide avec $A$.
La déformation de $A$ en $A_\lambda$ est quelque chose d’assez étrange : pour reprendre
la comparaison d’une forme de Maurer—Cartan avec une façon de coller des molécules (infinitésimales)
d’un cristal sur un substrat flexible, c’est comme si, en faisant varier $\lambda$, on faisait tourner
toutes ces molécules sur elles-mêmes de façon identique. Ainsi une application harmonique est caractérisée par le fait
que, même après avoir pivoté sur elles-mêmes, ces molécules seraient toujours
capables de s’accrocher les unes aux autres de manière cristalline.

Cela permet de construire une application $\varphi_\lambda$ telle que
$A_\lambda = \varphi_\lambda^{-1}d\varphi_\lambda$, pour toute valeur de $\lambda$. Si $\lambda$
est dans le cercle de rayon 1 dans les complexes, $\varphi_\lambda$ est à valeurs dans
le groupe de Lie $\mathfrak{G}$ et, de plus, $u_\lambda := \varphi_{-\lambda}(\varphi_\lambda)^{-1}$ est encore une application harmonique, qui coïncide
avec $u$ pour $\lambda = -1$ !

Que faire avec cela ?

Le fait que toute application harmonique à valeurs dans un groupe de Lie (ou un espace homogène) fasse automatiquement partie d’une famille $(u_\lambda)_\lambda$ d’applications harmoniques paramétrée par $\lambda$ dans le cercle est une généralisation hautement non triviale d’un phénomène
connu depuis longtemps pour les surfaces minimales dans l’espace euclidien. Les surfaces minimales sont des
surfaces dont la courbure moyenne est nulle en tout point. Elles sont, parmi toutes les surfaces dans
l’espace, les points critiques de l’aire et nous pouvons les admirer
simplement en regardant les films d’eau savonneuse. En effet on sait
depuis Karl Weierstrass que toute paramétrisation conforme $X$ d’une surface minimale est de la forme
\[ X(z) = \hbox{Re}\left(\int^z \left(\begin{array}{c}                      i(G(\zeta)^2 - H(\zeta)^2) \\                      G(\zeta)^2 + H(\zeta)^2 \\                      2iG(\zeta)H(\zeta)                     \end{array}\right)d\zeta\right), \]
où $G$ et $H$ sont des fonctions holomorphes. En intercalant un nombre complexe
$\lambda = \cos\theta + i\sin\theta $ dans la partie réelle et en faisant varier l’angle
$\theta$, on obtient toute une famille de surfaces minimales
\[ X_\lambda (z) = \hbox{Re} \left(\lambda\int^z \left(\begin{array}{c}                      i(G(\zeta)^2 - H(\zeta)^2) \\                      G(\zeta)^2 + H(\zeta)^2 \\                      2iG(\zeta)H(\zeta)                     \end{array}\right)d\zeta\right). \]

La déformation continue d’un hélicoïde vers une caténoïde, en faisant varier $λ$ de $0$ à $π/2$. Chacune des surfaces est une surface minimale.

Cette propriété avait été généralisée en 1867 par Ossian Bonnet [9] à propos des bulles de savon
(ce qui est déjà un résultat plus difficile). La formulation $(2)$ est encore une généralisation
de cela et avait été observée par les physiciens (voir par exemple [21]).
Avec les acquis de la théorie des systèmes complètement intégrables qui s’est
considérablement développée depuis la fin des années 1960 et
dans les mains de Karen Uhlenbeck [6] (et, parallèlement, de Nigel Hitchin [20]
à la même époque, mais dans une autre direction), cela devient un outil très puissant
pour l’étude des applications
harmoniques. K. Uhlenbeck en déduit une analyse d’un groupe
(énorme) de symétries cachées qui agissent sur l’ensemble
des applications harmoniques dans ce cas.
Par ailleurs, dans le même travail, K. Uhlenbeck établit un lien étonnant entre cette théorie avec
le point de vue des twisteurs pour les applications harmoniques.

Twisteurs

Il existe en fait plusieurs théories des twisteurs. L’une d’elle est celle développée par Roger Penrose et
elle permet de construire des solutions d’équations différentielles relativistes sur un espace-temps de
dimension 4 à partir de données holomorphes (ce qui permet d’utiliser des méthodes de la géométrie algébrique complexe).
C’est d’ailleurs grâce à cette théorie que l’on construit les connexions de Yang—Mills auto-duales
sur la sphère $S^4$.

La représentation de Weierstrass

La philosophie générale des approches twistorielles est de pouvoir résoudre des équations différentielles
par des méthodes d’analyse complexe. Un ancêtre de ces méthodes est la représentation de Weierstrass
des surfaces minimales dans l’espace euclidien de dimension 3, que nous avons rencontrée plus haut.

Twisteurs pour les applications harmoniques

Il se trouve que toutes les applications harmoniques de $S^2$ et à valeurs dans $S^2$
peuvent également s’obtenir à partir de fonctions holomorphes (en fait,
en convertissant de telles applications en des applications du plan vers lui-même
grâce à la projection stéréographique, ces applications s’identifient aux fractions
$\frac{P(z)}{Q(z)}$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes, ou à leur conjuguées complexes, cf. partie I).
Ce résultat n’est pas très difficile à montrer dès que l’on observe que la
différentielle de Hopf $|\frac{\partial u}{\partial x}|^2 - |\frac{\partial u}{\partial y}|^2 - 2 i \langle \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial x}\rangle$
d’une application harmonique $u$ est holomorphe.

En 1967 Eugenio Calabi [14] démontra un résultat bien plus difficile et
découvrit qu’on pouvait étendre ce résultat aux applications
harmoniques entre la sphère $S^2$ et la sphère $S^n$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$ : toute application harmonique
de $S^2$ vers $S^n$ s’obtient de façon algébrique à partir de données holomorphes.
Une conséquence de ses résultats est que l’énergie de ces applications est quantifiée
et est forcément un multiple entier de $2\pi$.
Cette théorie fut étendue par J. Eells and J.C. Wood [17] au cas des applications
harmoniques de $S^2$ vers l’espace projectif complexe $P\mathbb{C}^n$.
Cependant on ne savait pas l’étendre à des applications harmoniques sur $S^2$ à valeurs dans
des espaces homogènes plus généraux.

Twisteurs et systèmes complètement intégrables

Dans son papier [6] (qui commença à circuler à partir de
1985), K. Uhlenbeck découvrit un lien entre cette approche et la théorie des systèmes
complètement intégrables et notamment la formulation de l’équation des applications
harmoniques sous forme de la relation $(2)$
$dA_\lambda + \frac{1}{2}[A_\lambda\wedge A_\lambda] = 0$. Son approche ouvrit de nouvelles perspectives. Elle put ainsi
généraliser cette théorie aux applications harmoniques de $S^2$ vers le groupe $U(n)$ et
des espaces homogènes plus généraux (comme les variétés grassmanniennes complexes).
Ces idées permirent peu de temps après à Fran Burstall and John H. Rawnsley [12] de développer une théorie générale valable pour les applications harmoniques
à valeurs dans la plupart des groupes de Lie compacts.

Par ailleurs le travail de N. Hitchin sur les applications harmoniques d’un tore vers
une sphère de dimension 3 était complémentaire des méthodes «  twistorielles  », car il
permettait de traiter d’autres situations, typiquement non
«  conformes  ». Grâce à l’interprétation de K. Uhlenbeck des méthodes
twistorielles dans le langage des systèmes intégrables, F. Burstall put opérer une synthèse des
deux approches [13].

En guise de conclusion

Je n’ai décrit qu’une partie des résultats de K. Uhlenbeck. On lui doit d’autres
travaux sur les systèmes intégrables, l’équation des ondes à valeurs dans des variétés
(l’équivalent de la théorie des applications harmoniques pour les ondes), et, bien sûr,
de très nombreuses contributions en analyse et en calcul des variations.
Passer en revue l’influence que ses travaux et ses idées a eu par la suite, ne serait-ce que dans le calcul des variations,
serait encore plus difficile, tant celle-ci est variée.

Un des fils conducteurs des travaux que nous avons passés en revue
est la découverte et l’étude de quanta non linéaires
(par opposition à la quantification en physique qui repose sur l’étude
spectrale d’opérateurs linéaires auto-adjoints). Les phénomènes
étudiés font apparaître des entités analogues à des particules,
émergeant d’équations non linéaires et de problèmes géométriques, et que
K. Uhlenbeck nomme «  unitons  » dans le cas des systèmes complètement
intégrables. Leur énergie est quantifiée, soit pour des raisons géométriques et
topologiques dans le cas de son travail avec J. Sacks, soit pour des raisons
plus algébriques dans le cas complètement intégrable.

\[ \]

Bibliographie

Il est malheureusement difficile de trouver des textes accessibles sur cette
partie. On pourra se plonger dans la lecture de :

• R. Penrose, A la découverte des lois de l’univers, Odile Jacob, 2004

pour une introduction aux aspects physiques des théories de jauge et de la théorie des twisteurs de Penrose (mais cela reste éloigné des travaux de K. Uhlenbeck). La lecture de ce livre de 1000 pages sera l’occasion d’apprendre plein d’autres choses...

Pour approfondir les équations de Yang—Mills et leurs applications en topologie

• S. Donaldson, Karen Uhlenbeck and the Calculus of Variations,
  Notices of the AMS, Vol. 66, No. 33, 2019.

• D. Freed, K. UHlenbeck, Instantons and Four-manifolds, Springer, 1991.

Pour approfondir les applications harmoniques vues comme systèmes complètement intégrables

• M. Guest, Harmonic Maps, Loop Groups, and Integrable Systems, London Mathematical Society, CUP, 1997.

• F. Hélein, Constant Mean Curvature Surfaces, Harmonic Maps and Integrable Systems, Lecture in Mathematics ETHZ, Bikhäuser, Springer 2001.

• F. Hélein, J. C. Wood, Harmonic maps, in Handbooks of Global Analysis,
  D. Krupka & D. Saunders, ed., Elsevier, 2007.

Articles de Karen Uhlenbeck

• [1] K. Uhlenbeck, Removable singularities in Yang—Mills fields,
  Comm. Math. Phys. 83 (1982), no. 1, 11–29.

• [2] K. Uhlenbeck, Connections with $L^p$ bounds on curvature,
  Comm. Math. Phys. 83 (1982), no. 1, 31–42.

• [3] R. Schoen, K. Uhlenbeck, A regularity theory for harmonic maps,
  J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 307–335.

• [4] R. Schoen, K. Uhlenbeck,
  Regularity of minimizing harmonic maps into the sphere,
  Invent. Math. 78 (1984), no. 1, 89–100.

• [5] K. Uhlenbeck, S.T. Yau,
  On the existence of Hermitian-Yang—Mills connections in stable vector bundles, Frontiers of the mathematical sciences : 1985 (New York, 1985),
  Comm. Pure Appl. Math. 39 (1986), no. S, suppl., S257–S293.

• [6] K. Uhlenbeck,
  Harmonic maps into Lie groups : classical solutions of the chiral model, J. Differential Geom. 30 (1989), no. 1, 1–50.

• [7] L. M. Sibner, R. J. Sibner, K. Uhlenbeck,
  Solutions to Yang—Mills equations that are not self-dual,
  Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 86 (1989), no. 22, 8610–8613.

Publications par d’autres auteurs

• [8] F. Bethuel, H. Brezis & J.-M. Coron, Relaxed energies for harmonic maps, Variational Methods, H. Berestycki, J.-M. Coron and I. Ekeland eds., Birhäuser (1990).

• [9] O. Bonnet, Mémoire sur la théorie des surfaces applicables, J. Ec. Polyt. 42 (1867), p. 72-92.

• [10] J. P. Bourguignon, H. B. Lawson, Solutions to Yang—Mills equations that are not self-dual (1981) Comm. Math. Phys. 79, 189-230.

• [11] H. Brezis, J.-M. Coron & E. H. Lieb, Harmonic maps with defects, Comm. Math. Phys., 107, 649-705 (1986).

• [12] F. E. Burstall & J. H. Rawnsley, Twistor theory for Riemannian symmetric spaces. With applications to harmonic maps of Riemann surfaces, Lecture Notes in Mathematics, 1424. Springer, Berlin (1990).

• [13] F. E. Burstall, Harmonic tori in spheres and complex projective spaces, J. Reine Angew. Math., 469, 146-177 (1995).

• [14] E. Calabi, Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres, J. Diff. Geom., 1, 111-125 (1967).

• [15] S. Donaldson, An application of gauge theory ot four dimensional topology, J. Diff. Geo. 18, 1983, 279—315.

• [16] J. Eells & J. C. Wood, Restrictions on harmonic maps of surfaces, Topology, 15, 263-266 (1976).

• [17] J. Eells, J. C. Wood, Harmonic maps from surfaces to into
  complex projective spaces, Adv. in Math., 49, 217-263 (1983).

• [18] M. Giaquinta, E. Giusti, On the regularity of the minima of variational integrals, Acta Math., 148, 31-46 (1982).

• [19] R. Hardt & F. H. Lin, A remark on $H^1$ mappings, Manuscripta Math., 56, 1-10 (1986).

• [20] N. Hitchin, Harmonic maps from a 2-torus to a 3-sphere, J. Diff. Geom., 31, 627-710 (1990).

• [21] K. Pohlmeyer, Integrable Hamiltonian systems and interactions through constraints, Comm. Math. Phys., 46, 207-221 (1976).

• [22] T. Rivière, Everywhere discontinuous harmonic maps into spheres, Acta Math., 175, 197-226 (1995).

• [23] C. Taubes, The existence of a nonminimal solution to the $SU(2)$ Yang—Mills-Higgs equations on $\mathbb{R}^3$. I and II, Comm. Math. Phys., 86 (2), 257-298, and (3), 299-320 (1982).