Sur une (petite) erreur d’Isaac Newton

Piste rouge 22 mai 2015  - Ecrit par  François Guéritaud Voir les commentaires

La Terre n’est pas tout à fait ronde. Depuis Newton on peut même le calculer... mais il y a un piège, dans lequel semble être tombé le grand homme !

Mesurer la forme de la Terre : ce thème a donné lieu déjà à un bon paquet d’articles sur ce site [1]. Si aujourd’hui on sait décrire la forme de la Terre — ou disons des océans, pour faire abstraction des montagnes — pratiquement au centimètre près, on sait depuis le 18e siècle le principal : la Terre est légèrement aplatie aux pôles. En effet, comme l’intérieur de la planète est malléable, ainsi d’ailleurs que sa surface faite d’océans liquides, la rotation entraîne par force centrifuge une partie de la masse vers l’équateur.

Les mesures modernes donnent de cet aplatissement l’estimation suivante :

  • Rayon polaire : 6356,75 km
  • Rayon équatorial : 6378,14 km
  • soit un excès de : 21,39 km, ou encore 0,336%.

Isaac Newton a prédit cet aplatissement par le calcul dans ses Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), avant qu’il soit mesuré directement lors de l’expédition polaire de Maupertuis (1736-1737). Les Principia sont sûrement le grand livre fondateur de la physique moderne, et sa lecture donne un aperçu fascinant de la démarche intellectuelle et même de la personnalité de Newton. Pourtant, l’auteur y fait une erreur intéressante dans la prédiction de l’aplatissement, qu’il surestime. Je voudrais revenir ici sur ses raisonnements.

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Isaac Newton vu par son contemporain Godfrey Kneller.

Au fait, comment mesurer l’aplatissement ?

Il y a, à la disposition des scientifiques vers 1700, deux principales méthodes :

1) À la perche et au sextant.
On se met à quatre pattes, et on mesure !

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Gravure de J. Ansseau (« Vies des savants illustres », L. Figuier).

Plus exactement, on essaie de répondre à la question : Combien de kilomètres faut-il marcher, plein nord, pour voir l’étoile polaire s’élever d’un degré dans le ciel ? À cause de l’aplatissement, le nombre de kilomètres sera plus grand aux latitudes élevées. C’est ce qu’a mesuré l’expédition de Maupertuis, pendant qu’une autre équipe constatait l’effet opposé près de l’équateur, au Pérou.

2) Au pendule et au chronomètre. Cette seconde méthode, indirecte, est en fait antérieure à la première — Newton disposait déjà des mesures du Français Jean Richer prises à Cayenne en 1672. Le principe est le suivant : l’intensité de la pesanteur terrestre, qui détermine la vitesse de battement d’un pendule, est plus faible à l’équateur, toujours à cause de la force centrifuge engendrée par la rotation terrestre — à laquelle s’ajoute une perturbation causée par la déformation de la planète même. On peut mesurer ce ralentissement des pendules au moyen d’un appareil, comme par exemple un chronomètre à ressort ou un simple cadran solaire, capable de mesurer le temps indépendamment de la pesanteur.

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Quoique faible, cette variation de la pesanteur ressentie suffit probablement pour gagner quelques centimètres au saut à la perche !

Comment ces deux effets, mesurés par les méthodes 1 et 2, sont-ils liés ?

C’est ici que cela se corse : tout dépend de la répartition des masses internes de la Terre. Pour simplifier, nous allons considérer deux cas extrêmes :

A) Si l’intérieur de la Terre est un liquide de densité homogène. Newton expose alors un calcul remarquable, d’hydrostatique dirions-nous aujourd’hui, qui mène au résultat suivant : supposons que la vitesse de rotation de la Terre crée une force centrifuge égale, à la surface de la planète, à une petite fraction, mettons 1%, de ce que serait la pesanteur en l’absence de toute rotation. (Le vrai chiffre [2] est plutôt de l’ordre de 0,35% mais Newton lui-même fait cette simplification pour affronter les calculs les plus délicats ! Si on veut les vrais chiffres, il suffit dans la suite de multiplier toutes les estimations par 0,35). Les calculs montrent que :

  • l’aplatissement physique (mesuré au sextant, par la méthode 1) est de 1,25%,
    tandis que
  • la variabilité de la pesanteur ressentie à la surface (pendule, méthode 2) est également de 1,25% entre le pôle et l’équateur.

Le raisonnement repose sur l’équilibre de deux colonnes de fluide percées depuis le pôle et depuis l’équateur et se rejoignant au centre de la planète. Ce qui rend le calcul subtil, c’est qu’il faut tenir compte de l’attraction mutuelle de toutes les parties du globe : amener un peu de masse sur le bourrelet équatorial change non seulement la hauteur de la colonne de fluide, mais aussi le poids apparent de chaque portion des deux colonnes.

B) Si en revanche la Terre comporte un noyau petit et très dense, entouré d’un manteau liquide incompressible mais de faible masse, alors la situation est différente. Newton ne fait pas le calcul, mais il est à vrai dire bien plus facile et il semble d’ailleurs que Huygens l’ait fait vers la même époque. On trouve que

  • l’aplatissement (méthode 1) est plus faible : seulement 0,5%,
    tandis que
  • la variabilité de la pesanteur est plus forte : elle atteint 2%.
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Isaac Newton vu par William Blake.

C’est un peu déconcertant : les deux effets varient en sens opposés ! En fait, on peut se faire une idée de ce phénomène comme suit. Dans le cas A, le bourrelet équatorial, étant lui-même pesant, attire encore à lui un surcroît de matière, en une sorte de rétroaction positive. De là vient une plus grande déformation. Dans le cas B, la planète est certes un peu moins déformée, mais plus un habitant de sa surface se rapproche de l’équateur, plus il s’éloigne de la seule source de gravitation (le noyau) : la partie du manteau située immédiatement sous ses pieds ne l’attire plus. De là, la plus grande variabilité de la pesanteur ressentie.

Quant à la vraie Terre sur laquelle nous marchons... eh bien elle n’est ni A ni B : elle est un intermédiaire C dans lequel le manteau est pesant, mais moins dense que le noyau. Par rapport au calcul de Newton, on constate donc un sur-ralentissement du pendule, et un sous-aplatissement du globe.

Newton a eu l’intuition correcte que la probable inhomogénéité de la planète devrait perturber ses résultats, mais il en a déduit, apparemment par simple étourderie, que les deux effets devraient varier dans le même sens. Tout cela est résumé sur le dessin qu’on trouvera un peu plus bas.

Étourderie, vraiment ? (...)

Étourderie, vraiment ?
Qu’on en juge : c’est précisément à la ligne 7 de cette page, dans la traduction anglaise (1729) de la troisième édition (1726) des Principia. En version française, ligne 5 de cette page. La discussion de la forme des planètes commence une dizaine de pages plus haut.
Ce qui me semble plaider en faveur d’une étourderie, c’est la clairvoyance du calcul de Newton dans le cas A : il avait fait le plus dur en prenant en compte l’attraction mutuelle de toutes les parties de la Terre et en définissant une condition d’équilibre hydrostatique (pression dans les colonnes de fluide) que ses successeurs ne feront que raffiner. Le chiffre 1,25% ne s’invente pas, aussi il me semble clair qu’il n’aurait eu aucun mal à conduire le calcul du cas B selon les mêmes principes.
Ayant trouvé dans le cas A des perturbations égales (1,25%) sur les deux grandeurs, Newton, qui n’était pourtant pas du genre à se satisfaire d’idées préconçues, a donc pu être tenté de conclure hâtivement qu’elles seraient toujours égales — idée qu’il ne cherche d’ailleurs nullement à étayer dans le passage cité ci-dessus, alors que tout le reste du chapitre consiste en calculs soigneusement justifiés.

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Isaac Newton vu par Marcel Gotlib.

Au lieu de creuser cette question de la densité du noyau, Newton détourne alors son attention vers une autre raison possible du sur-ralentissement pendulaire mesuré par Richer à Cayenne (et par quelques-uns de ses successeurs, sans doute moins soigneux, qui semblent avoir été tentés de trouver le pendule plus lent encore). Newton essaie en effet de mettre l’effet observé sur le dos de la dilatation thermique : le pendule de Richer, raisonne-t-il, devait être un peu plus long que Richer ne le croyait, et donc trop lent, à cause de la chaleur qui règne sous les tropiques. Newton essaie même d’estimer précisément cette dilatation ; il mentionne encore les effets de l’altitude et d’autres possibles irrégularités terrestres et imprécisions de mesure. Après avoir visiblement hésité un peu, il décide de noyer le poisson en prédisant un bourrelet équatorial de 27 km environ, retournant peu ou prou au modèle d’une Terre homogène (A). Je trouve assez émouvants [3] ces passages où l’on voit Newton cheminer parmi des informations très incomplètes tout en confiant franchement ses doutes, sans jamais lâcher sa grande idée.

En fait, s’il avait aperçu que les effets mis en évidence par les méthodes 1 et 2, sextant et pendule, varient bel et bien en sens contraires, Newton aurait pu, en faisant l’hypothèse qu’une planète à peu près ronde (à “symétrie sphérique de masse”) doit se trouver quelque part sur le segment AB [4], utiliser les observations de Richer pour prédire un aplatissement très proche de la réalité (21 km).

NB : on a porté sur ce dessin les valeurs correspondant aux mesures modernes de l’aplatissement et de la variabilité de pesanteur. En fait, dans nos unités, Richer trouvait plutôt 1,44, et Maupertuis environ 1,5. Ce n’est qu’au 19e siècle que cette dernière valeur sera ramenée aux alentours de 1. [5]

Épilogue

Newton meurt en 1727, à 83 ans. Dix ans plus tard, les coûteuses expéditions en Laponie et au Pérou permirent de mesurer directement l’aplatissement physique de la planète. Ces expéditions, dont le récit regorge de détails rocambolesques, avaient sans doute aussi pour but de faire un peu étalage de la puissance du royaume de France... Elles furent enfin considérées comme un triomphe des idées de Newton, qui trouvaient encore des opposants [6]. Voltaire, un grand ego tout comme Maupertuis, admira beaucoup ce dernier avant de se brouiller avec lui à l’académie de Prusse et de rédiger ce distique narquois (ici dans son contexte) :

« Vous avez confirmé dans ces lieux pleins d’ennui
Ce que Newton connut sans sortir de chez lui.
 »

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Frontispice des “Élémens de la Philosophie de Neuton mis à la portée de tout le monde”, par M. de Voltaire (1738). La marquise du Châtelet tient un miroir qui réfléchit la lumière de Newton vers la table de travail de l’illustre auteur.

La pique était assez injuste : d’une part, comme on l’a montré dans cette note, en l’absence d’informations sur la répartition des masses internes de la Terre (même supposée ronde et symétrique) on ne peut pas estimer son aplatissement sans faire au moins une paire de mesures à des latitudes différentes : pendule de Richer à Paris et à Cayenne, ou bien sextant de Maupertuis et La Condamine en Laponie et au Pérou. D’autre part, même si une bonne estimation de l’aplatissement pouvait être connue (la petite erreur de Newton est corrigée vers la même époque), n’est-ce pas tout simplement ainsi que la science avance : en confrontant mesures et prédictions ?

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Un portrait plus réaliste d’Emilie du Châtelet, par Marianne Loir.

On trouvera ici une liste historique des mesures de l’aplatissement depuis le 18e siècle. Quant à la question théorique des formes d’équilibre d’une planète, elle eut encore de très nombreux et surprenants développements jusqu’à l’époque contemporaine, résumés (pour le cas homogène) dans cet article de Chandrasekhar.

Post-scriptum :

Je souhaite remercier Étienne Ghys pour m’avoir lancé sur les pistes de cette histoire ; Olivier Courcelle pour sa mise en ligne des archives Clairaut ; Frédéric Chambat, Frédéric Brechenmacher, Jérôme Buzzi, Jérôme Pérez, JYG, B !gre et Nathalie Cartier pour leur relecture attentive ainsi que l’équipe d’IdM pour son aide et ses conseils.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

Notes

[1Echantillon : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

[2Pour calculer ce chiffre 0,35%, l’ingrédient le plus difficile à mesurer est le rayon terrestre, or celui-ci est assez bien connu depuis l’Antiquité.

[3Voici un exemplaire, annoté de la main de Newton, de la première édition latine des Principia : le passage qui nous concerne est aux pages 422-426.

[4Cette hypothèse, qui s’avère valable pour une planète ne tournant pas trop vite, s’appelle aujourd’hui le théorème de Clairaut. Il semble que Clairaut, qui prit part à 23 ans à l’expédition lapone de 1736, soit le premier à avoir corrigé l’erreur de Newton : d’abord dans un article scientifique de 1738 (en anglais !) puis, plus complètement, dans sa Théorie de la figure de la Terre parue en 1743. Voici la page de l’introduction où il énonce sa découverte. Plus loin il s’étend sur les raisons possibles de l’erreur de Newton.

Par ailleurs la marquise du Châtelet (1706-1749) publia posthumément une célèbre traduction française des Principia, assortie de nombreux commentaires. Dans son Exposition abrégée du système du monde, qui regroupe les commentaires non techniques, elle relève aussi l’erreur de Newton en citant Clairaut.

[5Juste avant le passage cité à la note précédente, la marquise du Châtelet relève déjà que la mesure de l’aplatissement par Maupertuis est trop élevée pour s’accorder à la théorie — correcte — de Clairaut. Elle y revient en conclusion du chapitre (67 pages) de la Solution analytique des principaux Problèmes qui concernent le Système du Monde qu’elle consacre aux démonstrations techniques de cette théorie.

[6De fait, la question qui obsédait réellement les esprits était bien plus basique : la Terre est-elle aplatie, ou au contraire allongée aux pôles ? Des mesures faites au nord et au sud de la France par les Cassini semblaient favoriser la seconde hypothèse, divergence sur laquelle s’étaient promptement greffées des inimitiés nationales. La gravitation newtonienne, qui décrivait si bien les mouvements des astres, était-elle « universelle » au point d’expliquer aussi ce qui se passe sous nos pieds ? Ce n’était pas là un point de détail ! Tous ces enjeux, et d’autres bien plus humains, sont magnifiquement racontés par Florence Trystram dans Le Procès des étoiles.

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Pour citer cet article :

François Guéritaud — «Sur une (petite) erreur d’Isaac Newton» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

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