Les surfaces à courbure moyenne constante apparaissent de manière naturelle dans la modélisation des interfaces entre fluides de densités différentes ou encore dans l’étude du problème isopérimétrique. Ces 20 dernières années, l’introduction de techniques d’analyse a permis de faire des progrès considérables dans la compréhension de ces objets géométriques.
Didon, fondatrice de Carthages, aborda l’Afrique où le roi Jarbas lui accorda la portion de terrain que pourrait contenir la peau d’un bœuf. Didon fit découper cette peau en une bande étroite et s’en servit pour délimiter le bord d’un territoire semi-circulaire centré en un point de la côte, elle obtint ainsi un terrain assez vaste pour y construire une citadelle qui fut ensuite l’acropole de Carthages : Didon avait trouvé la solution du "problème isopérimétrique dans un demi plan".
Si (M,g) est une variété Riemannienne compacte de dimension m+1, m\geq 1, le problème isopérimétrique dans (M,g) s’énonce de la manière suivante : Etant donnée une constante 0 < \nu < \mbox{Vol}_{m+1} (M), on cherche à déterminer le ou les domaines \Omega \subset M dont \mbox{Vol}_{m} (\partial \Omega ), la mesure m-dimensionnelle du bord, est minimale parmi tous les domaines dont la mesure (m+1)-dimensionnelle \mbox{Vol}_{m+1} (\Omega) est égale à \nu.
La théorie de la mesure géométrique permet d’apporter une réponse à ce problème et l’on sait qu’il existe (au moins) un domaine \Omega \subset M dont la mesure m-dimensionnelle du bord \mbox{Vol}_m (\partial \Omega ) est minimale parmi tous les domaines dont la mesure (m+1)-dimensionnelle est égale à \nu. De plus, en dehors d’un ensemble de dimension de Hausdorff m-7, le bord de \Omega est une hypersurface plongée dont la courbure moyenne est constante. Dans le cas où la variété M est une variété à bord et où \partial M \cap \partial \Omega \neq ptyset alors le bord de \Omega rencontre \partial M de manière orthogonale. Si ce résultat assure l’existence d’un domaine solution du problème isopérimétrique, la détermination du domaine lui même reste un problème extrêmement compliqué (même dans des cadres très simples où par exemple (M,g) est un tore plat de dimension 3). La caractérisation des solutions du problème isopérimétrique reste un domaine de recherche particulièrement actif dans lequel de nombreuses questions restent à résoudre R-05.
On considère deux plans orthogonaux qui passent par le point p\in S et contiennent le vecteur normal {\bf n}(p), ils coupent la surface S en deux courbes \Gamma et \Gamma' dont on calcule {\bf h} et {\bf h}' les vecteurs courbures respectifs au point p. La courbure moyenne de S au point p est alors donnée par la formule H = ({\bf h} + {\bf h}' ) \cdot {\bf n}.
La solution du problème isopérimétrique permettent de distinguer une catégorie particulière d’hypersurfaces, celles dont la courbure moyenne est constante.
Courbure moyenne d’une hypersurface.
Soit S une hypersurface compacte orientable, plongée dans (M,g), on note {\bf n} = {\bf n}_S le vecteur normal à S compatible avec l’orientation de S. Etant donnée w, une fonction régulière (suffisamment petite) et définie sur S, on peut définir l’hypersurface S_w paramétrée par
p \in S \longrightarrow \mbox{Exp}_p (w(p) \, {\bf n}(p)) \in S_woù \mbox{Exp} désigne l’application exponentielle dans (M,g). Par exemple, dans le cas où (M,g) est l’espace Euclidien l’hypersurface S_w est simplement paramétrée par
p \in S \longrightarrow p+ w(p) \, {\bf n}(p)
A.D. Alexandrov a démontré que les sphères sont les seules hypersurfaces à courbure moyenne constante compactes, plongées dans l’espace euclidien {\mathbb R}^{m+1}. La démonstration de ce résultat repose sur une principe de réflexion par rapport à des hyperplans. Ce « principe de réflexion d’Alexandrov » a par la suite connu de nombreuses généralisations notamment dans le domaine des équations aux dérivées partielles non linéaires grâce aux travaux de J. Serrin, B. Gidas, W.M. Ni et L. Nirenberg.
Pendant longtemps, on a pensé que l’on pouvait affaiblir les hypothèses du résultat d’Alexandrov en supprimant la condition de plongement. En fait il n’en est rien et, en 1984, H. Wente a démontré l’existence de tores (immergés dans {\mathbb R}^3) dont la courbure moyenne est constante (voir Figures 2 et 3). Ce résultat a ensuite donné lieu à de nombreux travaux qui ont mis en évidence le lien entre les tores à courbure moyenne constante de {\mathbb R}^3 et les systèmes intégrables. L’existence de surfaces à courbure moyenne constante (immergées), de genre g \geq 2, est maintenant établie grâce aux travaux de N. Kapouleas K-05, M. Jleli et F. Pacard, mais les résultats ne sont encore que parcellaires.
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On peut aussi s’intéresser aux hypersurfaces à courbure moyenne constante qui sont complètes, non compactes dans l’espace Euclidien. Par exemple, si S_\rho^n désigne la sphère centrée en 0 et de rayon \rho dans {\mathbb R}^{n+1}, les cylindres droits S^{m-k}_\rho \times {\mathbb R}^k sont des hypersurfaces complètes dont la courbure moyenne est constante H = \frac{m-k}{\rho}. Outre les cylindres droits, il existe dans {\mathbb R}^{m+1}, une famille à un paramètre d’hypersurfaces de révolution dont la courbure moyenne et constante si m \geq 2. Dans le cas où m=2, ces surfaces ont été découvertes au 19ème siècle par Delaunay et elles ont pour génératrices des roulettes de coniques (voir Figures 4, 5, 6 et 7) .
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Les surfaces de Delaunay sont à l’origine du développement, dans les années 1990, de nombreux travaux portant sur {\mathcal M}_{g,k}, l’ensemble des surfaces de genre g, complètes, non compactes à courbure moyenne constante, qui ont k bouts asymptotes à des onduloïdes de Delaunay KMP-96 (voir Figures 8 et 9). Les principaux résultats montrent d’une part que {\mathcal M}_{g,k} a une structure de variété dont la dimension (formelle) est égale à 3\, k, donc ne dépend pas du genre g et d’autre part que {\mathcal M}_{0,k} n’est pas vide si k \geq 2. Enfin, signalons le résultat récent de K. Grosse-Brauckman, R. Kusner et J. Sullivan KGBS-03 qui permet de classifier les éléments de {\mathcal M}_{0,3}.
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Définissons {\mathcal M}(\Sigma , M, g) comme étant l’ensemble des hypersurfaces \Sigma à courbure moyenne constante qui sont plongées dans une variété Riemannienne compacte (M ,g). Précisons que la topologie des éléments de cet ensemble est fixée par celle de \Sigma, mais que la valeur de la courbure moyenne elle est une constante qui n’est pas fixée. Cet ensemble s’avère avoir une structure très riche et, pour un choix générique de la métrique g définie sur M, l’ensemble {\mathcal M}(\Sigma , M, g) est une réunion de variétés régulières de dimension 1. Les résultats ci-dessous donnent une description (partielle) de certaines composantes non compactes de {\mathcal M} (\Sigma, M, g).
Supposons que K un point de M ou bien une sous-variété K de dimension k \leq m-1 plongée dans M. Définissons le tube géodésique de rayon \rho > 0 autour de K par
On vérifie que, quand \rho tend vers 0, la courbure moyenne de S_\rho (K) est presque constante au sens où
Il semble alors raisonnable de perturber S_\rho (K) en une hypersurface à courbure moyenne constante, du moins lorsque \rho est assez petit. Il s’avère que des conditions supplémentaires portant sur K sont nécessaires pour pouvoir mettre en oeuvre cette stratégie.
Dans le cas où K est un point p \in M, R. Ye Y-91 a démontré le :
Les solutions du problème isopérimétrique pour des contraintes de volume petites (i.e. \nu \sim 0) sont proches de sphères géodésiques. Lorsque la courbure scalaire R est une fonction de Morse, il est conjecturé que ces solutions appartiennent à la branche d’hypersurfaces obtenue par R. Ye qui se concentre autour du maximum de la courbure scalaire sur (M,g).
Courbure scalaire
La courbure scalaire apparaît par exemple dans le développement limité, quand \rho tend vers 0, de la mesure (m+1)-dimensionnelle de la sphère géodésique S_\rho (p) de centre p et de rayon \rho
\mbox{Vol}_{m}(S_\rho (p)) = \rho^{m} \, \omega_m \, \left( 1- \frac{1}{6 \,(m+1)} \, R(p) \, \rho^2 + {\mathcal O} (\rho^4) \right)où \omega_m est la mesure m-dimensionnelle de la sphère unité de {\mathbb R}^{m+1}.
Dans le cas où K est une sous-variété de dimension k =1, ..., m-1, la situation est radicalement différente MMP-05 et nous avons alors le :
Ce résultat met en évidence le lien entre sous variétés minimales de (M, g) et les branches non compactes de {\mathcal S}(SNK, M, g), où SNK désigne le fibré en sphères associé au fibré normal à la sous-variété K dans la variété (M,g). Cette fois-ci, et contrairement au cas où K est un point, le résultat ne semble pas être valable pour toutes les valeurs de \rho. Ceci est dû à un phénomène de résonance qui est inhérent à la construction.
Un exemple explicite
Dans le cas particulier où M^{m+1} = S^{m+1}_1, la sphère unité de {\mathbb R}^{m+2}, et K = \{0\} \times S^{k}_1, on considère pour r \in (0,1), l’hypersurface
\Sigma (r) : = S^{m-k}_r \times S^{k}_{\sqrt{1-r^2}}dont la courbure moyenne est constante H (\Sigma(r)) = (m-k) \frac{\sqrt{1-r^2}}{r} - k \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}. Nous avons là un exemple explicite d’hypersurfaces dont l’existence est assurée par le théorème ci-dessus. On montre en outre que, lorsque le paramètre r tend vers 0, on montre l’existence d’une infinité de points de bifurcations qui donnent lieu à des hypersurfaces de S^{m+1}_1 dont la courbure moyenne est constante mais qui ne sont pas aussi symétriques que \Sigma (r). Ce résultat de bifurcation est en fait à rapprocher du phénomène de résonance dont il est fait mention ci-dessus.
Il est intéressant de comprendre dans quelle mesure les conditions suffisantes d’existence dans les deux théorèmes ci-dessus sont aussi nécessaires. En d’autres termes : est-il, possible de caractériser les sous ensembles sur lesquels des familles d’hypersurfaces à courbure moyenne constante se concentrent lorsque leur courbure moyenne tend vers l’infini ? Dans cette direction, mentionnons le résultat récent suivant :
[K-05] N. Kapouleas, Construction of Minimal Surfaces by Gluing Minimal Immersions Global Theory of Minimal Surfaces, Clay Mathematics Proceedings, D. Hoffman Edt, AMS (2005).
[KMP-96] R. Kusner, R. Mazzeo et D. Pollack, The moduli space of complete embedded constant mean curvature surfaces, Geom. Funct. Anal. 6, (1996), 120-137.
[KGBS-03] K. Grosse-Brauckmann, R. Kusner et J. Sullivan, Triunduloids : Embedded constant mean curvature surfaces with three ends and genus zero, J. Reine Angew. Math. 564 (2003), 35-61.
[MMP-05] F. Mahmoudi, R. Mazzeo et F. Pacard, Constant mean curvature hypersurfaces condensing along a submanifold, Geom. Funct. Anal. 16, no 4, (2006) 924-958.
[R-05] A. Ros, The isoperimetric problem, Global Theory of Minimal Surfaces, Clay Mathematics Proceedings, D. Hoffman Edt, AMS (2005).
[Y-91] R. Ye, Foliation by constant mean curvature spheres, Pacific J. Math. 147 (1991), no. 2, 381—396.
Je voudrai remercier Nick Schmitt (GANG, University of Massachusetts at Amherst) pour m’avoir autorisé à utiliser ses images de surfaces qui sont disponibles sur le site GANG.
