Systèmes dynamiques aléatoires

Piste noire 5 juin 2012  - Ecrit par  Jean-François Quint Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec Le Séminaire Bourbaki

Cet article est une introduction à l’exposé de François Ledrappier « Mesures stationnaires sur les espaces homogènes, [d’après Yves Benoist et Jean-François Quint] » au Séminaire Bourbaki le samedi 9 juin 2012.
Il présente un résultat récent, qui se situe au carrefour de la théorie des systèmes dynamiques et de la théorie des probabilités. Il montre que certaines transformations aléatoires ont tendance à adopter des comportements moins chaotiques que des transformations non aléatoires.

Systèmes dynamiques

La théorie des systèmes dynamiques vise à la compréhension de la situation suivante : on se donne un ensemble $X$ et une transformation $T$ de $X$ dans $X$, c’est-à-dire que pour chaque élément $x$ de $X$, on définit un nouvel élément $T(x)$, qu’on appelle son image sous l’action de la transformation $T$. On itère alors la transformation $T$, c’est-à-dire qu’on considère, pour un $x$ dans $X$ donné, la suite $x$, $T(x)$, $T^2(x)=T(T(x))$, $T^3(x)=T(T^2(x))$, etc. et on cherche à décrire le comportement de cette suite, qu’on appelle l’orbite de $x$.

Des exemples de transformations

Voici pour commencer un exemple particulièrement élémentaire : si $X$ est un ensemble à deux éléments
$\{a,b\}$ et si $T$ est la transformation telle que
$T(a)=b$ et $T(b)=a$,
il est facile de voir que, pour $n$ entier impair, on a
$T^n(a)=b$
et, pour $n$ pair,
$T^n(a)=a$.

Plus généralement, si $X$ est un ensemble fini, on peut démontrer que la suite $x$, $T(x)$, $T^2(x)$, $T^3(x)$, etc. est périodique à partir d’un certain rang, c’est-à-dire qu’il existe des entiers $n$ et $p>0$ tels que $T^n(x)=T^{n+p}(x)=T^{n+2p}(x)=\cdots$. Ainsi, par exemple, si un joueur mélange un jeu de cartes en les permutant toujours de la même façon, le jeu reviendra-t-il au bout d’un certain temps à son ordre initial.

Voici maintenant un exemple plus géométrique (et plus riche). Considérons un cercle $C$ de rayon 1 et, pour un angle orienté donné, la rotation associée dans le cercle. Si l’angle est un multiple rationnel de $2\pi$, il est relativement aisé de montrer que toutes les orbites sont finies.

JPEG - 12.6 ko
Une rotation périodique

En revanche, si ce n’est pas le cas, les orbites sont denses , c’est-à-dire qu’étant donné $x$ dans $C$ et un secteur angulaire $I$ de $C$, il existe un entier $n$ tel que $T^nx$ appartienne à $I$. En d’autres termes, les orbites visitent l’ensemble du cercle.

JPEG - 13.1 ko
Une rotation non périodique

Cette démarche trouve sa motivation dans l’étude de systèmes physiques. En effet, l’état d’un tel système à un instant donné se décrit par un certain nombre de données numériques : celles-ci constituent l’ensemble $X$. Par exemple, si l’on cherche à décrire le mouvement d’un corps de taille négligeable, il faut donner, d’une part, sa position (soit trois nombres réels) et, d’autre part, sa vitesse (trois autres nombres réels). Ainsi, dans cette étude, l’ensemble $X$ à considérer est-il l’ensemble $\mathbb R^6$ des familles de six nombres réels. On conçoit que, pour des systèmes physiques plus sophistiqués, l’ensemble $X$ est très gros ! La transformation $T$, quant à elle, représente l’évolution du temps : si, à l’instant $0$, je connais la position et la vitesse d’un corps et si je connais les forces qui s’exercent sur lui, alors je sais que sa position et sa vitesse à l’instant $1$ sont fixées. Ainsi, si un élément $x$ de $X$ décrit l’état d’un système physique à l’instant $0$, on définit $T(x)$ comme étant l’état du système à l’instant $1$. Alors, la suite $x$, $T(x)$, $T^2(x)$, $T^3(x)$, etc. décrit ses états aux instants 0, 1, 2, 3, etc. Pour être précis, je devrais aussi bien sûr étudier les états du système aux temps qui ne sont pas entiers. Je me restreins dans cet article aux temps entiers afin de simplifier cette présentation.

La difficulté vient de ce que, en général, la quantité $T(x)$ est difficile à calculer explicitement. Les lois physiques ont en effet tendance à la présenter comme la solution d’une équation dont $x$ est un paramètre et non à la définir par une formule du type $T(x)=$ une fonction de $x$.
Dans certaines situations, l’équation qui définit $T(x)$ de façon implicite peut se transformer en une équation explicite où $T(x)$ s’exprime à l’aide de fonctions usuelles à partir de $x$. C’est le cas, notamment, du problème gravitationnel à deux corps (qu’on étudie en première année de physique à l’université ou en classes préparatoires) qui a été résolu par Newton : on sait qu’alors, un des deux corps étant considéré comme fixe, le centre de gravité de l’autre décrit une conique, qu’il parcourt à une vitesse précise.

En général, nous ne pouvons pas calculer $T(x)$, et nous en sommes réduits à décrire la suite $x$, $T(x)$, $T^2(x)$, $T^3(x)$, etc. de façon qualitative : par exemple, on peut se demander si elle visite tout l’espace ou si elle reste cantonnée à une certaine zone de celui-ci. La théorie des systèmes dynamiques vise à développer des méthodes qui permettent d’effectuer ce type de description.

Transformation du chat

Venons-en maintenant à la description d’un exemple célèbre, qui a été considérablement étudié depuis une cinquantaine d’années : la transformation du chat d’Arnold $T$ dans le carré $X=[0,1[\times[0,1[$.

Définition précise de la transformation du chat

Nous allons définir une transformation du carré
$X=[0,1[\times[0,1[$,
c’est-à-dire de l’ensemble $X$ des couples de nombres réels
$(s,t)$
avec
$0\leq s<1$
et
$0\leq t<1$,
de la façon suivante : étant donné
$(s,t)$
dans $X$, on le remplace par le couple
$(2s+t,s+t)$.
Celui-ci n’appartient pas nécessairement au carré
$[0,1[\times[0,1[$
mais il existe un unique couple d’entiers
$(k,l)$
tel que
$(2s+t-k,s+t-l)$
appartienne encore à
$X=[0,1[\times[0,1[$.
L’entier $k$ est la partie entière de
$2s+t$
et $l$ est la partie entière de
$s+t$.
On pose
$Tx=(2s+t-k,s+t-l)$.

JPEG - 13.7 ko
Une orbite périodique de la transformation du chat

Cette transformation est un exemple élémentaire de ce qu’on appelle parfois un système chaotique ou encore dépendant des conditions initiales. Ce comportement chaotique était illustré par V. Arnold en faisant agir cette transformation (ou plus précisément une version discrétisée de celle-ci) sur l’image d’un chat, d’où son nom (on trouvera des images de cette action sur cette page).

Plus précisément, si $x$ est un élément de $X$ (donc un état initial de notre système ), il existe des points $y$ arbitrairement proches de $x$ tels que le comportement des suites $x$, $T(x)$, $T^2(x)$, $T^3(x)$, etc. et $y$, $T(y)$, $T^2(y)$, $T^3(y)$, etc. soit complètement différent. En d’autres termes, une perturbation infime des conditions initiales du système amène à des évolutions radicalement différentes. Par exemple, il existe des points $x$ de $X$ tels que la suite $x$, $T(x)$, $T^2(x)$, $T^3(x)$, etc. visite l’ensemble du carré (c’est-à-dire que pour tout disque $D$ aussi petit que l’on souhaite contenu dans le carré, il existe un entier $n$ tel que $T^n(x)$ appartienne à $D$), mais il existe des points $y$ arbitrairement proches de $x$ tels que la suite $T^n(y)$ tende vers $(0,0)$ quand $n$ tend vers l’infini.

Des trajectoires qui convergent vers $(0,0)$.

Soit la matrice
$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$. Pour tout $x$ dans $X$, on a $T(x)=A(x)$ à une translation par un élément de $\mathbb Z^2$ près.
Posons
$\lambda=\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})$
et
$v=(1,-\frac{1}{2}(1+\sqrt{5}))$,
de sorte qu’on a
$A(v)=\lambda v.$
Notons $\Delta$ la droite engendrée par le vecteur $v$ dans $\mathbb R^2$.
Le fait que la pente de la droite $\Delta$ est irrationnelle, implique que l’ensemble $\Delta+\mathbb Z^2$
est dense dans $\mathbb R^2$, si bien que tout point de
$[0,1[\times[0,1[$
peut être approximé de manière arbitrairement proche par des éléments de la forme
$y=tv+(k,l)$
où $t$ est un nombre réel et $k$ et $l$ sont des entiers relatifs. Or, comme
$0\leq\lambda<1$,
la suite
$A^n(v)=\lambda^nv$
tend vers
$(0,0)$
quand $n$ tend vers l’infini, si bien que si $y$ est de la forme ci-dessus, le point
$T^n(y)$
tend vers
$(0,0)$.
En effet, on a
$T^n(y)=\lambda^n tv+(k_n,l_n)$
où $k_n$ et $l_n$ sont des entiers relatifs.
On a bien montré que tout point de $X$ peut être approché arbitrairement par des points dont l’orbite tend vers
$(0,0)$.

Pour plus de renseignements sur les transformations chaotiques, on pourra lire l’article d’Etienne Ghys sur l’effet papillon.

Transformation du chat aléatoire

Modifions maintenant notre situation de départ en y introduisant une part d’aléatoire. Donnons-nous toujours un ensemble $X$, mais étudions à présent deux transformations $S$ et $T$ sur $X$. A un point $x$ de $X$, nous allons associer une trajectoire aléatoire de la façon suivante. Au lieu d’appliquer à $x$ une des transformations fixée, on tire au hasard avec une pièce. Si on obtient pile, on applique $S$ et si on obtient face, on applique $T$. On itère ce procédé. Ainsi, la trajectoire de $x$ prend-elle la forme $x$, $R_1(x)$, $R_2(R_1(x))$, $R_3(R_2(R_1(x)))$, etc. où, pour tout entier $n$, $R_n$ est $S$ si à la $n$-ième étape nous avons tiré pile et $T$ si nous avons obtenu face. On cherche alors à décrire ce qu’on appelle l’évolution presque sûre de cette suite, c’est-à-dire, vu qu’elle est aléatoire, à dire ce qui peut lui arriver avec probabilité $1$.

Evénements presque sûrs

En théorie des probabilités, certains évènements existent mais ont une probabilité nulle de se produire : on n’en tient donc pas compte. Ce phénomène apparait quand on s’intéresse à des suites aléatoires infinies. Par exemple, si on tire à pile ou face avec une pièce une infinité de fois, on peut envisager d’obtenir toujours pile, mais ceci a en réalité une probabilité nulle d’arriver. En effet, la probabilité d’obtenir pile constamment pendant les $n$ premiers tirages est
$\frac{1}{2^n}$.
Comme ce nombre tend vers $0$ quand $n$ tend vers l’infini, on dit que la probabilité d’obtenir toujours pile est nulle. Du coup, la probabilité d’obtenir face au bout d’un certain temps est elle égale à $1$, bien que cet évènement ne soit pas sûr : on dit qu’il est presque sûr.

Un exemple élémentaire de déplacement aléatoire

Considérons le cas des marches aléatoires sur
$\mathbb Z$.
Alors, l’ensemble $X$ est l’ensemble des entiers relatifs. La transformation $T$ est simplement celle qui envoie un entier $n$ sur $n+1$ et $S$ celle qui envoie $n$ sur $n-1$. Les trajectoires aléatoires ressemblent à celles qui figurent sur le dessin suivant.

En abscisse figure le temps $n$ et en ordonnée la position de $0$ après $n$ itérations aléatoires.

Ce modèle n’est pas absurde d’un point de vue physique. En effet, on peut tout à fait considérer que les contraintes qui s’exercent sur le système évoluent au cours du temps. Alors les lois d’évolution qui le régissent sont elles-mêmes fluctuantes, ce dont on tient compte en les considérant comme aléatoires.

Quel est le comportement de systèmes du type de la transformation du chat quand on les rend aléatoires ? Pour le comprendre, il faut nous donner une nouvelle transformation $S$ du carré. Définissons $S$ de manière analogue à $T$ en inversant le rôle des deux coordonnées du carré.

Définition de $S$

En d’autres termes, pour
$(s,t)$
dans
$X=[0,1[\times[0,1[$,
on définit
$S(s,t)$
comme l’unique point de la forme
$(s+t-k,s+2t-l)$
avec $k$ et $l$ entiers qui appartienne à
$[0,1[\times[0,1[$.

Le résultat remarquable est alors le suivant : la transformation aléatoire ainsi obtenue perd d’une certaine façon son caractère chaotique. Plus précisément, si $x=(s,t)$ est un point fixé de $[0,1[\times[0,1[$ tel que l’une des coordonnées $s$ et $t$ est irrationnelle, alors, avec probabilité $1$, la suite aléatoire $x$, $R_1(x)$, $R_2(R_1(x))$, $R_3(R_2(R_1(x))$, etc. visite l’ensemble du carré, c’est-à-dire que, pour tout disque $D$ aussi petit que l’on souhaite contenu dans $[0,1[\times[0,1[$, il existe un entier $n$ tel que $R_n(\cdots (R_1(x))$ appartienne à $D$.

Ce résultat, que nous avons obtenu avec Yves Benoist (CNRS - Université Paris Sud) s’inscrit dans un cadre général où nous montrons que beaucoup de transformations aléatoires ont tendance à se comporter de manière analogue. Il fait suite à des travaux de Jean Bourgain, Alex Furman, Elon Lindenstrauss et Shahar Mozes sur ce sujet.

Bibliographie

Je donne ces références accessibles en ligne à titre indicatif. Elles ne sont pas compréhensibles par un non mathématicien.

J. Bourgain, A. Furman, E. Lindenstrauss, S. Mozes Stationary measures and equidistribution for orbits of non-abelian semigroups on the torus

Y. Benoist, J.-F. Quint, Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogènes.

Y. Benoist, J.-F. Quint Random walks on finite volume homogeneous spaces.

Y. Benoist, J.-F. Quint Stationary measures and invariant subsets of homogeneous spaces (II)

Y. Benoist, J.-F. Quint Stationary measures and invariant subsets of homogeneous spaces (III)

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths et l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Nicolas,
Ludovic Marquis et Jérôme Poineau.

Article édité par François Brunault

Partager cet article

Pour citer cet article :

Jean-François Quint — «Systèmes dynamiques aléatoires» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM