Systèmes dynamiques et billards

Piste noire 20 août 2012  - Rédigé par  Aurélien Alvarez, Jean-Christophe Yoccoz Voir les commentaires (1)

Cet article fait suite à une conférence donnée par Jean-Christophe Yoccoz le vendredi 18 novembre 2011 à l’IHP (la vidéo de la conférence se trouve à la fin de l’article). Cette conférence a été proposée dans le cadre du cycle Une question, un chercheur adressée aux élèves de classes préparatoires et aux étudiants de licence.

Le but de cet exposé était principalement de donner quelques idées sur les systèmes dynamiques, en particulier sur les billards qui forment une classe de systèmes dynamiques très riche du point de vue mathématique.

Un système dynamique, c’est quoi au juste ? Disons que c’est essentiellement la donnée de deux choses :

  • un espace des phases représentant l’ensemble des états possibles du système considéré ;
  • une loi d’évolution décrivant le changement infinitésimal (temps continu) de l’état du système, ou une loi d’évolution donnant l’état du système au temps $t+1$ en fonction de l’état au temps $t$ (temps discret) .

Le but principal de la théorie est alors de comprendre l’évolution à long terme du système, en particulier ses propriétés statistiques et asymptotiques. D’une certaine façon, on cherche à passer du court terme au long terme. De nombreux articles parlent de systèmes dynamiques sur ce site : n’hésitez pas à en relire quelques-uns !

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Isaac Newton (1643-1727)
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Henri Poincaré (1854-1912)

La théorie des systèmes dynamiques est relativement récente puisque le père fondateur en est certainement Henri Poincaré. Ce dernier était particulièrement intéressé par la mécanique céleste et le problème dit des « $n$ corps ». Les corps en question, ce sont par exemple les planètes du système solaire, les satellites de ces planètes… et le Soleil bien sûr. Mais trois corps comme le Soleil, la Terre et la Lune suffisent déjà pour rendre compte de la complexité du problème. Ces astres sont modélisés par des masses ponctuelles soumises à la loi universelle de gravitation de Newton et au principe fondamental de la dynamique. Et on aimerait bien savoir, par exemple, si sur le long terme (quelques millions ou dizaines de millions d’années ?) la Terre ou la Lune vont rester proches du Soleil ou vont s’en éloigner à jamais, ou si peut-être même des collisions entre différents astres pourraient se produire. C’est en fait une question redoutable ! Voici une simulation numérique des trajectoires de Mercure, Mars, Vénus et de la Terre.

Il y a bien sûr de nombreux exemples de systèmes dynamiques dans la nature et encore bien plus dans le monde mathématique ! Nous allons maintenant nous tourner vers une classe beaucoup plus simple a priori que la dynamique des $n$ corps, mais pas si facile (!) et tout à fait riche comme nous allons le voir : les billards planaires.

Les billards planaires

À propos de billards, deux articles sont parus récemment sur Images des maths :

Qu’est-ce qu’un billard planaire et quelles sont les règles du jeu ? Le billard est constitué d’une table [1] sur laquelle une bille (assimilée à un point matériel) se déplace en ligne droite à vitesse constante et rebondit sur les bords de la table selon les lois de l’optique géométrique : l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion [2]. Bref, c’est à peu près ce qui se passe quand on joue au billard pour de vrai… sauf que bien sûr, il y a les frottements de l’air et du tapis qui font que la bille s’arrête en pratique… et qu’un bon joueur n’hésite pas à mettre des effets donnant parfois à la bille des trajectoires aussi imprévisibles que surprenantes. Comme par exemple sur cette vidéo.

Voici ci-dessous quelques tables de billard intéressantes. On y voit notamment un billard circulaire, un autre rectangulaire, un autre en forme d’ellipse ou de stade. Encore un autre en forme de L et aussi un billard comprenant un obstacle au milieu. Bien sûr, on aimerait bien pouvoir étudier la forme de billard la plus générale possible mais, pour le moment, il faut bien reconnaître qu’on ne sait pas trop quoi dire dans une aussi grande généralité.

Déposons la bille sur la table, lançons-là dans une certaine direction et observons sa trajectoire. Le mouvement de la bille s’effectue en temps continu (à chaque instant, la bille est quelque part sur la table avec une certaine direction pour sa vitesse) mais comme il ne se passe rien entre deux rebonds (la bille va « tout droit »), autant ne s’intéresser qu’à la suite des rebonds sur les bords de la table ; plus précisément, à la position des rebonds sur la table et à l’angle d’incidence pour chaque rebond, c’est-à-dire la direction dans laquelle a lieu le rebond. Et ce faisant, on ramène l’étude de notre système dynamique à temps continu (la trajectoire de la bille de billard) à un système dynamique à temps discret : la suite des rebonds de la bille de billard sur les bords de la table.

Comme l’angle d’incidence est un nombre entre $0$ et $\pi$ (ces deux extrêmes correspondant à des incidences rasantes), si on appelle $U$ notre table, l’espace des phases est mathématiquement décrit par l’ensemble $\partial U \times [0,\pi]$, où $\partial U$ désigne le bord de la table. Pour des tables simples, comme les tables circulaires, rectangulaires et bien d’autres encore, on obtient là un cylindre [3].

Nous devons maintenant décrire la loi d’évolution du système : c’est la transformation de l’espace des phases dans lui-même qui associe à un rebond [4] le rebond suivant. Puisque les lois du mouvement de la bille sont tout à fait explicites, on devrait être capable d’expliciter notre transformation à l’aide d’une formule. Peut-être est-ce là un bon exercice ?

Mais le problème, c’est qu’on ne peut pas faire grand-chose avec une telle formule… [5] La contribution fondamentale de Poincaré, c’est qu’en un sens, ce n’est pas grave ! Changeons de point de vue et utilisons notre intuition géométrique pour décrire qualitativement le comportement du système. Après tout, c’est ça qui nous intéresse.

Avant de regarder de plus près une première table, une remarque générale concernant les billards. Ce sont des systèmes dynamiques réversibles dans le temps : le futur et le passé sont échangeables de sorte qu’il revient au même de regarder le futur d’une trajectoire ou bien son passé.

La table circulaire

C’est la table la plus simple et elle a déjà été décrite dans l’article de Marie Lhuissier avec en prime une petite vidéo. Il s’agit d’une dynamique régulière [6] : l’angle d’incidence $\theta$ des rebonds successifs reste le même (exercice !) et chaque trajectoire reste tangente à un cercle concentrique au bord circulaire de la table.

L’espace des phases (cylindrique comme nous l’avons dit) est ainsi feuilleté par des cercles euclidiens invariants par la dynamique. Si l’on dispose notre cylindre verticalement, la coordonnée verticale représente donc l’angle d’incidence $\theta$ qui, nous l’avons vu, est un nombre dans l’intervalle $[0,\pi]$. Puisque ce nombre $\theta$ reste le même rebond après rebond, c’est que la dynamique dans l’espace des phases a lieu sur ce cercle horizontal de hauteur $\theta$. Ainsi tous les cercles horizontaux sont invariants et la dynamique se réduit en fait à une rotation dont l’angle dépend de la hauteur $\theta$ du cercle horizontal. Plus précisément, la transformation décrivant la loi d’évolution sur le cercle horizontal de hauteur $\theta$ est donnée par
\[x \mapsto x+\frac{\theta}{\pi} \quad modulo \quad \mathbf{Z}.\]
C’est une application qui va du bord circulaire de la table (repéré par un nombre réel $x$ modulo $\mathbf{Z}$) dans lui-même. Pour les cercles de l’espace des phases correspondant à un angle d’incidence $\theta=\frac{p}{q}\pi$ ($p$ et $q$ sont des entiers — on dit que $\theta$ est commensurable à $\pi$), toutes les trajectoires sont fermées et se répètent avec période $q$. Par exemple, si $p=2$ et $q=5$, concrètement au bout de cinq rebonds, la boule de billard est revenue à son point de départ et elle a eu le temps de faire deux fois le tour de la table.

Par contre, sur les cercles de l’espace des phases correspondant à un angle d’incidence $\theta$ non commensurable à $\pi$, les trajectoires sont denses [7] et équiréparties : la proportion des rebonds qui ont lieu dans un arc du bord du cercle tend vers la longueur (relative) de cet arc.

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La table elliptique

Rappelons qu’étant donné deux points $F$ et $F'$ distincts du plan, une ellipse de foyers $F$ et $F'$, c’est l’ensemble des points $M$ du plan tels que la somme des distances de $M$ à $F$ et de $M$ à $F'$ soit égale à une valeur $a$ qu’on s’est fixé à l’avance (et on a choisi $a$ strictement plus grand que la distance de $F$ à $F'$, sinon ce n’est pas très intéressant…).

Une table elliptique et ses deux foyers

Dans leurs articles déjà mentionnés, Marie Lhuissier et Luc Hillairet reviennent sur les principales propriétés des billards elliptiques :

  • si une trajectoire passe par l’un des foyers, alors cette trajectoire passe par un foyer puis l’autre après chaque rebond. De plus les trajectoires ont tendance à s’aplatir le long du grand axe (le cas limite étant une trajectoire le long du grand axe) ;
  • si une trajectoire coupe le grand axe de l’ellipse à l’extérieur du segment reliant les deux foyers, alors cette trajectoire continue de couper le grand axe en dehors de ce segment après chaque rebond et est tangente à une ellipse homofocale (c’est-à-dire ayant les mêmes foyers) à la table elliptique : une telle ellipse intérieure est appelée caustique ;

Une ellipse homofocale

Les ellipses homofocales sont des caustiques

  • enfin si une trajectoire coupe le grand axe de l’ellipse entre les deux foyers, alors cette trajectoire continue de couper le grand axe entre les deux foyers après chaque rebond et est tangente à une hyperbole homofocale à la table elliptique : comme précédemment, on appelle cette hyperbole intérieure une caustique.

Une hyperbole homofocale

Les hyperboles homofocales sont aussi des caustiques

Voyons tout cela dans l’espace des phases. Afin de faciliter la représentation sur un dessin, coupons notre cylindre le long d’une verticale et déplions-le. On obtient la figure suivante à partir de laquelle on retrouve donc l’espace des phases en collant les extrémités gauche et droite. L’horizontale du bas correspond à la trajectoire rasante le long du bord billard ($\theta=0$) et l’horizontale du haut ($\theta=\pi$) correspond à la même trajectoire parcourue en sens inverse.

Pour $\theta$ proche de $0$, on retrouve les ellipses homofocales (idem pour $\theta$ proche de $\pi$). Les deux points particuliers de part et d’autre du centre sur la ligne en pointillé ($\theta=\pi/2$) correspondent aux extrémités du grand axe : la trajectoire passe d’un point à l’autre, la périodicité est donc de $2$. Les lignes qui passent par ces deux points correspondent aux trajectoires homoclines : la dynamique sur ces orbites tend vers la position périodique correspondant au grand axe. Enfin, les courbes fermées sur le dessin correspondent aux caustiques hyperboliques. [8]

Voici maintenant une conjecture de Birkhoff [9].

Sur une table elliptique, toutes les trajectoires suffisamment rasantes (c’est-à-dire ne passant pas par les foyers ni entre les foyers, autrement dit $\theta$ proche de $0$ ou $\pi$) restent tangentes à une caustique (en l’occurrence une ellipse homofocale comme on l’a vu). De façon équivalente, les extrémités de l’espace des phases sont feuilletées par une famille de courbes invariantes sous l’action de la dynamique.

Birkhoff a conjecturé que les tables elliptiques étaient les seules tables [10] possédant cette propriété. Une propriété remarquable !

Petite digression

Si le bord de la table est suffisamment lisse (au moins de classe $\mathcal{C}^6$) et si sa courbure est partout strictement positive, alors il existe une famille de caustiques s’accumulant sur le bord.

Chaque caustique correspond dans l’espace des phases à une courbe invariante sur laquelle la dynamique s’exprime comme une rotation $x \mapsto x+\alpha$ dans une coordonnée $x$ appropriée.

La probabilité qu’un point tiré au hasard sur la table se trouve sur une caustique tend vers $1$ à mesure qu’on se rapproche du bord. La même propriété a lieu dans l’espace des phases.

Les références pour tout ceci sont notamment les travaux de Kolmogorov, Arnold, Moser (théorie KAM), Lazutkin et R. Douady.

Dynamique régulière sur une table rectangulaire

La première remarque, très importante pour comprendre la dynamique, c’est qu’il n’y a que quatre directions possibles pour une trajectoire, comme on le comprend sur la figure précédente. Si on prend les symétriques de la table par rapport à l’horizontale et à la verticale [11], la trajectoire suit alors toujours la même direction. C’est ce qu’on voit sur la figure suivante qui va nous permettre alors de comprendre facilement la dynamique.

Le déploiement de la table rectangulaire

La table de billard qu’on étudie est en bas à gauche en vert. Le grand rectangle est en fait un tore, c’est-à-dire qu’il faut identifier les côtés horizontaux entre eux, ainsi que les côtés verticaux. En trait plein dans la table verte, on voit le début d’une trajectoire. On obtient la même chose dans la grande table en suivant la trajectoire en pointillé : la pente de cette dernière reste constante tout au long du mouvement.

Ainsi les trajectoires du billard pour la table rectangulaire correspondent aux trajectoires rectilignes sur le tore $\mathbf{R}/2a\mathbf{Z} \times \mathbf{R}/2b\mathbf{Z}$. On a essentiellement la même discussion que pour la table circulaire :

  • si la pente de la trajectoire est commensurable à la fraction $\frac{b}{a}$, la trajectoire est fermée et se répète périodiquement : c’est le cas en particulier des trajectoires horizontales et verticales ;
  • autrement, les trajectoires vues dans $\mathbf{R}/2a\mathbf{Z} \times \mathbf{R}/2b\mathbf{Z}$ sont denses et équiréparties : la proportion du temps passé dans une certaine région $A$ de $\mathbf{R}/2a\mathbf{Z} \times \mathbf{R}/2b\mathbf{Z}$ tend vers l’aire (relative, c’est-à-dire l’aire de $A$ divisée par $2a \times 2b$) de $A$.

Une table plus exotique : le billard en L

Comme pour la table rectangulaire, une trajectoire donnée n’a que quatre directions possibles [12]. On va donc déployer la table en en faisant quatre copies et en identifiant convenablement les côtés de ce déploiement comme indiqué sur la figure suivante avec les lettres a, b, c1, c2, d1, d2. C’est bien sûr un exercice amusant (et indispensable !) que de suivre la trajectoire en pointillé dans la table déployée en même temps que la véritable trajectoire dans la table verte qu’on étudie.

Le déploiement de la table en L

La figure suivante est la même, sauf qu’on a recollé le rectangle sur la gauche de la figure avec le rectangle de droite selon a, et qu’on a fait de même avec le rectangle du bas et celui du haut selon b. Mais sinon c’est vraiment la même chose. On a gagné le fait que notre table déployée a la même forme en L que la table de départ.

Une seconde version du déploiement de la table en L

La géométrie de cette table est quand même particulière comme on s’en rend compte quand on regarde le sommet. On pourrait croire qu’il y a six sommets, n’est-ce pas ? Mais non, car il ne faut pas oublier d’identifier les côtés qui portent la même lettre. Rajoutons également un point au milieu du grand côté vertical gauche et du grand côté horizontal du bas. Cela fait huit sommets qui n’en font en fait qu’un seul ! Vérifiez-le.

Plus amusant encore, quel est l’angle à ce sommet ? Il suffit de compter et on trouve
\[5 \times \frac{\pi}{2} + 2 \times \pi + \frac{3\pi}{2}=6\pi.\]

Donc par rapport à la géométrie euclidienne ordinaire, on voit bien que ce sommet est tout à fait particulier puisqu’il y a un « excédent » d’angle : $6\pi$ au lieu des traditionnels $2\pi$ ! [13]

Le point spécial de la surface déployée

Qu’en est-il maintenant de la dynamique ? Lorsque la pente de la direction initiale est rationnelle (y compris $0=\frac{0}{1}$ et $\infty=\frac{1}{0}$), la trajectoire est fermée et se répète périodiquement. Pas de surprise. Et si cette pente est irrationnelle, la trajectoire est dense et équirépartie. Précisons ce dernier point.

Soit $S$ un segment vertical contenu dans la table. Notons $N_S(x,\theta,T)$ le nombre de fois que la trajectoire de longueur $T$ issue de $x$ dans la direction $\theta$ rencontre le segment $S$ dans la direction $\theta$. L’équirépartition signifie que, lorsque la pente $\theta$ de la trajectoire est irrationnelle, on a
\[\lim_{T -> \infty} N_S(x,\theta,T)=\frac{1}{\cos(\theta)}\frac{|S|}{3L},\]
où $L/2$ est la longueur des côtés des trois carrés constituant la table (on peut d’ores et déjà jeter un oeil à la figure suivante pour les notations) et $|S|$ désigne la longueur de $S$. Le point remarquable, c’est que ça ne dépend pas de $x$ ! C’est ça que signifie le terme d’équirépartition. C’est un résultat non trivial dû à Veech dans les années 1980.

Plus intéressant, nous allons voir maintenant une déviation à l’équirépartition.

Considérons deux segments verticaux $S$ et $S'$ de même longueur.
Pour n’importe quelle position initiale $x$ et une direction initiale $\theta$ choisie au hasard [14], l’ordre de grandeur maximal de
\[|N_S(x,\theta,T)-N_{S'}(x,\theta,T)|\]
est $T^{1/3}$ lorsque $T$ devient grand. C’est un résultat tout récent [15] dû à Zorich, Kontsevich, Forni et Brainbridge.

L’apparition de l’exposant $1/3$, numériquement devinée par Zorich, est tout à fait remarquable. Par exemple, dans le cas d’une table rectangulaire $|N_S(x,\theta,T)-N_{S'}(x,\theta,T)|$ est au contraire dominé par n’importe quelle puissance strictement positive de $T$.

Un billard dispersif

Revenons à une table rectangulaire mais déposons au milieu un obstacle. Les règles de rebond sur l’obstacle sont les mêmes que sur le bord extérieur du billard. Ici l’espace des phases ne sera plus un cylindre mais deux cylindres puisque le bord de la table est maintenant constituée de deux morceaux.

À chaque rebond sur l’obstacle intérieur, la concavité de l’obstacle tend à séparer des trajectoires proches. Ceci provoque une divergence exponentielle des trajectoires proches et une impossibilité pratique de prévoir le comportement d’une trajectoire : c’est le fameux « effet papillon » (citons Sinaï qui a joué un rôle déterminant dans la compréhension de ces divergences).

La précision à chaque rebond est divisée par un certain entier. Disons $2$. Si on connaît les conditions initiales au départ à une précision de $10^{-5}$, au bout de vingt rebonds, on est complètement perdu ($2^{20}=1048576$) ! Il devient donc impossible de calculer une trajectoire au-delà de quelques rebonds. Et pourtant, c’est bien le long terme qui nous intéresse... [16] [17]

Une citation de 1843 pour terminer. À propos d’une enquête policière.

… car, relativement à la dernière partie de la supposition, on doit considérer que la plus légère variation dans les éléments des deux problèmes pourrait engendrer les plus graves erreurs de calcul, en faisant diverger absolument les deux courants d’événements ; à peu près de la même manière qu’en arithmétique une erreur qui, prise individuellement, peut être inappréciable, produit à la longue, par la force accumulative de la multiplication, un résultat effroyablement distant de la vérité…

Edgar Allan Poe. The mystery of Marie Roget (1843). Trad. Charles Baudelaire (1864).

La vidéo de la conférence est désormais disponible. La réalisation est signée François Tisseyre / Atelier EcoutezVoir, Paris.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths et les auteurs, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Walter, Romain Tessera, Nicolas Chatal, Emeric Bouin, Olivier Reboux et François Béguin.

Notes

[1Pour être plus précis, il s’agit d’un ouvert connexe borné du plan, dont le bord est lisse par morceaux.

[2Il pourrait arriver aussi que la bille touche un coin du billard mais cette situation est tellement improbable que nous n’en parlerons pas. Disons que si ça arrive, la bille s’arrête.

[3... de topologue... c’est-à-dire un espace homéomorphe à un produit cartésien d’un cercle et d’un intervalle. Ou, si l’on veut, de manière imagée, un cylindre qu’on s’est autorisé à déformer et cabosser.

[4En un point lisse du bord.

[5La formule en main, amusez-vous déjà à retrouver les résultats énoncés dans le paragraphe suivant sur la table circulaire... pas si facile...

[6Le terme technique est celui de « quasi-régulière ».

[7Ce qui signifie que l’une de ces trajectoires va rebondir aussi près que l’on veut de n’importe quel point du bord de la table qu’on choisit.

[8Les lecteurs les plus savants auront bien sûr reconnu le même espace des phases que celui d’un pendule simple.

[9À vrai dire, il n’est pas sûr qu’aujourd’hui Birkhoff ferait la même conjecture... car c’est bien possible qu’elle soit fausse. Bref, on ne sait pas trop...

[10strictement convexes (à bord lisse)

[11Le groupe des symétries est le groupe de Klein : $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$.

[12Sauf exception rarissime.

[13Remarquez que sur un cube habituel, c’est le contraire qui se passe, on a un « défaut » d’angle : en effet, l’angle au sommet d’un cube est de $3\times\frac{\pi}{2}$, soit un déficit de $\frac{\pi}{2}$ par sommet. Et comme il y a un huit sommets, au total, ça fait un déficit d’angle de $4\pi$.

[14Il faudrait ici bien sûr être plus précis et préciser la mesure, ce que nous ne ferons pas...

[15La prépublication est disponible ici mais attention, elle s’adresse aux experts !

[16L’effet papillon a déjà été évoqué sur Images des maths. On pourra en particulier relire L’effet papillon d’Étienne Ghys et Le moulin à eau de Lorenz d’Étienne Ghys et Jos Leys.

[17Notons également qu’une caustique ne venant jamais seule, s’il y en a une, il y en a beaucoup d’autres et on n’a alors pas d’effet papillon. Pour un système dynamique en général, on pense aujourd’hui qu’il devrait y avoir une sorte de « coexistence » entre caustiques et divergence exponentielle. Ce qui se passe entre les caustiques reste de toute façon un grand mystère.

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez, Jean-Christophe Yoccoz — «Systèmes dynamiques et billards» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Crédits image :

Isaac Newton (1643-1727) - Article Wikipédia d Newton
Henri Poincaré (1854-1912) - Article Wikipédia de Poincaré

Commentaire sur l'article

  • Petites simulations en ligne

    le 21 septembre 2012 à 15:18, par Marc Monticelli

    Je viens de mettre en ligne sur le site de l’Espace-Turing trois petites expériences numériques interactives sur les billards que j’avais sous la main et qui peuvent être amusantes en complément de l’article.

    Elles sont en flash. Si elles vous intéressent et/ou les voulez en javascript, contactez moi.

    ...Marc Monticelli

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