Теорема Шаля

un théorème franco-russe

Piste verte 4 novembre 2012  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (3)

J’ai reçu par la poste une enveloppe cartonnée au contenu intrigant.

Expéditeur : Николай Андреев

Les explications sont en russe.

Je ne connais pas cette langue mais j’ai été assez fier de pouvoir traduire ce qui est écrit sur la partie supérieure de ce qui ressemble vaguement à un écran de télévision.

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Теорема Шаля

Théorème de Chasles !

Pour être tout à fait honnête, le petit portrait au dos de l’objet m’a aidé ;-)

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Comme beaucoup de français, Chasles évoque avant tout pour moi la relation de Chasles que j’ai apprise en classe de 4ème : si $A,B,C$ sont trois points d’une droite orientée, alors $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$.
Je me souviens de ce que je pensais de cette relation à l’époque : elle me semblait un peu « bébête » et je me demandais pourquoi quelqu’un avait bien pu lui donner son nom.
Depuis j’ai appris à mieux connaître l’attachant mathématicien Michel Chasles et ses résultats fondamentaux en géométrie.
Images des Maths a d’ailleurs déjà eu l’occasion d’évoquer ce grand géomètre à plusieurs reprises (ici, , ou encore ).

Mais quel peut être le rapport entre Michel Chasles et cet objet en carton qui ressemble à un écran tacheté d’une multitude de points noirs ?

Il faut d’abord que je décrive un peu mieux l’objet (du mois).
Sur un cadre en carton, format A4, est collé un transparent qui est en effet tacheté de manière aléatoire.
Par dessus ce transparent, il y a un autre transparent identique, mais qui peut glisser légèrement par rapport au premier.
En posant ses deux pouces sur le transparent supérieur, on peut le déplacer de deux ou trois centimètres. Une force électrostatique fait en sorte que les deux transparents restent en contact sans empêcher le glissement.
Finalement, on observe la superposition de deux images identiques, la seconde étant légèrement déplacée par rapport à la première.

Qu’observe-t-on ? On voit apparaître très nettement des cercles concentriques.
Ce qui est étonnant, c’est qu’à chaque mouvement des pouces, les cercles concentriques semblent centrés sur un point différent.
Voici quelques photos.

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Quel rapport avec Chasles ?

Eh bien, il faut savoir que la dénomination des théorèmes mathématiques varie d’un pays à l’autre.
Ce que nous appelons en France « théorème de Thalès » est inconnu dans la plupart des autres pays [1].
Le théorème est évidemment connu, mais sous un autre nom !
La « relation de Chasles » n’est peut-être pas connue sous ce nom en Russie mais il semble en revanche que les russes appellent « théorème de Chasles » un théorème que je ne connaissais pas sous ce nom.

Le théorème exprime le fait suivant.
Superposez deux transparents et faites glisser celui du dessus sur celui du dessous.
Alors, il existe presque toujours un point sur le transparent du dessus qui n’a pas bougé.
Tout se passe comme si on avait planté une punaise et qu’on avait fait tourner le transparent autour de la punaise.
Le mathématicien dit que le mouvement est une rotation
 [2] autour de ce point fixe.
Hélas, Chasles ne nous dit pas où se trouve la punaise !

Il faut expliquer ce que je veux dire par presque toujours. Si mes deux pouces se déplacent exactement de la « même façon », alors le second transparent aura tout simplement subi une translation.
Là encore, les mathématiciens donnent un sens très précis à ce mot dont l’usage en français est un peu flou.
Ici le Trésor de la langue française n’est pas très bon, du point de vue des mathématiciens…
Une translation est « l’action de déplacer, de se déplacer et le résultat de cette action ».
Certes ! mais avec une telle définition, une rotation serait aussi une translation ?
Un mathématicien ne peut se résoudre à cela !
La définition géométrique du même dictionnaire est mauvaise : GÉOM. « Transformation ponctuelle faisant passer d’une figure F du plan ou de l’espace à une figure F égale » (Uv.-Chapman 1956).
Tout dépend de ce qu’on appelle égal ?
On comprend bien qu’avec une telle définition on n’est pas très avancé.
Une translation, au sens des mathématiciens, est un mouvement dans lequel tous les points sont déplacés dans la même direction et d’une même distance.
Il est clair alors qu’il n’y aura pas de point fixe.
Mais il n’est pas facile du tout de translater : il faut coordonner ses deux pouces parfaitement. En pratique on n’y arrive pas et c’est pour cette raison que je dis que les translations ne se présentent presque jamais
 [3].

Le théorème de Chasles exprime, en termes techniques, que
tout déplacement
 [4]
du plan est une rotation autour d’un certain point ou une translation.

Alors, revenons à notre objet en carton.
Le transparent inférieur est couvert de points noirs, distribués au hasard.
Typiquement, deux points noirs sont séparés d’une distance de l’ordre de deux ou trois millimètres.
Lorsqu’on fait glisser le transparent du dessus, le théorème de Chasles nous informe qu’on ne fait qu’une rotation autour d’un certain point (s’il ne s’agit pas d’une translation).

Au voisinage de ce centre de rotation, chaque petit point noir tourne un petit peu, si bien que la superposition des deux transparents (identiques au départ, rappelons-le) montre une espèce de « point double », une petite barre noire, tangente à un cercle centré sur le point fixe.
En d’autres termes, près du centre de rotation, les points noirs « dessinent » des cercles concentriques qu’on voit très clairement.

Mais la chose se complique lorsqu’on s’éloigne du centre.
On voit encore très clairement ces cercles concentriques mais leur explication est beaucoup plus compliquée… et à vrai dire, il me semble qu’on ne comprend pas trop !
Loin du centre, les points noirs sont déplacés d’environ un ou deux centimètres et n’y a donc plus apparition de ces petites barres.
Au contraire, on observe deux nuages de points aléatoires superposés qui n’indiquent pas vraiment de structure visuelle.
On peut cependant observer une espèce de corrélation : chaque point noir, noyé dans son nuage aléatoire, a un « voisin », un ou deux centimètres plus loin, dans la direction du cercle concentrique.
Comment notre cerveau fait-il pour détecter ces couples de points et décider que ce sont eux qui font sens, et nous obliger à voir des cercles concentriques, qui n’existent pas vraiment ?

On sort du domaine des maths et on entre dans celui de la neurophysiologie.
Il s’avère que notre cortex visuel contient des neurones particuliers qui détectent non pas des points lumineux mais des directions. Ce sont des neurones qui se déclenchent uniquement lorsqu’ils reçoivent deux points lumineux tels que la droite qui les joint a une certaine direction.
Chacun de ces neurones se charge d’une certaine direction et ne réagit
pas aux autres directions de droites. Pour chaque point noir et son image
par le déplacement, certains neurones s’activent : ceux qui « lisent » la direction
de la droite qui joint les deux points. Chaque paire de points active donc un neurone.
Comme la majorité de ces paires de points décrivent des directions aléatoires le signal cérébral engendré est lui même aléatoire. Notre cerveau peut alors extraire le signal qui « a du sens », celui qui décrit les cercles, au sein du signal informe envoyé par les autres paires de points non corrélées. C’est un peu comme lorsque nous comprenons quelqu’un qui parle au milieu d’un brouhaha.

A vrai dire, l’histoire ne s’arrête pas là et les théories biologiques développées pour comprendre ces cercles concentriques me semblent aussi sophistiquées que… discutables (même si je dois reconnaître une totale incompétence dans ce sujet).
Un lecteur de IdM proposera peut-être une explication satisfaisante ?

Il semble que la découverte de ce phénomène d’« illusion d’optique » soit due à Leon Glass en 1969.
Pour une description mathématique des « structures de Glass » (en anglais), on peut consulter cet article et sa bibliographie.
Un article plus élaboré se trouve ici.

Comment notre cortex visuel reconnaît-il des « structures » ? Il semble que les mathématiques peuvent aider. Cet article du Journal of Physiology n’est sans aucun doute pas destiné aux lecteurs de IdM mais son titre a de quoi faire rêver un mathématicien : « la neurogéométrie des moulins comme une structure de contact sous-riemanienne ». Les neurones que je viens de mentionner sont disposés en colonnes qui évoquent un moulin (pinwheel) et le réseau qu’ils constituent fait penser à ce que les mathématiciens appellent une structure de contact.

Au fait, qui m’a envoyé ce cadeau ? Il s’agit de Nikolai Andreev, dont j’ai déjà parlé dans IdM.

Voilà donc une nouvelle occasion de recommander aux lecteurs de visiter ses sites !

http://etudes.ru

http://tcheb.ru

PS1 : Nikolai Andreev m’a envoyé le fichier pdf de la page pleine de points noirs aléatoires [5].
Je la joins. Imprimez en deux exemplaires sur des transparents et déplacez l’un par rapport à l’autre : vous verrez les cercles. Attention ! Si l’angle de rotation est trop grand, on ne voit rien du tout.

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Nikolai vient aussi de m’informer qu’il a réalisé une petite application qui permet de jouer en ligne.
Dans un premier temps, on voit le transparent se déplacer seul. Puis, une page en russe apparaît (qui montre en fait le verso de l’objet).
Lorsqu’on clique sur le rectangle vert en bas de la page, on accède à la version interactive où vous pourrez utiliser votre souris ou votre trackpad
au lieu de vos pouces.

PS2 : Un relecteur m’indique qu’on peut voir l’[objet en fonctionnement] sur YouTube.

PS3 : S.C., responsable de la rubrique « Objet du Mois », m’a demandé une photo de l’objet lorsque le déplacement est une translation. Je me suis dit que le plus simple était de faire glisser le transparent jusqu’à ce qu’il repose tout au fond du cadre en carton, ce qui assurerait que le bord du transparent serait horizontal et garantirait une translation. A chaque tentative, pour une raison inconnue, le transparent se mettait à tourner sans que je le veuille. Poussé par la curiosité, j’ai décidé de démonter l’objet. J’ai fait alors deux découvertes. La première est que le transparent du dessous n’existe pas, et que le nuage de points est tout simplement imprimé sur le carton : j’aurais dû y penser ! La seconde est que le transparent n’est pas un rectangle mais a été découpé pour lui donner une forme arrondie, comme ceci :

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On ne voit pas le bord, caché par le carton, et cette astuce empêche vos pouces de translater ! Lorsque vous poussez vers le bas par exemple, la courbure du bord vous conduit tout naturellement à faire une rotation. Rusé, M. Andreev !

Pour obéir à S.C, j’ai utilisé le fichier pdf ci-dessus, j’ai ouvert Photoshop et j’ai superposé deux copies en translatant la seconde de 2 cm. Voici le résultat. On ne voit pas grand-chose...

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PS4 : Alors, cette fameuse relation de Chasles est-elle si importante pour qu’on embête nos collégiens avec ça ? Il a fallu longtemps aux mathématiciens pour comprendre qu’on pouvait traiter les équations comme
\[ x^2= 2x+1 \]
et
\[ x^2+3x=1 \]
d’une façon unifiée, c’est-à-dire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ en autorisant $a,b,c$ à être des nombres qui ne sont pas nécessairement positifs. On met tout à gauche (sans oublier de changer de signe lorsqu’un terme passe de droite à gauche) et on écrit que le résultat est égal à 0. Cela semble facile, mais c’était un progrès important. Auparavant, il fallait étudier beaucoup de cas. En géométrie, c’était la même chose : on séparait beaucoup de cas, par exemple selon que le pied de la hauteur d’un triangle tombe dans l’intérieur d’un côté ou à l’extérieur. C’est grâce à des géomètres comme Chasles qu’on a compris que si on autorise un segment à avoir une « longueur algébrique », positive ou négative, alors tous ces cas se traitent de la même manière. C’est probablement pour remercier Chasles de cette belle idée que nos programmes (français !) lui attribuent cette « banalité » : $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}$.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths et l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Cidrolin, Jean Lefort et Christian Mercat.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Voir ce billet.

[2Le Trésor de la langue française donne de multiples définitions du mot « rotation » qui est d’usage courant en français.
Voici celle qui concerne la géométrie :
GÉOM. Transformation qui conserve les longueurs, les angles orientés d’une figure et qui a un point fixe (dans un plan) ou un axe fixe (dans l’espace).

[3Pour ceux qui connaissent les nombres complexes, un déplacement du plan s’exprime par une formule de la forme suivante : $f(z) = az + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres complexes, le premier étant de module $1$. Si $a=1$, il s’agit de la translation $f(z)=z+b$. Si $ a \neq 1$, il y a en effet un unique point fixe $z_0$, obtenu en résolvant l’équation $ a z + b = z$, ce qui donne $z_0= b/ (1-a)$. Le fait que presque tous les déplacements du plan sont des rotations ne signifie rien d’autre que presque tous les nombres complexes de module $1$ sont différents de $1$.

[4J’utilise ici le mot « déplacement » dans le sens technique que lui donnent les mathématiciens. Il s’agit d’une transformation du plan qui non seulement préserve les distances mais aussi l’orientation, c’est-à-dire qu’elle ne « retourne » pas les figures. Il faudrait bien sûr exprimer cela de manière plus précise mais je me contenterais de mentionner le contre-exemple d’une symétrie par rapport à une droite : ce n’est ni une rotation ni une translation, mais ce n’est pas non plus un déplacement car la symétrie inverse l’orientation. Si vous observez l’image d’une horloge par une symétrie, vous verrez que les aiguilles ne tournent plus dans le bon sens. Evidemment, mes pouces qui agissent sur les transparents doivent le faire en douceur et il ne s’agit pas de retourner le transparent !

[5Nicolai me signale par ailleurs que cet objet a été élaboré avec Nikita Panunin et
Roman Koksharov.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Теорема Шаля » — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

  • Теорема Шаля

    le 4 novembre 2012 à 19:14, par Stéphane Jaffard

    Cher Etienne,

    Je trouve ce phénomène fascinant (non pas le ``théorème de Chasles’’ lui même, mais plutôt ces cercles qui apparaissent même loin du centre !). J’ai beaucoup de peine a croire que l’oeil pourrait apparier des points éloignés et placés au hasard. J’ai d’abord pensé qu’il extrapolait à partir de ce qu’il voit effectivement au centre, mais, même en masquant le centre, on voit toujours les grands cercles apparaitre.

    Une autre possibilité serait que les points ne soient pas disposés de façon aléatoires mais ``pseudo-aléatoires’’. En fait, les générateurs de nombre aléatoires ne génèrent en général que des suites ``pseudo-aléatoires’’, c’est à dire des suites déterministes, mais simulant le hasard de façon plus ou moins sophistiquée. Il se pourrait alors que l’expérience faite ici soit justement un moyen de ``piéger’’ l’algorithme qui génère ces points en faisant apparaitre des corrélation spécifiques. Bref, il serait intéressant de savoir comment ces points sont générés...

    Répondre à ce message
    • Comment le cerveau repère-t-il les cercles ?

      le 5 novembre 2012 à 02:30, par Rémi Peyre

      Cher Stéphane, cher Étienne,

      Je pense avoir un début d’explication à la façon dont le cerveau repère les cercles concentriques même quand les points sont éloignés les uns des autres.

      Mon premier point est de supposer que le travail du cerveau peut se décomposer en deux étapes : une étape « locale » où le cerveau repère, sur chaque portion de l’objet, quelle est la direction privilégiée selon laquelle apparaissent des « lignes » ; et une étape globale où il connecte ces lignes pour en former des cercles.

      C’est évidemment la première étape qui pose question. Comme il s’agit d’une étape locale, je supposerai dans la suite que nous avons affaire à un simple mouvement de translation. Car, contrairement à ce que suggère l’article, j’affirme que le cerveau repère très bien les lignes apparaissant lors d’une translation lorsque le mouvement est, comme évoqué dans l’article, de 1 ou 2 centimètres (l’application indiquée en lien permet de s’en convaincre) : Étienne a juste eu la main un peu lourde en simulant une translation de carrément 2cm ! :-)

      Je considèrerai ici qu’il y a 15 points par cm² (avec une distribution poissonnienne, càd. complètement aléatoire), que le déplacement considéré est de 1cm avec une direction de translation vers la droite, et que la taille des points est suffisamment petite pour être négligée dans les calculs qui vont suivre.

      Considérons un rectangle très étiré (de, mettons, 2mm par 40), orienté verticalement. Quand on regarde la superposition du transparent et de son translaté, combien y a-t-il de points dans ce rectangle ? Un point apparaît sur la superposition chaque fois que, dans le transparent seul, il y avait un point soit dans le rectangle, soit dans son translaté de 1cm vers la gauche (qui en est disjoint), de sorte qu’il faut compter le nombre de points dans une figure d’aire égale à 1,6cm² : cela donne un nombre de points suivant la distribution Poisson(24), soit une moyenne de 24 et un écart-type de 4,9. Cette réponse vaut non seulement si le rectangle est vertical, mais plus généralement s’il est oblique avec un angle d’au moins 12° par rapport à l’horizontale.

      Maintenant, posons-nous la même question avec un rectangle horizontal. Cette fois-ci, le rectangle et son translaté vers la gauche se chevauchent, donc il faudra compter en double les points du transparent seul apparaissant dans la zone de chevauchement. On trouve que le nombre total de points est égal à deux fois une variable Poisson(9) plus une fois une variable Poisson(6) indépendante de la première : cela donne une distribution de moyenne 24 (comme précédemment), mais dont l’écart-type est cette fois-ci de 6,5.

      Quelle est maintenant la probabilité qu’un rectangle vertical, resp. horizontal, de la taille sus-mentionnée soit 50% plus rempli que la moyenne (pour l’image superposée), càd. qu’il contienne plus de 36 points ? En supposant que les distributions ci-dessus sont suffisamment proches de lois normales (ce qui est effectivement pertinent ici), on trouve que cette probabilité est de 0,7% dans le cas vertical (ou oblique), mais de 3,5% dans le cas horizontal, soit 5 fois plus ! (et c’est une probabilité suffisamment élevée pour que l’événement se produise régulièrement quand le regard parcourt l’image).

      Ainsi les zones riches en points apparaissant dans la figure sont majoritairement orientées dans la direction horizontale — et il en va de même des « trouées ». Je pense que le cerveau repère facilement ces zones riches et ces trouées et qu’il les interprète comme des lignes noires et blanches, et que c’est ainsi qu’on voit apparaître les cercles.

      Bonne nuit,

      Rémi

      Répondre à ce message
      • Comment le cerveau repère-t-il les cercles ?

        le 5 novembre 2012 à 06:12, par Étienne Ghys

        Merci Rémi...

        J’aime bien cette explication.

        Etienne

        Répondre à ce message

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