Teselaciones

Le 30 novembre 2011  - Ecrit par  Fernando Alcalde
Le 27 octobre 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Las sorpresas son parte del placer de todo paseo. El Premio Nobel de Química 2011 concedido a Daniel Shechtman por su descubrimiento de los cuasi-cristales es una hermosa sorpresa que trae de regalo interesantes preguntas [1]. En un artículo más reciente, Pierre de la Harpe y Félix Kwok evocaban en ese sitio el hecho notable de que ’’las teselaciones [...] invocadas por los teóricos de los cuasi-cristales habían sido descubiertas antes que los cuasi-cristales mismos’’. Aquí está ’’la poco razonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales’’, por utilizar las palabras del físico Eugene Wigner. Pero lo más sorprendente es que el descubrimiento del profesor Shechtman encuentra sus fuentes matemáticas algunos siglos antes.

Convengamos que una teselación es el dato de un número finito de polígonos cuyas copias por traslación (o por isometría) recubren el plano. Se supone por costumbre que dos polígonos se tocan siempre cara con cara. Los ejemplos más simples son las teselaciones regulares obtenidas a partir de un solo polígono regular. Aquí hay tres teselaciones de ese tipo :

Idénticos a sí mismos alrededor de toda teselación, poseen por lo tanto la misma naturaleza repetitiva de los árboles descritos en esta nota. El comentario se deriva también de una propiedad importante : esas teselaciones son respetadas por dos traslaciones independientes, y por lo tanto basta con conocer una porción finita para reconstruirlas (contrariamente a lo que ocurría con los árboles mencionados). Se dice que ellas son periódicas.

Una pregunta natural surge entonces : ¿se puede construir otras teselaciones regulares, digamos a partir de un pentágono regular ? La imposibilidad de tal construcción -ligada al hecho que una teselación regular no puede ser respetada sino por rotaciones de orden 2, 3 o 4- ya había interesado a Johannes Kepler a inicios del siglo XVII. En el Libro II (De Congruentia Figurarum Harmonicarum) de su obra Harmonices Mundi [2], publicada en Linz en 1619, él construye una teselación con una simetría pentagonal. De hecho, Kepler muestra solo una porción de la teselación, pero tiene cuidado de verificar que este motivo se prolonga en una teselación [3]. Retomemos el motivo de Kepler (sin el pequeño error de impresión en el ’’monstrum’’ – ’’duo Decagoni inter se commissi’’ – arriba) :

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La teselación Aa de Kepler es evidentemente aperiódica, en el sentido que no es respetada por ninguna traslación. Pero también se puede construir una teselación periódica con esos mismos teselados. En este artículo se encontrará una explicación acerca del interés de esta discusión.

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Pero volvamos a nuestro camino y reformulemos por lo tanto la pregunta planteada en las notas anteriores : ¿por qué la teselación de Kepler es tan hermosa ? Comparte con la aleación metálica descubierta por Shectman (cuyo diagrama de difracción está mostrado en la imagen de abajo) una simetría decagonal :

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Esta misma simetría aparece en la famosa teselación con dardos y cometas construida por por Roger Penrose en 1974. En su artículo Pentaplexity [4], él construye primero una teselación con ayuda de pentágonos, rombos, pentagramas y pedazos de pentagramas :

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Como antes, esas mismas piezas teselan el plano de manera periódica, Para evitar ese fenómeno, se puede agregar ranuras y lengüetas. Es así como Penrose obtiene un ejemplo de seis prototeselados aperiódicos, es decir, que teselan el plano sólo de manera aperiódica. Gracias a una astuta división, él redujo ese número a dos : el dardo y la cometa.

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Tal como el árbol de Kenyon, las teselaciones de Kepler y de Penrose son
repetitivas [5], en el sentido que toda porción finita puede ser encontrada dentro de cualquier porción suficientemente grande [6]. Pese a que no sean respetadas por ninguna traslación, quedan parecidas a sí mismas alrededor de todo teselado. En realidad, esos dos teselados son iguales (y por lo tanto, la afirmación anterior se reduce a la de Penrose) :

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Que el descubrimiento del profesor Shechtman haya estado precedido por el de Kepler –363 años antes–, similar en belleza y utilidad, parece prodigioso. Pero de hecho, un siglo antes, en su segundo libro sobre la geometría [7], Albrecht Dürer escribía :

’’Ahora deseo poner algunas figuras poligonales una detrás de otra, de modo que puedan servir para el pavimento de los suelos.’’

Después de los triángulos, los cuadrados y los rombos, él se ocupa de los pentágonos : construye una teselación aperiódica con ayuda de pentágonos y de rombos que tengan una simetría decagonal [8]. Esta es la porción descrita por Dürer :

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que se puede extender de manera evidente :

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La teselación de Dürer no parece ser repetitiva o cuasi-periódica [9], pero esta imagen muestra que la construcción queda de una cierta manera ’’repetitiva’’.

PARA LEER / VER TAMBIÉN

  • C. S. Kaplan. A meditation on Kepler’s Aa. In Bridges 2006 : Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 465-472, 2006.
  • R. Lück, Dürer-Kepler-Penrose, the development of pentagon tilings. Materials Sicence and Engineering, 294-296 (2000), 263-267.
Post-scriptum :

Gracias a Marta Macho Stadler y a Álvaro Lozano Rojo por sus comentarios, así como a Paul Vigneaux por su ayuda. Todas las imégenes de teselaciones han sido hechas con GeoGebra.

Notes

[1Al artículo de Pierre de la Harpe y Félix Kwok, me gustaría agregar la nota El enigma de los pentágonos escrito por Étienne Ghys.

[2J. Kepler, Harmonices Mundi. Lincii Austriae, Sumptibus Godofredi Tampachii, excudebat Ioannes Plancus, 1619. Versión francesa : L’harmonie du monde. Trad. et notes J. Peyroux, Librairie A. Blanchard, 1979.

[3’’Et sic consequenter, unaquaelibet forma quinquangula fert novi aliquid. Structura est laboriosissima et artificiosissima, visenda ad eandem literam Aa.’’
Una traducción en español podría ser : ’’De este modo, durante su progresión, ese motivo con cinco ángulos introduce continuamente nuevas visiones. La estructura es rica en detalles y muy complicada. Vea el diagrama etiquetado ’’Aa’’ (página 64 del documento digital del hipervínculo anterior.

[4R. Penrose, Pentaplexity. Eureka, 39 (1978), 16-32. Reproducido en la revista Mathematical Intelligencer, 2 (1979/80), 32-37.

[5se les llama también cuasi-periódicas.

[6Hay teselaciones construidas con ayuda de teselados de Kepler y de Penrose que no son repetitivas, ya que combinan motivos de teselados periódicos y aperiódicos. Cuando uno introduce ranuras y lengüetas, se hace desaparecer esos teselados.

[7A. Dürer, Underweysung der Messung. Nürnberg, 1525.
Versión francesa : Géométrie. Trad. et présentation de Jeanne Peiffer, Seuil, 1995. En este sitio, se puede ver una edición de 1538 que contiene el libro De Symetria partium in rectis formis humanorum corporum de 1532.

[8Dürer propone una segunda construcción de tipo aleatorio con ayuda de « pentágonos que forman rosas ».

[9En su artículo, Lück afirma que la teselación de Dürer no es repetitiva. Él habla de un núcleo de simetría de orden 5, pero se encuentra ese tipo de núcleo en las teselaciones Aa de Kepler y de Penrose con dardos y cometas.

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Pour citer cet article :

Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas — «Teselaciones» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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