Analysis situs

Topologie algébrique des variétés

Un site de maths, des textes classiques, des textes modernes, plus de 200 vidéos

Piste verte Le 27 avril 2017  - Ecrit par  Henri Paul de Saint-Gervais Voir les commentaires

Une version légèrement abrégée de cet article paraît simultanément dans la Gazette des Mathématiciens

Entre 1895 et 1904, Henri Poincaré fonde la topologie algébrique, alors appelée Analysis Situs, en publiant une série de six mémoires révolutionnaires. Ces textes fondateurs sont écrits dans le style inimitable de Poincaré : les idées abondent et... côtoient les erreurs. L’ensemble représente un peu plus de 300 pages de mathématiques exceptionnelles.
Plus d’un siècle plus tard, les concepts mathématiques introduits dans ces mémoires restent d’actualité et constituent un passage obligatoire pour tout apprenti topologue. Le site

http://analysis-situs.org

que nous présentons dans cet article a pour but de proposer un « objet pédagogique » d’une nature nouvelle permettant au lecteur d’apprendre les bases du sujet à travers une approche historique.

Je m’présente, je m’appelle Henri Paul

Henri Paul est né dans le village de Saint-Gervais-la-Forêt, à quelques kilomètres au sud de Blois en juin 2007. Sa naissance a été célébrée par un groupe de quinze mathématiciens sous les bons auspices de quelques géants [1] du XIX$^{\rm e}$ siècle dont Gauss, Abel, Jacobi, Riemann ou Weierstrass :

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Les amis de Saint-Gervais
(Saint-Gervais-la-Forêt, juin 2007)

Le faire-part de naissance paraît chez ENS éditions en 2011, puis en anglais dans la collection Heritage of European Mathematics de l’EMS, en 2016. Il suggère que pour mieux cerner le prénom du nouveau-né, il faut remonter un siècle avant sa naissance, en 1907, année où Henri Poincaré et Paul Koebe ont finalement prouvé la version la plus générale du théorème d’uniformisation.

L'édition française du premier livre d'Henri Paul {PNG}
L'édition anglaise du premier livre d'Henri Paul {JPEG}

En novembre 2012, encore jeune, Henri Paul assiste au Colloque International Poincaré 100 qui célèbre un autre centenaire : celui de la mort de son vieux maître. Lors de la conférence de David Gabai, Poincaré’s work on topology, il est particulièrement dissipé car très excité. Il lui prend en effet l’envie de réunir quelques uns de ses vieux amis et quelques nouveaux [2] pour se plonger avec eux dans l’étude des six mémoires dans lesquels Henri Poincaré fonde la topologie algébrique. Mais cette fois-ci, il ne veut plus un simple faire-part. Il veut un objet multiforme, une introduction à la topologie algébrique où les textes originaux dialogueraient avec une vision plus moderne du sujet.

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Deux représentations d’un diagramme de Heegaard de la sphère d’homologie de Poincaré

Surtout, puisqu’il s’agit de topologie, il aimerait qu’il y ait beaucoup d’images et même des animations et des vidéos. L’équipe est vite rejointe par Jos Leys, qui sait réaliser les animations dont Henri Paul rêve, et Marc Monticelli, du Laboratoire J.-A. Dieudonné (Université Nice Sophia Antipolis), qui s’attèle à la conception d’un site web, format adapté à ses désirs.

Deux grosses réunions de travail, au Moulin du Crotet et à la Fondation des Treilles, permettent à son projet de bien démarrer et de se préciser.

Henri Paul au travail au Moulin du Crotet {JPEG}
Henri Paul à la Fondation des Treilles {JPEG}

Après quatre ans de travail, Henri Paul estime que son but est atteint, ou au moins qu’il est temps qu’il s’arrête. Après tout, il n’est pas Nicolas Bourbaki et il ne cherche pas à écrire une encyclopédie. Disons-le même clairement : le contenu du site n’est pas totalement ordonné, le style n’y est pas uniforme et surtout Henri Paul fait certainement beaucoup plus de fautes que Nicolas Bourbaki, mais c’est comme ça !

Le 16 janvier 2017, à minuit, Henri Paul rend son travail public.

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Un site web, trois portes d’entrée

La page d’accueil du site que nous avons réalisé propose trois portes d’entrée principales :

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Par les œuvres

propose de commencer l’exploration de la topologie algébrique par les textes originaux de Poincaré, nos commentaires de ces textes ou nos discussions sur le contexte historique dans lesquels ils se placent.

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Par les exemples

propose de plutôt commencer par un choix d’exemples, d’abord de dimension 2, puis de dimension 3 et enfin de calculs de groupes fondamentaux. Nous détaillons en particulier les nombreux exemples dont Poincaré émaille ses mémoires.

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Cours moderne

propose un véritable cours moderne de topologie, niveau master, regroupé en trois thèmes majeurs : Groupe Fondamental, Homologie et Théorie de Morse, et trois thèmes secondaires : Topologie des variétés de dimension 3, Surfaces complexes et Triangulation des variétés.

Le cours suit le même « plan » — ou la même anarchie — que l’œuvre de Poincaré, mais la présentation, le style, les démonstrations et les méthodes employées sont celles du XXI$^{\rm e}$ siècle.

Ces trois parcours sont évidemment intimement liés et nous recommandons de se laisser dériver au fil des nombreux liens. Nous donnons maintenant quelques exemples de ce que l’on peut trouver au fil de ces pages.

Ainsi parlait Poincaré

En premier lieu, nous avons numérisé les six mémoires sur l’Analysis Situs publiés par Poincaré entre 1895 et 1904, ainsi que les cinq Notes aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences annonçant certains d’entre eux. Voici par exemple le début de l’introduction du mémoire fondateur de 1895, intitulé simplement « Analysis Situs » :

La Géométrie à $n$ dimensions a un objet réel ; personne n’en doute aujourd’hui. Les êtres de l’hyperespace sont susceptibles de définitions précises comme ceux de l’espace ordinaire, et si nous ne pouvons nous les représenter, nous pouvons les concevoir et les étudier. Si donc, par exemple, la Mécanique à plus de trois dimensions doit être condamnée comme dépourvue de son objet, il n’en est pas de même de l’Hypergéométrie.

La Géométrie, en effet, n’a pas pour unique raison d’être la description immédiate des corps qui tombent sous nos sens : elle est avant tout l’étude analytique d’un groupe ; rien n’empêche, par conséquent, d’aborder d’autres groupes analogues et plus généraux.

Mais pourquoi, dira-t-on, ne pas conserver le langage analytique et le remplacer par un langage géométrique, qui perd tous ses avantages dès que les sens ne peuvent plus intervenir. C’est que ce langage nouveau est plus concis ; c’est ensuite que l’analogie avec la Géométrie ordinaire peut créer des associations d’idées fécondes et suggérer des généralisations utiles.

Peut-être ces raisons ne sont-elles pas suffisantes ? Ce n’est pas assez, en effet, qu’une science soit légitime : il faut que l’utilité ne puisse en être contestée. Tant d’objets divers sollicitent notre attention, que les plus importants ont seuls droit de l’obtenir.

Aussi y a-t-il des parties de l’Hypergéométrie auxquelles il n’y a pas lieu de beaucoup s’intéresser : telles sont, par exemple, les recherches sur la courbure des surfaces dans l’espace à $n$ dimensions. On est sûr d’avance d’obtenir les mêmes résultats qu’en Géométrie ordinaire et l’on n’entreprend pas un long voyage pour retrouver des spectacles tout pareils à ceux que l’on rencontre chez soi.

Mais il y a des problèmes où le langage analytique serait tout à fait incommode.

On sait quelle est l’utilité des figures géométriques dans la théorie des fonctions imaginaires et des intégrales prises entre des limites imaginaires, et combien on regrette leur concours quand on veut étudier, par exemple, les fonctions de deux variables complexes.

Cherchons à nous rendre compte de la nature de ce concours ; les figures suppléent d’abord à l’infirmité de notre esprit en appelant nos sens à son secours ; mais ce n’est pas seulement cela. On a bien souvent répété que la Géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites ; encore ces figures, pour ne pas nous tromper, doivent-elles satisfaire à certaines conditions ; les proportions peuvent être grossièrement altérées, mais les positions relatives des diverses parties ne doivent pas être bouleversées.

L’emploi des figures a donc avant tout pour but de nous faire connaître certaines relations entre les objets de nos études, et ces relations sont celles dont s’occupe une branche de la Géométrie que l’on a appelée Analysis situs, et qui décrit la situation relative des points des lignes et des surfaces, sans aucune considération de leur grandeur.

Il y a des relations de même nature entre les êtres de l’hyperespace ; il y a donc une Analysis situs à plus de trois dimensions, comme l’ont montré Riemann et Betti.

Cette science nous fera connaître ce genre de relations, bien que cette connaissance ne puisse plus être intuitive, puisque nos sens nous font défaut. Elle va ainsi, dans certains cas, nous rendre quelques-uns des services que nous demandons d’ordinaire aux figures de Géométrie.

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Henri Poincaré en 1895

« En 1895, Henri Poincaré n’est plus un débutant, comme cela transparaît d’ailleurs assez clairement sur la photographie ci-contre, qui date de cette période. Il est alors un mathématicien accompli qui a une vision panoramique de toutes les mathématiques et la physique de son temps.
Il a déjà produit une quantité impressionnante de résultats dans des domaines extrêmement variés. »

Ainsi commence Henri Paul de Saint-Gervais dans son commentaire de l’introduction à l’Analysis Situs.

Un premier avantage par rapport aux versions scannées disponibles en ligne est que les références internes aux mémoires deviennent des liens hypertextes. Nous avons également ajouté quelques notes de bas de page et surligné quelques mots dont la signification moderne est différente. Passer la souris sur les mots surlignés permet alors d’en avoir la traduction moderne. Mais surtout, dans nos commentaires et notre cours, des liens hypertextes permettent de renvoyer le lecteur à l’endroit concerné des œuvres.

À chacun des paragraphes des six mémoires sont attachés de longs commentaires originaux. Ceux-ci forment une véritable exégèse du texte de Poincaré. À l’aide de la colonne de gauche, on peut naviguer facilement entre les différents commentaires et les textes originaux. De nombreux liens pointent également vers les autres parcours, Par les exemples et Cours moderne.

Pour certains de ces commentaires, nous avons pu profiter d’un travail préliminaire, non publié, que Karanbir Sarkaria a gentiment mis à notre disposition.

Quelques perspectives historiques

Afin de pleinement apprécier la créativité de Poincaré, il est nécessaire de la replacer dans son contexte historique. Pour cette raison, nous avons choisi d’examiner certains textes dans lesquels nous pouvons reconnaître grâce à notre recul historique des précurseurs de l’homologie, du groupe fondamental et de la théorie de Morse, ainsi que de l’étude des variétés de petite dimension réalisée grâce à ces outils. Cela fait l’objet de neuf articles :

Un cours original ?

La topologie algébrique confronte l’enseignant à des choix douloureux. Un concept central comme l’homologie a une base intuitive, mais celle-ci est difficile à développer précisément.

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Une homologie

Il a donné naissance à plusieurs théories « concurrentes ». Ces théories ont toutes leurs avantages et leurs inconvénients, et sont plus ou moins efficaces suivant les situations. Il existe cependant aussi un cadre axiomatique qui prouve que toutes ces théories conduisent in fine aux mêmes invariants. Que faire ? Privilégier une théorie, au prix de rendre certaines propriétés obscures ? En développer plusieurs en parallèle, au risque d’ajouter à la confusion ? Commencer par le cadre axiomatique, au péril d’occulter complètement les idées géométriques qui sont à l’origine du concept ?

Quand on lit Poincaré, on s’aperçoit qu’il aborde souvent un concept par plusieurs voies. La manipulation de nombreux exemples et de (pseudo-)définitions lui permet de se convaincre que ces diverses voies mènent bien au même objet. Notre site cherche à profiter du caractère non linéaire d’internet pour retrouver cet esprit. L’étudiant n’est pas invité à suivre des chapitres dans un certain ordre. Au contraire, nous l’encourageons à papillonner d’article en article, dans l’ordre qu’il souhaite, en tentant d’acquérir toutes les théories en même temps, selon ses propres préférences, tout en prenant conscience qu’il n’y en a qu’une !

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Modèles de la collection de l’IHP

Nous proposons par exemple d’aborder l’étude du groupe fondamental de deux manières :

Certains lecteurs préfèreront commencer par la première et d’autres par la seconde. Quel que soit le choix, il est important de connaître les deux approches. D’ailleurs, la présentation originale de Poincaré naviguait en permanence entre les deux points de vue.

De la même manière, nous proposons simultanément plusieurs manières d’aborder l’homologie. D’une part, deux approches intuitives mais semées d’embûches : via le bordisme et à la Poincaré ; d’autre part, des approches classiques, notamment les Homologies polyédrale et simpliciale et l’Homologie singulière. L’accent est mis sur les calculs et les exemples.

Ce que vous ne trouverez pas ailleurs

Nous ne sommes pas sûrs d’être partout parvenus à faire dialoguer les idées originales, les exemples et les définitions abstraites. Nous sommes toutefois fiers d’un certain nombre de choses que vous ne trouverez pas ailleurs. Voici une liste, que nous espérons non exhaustive, de quelques-unes de ces originalités.

Les prérequis pour lire ces articles varient beaucoup. Ce site est destiné en priorité à des mathématiciens, étudiants débutants ou confirmés, ou enseignants-chercheurs. Toutefois, certains articles ou certaines animations sont « élémentaires » et nous espérons qu’ils pourront également motiver un public plus large. En guise d’indication nous avons attribué une couleur à chaque article. [3]

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Les « articles verts » sont les plus élémentaires. Certains peuvent être lus, ou regardés, sans connaissance préalable. Parfois les images, ou les animations, même si on ne les comprend pas complètement, peuvent donner une idée de la topologie algébrique. Les « articles verts » nous semblent notamment compréhensibles par les étudiants des trois années de licence.

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Les « articles bleus » présentent des notions et résultats qu’on trouve typiquement dans un cours d’introduction à la topologie algébrique au niveau Master première année. Il s’agit donc de connaissances qui peuvent être utiles à tout étudiant en mathématiques, même s’il n’envisage pas de se spécialiser en topologie algébrique.

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Les « articles rouges » présentent des notions et résultats que l’on enseigne généralement au niveau Master deuxième année. À ce niveau, les étudiants ont déjà fait un choix de spécialisation et envisagent peut-être de continuer leurs études par un doctorat relié de près ou de loin à la topologie.

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Les « articles noirs » sont plus précisément destinés aux doctorants et aux enseignants-chercheurs. Ils présentent des résultats moins classiques ou proposent une approche différente des textes classiques.

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Le logo ci-contre indique des textes de nature historique et correspond aux lecteurs qui s’intéressent à l’histoire du développement de la topologie algébrique. Il est souvent couplé avec une couleur.

Bien évidemment, un enseignant-chercheur spécialisé en topologie algébrique pourra probablement tirer profit des articles verts, bleus ou rouges... Souvent la présentation n’est pas classique et un point de vue nouveau pourra intéresser les spécialistes.

Des images, des animations et une chaîne YouTube

Notre site contient toutes sortes d’images...

certaines farfelues...

Vu au Musée des Confluences de Lyon {JPEG}

certaines très farfelues...

En marge des mathématiques, J.H.C. Whitehead avait un hobby : il aimait élever les porcs {JPEG}

de jolis dessins faits à la main,

Deux courbes fermées dans un corps en anses {JPEG}

d’autres plus classiques,

Relations de bordisme {PNG}

certaines en 3D réalisées par Jos Leys, en fait plein de chouettes images !

Complémentaire du nœud de trèfle dans l'hypersphère {PNG}
Paver l'espace hyperbolique par des dodécaèdres à angles droits {PNG}

À l'intérieur du pavage de l'espace hyperbolique par des dodécaèdres à angles droits {PNG}

Mais surtout, notre site contient près de 200 animations 3D toutes réalisées par Jos Leys et plus de 30 vidéos de cours filmés par Daniel Tanasijevic du service média de l’Université Paris 6. Toutes ces vidéos sont rassemblées sur une
chaîne YouTube accessible d’un clic depuis la page d’accueil du site. N’hésitez pas à utiliser ces vidéos pour vos cours !

Une bibliographie commentée

Nous espérons que les divers articles et vidéos de ce site donneront envie à nos lecteurs de continuer à explorer la topologie algébrique ou géométrique, ainsi que son histoire.

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Afin de faciliter leur orientation dans la vaste littérature consacrée à ces domaines des mathématiques, nous leur proposons une bibliographie commentée. Elle est accessible depuis la page d’accueil en cliquant sur l’onglet ci-contre et est constituée de quatre listes de références commentées :

Des conseils et anecdotes

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En haut à gauche de nombreux articles et rubriques du site, le sigle ci-contre signale un conseil ou une anecdote.
Les « belles histoires de l’oncle Paul » rappellent en effet des souvenirs d’enfance à Henri Paul. En suivant l’exemple de cet « oncle Paul », nous avons donc émaillé de quelques « bons conseils » quelques articles de ce site.

Si vous ne savez pas par quel bout aborder les cours ou exemples du site, ou si vous voulez juste vous laisser porter comme un papillon, un simple clic sur l’icône en page d’accueil vous donnera accès à un florilège de « bons conseils de l’oncle Henri Paul » tirés au hasard comme celui-ci [4] :

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Conclusion

Nous espérons vous avoir donné envie de visiter notre site. Vos remarques (bienveillantes :) ) seront plus que bienvenues ! Pour l’heure, nous avons décidé de mettre un point final à cette aventure mais (qui sait ?) la prochaine étape sera peut-être d’ouvrir le site à tous les contributeurs de bonne volonté. Reste à savoir comment procéder au mieux...

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Le logo de notre chaîne YouTube
http://analysis-situs.org
Post-scriptum :

La rédaction d’Images des Maths ainsi que l’auteur remercient Renaud Chabrier, Julien Melleray et Clément Caubel pour leur relecture attentive.

Le lecteur trouvera la version abrégée de cet article parue dans la Gazette des Mathématiciens aux pages 44-49 du numéro 152 d’Avril 2017.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Saurez-vous les retrouver dans l’image de groupe ci-après ?

[3Insistons sur le côté subjectif et artificiel de ce type de cotation : ce qui est difficile pour l’un ne le sera pas pour l’autre. Prenez donc ces couleurs pour ce qu’elles sont : juste une indication.

[4La colonne de gauche permet d’accéder à l’article qui lui est attaché et de commencer votre papillonage.

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Pour citer cet article :

Henri Paul de Saint-Gervais — «Topologie algébrique des variétés» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Le logo a été créé par Jos Leys. Photos et images : auteurs de l’article.

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