Toupie

Piste verte 4 juin 2011  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (2)

Les différents aspects du mouvement d’une toupie évoquent ceux du mouvement d’une planète : rotation autour de son axe, précession, nutation. Ces mots sont décryptés et le mouvement décrit. Quelques explications mathématiques et historiques sont données !

Il va s’agir ici d’une toupie, une toupie bien ordinaire, pas une de ces toupies compliquées qu’un champ magnétique fait tourner au-dessus de la table, ou qu’une forme de champignon fait se retourner au cours de sa rotation (comme c’est le cas de celle que l’on voit ici à droite), non, non, juste une toupie, comme la toupie rouge que vous voyez au repos sur la photo qui sert de logo à cet article, comme celles représentées ci-dessous, comme la toupie rouge à nouveau que vous voyez, en mouvement, sur la photo suivante. Une toupie, solide, de forme et de couleur variables, mais toujours avec un axe de révolution.

Elle tourne, et pourtant...

Et pourtant, son mouvement est composite.

Elle tourne autour de son axe, c’est sûr, mais ce mouvement de rotation s’accompagne d’une rotation de l’axe lui-même, qui décrit un cône autour de la verticale : la toupie est penchée. Ce mouvement-ci s’appelle précession (voir ci-dessous).

En réalité, ce n’est pas exactement un cône que l’axe décrit, il y a des sortes de petits festons, et ce mouvement-là s’appelle la nutation de la toupie. C’est ce mouvement que l’on devine au tremblement de l’axe sur la photographie. C’est lui qui est représenté, de façon très exagérée (dans la réalité, les deux petits cercles verts sont beaucoup plus rapprochés), sur la figure de gauche.

Des mots de l’astronomie

Si le mouvement de la toupie n’est pas celui d’une planète, les mots pour en parler, précession et nutation, viennent tout droit de l’astronomie.

La précession de la toupie fait référence au mouvement de la Terre et à sa « précession des équinoxes ».

Le mouvement de la Terre autour de son centre est assez compliqué.

C’est principalement un mouvement de rotation : la Terre tourne autour de son axe.

La figure montre le plan de l’écliptique, celui de l’orbite [1] de la planète Terre autour du Soleil. La direction perpendiculaire à ce plan, appelée ici, très improprement, « verticale » [2] (entre guillemets). On le sait, cette « verticale » n’est pas la direction de l’axe de rotation de la Terre, celui qui joint les pôles Sud et Nord : ces deux directions font entre elles un angle d’environ vingt-trois degrés. C’est l’inclinaison de l’axe de la Terre qui fait qu’il y a des saisons, et entre celles-ci des équinoxes (et des solstices).

Plus caché mais bien réel est le mouvement de précession de l’axe : l’axe de la Terre décrit un cône de révolution autour de notre « verticale ». Avec quelques conséquences : la précession... des équinoxes

  • fait « bouger » les saisons (dans treize mille ans, le mois d’avril sera en automne [3]),
  • elle fait aussi « bouger » les étoiles, l’extrémité de l’axe décrit un petit cercle sur cette sphère idéale qu’est la voûte céleste [4]. Aujourd’hui, le point de ce cercle où en est l’axe est proche de l’étoile polaire (Alpha Ursae Minoris [5]), qui nous indique le nord, mais il y a cinq mille ans, c’était alpha du Dragon (Alpha Draconis)... cinq mille ans, à l’échelle de l’histoire des observations astronomiques, c’est loin d’être l’éternité, et lorsqu’avril sera en automne, c’est l’étoile Véga (dans la constellation de la Lyre) qui nous (?) indiquera le nord.

La nutation de la toupie fait référence, elle, à la nutation du mouvement de la Terre. C’est la partie la plus cachée du mouvement de notre planète. Car en réalité, ce n’est pas tout à fait un cône de révolution que décrit notre axe de rotation : il y a des petits festons, des oscillations.

Le mot nutation vient du latin nutare [6]. Nutare, c’est ce qu’a écrit Newton dans ses Principia en 1687 [7]. Nutation, a inventé en français Émilie du Châtelet, en 1759 [8]. Nutation, avait déjà écrit en anglais l’astronome Bradley, en 1728.

Du point de vue de la précession, l’axe de la Terre sera dans la même position qu’aujourd’hui dans 25 800 ans. La nutation est un phénomène beaucoup plus ténu : le temps mis par l’axe de la Terre pour effectuer un « petit feston » n’est que de 18,6 ans, mais son amplitude est minuscule [9].

La nutation est due au fait que la Terre n’est pas vraiment une sphère mais qu’elle est aplatie aux pôles. Comme la toupie, elle est un « solide de révolution » (approximativement).

Un peu de mathématiques

Revenons à la toupie. Il ne s’agit plus de modéliser le mouvement autour de son centre de gravité de la planète en orbite autour du soleil, mais celui d’un corps solide dans un champ de pesanteur constant.

Le mouvement de la toupie est ainsi décrit par des équations, elles aussi issues des lois de la physique, que nous ne détaillons pas ici. Considérons par exemple la hauteur à laquelle se trouve l’extrémité de l’axe de la toupie à un certain instant. C’est la quantité que nous voyons osciller (l’extrémité de l’axe reste entre les deux cercles verts de la figure ci-dessus).

Il se trouve que les lois de la physique imposent à la façon dont cette hauteur varie au cours du temps de satisfaire à une certaine « équation différentielle », que l’on trouvera, si on le désire, en dépliant le bloc ci-dessous...

Équation différentielle

On obtient un grand système différentiel assez compliqué (non linéaire). On peut en déduire que la hauteur $x$ varie au cours du temps comme l’indique l’équation différentielle
\[\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2=(1-x^2)(\alpha-2x)-(c-kx)^2.\]
Ici $\alpha$, $c$ et $k$ sont des constantes (l’énergie totale de la toupie, le moment par rapport à l’axe... et on a supposé que la longueur de l’axe est $1$, de sorte que $x\leq 1$). Le second membre est un polynôme du troisième degré. Il est nul pour trois valeurs, $a$ et $b$ plus petites que $1$ et $c$ plus grande. La figure ci-dessous (à gauche) montre la courbe d’équation
\[y^2= (1-x^2)(\alpha-2x)-(c-kx)^2.\]

... et qui à son tour impose à notre hauteur de rester coincée entre deux valeurs.

La courbe représentée sur la figure de gauche (et donnée par l’équation dans le bloc à déplier ci-dessus) est une courbe elliptique [10]. Les solutions des équations du mouvement de la toupie sont ce que l’on appelle des fonctions elliptiques, liées à la courbe elliptique obtenue [11], comme on le sait depuis que Joseph-Louis Lagrange (1736—1813) (dont on voit ici un portrait) a étudié ce problème, à la fin du dix-huitième siècle.

Un peu plus de mathématiques

D’autres systèmes mécaniques que la toupie présentent un comportement semblable. Ceci a été remarqué dans la deuxième moitié du dix-neuvième siècle par Sofia Kovalevskaya, dont on voit ici un portrait [12]. Aujourd’hui, ces systèmes s’appellent des systèmes intégrables. Pour les caractériser sans employer trop de mots techniques, disons qu’ils ont un comportement très régulier, presque périodique [13].

Regardons par exemple un « pendule », une petite boule au bout d’un fil accroché à un point fixe, qui se meut dans l’espace. La petite boule reste toujours à la même distance de ce point au cours de son mouvement. Autrement dit, elle se meut sur une sphère, que nous ne voyons pas mais que nous pouvons imaginer.

Et c’est ce que montrent les deux figures ci-dessous. Celle de gauche montre cette sphère « imaginaire » ; elle montre aussi comment la boule se meut sur cette sphère. Celle de droite montre la trajectoire vue du dessus. Comme celle de l’extrémité de l’axe de la toupie, cette trajectoire est « coincée » entre deux cercles parallèles sur la sphère.

Comme pour celui de la toupie, il y a, au cours de ce mouvement du pendule, des quantités physiques qui ne varient pas, comme l’énergie du système [14], le moment (de la toupie par rapport à son axe, du pendule par rapport à la verticale).

Comme pour la toupie, le système se résout grâce à des intégrales elliptiques.

Précession et nutation, courbes elliptiques, quantités conservées, mouvement presque périodique... On étudie aujourd’hui des « systèmes » plus abstraits, issus d’autres parties des mathématiques que la mécanique, par exemple de la théorie des représentations ou de la géométrie algébrique, et qui partagent avec notre « simple » toupie un certain nombre de propriétés [15]. Les mathématiciens ne regardent peut-être pas les toupies tourner avec les mêmes yeux que les enfants... mais ils y trouvent au moins autant d’émerveillement.

Post-scriptum :

Je remercie les relecteurs dont les noms ou pseudonymes sont Maxime Bourrigan, Safieddine Bouali, subshift, mjchopperboy et Gilles Damamme pour leur lecture attentive d’une version préliminaire de cet article et leur aide à l’améliorer.

Notes

[1Cette orbite est une ellipse (un cercle un peu aplati), comme l’a énoncé Kepler.

[2La verticale du point où vous êtes lorsque vous lisez cet article, c’est la direction de la droite joignant ce point au centre de la Terre, tous les astronomes vous le diront.

[3April in Paris ne verra plus les marronniers en fleurs (chestnuts in blossom), mais les marrons luisants tombés à terre... une prédiction très optimiste quant à l’avenir de la planète.

[4Le cône coupe cette sphère en deux cercles, bien sûr, un au nord et un au sud, mais il y a une bonne raison (autre que géopolitique) de préférer s’intéresser ici à celui du nord, au ciel boréal : les étoiles proches de la direction du sud sont beaucoup moins brillantes que celles citées ici.

[5N’étant point latiniste, je ne résiste pas au plaisir d’utiliser ces noms latins avec leurs beaux génitifs.

[6chanceler, vaciller, osciller, dit le dictionnaire latin Gaffiot, dont l’on peut consulter la page concernée en ligne ici. On y verra aussi que nūto veut aussi dire « faire signe par un mouvement de tête », une bien jolie image. Je remercie Maxime Bourrigan pour cette remarque.

[7Philosophæ naturalis principia mathematica (principes mathématiques de la philosophie naturelle) est le titre du livre dans lequel Newton a exposé la gravitation universelle et les fondements de la mécanique.

[8Lorsque l’on dit qu’Émilie du Châtelet a traduit les Principia en français, ce qui est vrai, on oublie peut-être de penser qu’il s’agit d’une traduction du latin, et donc aussi de la toute première traduction en langue vulgaire.

[9Pour ceux qui aiment les chiffres : dix-sept secondes d’arc, c’est-à-dire 17/3600 degrés. Il est remarquable qu’un phénomène aussi minuscule ait été observé et mesuré depuis le dix-septième siècle. Cette note est un bon endroit pour signaler que la description de la précession et de la nutation de la Terre utilisée ici est inspirée d’un passage d’une recension du volume des Œuvres complètes de d’Alembert consacré à la précession et à la nutation (à partir de la page 105 du fichier contenu dans le lien).

[10Appel au peuple : il est plus qu’étrange que des objets mathématiques aussi utiles que les courbes elliptiques n’aient jamais fait l’objet d’un article sur ce site...

[11On peut trouver les courbes « elliptiques » mal nommées, puisque ce ne sont pas des ellipses. En revanche, les fonctions « elliptiques » sont bien nommées puisque liées à ces courbes (elliptiques).

[12Pour en savoir plus sur cette mathématicienne, voir sur ce site le portrait à elle consacré et un article sur les mathématiciens pendant la Commune de Paris.

[13Le plus simple est de renvoyer ici les lect$\cdot$eur$\cdot$rice$\cdot$s courageux à un article (un peu difficile) sur ce site.

[14Précaution. Le modèle mathématique utilisé suppose qu’il n’y a pas de déperdition d’énergie, la toupie tourne... pour toujours.

Il y a une dizaine d’années, je reçus un coup de fil du Wall Street Journal (!). Le journaliste avait rencontré un fabricant de toupies qui lui avait montré une toupie qui tournait dix minutes de suite sans s’arrêter. Le journaliste voulait savoir si je pensais que c’était assez intéressant pour que le journal consacre un article à cette nouveauté. Je répondis que j’étais spécialiste de toupies qui tournaient pour toujours... mais le journaliste ne décida pas d’écrire un article à ce sujet !

[15À la demande d’un relecteur, j’inclus ici une liste très désordonnée (et redondante, et pourtant incomplète) de systèmes « intégrables », copiée dans un livre écrit sur le sujet il y a une quinzaine d’années :

les systèmes de Calogero-Moser, de Calogero-Sutherland, de Calogero, le solide de Clebsch dans un fluide idéal, le « solide » de dimension $n$, la toupie d’Eular-Arnold, les équations d’Euler, la toupie d’Euler-Poinsot top, la toupie $SO(4)$ exotique, la particule libre sur un ellipsoïde, le solide libre, les géodésiques d’un ellipsoïde, le système de Garnier, celui de Gaudin, le flot géodésique sur un tore, sur une surface de révolution, les géodésiques des quadriques, sur $SO(3)$, les fonctions de Goldman, la toupie de Goryachev-Chaplygin, l’oscillateur harmonique, le système de Hénon-Heiles, le potentiel de Holt, le système de Jeffrey-Weitsman, le problème de Kepler, le solide de Kirchhoff, le potentiel de Kolosoff, la toupie de Kovalevskaya, celle de Lagrange, le pendule mathématique, les systèmes de Moser, le mouvement d’une particule dans un champ central, celui d’une particule sur une sphère dans un potentiel quadratique, le problème de Neumann, le réseau de Toda périodique, les réseaux de Toda non-abéliens, non-périodiques, le système de Ruijsenaars, le pendule sphérique, la toupie $SO(n)$, le solide de Steklov, la toupie symétrique de Lagrange, le problème à deux corps, l’oscillateur anharmonique de dimension 2, l’oscillateur de dimension 2...

sans parler des systèmes en dimension infinie comme l’équation de Korteweg-de Vries.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «Toupie» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Crédits image :

Image à la une - Les photographies des toupies sont de l’auteur ; les figures ont été dessinées par l’auteur, à l’aide d’une toupie créée par Raymond Séroul. Les deux figures illustrant la précession ont été dessinées pour une recension dans la Gazette des mathématiciens.

Commentaire sur l'article

  • Toupie

    le 9 juin 2011 à 16:19, par PierreM

    Bonjour,
    Je suis élève au lycée Louis le Grand en classe prépa, et cet article m’a particulièrement intéressé quant à la réalisation de mon TIPE, projet personnel de prépa.
    Je voulais savoir s’il était possible d’obtenir plus d’informations concernant l’étude mécanique d’une toupie en rotation, des caractéristiques. Je me demandais aussi si les toupies par agitation magnétique rentrait dans une certaine mesure dans vos propos.
    Merci

    Répondre à ce message
  • Toupie

    le 14 juin 2011 à 06:25, par Michèle Audin

    Je reçois beaucoup de messages d’élèves de classes préparatoires qui demandent « plus d’informations ».

    Je ne suis pas sûre qu’il existe « plus d’informations » au niveau voulu. Entre la description qualitative du mouvement de la toupie comme elle est faite dans cet article et l’étude précise des solutions, il y a un saut important.

    Les solutions s’expriment à l’aide de fonctions elliptiques, c’est dit dans l’article. Pour en savoir plus, il faut connaître un peu de courbes elliptiques, voire de la géométrie algébrique plus évoluée.

    Vous pouvez toujours regarder les pages sur la toupie dans Méthodes mathématiques de la mécanique classique d’Arnold (MIR, Moscou, si c’est toujours disponible, sinon la traduction en anglais chez Springer), et mon livre Spinning tops (Cambridge University Press).

    Répondre à ce message

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