Tous pour un, un pour tous

Illustration de la mutualisation en assurance.

Piste rouge 10 décembre 2015  - Ecrit par  Romain Biard Voir les commentaires

Les articles d’Images des maths sont une ressource intéressante pour le professeur du secondaire. Mais il y a loin d’un article de vulgarisation même simple à une activité pour la classe.

Le professeur a toujours besoin de sujets intéressants, mais il est soumis à de nombreuses contraintes : le programme, le niveau de la classe le nombre d’élèves, le temps dont il dispose. En outre, toute activité est au service d’un ou de plusieurs objectifs bien précis : introduire une notion, évaluer, faire travailler la lecture, la rédaction, le calcul, la mathématisation dune situation etc.

Cette rubrique veut s’attaquer à ce chantier et propose des exemples d’activités pour la classe, par exemple construites à partir de quelques articles de ce site, à l’image du travail sur l’explosion continue auquel nous empruntons le titre.

Introduction

Ce document a pour but d’illustrer partiellement une branche des mathématiques appliquées : l’actuariat. Cette thématique s’intéresse aux risques liés aux activités financières, principalement des compagnies d’assurance. L’expert mathématique de ces questions est donc un actuaire. L’activité d’assurance est économiquement particulière. Contrairement aux secteurs économiques « classiques », une compagnie d’assurance ne connaît pas à l’avance les coûts d’un produit qu’elle propose. Prenons par exemple un fabricant de chaussures qui propose le modèle hiver « Chaussochaud ». Selon les coûts des matières utilisées, de main d’œuvre et autres coût annexes, il connaît précisément la dépense qu’a engendré la fabrication de ce produit. Il ne lui reste plus qu’à fixer sa marge pour décider du prix de vente. Considérons maintenant une compagnie d’assurance proposant une assurance voiture. Les cotisations (ou primes) demandées aux assurés sont encaissées en début d’année pour couvrir les accidents survenant lors de cette même année. En fonction des accidents déclarés par les assurés, la compagnie devra procéder à des remboursements dont les montants ne sont pas connus au moment de l’encaissement des primes. On voit ici apparaître le caractère spécifique de l’activité d’assurance : le produit est vendu au client avant de connaître son coût exact. On parle d’inversion du cycle de production. Pour fixer le prix technique d’un produit (c’est-à-dire le prix lié uniquement au risque sans considération commerciale), l’actuaire va utiliser des outils probabilistes. Ce prix technique est appelé « prime pure ». Dans la suite de ce document, à travers un exemple de calcul de prime pure, nous allons voir comment des résultats probabilistes classiques illustrent le phénomène de mutualisation des risques.

Exemple

La compagnie d’assurance franc-comtoise Riscoillotte vient d’ouvrir à Besançon. Tout heureuse d’accueillir sa première cliente Mme Comté qui vient souscrire une assurance vie, elle lui propose le contrat simple suivant :

Contrat A : En cas de décès dans l’année, les ayant-droits de Mme Comté se verront verser un capital de 100 000 €.

La réglementation européenne impose aux compagnies d’assurance d’avoir assez de capital pour pouvoir rembourser ses assurés dans 99,5% des cas sur une année. Quel capital doit donc posséder la compagnie Riscoillotte en début d’année en supposant que Mme Comté est leur seule cliente ? En se basant sur les tables de mortalité publiées par l’INSEE, on s’aperçoit que Mme Comté a une probabilité de décès de 10% [1] pour l’année à venir. La distribution de perte est donc la suivante :

Le graphique de gauche représente la loi de la perte, c’est-à-dire les pertes possibles en abscisse (ici 0 € et 100 000 €) et les probabilités associées en ordonnée (ici 0,9 et 0,1). La fonction de répartition, c’est-à-dire la probabilité que la perte soit inférieure à un montant donné (l’abscisse) est tracé sur le graphique de droite.

Avec une probabilité de 10%, Riscoillotte devra débourser 100 000 €. Comme la compagnie doit faire face aux 99,5% pires scénarios (et rembourser 100 000 € fait partie de ces pires scénarios car 99,5%>90%), elle doit donc posséder 100 000 € pour satisfaire aux contraintes réglementaires. Elle peut demander ce montant à sa cliente Mme Comté en tant que prime d’assurance mais il y a peu de chance qu’elle accepte de payer une prime si élevée. En effet, la perte moyenne étant de 100 000 € $\times$ 10 % = 10 000 €, la prime demandée ne doit pas trop excéder ce montant ; une compagnie d’assurance concurrente pourrait lui proposer un tarif plus avantageux.

Riscoillotte décide donc de lancer une grande campagne de communication pour attirer un peu plus de clients. Franc succès puisque peu après, 99 autres clients ont décidé de souscrire le même contrat que Mme Comté, à savoir le contrat A. Pour simplifier, on va supposer que chaque client a également une probabilité de 10% de décéder dans l’année. La distribution des pertes est donnée ci-dessous (on verra dans la section suivante qu’il s’agit d’une loi binomiale à un facteur près) :

La compagnie Riscoillotte doit posséder 1 800 000 € pour satisfaire les contraintes réglementaires. Si Riscoillotte décide de faire porter ce coût par ses assurés, elle doit demander 1 800 000 € / 100 = 18 000 € à chacun de ses assurés. Rappelons ici que chaque assuré coûte en moyenne 10 000 € sur l’année. 18 000 € par personne est nettement inférieur au 100 000 € demandé à Mme Comté lorsqu’elle était seule mais est encore supérieur au coût moyen par assuré, à savoir 10 000 €.

Augmentons encore le nombre d’assurés de la compagnie Riscoillotte en supposant toujours que chaque contrat souscrit est le contrat A. Intéressons nous au montant que la compagnie doit avoir pour satisfaire aux contraintes réglementaires et regardons ce que cela donne si on le divise par le nombre d’assurés.

Ce graphique fait apparaître une décroissance vers ces fameux 10 000 €, c’est-à-dire vers le prix moyen du coût du contrat A pour la compagnie. En conclusion, le nombre d’assurés joue un grand rôle pour la gestion financière d’une compagnie d’assurance. Il y a en effet une très petite probabilité qu’un grand nombre d’assurés décèdent sur une même année : les cotisations payées par chaque assuré permet de faire face financièrement aux décès de certains. C’est le phénomène de mutualisation.

Intéressons nous maintenant aux résultats probabilistes cachés derrière tout ça.

Théorie

Modélisons l’exemple précédent. On suppose que Riscoillotte a vendu $n >0$ contrats de type A et on suppose que les événements de décès des assurés sont indépendants entre eux. Soit $L_n$ la variable aléatoire réelle et positive égale aux pertes annuelles subies par la compagnie d’assurance Riscoillotte. On peut écrire

\[ L_n = C \times N_n \, , \]

où $N_n$ est une variable aléatoire à valeurs dans $[|0,n|]$ représentant le nombre de décès parmi les assurés dans l’année et $C=100000$€ est le capital remboursé en cas de décès. Notons $p=0,1$ la probabilité de décès supposée commune à chaque assuré. On est donc en présence d’un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves avec ’le décès d’un assuré’ comme succès, succès arrivant avec probabilité $p$. Ainsi la loi de $N_n$ est une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, c’est-à-dire que pour tout $k \in [|0,n |]$, on a

\[ P(N_n=k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \, . \]

Si on décortique un peu la loi de $N_n$, on trouve la probabilité d’avoir $k$ décès ($p^k$), $n-k$ non décès ($(1-p)^{n-k}$) et le nombre de possibilités d’avoir $k$ décès parmi $n$ personnes $\left({n \choose k}\right)$. On peut également également écrire $N_n$ comme

\[ N_n = \sum_{i=1}^n B_i \, , \]

où $(B_i)_{1\le i \le n}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et toutes de même loi, à savoir une loi de Bernoulli de paramètre $p$, soit

\[ \forall i \in [|1,n|] \, , \, P(B_i=1)=1-P(B_i=0)=p \, . \]

Cette décomposition de $N_n$ en somme va nous permettre d’appliquer un premier résultat qui met en relief le phénomène de mutualisation en assurance, à savoir la loi faible des grands nombre dont voici l’énoncé.

Théorème : Loi faible des grands nombres

Soit $(X_n)_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de moyenne commune $\mu$ finie et de variance commune également finie. On a

\[ \forall \epsilon > 0 \, , \, \lim_{n\to \infty} P\left(\left|\frac{X_1+\ldots+X_n}{n} - \mu \right| > \epsilon \right) = 0 \, . \]

Autrement dit la moyenne empirique définie par $\bar{X}_n=\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}$ converge en probabilité vers l’espérance $\mu$.

Appliquons ce résultat à notre exemple avec

\[ L_n = C \times N_n = C \times \sum_{i=1}^n B_i \, , \]

où les $B_i$ sont toutes des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, donc de moyenne $p$ et de variance $p(1-p)$. On a donc

\[ \forall \epsilon > 0 \, , \, \lim_{n\to \infty} P\left(\left|\frac{L_n}{n} - Cp \right| > C\epsilon \right) = 0 \, , \]

ou de manière équivalente

\[ \forall \epsilon' > 0 \, , \, \lim_{n\to \infty} P\left(\left|\frac{L_n}{n} - Cp \right| > \epsilon' \right) = 0 \, . \]

Autrement dit, pour un grand nombre d’assurés, le coût supporté par la compagnie d’assurance pour un assuré tend vers la moyenne de la perte causée par cet assuré (à savoir le capital à rembourser multiplié par la probabilité de décès).

Le deuxième résultat que nous allons voir est le théorème de Moivre-Laplace, théorème que nous allons pouvoir appliquer car nous sommes en présence d’une loi binomiale. La conclusion de ce théorème est plus forte. En effet, elle va préciser le comportement asymptotique de $L_n/n$ vers $Cp$ à l’aide d’une loi normale.

Théorème de Moivre-Laplace

Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On pose $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$. Alors pour tous réels $a$ et $b$ avec $b>a$,

\[ \lim_{n\to \infty} P\left(a\le Z_n \le b\right) = \int_a^b \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dt \, . \]
Autrement dit $Z_n$ converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale standard.

Appliquons ce résultat aux coûts annuels de notre compagnie d’assurance Riscoillotte. On a donc pour tous réels $a$ et $b$ avec $b>a$,

\[ \lim_{n\to \infty} P\left(a\le \frac{N_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le b \right) = \int_a^b \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dt \, . \]

soit, en multipliant par $C$ au numérateur et au dénominateur,

\[ \lim_{n\to \infty} P\left(a\le \frac{L_n-Cnp}{C\sqrt{np(1-p)}} \le b \right) = \int_a^b \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dt \, . \]

Ce résultat nous indique que lorsque le nombre d’assurés est grand, la loi du coût annuel global se comporte comme une loi normale. Pour des « $n$ » et « $p$ » bien choisis (voir remarque ci-après), on peut donc approximer la loi de $L_n$ par une loi normale d’espérance $Cnp$ et de variance $C^2np(1-p)$ dans le sens où les fonctions de répartition sont proches (avec un écart en $o(\sqrt{n})$). Si on ramène ce coût global au coût par assuré, la loi de $L_n/n$ se comporte comme une loi normale du moyenne, $Cp$ et de variance $C^2p(1-p)/n$. On peut remarquer que la variance du coût par assuré tend vers $0$ lorsque le nombre d’assurés augmente. La variance étant classiquement reliée au risque, on voit ici un premier effet de mutualisation dans ce portefeuille d’assurance : le risque individuel diminue quand le nombre d’assurés augment.

Remarque

Dans le programme du secondaire, on trouve des conditions d’application du théorème de Moivre-Laplace : $n>30$, $np>5$ et $n(1-p)>5$. Ces conditions sont avant tout conventionnelles. Elles permettent d’assurer une taille d’échantillon grande ($n>30$), et d’avoir une distribution relativement centrée ($np>5$ et $n(1-p)>5$ ). Dans notre cas, $p=0,1$, il faut que le nombre d’assurés soit supérieur à $5/0,1=50$.

Revenons maintenant aux contraintes réglementaires qui imposent aux compagnies de posséder un capital qui leur permet de rembourser leurs assurés dans au moins $99,5\%$ des cas sur une année.

On va maintenant utiliser l’approximation normale pour calculer le capital réglementaire que doit posséder la compagnie d’assurance. On fait donc l’hypothèse que les coûts sur l’année ont une distribution gaussienne de moyenne $Cnp$ et de variance $C^2np(1-p)$. Notons $r_n$, pour $n \ge 1$, ce capital réglementaire lorsque la compagnie a $n$ assurés. $r_n$ satisfait l’équation suivante :

\[ r_n = \inf\{x / P(L_n \le x) \ge 0,995 \} \, . \]

On a

\[ P(L_n \le x) = P\left(\frac{L_n-Cnp}{C\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{x-Cnp}{C\sqrt{np(1-p)}} \right) \approx \Phi\left(\frac{x-Cnp}{C\sqrt{np(1-p)}}\right)\, , \]

où $\Phi$ est la fonction de répartition de la loi normale standard. $\Phi$ étant continue et strictement croissante de $\mathbb{R}$ dans $]0,1[$, elle est bijective et notons $\Phi^{-1}$ sa bijection réciproque.

On a donc
\[ r_n \approx C\sqrt{np(1-p)} \times \Phi^{-1}(0,995) + Cnp \, . \]

Si nous considérons maintenant ce coût global divisé par le nombre d’assurés, nous obtenons :

\[ r_n/n \approx C\sqrt{p(1-p)/n} \times \Phi^{-1}(0,995) + Cp \xrightarrow[n\to \infty]{} Cp \, . \]

Ce résultat théorique correspond bien au phénomène observé lors de l’exemple puisque $Cp$ est bien le coût moyen par assuré associé au contrat A et on a une décroissance de $r_n/n$ vers ce coût.

Conclusion

Dans cet article, nous avons vu un premier aperçu de ce que peut être l’actuariat. Les réserves financières imposées par la réglementation européenne sont un problème actuel des compagnies d’assurance. À l’aide de théorèmes classiques de la théorie des probabilités, nous avons vu qu’il est plus facile de faire supporter ce coût aux assurés lorsque leur nombre est grand. Plus le nombre d’assurés est grand, plus le phénomène de mutualisation joue son rôle. L’actuaire n’est pas simplement une calculette qui fixe les réserves réglementaires et les cotisations des contrats d’assurance mais il doit connaître les risques liés aux contrats et en déduire des modèles toujours plus pertinents pour fixer ces montants de la manière la plus mathématiquement juste. Cela en fait un métier aux multiples facettes et en perpétuel mouvement.

Post-scriptum :

Un grand merci à Yves Ducel pour m’avoir proposé d’écrire cet article ainsi qu’aux relecteurs pour le temps passé et leurs remarques pertinentes : Avner Bar-Hen, Clement_M, Julien Bureaux, alainfa et Sylvain Barré.

Article édité par Yves Ducel

Notes

[1Chiffre purement fictif.

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Pour citer cet article :

Romain Biard — «Tous pour un, un pour tous» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Assurance road sign, pakata.com

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