Tout ce qui est rare est cher

Le 5 avril 2009  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (1)

J’avais l’intention d’écrire un petit billet intitulé
« Mathématiques financières et faux-monnayage » en réponse
à l’article « La crise expliquée par les maths »
du Monde, au titre
délicieusement ambigu (et en particulier
à la phrase « Cette situation de pénurie n’est pas prévue
dans les modèles, qui considèrent que tout produit financier
est à tout moment disponible sur le marché »), mais ce
sera pour une autre fois (peut-être).

À la place, je vais parler de nombres premiers. Euler
a démontré (en 1737) qu’il y a beaucoup de nombres premiers
puisque la somme de leurs inverses vaut $+\infty$.
Par comparaison, il y a peu de nombres dont l’écriture
en base $10$ ne comporte pas de $9$ puisque la somme
des inverses de ces nombres est finie (je présume que
Xenon aurait pu se persuader de la véracité de ce fait).
Une autre manière de faire la comparaison est de constater que
jusqu’à $10^n$, il y a seulement $9^n$ nombres sans $9$ dans l’écriture
en base $10$, ce qui fait une proportion de $(0,9)^n$, alors
que la proportion de nombres premiers est de l’ordre de $\frac{1}{n\log 10} \sim \frac{1}{2,3\,n}$, d’après le théorème des nombres premiers
démontré par Hadamard et de la Vallée-Poussin (en 1896) après
plus d’un siècle d’essais infructueux (par Euler, Gauss, Riemann, Tchebychev...).
Comme $(0,9)^n$ tend vers $0$ beaucoup plus vite que $\frac{1}{n}$, cela
montre qu’il y a beaucoup plus de nombres premiers que de nombres sans $9$.

Pourtant, une petite simulation en tirant des nombres
au hasard vous prouvera qu’il y a beaucoup plus de nombres sans $9$
que de nombres premiers. Par ailleurs,
on a distribué, il n’y a pas très longtemps,
$100\,000$ dollars à ceux qui ont découvert
le nombre premier $2^{43\,112\,609}-1$, sous prétexte que ce nombre
avait plus de $10$ millions de chiffres, alors que je peux produire
sans aucun problème un nombre de un milliard de chiffres sans $9$
(je réfléchirai à deux fois si on me demande de l’écrire
in extenso à la main...),
ce qui ne me rapportera rien du tout. Alors, nous aurait-on menti
ou y aurait-il d’autres manières de ranger les nombres que par
leur taille ?

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «Tout ce qui est rare est cher» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • La disparition...

    le 6 avril 2009 à 22:29, par a.leblanc

    du $9$, pour créer un monde neuf !

    Alors qu’on put produire un roman sans « e » ([1]), que dire des mathématiques « sans $9$ » ?

    Pour commencer : que sait-on des nombres premiers « sans $9$ » ? Et enfin, combien de $9$ dans l’écriture en base $10$ de $2^43112609-1$ ? Est-ce en particulier un nombre premier de « l’ancien monde », ayant le chiffre $9$ dans son écriture décimale ?

    Enfin, sérieux problème : comment faire une preuve par ..., euh ..., par $9$ ! ([2]) dans ce nouveau monde ?

    [1] G. Perec, « La disparition ». Denoël, 1969
    [2] Comment cela, pas encore de billet là-dessus sur ce site ?

    Répondre à ce message

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