Tout n’a-t-il pas été trouvé en mathématiques ?

Le 14 octobre 2009  - Ecrit par  Christiane Rousseau Voir les commentaires (1)

— Vous faites de la recherche en mathématiques ? Mais, tout
n’a-t-il pas été trouvé en mathématiques ?

Ces questions sont adressées à une mathématicienne (il en
existe quelques-unes dans la profession) que nous nommerons,
pourquoi pas, Christiane.

— (Christiane) Vous aimez comprendre comment votre appareil photo ou
votre grille-pain fonctionnent. Pour cela, vous le démontez et
vous découvrez les mécanismes cachés. Parfois, vous admirez un
mécanisme ingénieux. D’autres fois, vous pensez que vous feriez
mieux que l’ingénieur qui a conçu l’objet. Dans notre
profession, nous faisons de même.

— Pouvez-vous me donner un exemple ?

— (Christiane) Vous envoyez votre numéro de carte de crédit sur
Internet. Il est encodé pour ne pas pouvoir être lu par des
espions qui intercepteraient la communication. La recette de
l’encodage est publique. Je vous l’explique sur un exemple simple.

Je prends deux nombres premiers, par exemple $97$ et $103$, et je calcule leur produit \[97\times 103=9991,\] que j’appelle la clé.

Je vous communique la clé $9991$, ainsi que le nombre $5$ dont
vous vous servirez pour l’encodage.

Votre carte de crédit a le numéro $1234$.

Pour crypter le numéro, je vous demande de calculer le nombre
$1234^{5}$, ce qui donne $2861381721051424$, et ensuite de trouver
le reste de la division de ce grand nombre par la clé, $9991$.
Comme
\[2861381721051424 = 9991\times 286395928440+ 7384,\]
le reste vaut $7384$. Bien sûr, ce calcul est un peu long et il
vaut mieux utiliser un ordinateur. Ce reste, $7384$, est le numéro
crypté que vous me transmettez.

Pour retrouver votre numéro de carte de crédit, je calcule
$7384^{3917}$ que je divise par $9991$. Le reste de la division est
précisément le nombre $1234$, soit le numéro de votre carte de
crédit que j’ai récupéré !

Les nombres $9991$ et $5$ que je vous ai transmis sont publics.
C’est pourquoi cette technique de cryptage s’appelle la
cryptographie à clé publique ou code RSA. Par
contre, l’exposant $3917$ que j’ai utilisé est connu de moi seule.
Mais, je peux vous expliquer la méthode pour le calculer : elle est
simple (et publique) dès que vous aurez trouvé les facteurs $97$
et $103$ de $9991$. Dans notre exemple, il est facile de factoriser
$9991$. Mais, si je prends de plus grands entiers premiers (par
exemple 150 chiffres chacun) et que je les multiplie, aucun
ordinateur, si puissant soit-il, n’est encore capable de retrouver
les deux entiers à partir de leur produit.

Le code RSA date de 1978. Depuis plus de trente ans,
mathématicien(ne)s et informaticien(ne)s savent que la gloire les
attend s’ils(elles) réussissent à programmer un ordinateur pour
qu’il factorise de grands nombres qu’ils(elles) ont eux-mêmes
construits à l’ordinateur. Mais, le code RSA résiste
toujours...

— Je ne comprends pas. Je sais multiplier ces deux nombres premiers
et j’ai aussi appris à factoriser un nombre.

— (Christiane) Supposez que vous ayez deux bobines de fil de canne
à pêche. Il vous est facile de les emmêler en une grosse
pelote. Mais cela vous prendra sûrement beaucoup plus de temps
pour les démêler...

— Mais, lorsqu’il a vu le nœud gordien, Alexandre a eu l’idée
de le trancher avec son épée. Ne pourrait-on faire de même ?

— (Christiane) Bravo ! Vous commencez à faire de la science. Et
l’histoire moderne commence à ressembler à celle d’Alexandre.
Dans l’histoire moderne, Alexandre a essayé de trancher le nœud
gordien avec son épée, mais l’épée s’est cassée et il en a
commandé une plus robuste. À l’atelier, on teste de nouveaux
matériaux. Pour le code RSA, le mathématicien Shor a trouvé
comment factoriser rapidement de grands nombres ... mais, sur un
ordinateur quantique, qui n’existe pas encore... La commande est
donc passée aux physiciens qui cherchent...

— Mais, peut-être qu’Alexandre, au lieu d’attendre son épée
robuste, pourrait essayer une autre méthode ? Par exemple, chauffer
le nœud ? Ou le plonger dans l’acide ?

— (Christiane) Eh oui ! Vous avez tout compris. Pendant que les
physiciens cherchent, les mathématicien(ne)s cherchent ...

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Pour citer cet article :

Christiane Rousseau — «Tout n’a-t-il pas été trouvé en mathématiques ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Tout n’a-t-il pas été trouvé en mathématiques ?

    le 17 octobre 2009 à 19:11, par mikl

    J’en viens à penser qu’il n’existe pas de physiciennes...

    Répondre à ce message

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