Traduire les démonstrations des livres I à VI des Éléments d’Euclide sous forme de syllogismes

Une entreprise pédagogique de deux professeurs de mathématiques strasbourgeois de la Renaissance

Piste bleue 22 octobre 2014  - Ecrit par  Sabine Rommevaux-Tani Voir les commentaires

Au XVIe siècle, Dasypodius, à la suite de son maître Herlinus, propose la traduction en termes de syllogismes des démonstrations des propositions des six premiers livres des Eléments d’Euclide. Nous en donnons deux exemples et nous replaçons cette entreprise singulière dans l’enseignement des mathématiques au Gymnasium de Strasbourg à cette époque.

Christian Herlin, Conrad Dasypodius et l’Analyseis Geometricæ sex librorum Euclidis

Horloge Astronomique de la Cathédrale de Strasbourg
Cunradus Dasypodius, ou Conrad Rauchfuss, naît en Suisse vers 1530 et décède à Strasbourg le 26 avril 1600. Il est le fils de l’helléniste Peter Dasypodius, qui publia le premier dictionnaire grec-latin-allemand, à Strasbourg, en 1554. Conrad Dasypodius est surtout connu pour la magnifique horloge astronomique de la cathédrale de Strasbourg, dont il a tracé les plans et qu’il a décrite dans son ouvrage sur Héron (Heron mathematicus, Strasbourg, 1580). Mais, ayant bénéficié d’une solide formation d’humaniste et possédant lui-même de nombreux manuscrits, il a surtout publié des éditions grecques, accompagnées de traductions latines, d’ouvrages d’auteurs de l’Antiquité, comme les Éléments d’Euclide, les Definitiones de Héron, ou les ouvrages sur la sphère d’Autolycos et de Théodose. Ces ouvrages sont à visée pédagogique ; il occupa la chaire de mathématiques au Gymnasium de Strasbourg [1] à partir de 1562.

Page de titre de l'Analyseis Geometricæ sex librorum Euclidi, Strasbourg, 1566
L’ouvrage qui nous intéresse ici est l’Analyseis Geometricæ sex librorum Euclidis (L’explication des six livres de géométrie d’Euclide), que Dasypodius publie à Strasbourg en 1566. Sur la page de titre, il est précisé que les livres I et V ont été réalisés par Christian Herlin. On sait peu de choses sur ce personnage, qui ne semble pas avoir laissé d’écrit autre que ce qui est repris ici par Dasypodius. Herlin fut le premier « mathematicus publicus » du Gymnasium. Pendant plus de 30 ans, jusqu’à sa mort, en 1562, il enseigna les rudiments d’arithmétique, de géométrie, d’astronomie et de géométrie [2]. Dasypodius fut son élève, avant de devenir son assistant et d’occuper sa chaire de mathématiques, à sa mort [3].

Dans l’Analyseis, les deux auteurs proposent une transcription en termes de syllogismes des démonstrations des propositions des livres I à VI des Éléments d’Euclide [4]. Un syllogisme est un raisonnement dans lequel deux prémisses, dites majeure et mineure, conduisent à la conclusion. L’exemple le plus couramment évoqué est celui-ci :

Tous les hommes sont mortels,
or Socrate est un homme,
donc Socrate est mortel.

Les trois propositions tournent autour de trois termes, le moyen terme, homme, le terme majeur, mortel, et le terme mineur, Socrate. La conclusion fait le lien entre le majeur et le mineur, lien établi grâce au moyen, que l’on retrouve dans les deux prémisses. Pour que le raisonnement soit valide, c’est-à-dire pour qu’à partir de deux prémisses vraies, on puisse tirer une conclusion vraie, il faut que le syllogisme suive certaines règles, qui ont d’abord été énoncées par Aristote dans les Premiers analytiques. La théorie des syllogismes va particulièrement intéresser les philosophes du Moyen Âge et l’art du raisonnement fait partie de l’enseignement dans les écoles et les universités de la Renaissance.

Une entreprise pédagogique

Avant d’examiner comment Herlin et Dasypodius traduisent sous forme de syllogismes les preuves de deux propositions du livre I des Éléments d’Euclide, nous allons nous demander pourquoi ils se sont lancés dans une telle entreprise.

Dasypodius s’en explique dans la préface de l’Analyseis, dans laquelle il aborde successivement les thèmes suivants : la nécessité de l’étude des mathématiques pour la compréhension des autres sciences mais aussi pour la bonne marche de la société ; les obstacles à l’étude de la géométrie en raison de son inutilité supposée et de la difficulté à s’y consacrer ; l’utilité de l’étude de la géométrie pour la connaissance des objets terrestres et célestes ; la place de la géométrie dans la hiérarchie des sciences ; la structure des Éléments d’Euclide. Pour finir, il explique quel fut le projet de son maître Herlin, qu’il reprend dans l’Analyseis : rendre plus claires les démonstrations en mettant en lumière les différentes propositions des syllogismes qui composent les démonstrations, propositions qui sont regroupées par Théon (comme beaucoup de leurs contemporains, Herlin et Dasypodius pensaient que les preuves n’étaient pas l’œuvre d’Euclide, mais de Théon d’Alexandrie, qui édita les Éléments d’Euclide au IVe siècle). Dasypodius écrit (le texte original est latin ; c’est moi qui traduis) :

Ensuite, parce […] que beaucoup de choses sont requises pour faire une démonstration, nous avons isolé la construction de la preuve. La preuve elle-même est parfois composée de plusieurs arguments ou moyens termes des syllogismes, c’est pourquoi, afin de dissiper l’obscurité et de résoudre les difficultés, nous avons isolé les propositions des syllogismes qui sont regroupées par Théon dans la brièveté la plus aiguë. Ici elles sont très développées et rendues plus claires.

Ce projet entamé par Herlin sur les livres I et V, Dasypodius l’a donc poursuivi dans les autres livres, jusqu’au sixième, et il a fait cela pour le bien des élèves :

C’est pourquoi mon maître a tenté cela dans le livre I et dans le livre V et moi, j’ai entrepris de faire de même dans les autres livres avec les conseils des meilleurs et des plus érudits des hommes et cela dans l’intérêt des meilleurs adolescents, si ce n’est avec cette facilité et cette clarté qu’avait mon maître, mais avec un esprit égal et bienveillant pour les élèves en géométrie.

Le but est clairement pédagogique. Dans la préface d’un autre de ses ouvrages, le Volumen primum mathematicum, publié à Strasbourg en 1567, Dasypodius décrit longuement ce qu’était l’enseignement au Gymnasium de Strasbourg. Le cursus se déroulait sur dix années et s’adressait à des élèves âgés de 6 à 16 ans environ. Les premières années étaient consacrées à l’étude du latin : écriture, lecture, grammaire. L’étude du grec était introduite la cinquième année. L’enseignement de la rhétorique débutait la huitième année. Les deux dernières années, la rhétorique côtoyait la dialectique. Et c’est aussi ces deux dernières années que les élèves recevaient un enseignement de géométrie, d’arithmétique, d’astronomie et de géographie. Pour toutes ces disciplines, littéraires et scientifiques, l’étude des grands auteurs était privilégiée, entre autres Cicéron, Virgile, Homère, mais aussi Euclide ou Ptolémée.

Ainsi, les élèves étaient initiés au mode de raisonnement dans le cadre de leur enseignement de la dialectique ; les syllogismes leur étaient donc familiers. Transcrire les démonstrations euclidiennes à l’aide de syllogismes pouvait permettre aux élèves de mettre en pratique ce qu’ils avaient appris et leur fournissait un accès plus aisé aux mathématiques. Et ce faisant, les élèves avaient à leur disposition les outils nécessaires pour participer aux débats publics entre géomètres :

Il y en aura peut-être qui diront que ce sont des choses trop scholastiques et puériles. J’avoue et je dis publiquement et simplement que j’ai écrit cela pour les jeunes et nos élèves qui, dans leur cursus, après la connaissance des langues, puis de la rhétorique et de la dialectique, se tournent vers les géomètres et descendent dans leur arène. J’ai fait cela afin qu’ils s’exercent et qu’ils consolident le discernement qu’ils ont acquis depuis leur plus jeune âge, qu’ils réjouissent leur âme par ces contemplations, et enfin qu’ils confortent leur mémoire dans laquelle sont situées beaucoup de choses.

La proposition 1 du livre I des Éléments

Voyons donc maintenant ce que proposent Herlin et Dasypodius pour deux propositions du livre I des Éléments d’Euclide, la première, qui est un problème et qui demande de construire un triangle équilatéral sur un segment donné, et la sixième dans laquelle il est démontré, par l’absurde, que si deux angles d’un triangle sont égaux entre eux, les côtés qui sous-tendent ces angles égaux sont aussi égaux entre eux.


La construction d’un triangle équilatéral sur un segment donné est simple. Le segment AB étant donné, on décrit le cercle de centre A et de rayon AB, puis le cercle de centre B et de rayon BA, ces deux cercles se coupent au point C qui forme avec A et B un triangle équilatéral. On le prouve tout aussi facilement. Les segments AB et AC sont les rayons du cercle centré en A, donc ils sont égaux. De même BA et BC sont les rayons du cercle centré en B, donc ils sont égaux. Ainsi, AC et BC sont tous les deux égaux au même segment AB, ils sont donc égaux entre eux. Par conséquent, les trois côtés du triangle sont bien égaux entre eux.

Voici comment Dasypodius, à la suite de Herlin, présente la proposition et sa démonstration. J’ai traduit le texte qui est initialement en latin et j’ai mis en parallèle la démonstration euclidienne, dans la traduction française de Bernard Vitrac (on trouve en note les propriétés qui sont utilisées dans la démonstration et qui sont signalées entre parenthèses) [5].

On remarque en premier lieu que Dasypodius, à la suite d’Herlin, met clairement en évidence les étapes de la démonstration. Ceux-ci distinguent en effet l’Ecthèse, ou l’exposition, dans laquelle sont précisées les données du problème ou du théorème, puis on a le Diorisme, ou la détermination, soit la reformulation de l’énoncé du problème ou du théorème avec les nouvelles données introduites dans l’exposition ; lorsque cela est nécessaire est alors décrite la construction ou Kataskeuè ; vient ensuite la démonstration ou Apodeixis qui se conclut par la Sympérasma ou conclusion, qui reprend l’énoncé et se termine par « ce qu’il fallait faire », si c’est un problème, ou « ce qu’il fallait démontrer » si c’est un théorème. Ces étapes, que l’on retrouve dans toutes les propositions des Éléments d’Euclide, ont été identifiées et décrites par Proclus (Ve siècle), qui commenta le traité euclidien (qui fut composé au IIIe siècle avant l’ère chrétienne). Là encore, Dasypodius s’en était expliqué dans la préface :

Puisque, comme on peut le voir chez Proclus et dans mes commentaires, dans n’importe quelle proposition géométrique on observe six étapes : la Prostase [6], l’Ecthèse, le Diorisme, la Kataskeuè, l’Apodeixis et la Sympérasma, mais puisque celles-ci ne peuvent pas être facilement observées dans le commentaire de Théon, il sembla à mon maître Christian Herlin que chacune devait être mise en évidence […].

La démonstration elle-même est présentée sous la forme de quatre syllogismes ; chaque syllogisme est suivi d’une explication. On remarque que Herlin et Dasypodius suivent pas à pas la démonstration euclidienne. Et finalement la transcription de la démonstration sous forme de syllogismes est aisée ; il suffit pour chaque étape de mettre en évidence les propriétés en jeu dans la démonstration (définition, notion commune, axiome ou autres propositions). Ces propriétés sont identifiées dans les « explications ».

Ainsi, dans la première étape de la démonstration, Euclide explique que puisque le point A est le centre du cercle CDB, AC est égale à AB et les lecteurs du traité euclidien ont remarqué qu’on devait utiliser ici la définition 15 du livre I qui explique que dans un cercle, tous les rayons sont égaux. Herlin et Dasypodius transcrivent cette première étape à l’aide du syllogisme suivant :

Majeure : Dans tout cercle les droites menées à partir du centre vers la circonférence sont égales (dans l’explication, ils remarquent qu’il s’agit ici de la définition du cercle).

Mineure : La figure BCD est un cercle de centre A (c’est donné par construction).

Conclusion : Donc la droite AC est égale à la droite AB.

Le principe est le même pour les autres étapes.

La proposition 6 du livre I

Avec la proposition I. 1 nous avions l’exemple d’un problème. Voyons maintenant le cas d’un théorème, avec une démonstration indirecte. Dans la proposition 6 du livre I, il est démontré que si deux angles d’un triangle sont égaux entre eux, les côtés qui sous-tendent ces angles égaux sont aussi égaux entre eux. On considère un triangle ABC, tels que les angles ABC et ACB sont égaux ; on montre que les côtés AB et AC sont égaux. Je ne donne ici qu’une partie de la démonstration, dans le texte de Herlin et de Dasypodius et dans le traité euclidien [7].

De fait, trois cas peuvent se présenter : soit la ligne AB est égale à la ligne AC, soit elle est plus grande, soit elle est plus petite. On suppose dans un premier temps qu’elle est plus grande et c’est le seul cas considéré par Euclide, alors que Herlin et Dasypodius complètent la démonstration en examinant le cas où AB est plus petite que AC.

Si donc AB était plus grande que AC, on introduit le point D sur AB tel que BD soit égal à AC. On en déduit, en appliquant la proposition 4 qui donne une condition pour que deux triangles soient égaux (l’un des angles du premier triangle DBC doit être égal à l’un des angles du second triangle ACB – en l’occurrence l’angle en B du triangle DBC est égal à l’angle en C du triangle ACB –, et deux côtés de DBC doivent être égaux à deux côtés de ACB – BD, BC égaux à AC, BC), que le triangle DBC serait égal au triangle ACB, ce qui est absurde, car l’un est manifestement plus grand que l’autre. Là encore les syllogismes composés par Herlin et Dasypodius reprennent les étapes de la démonstration, en explicitant les propriétés à l’œuvre dans la démonstration.

Les démonstrations des autres propositions des livres I à VI sont toutes sur ce même modèle. Il est un fait que le recours aux syllogismes allonge considérablement la démonstration. Ainsi, pour la proposition 10 du livre II, Dasypodius utilise 45 syllogismes ! Toutefois cette transcription à l’aide de syllogismes a le mérite de bien mettre en évidence les propriétés qui sont au fondement des preuves et leurs différentes articulations.

Epilogue

Notons pour terminer que Herlin et Dasypodius ne sont pas les seuls à avoir proposé de traduire en termes de syllogismes la proposition 1 du livre I d’Euclide. On trouve une telle transcription dans le commentaire aux Éléments d’Euclide que publie en 1589, à Rome, Christoph Clavius, mathématicien, professeur au collège jésuite de Rome. Cette preuve, qui diffère de celle proposée par Herlin et Dasypodius dans l’ordre des syllogismes, Clavius la reprend au philosophe Alexandre Piccolomini, dans son ouvrage De certitudine mathematicarum disciplinarum, publié à Venise en 1565. Cet ouvrage n’est pas à visée pédagogique ; il traite de philosophie des mathématiques. Piccolomini s’interroge en effet sur la valeur des démonstrations mathématiques : sont-elles de bonnes démonstrations selon les critères donnés par Aristote dans les Seconds analytiques, à savoir qu’une démonstration ou un syllogisme scientifique doit déduire la conclusion à partir de ses vraies causes [8] ? Cette question donnera lieu à un débat nourri à la Renaissance, dont Christoph Clavius est un des acteurs [9]. Toutefois, dans son édition des Éléments d’Euclide, c’est sans lien apparent avec cette question que Clavius reprend la démonstration de Piccolomini. Et, alors que Dasypodius s’est proposé de transcrire l’ensemble des démonstrations des livres I à VI, Clavius estime, quant à lui, que :

On peut résoudre de la même manière toutes les autres propositions, non seulement d’Euclide, mais aussi des autres mathématiciens. Toutefois les mathématiciens dédaignent ce type de résolution dans leurs démonstrations, afin de démontrer plus brièvement et plus facilement ce qui est proposé.

Post-scriptum :

Je remercie vivement Raphaël Alexandre, Clément Caubel, Christine Huyghe et Aline Parreau pour leurs commentaires et remarques sur mon texte.

Article édité par Hélène Gispert

Notes

[1C’est actuellement l’établissement d’enseignement privé Jean Sturm.

[2Voir Histoire du gymnase Jean Sturm, berceau de l’université de Strasbourg (1538 – 1988), textes réunis et publiés par Pierre Schang et Georges Livet, Strasbourg, Editions Oberlin, 1988, p. 93.

[3Voir Histoire du gymnase Jean Strurm…, p. 94.

[4Pour une description de cet ouvrage voir Euclide

[5Euclide, Les Éléments, Volume 1. Introduction générale, par Maurice Caveing, Livres I à IV, traduction et commentaires par Bernard Vitrac, Paris, Presses Universitaires de France, 1990, p. 194-195.

Les propriétés utilisées dans la démonstration sont les suivantes (dans la traduction de B. Vitrac, op. cit., p. 164-178) :

Définition I. 20 : « Parmi les figures trilatères est un triangle équilatéral celle qui a les trois côtés égaux […]. »

Demande (ou postulat) 1 : « Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point. »

Demande 3 : « Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle. »

Notion commune (ou axiome) 1 : « Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles. »

Définition I. 15 : « un cercle est une figure plane contenue par une ligne unique [celle appelée circonférence] par rapport à laquelle toutes les droites menées à sa rencontre à partir d’un unique point parmi ceux qui sont placés à l’intérieur de la figure, sont [jusqu’à la circonférence du cercle] égales entre elles. »

[6C’est l’énoncé de la proposition.

[7Pour le traité euclidien j’utilise là encore la traduction de Bernard Vitrac, op. cit., p. 208-209.

Les propriétés utilisées dans la démonstration sont les suivantes (toujours dans la traduction de B. Vitrac) :

Demande 1 : « Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point »

Proposition 3 du livre I : « De deux droites inégales données, retrancher de la plus grande, une droite égale à la plus petite »

Proposition 4 du livre I : « Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et s’ils ont un angle égal à un angle, celui contenu par les droites égales, il auront aussi la base égale à la base, les triangles seront égaux et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun, c’est-à-dire ceux que les côtés égaux sous-tendent. »

[8Aristote, Seconds analytiques I, 2, 71b, traduction de Jean Tricot (Paris, J. Vrin, 1995), p. 8 : « Par démonstration j’entends le syllogisme scientifique, et j’appelle scientifique un syllogisme dont la possession même constitue pour nous la science. Si donc la connaissance scientifique consiste bien en ce que nous avons posé, il est nécessaire aussi que la science démonstrative parte de prémisses qui soient vraies, premières, immédiates, plus connues que la conclusion, antérieures à elle, et dont elles sont les causes. C’est à ces conditions, en effet, que les principes de ce qui est démontré seront aussi appropriés à la conclusion. Un syllogisme peut assurément exister sans ces conditions, mais il ne sera pas une démonstration, car il ne sera pas productif de science. »

[9L’ouvrage de référence sur ce débat est en italien : Anna de Pace, Le Matematiche e il mondo : Ricerche su un dibattito in Italia nella seconda metà del Cinquecento, Milan, Francoangeli, 1993.

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Pour citer cet article :

Sabine Rommevaux-Tani — «Traduire les démonstrations des livres I à VI des Éléments d’Euclide sous forme de syllogismes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Horloge Astronomique de la Cathédrale de Strasbourg - CC BY-SA 2.5
Page de titre de l’Analyseis Geometricæ sex librorum Euclidi, Strasbourg, 1566 - http://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/display/bsb10139475_00002.html

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