On
dit souvent que l’une des plus grandes satisfactions des mathématiciens
consiste à établir des liens entre domaines a priori éloignés.
L’histoire récente du transport optimal de mesure
est à cet égard très représentative. Initié à la fin du
dix-huitième siècle par Monge, développé
par Kantorovich au milieu du vingtième siècle pour ses
applications en économie, ce sujet a connu une
renaissance spectaculaire dans les quinze dernières années,
à partir des travaux de Brenier en mécanique
des fluides. Les spécialistes actuels, peut-être frappés de délire
monomaniaque, voient maintenant du transport optimal partout :
depuis les équations semi-géostrophiques en météorologie,
jusqu’aux problèmes isopérimétriques, en passant par
les milieux granulaires, la physique statistique et les inégalités
de Sobolev. Essayons de retracer quelques étapes de cette
renaissance. Notons que, conformément à un phénomène assez courant,
Brenier a « redécouvert » certains résultats déjà connus ;
mais que cette redécouverte, loin d’être
superflue, a apporté un nouvel éclairage au domaine,
qui sans cela n’aurait certainement pas acquis sa notoriété actuelle.

Pour comprendre le contexte dans lequel s’inscrivaient les travaux
de Brenier, commençons par quelques rappels élémentaires de mécanique
des fluides. L’ équation d’Euler incompressible est une des
équations les plus simples, les plus anciennes et les plus
mystérieuses de toute la mécanique des fluides. Dans sa
formulation dite Lagrangienne, elle peut se décrire comme suit.
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^3$, modélisant le récipient
contenant le fluide, de volume normalisé à 1 ; on notera
$\lambda$ la mesure de Lebesgue restreinte à $\Omega$.
L’état du fluide est modélisé par une application
$g(t,x)$, où $t$ est la variable de temps et $x$ la variable
d’espace ; $g(t,x)$ représente la position au temps $t$ d’une « particule »
qui au temps 0 se serait trouvée au point $x$. Nous supposerons que le flot
est régulier, au sens où pour tout $t$, l’application $g(t,\cdot)$
est un difféomorphisme de $\Omega$ sur $\Omega$.
Pour traduire l’incompressibilité du fluide, on impose
que $g$ préserve la mesure de Lebesgue : $g\#\lambda=\lambda$
(voir encadré 1). En d’autres termes, le volume occupé par un
ensemble de particules donné ne varie pas au cours du temps.
La fonction $g(t,\cdot)$ appartient donc au groupe $\rm SDiff(\Omega)$
des difféomorphismes de $\Omega$ préservant la mesure de Lebesgue.

MESURE IMAGE, MARGINALES

Rappelons quelques notions élémentaires qui serviront
tout au long de l’article.

Soit $T$ une application, $\mu$ et $\nu$ deux
mesures de probabilité. On dit que $\nu$ est la mesure image
de $\mu$ par $T$, ou que $T$ transporte la mesure $\mu$ sur
la mesure $\nu$, et on note (par exemple) $T\#\mu=\nu$,
si pour toute application
mesurable positive (ou bornée) $b$ on a

\[\begin{equation}\int b(T(x))\, d\mu(x) = \int b(y)\,d\nu(y).\label{equation_1}\end{equation} \]

Si $T\#\mu=\mu$, on dit que $T$ préserve la mesure $\mu$.
Par $\ref{equation_1}$, on sait alors que
$\int b\circ T\,d\mu = \int b\,d\mu$ pour tout $b\geq 0$.
En particulier, pour tout $p$, $\|T\|_{L^p(d\mu)}^p$ est déterminé :
c’est le moment d’ordre $p$ de $\mu$.

Si $\mu$ et $\nu$ ont des densités respectives $f$ et $g$ par rapport
à la mesure de Lebesgue, et si
l’application $T$ est injective et définit un changement
de variable admissible (par exemple si c’est un $C^1$ difféomorphisme),
alors on établit aisément l’équation
\[ f(x) = g(T(x))\, |\det (DT(x))|, \]
où $DT$ désigne l’application Jacobienne de $T$.
C’est la formule classique du changement de variables !

Quand $\mu$ et $\nu$ sont définies sur le même espace,
le transport de mesure peut s’exprimer en termes purement physiques :
imaginons $\mu$ et $\nu$ comme les densités de répartition d’un
grand nombre de particules. Ecrire $T\#\mu=\nu$
revient à dire que si les particules sont au départ
réparties selon la configuration $\mu$, et que l’on transporte chaque
particule de l’emplacement $x$ à l’emplacement $T(x)$, alors les
particules seront réparties, après transport,
selon la configuration $\nu$.

Soit $\pi$ une mesure de probabilité sur un espace produit $X\times Y$.
On appelle marginales
de $\pi$ les mesures de probabilité $\mu$ et $\nu$
définies comme mesures images de $\pi$ par les projections
$(x,y)\mapsto x$ et $(x,y)\mapsto y$. Prendre la marginale
sur $X$ revient à intégrer par rapport à $y\in Y$, et vice versa.
De manière équivalente, pour toutes fonctions $\varphi$ et $\psi$
intégrables, on a
\[ \int [\varphi(x) + \psi(y) ] \,d\pi(x,y) = \int \varphi\,d\mu + \int \psi\,d\nu. \]

Dans ce formalisme, l’équation d’Euler s’écrit

\[\begin{equation}\frac{\partial^2 g} {\partial t \,^ {2}} (t,x) = \nabla p \,(t,x).\label{equation_2}\end{equation}\]

où l’on note $\nabla p$ le vecteur des dérivées partielles
de la fonction scalaire $p$ (« pression ») par rapport à $x_1, x_2, x_3$.
Il ne faut pas spécifier d’équation sur $p$ :
cette marge de manœuvre est indispensable
pour compenser la contrainte $g\in \rm SDiff(\Omega)$.
Une formulation plus connue de l’équation d’Euler,
formellement équivalente à $\ref{equation_2}$, porte sur le champ
de vitesses $u$ : $\partial u / \partial t + (u\cdot\nabla) u + \nabla p =0$.

Un des problèmes ouverts les plus célèbres de la mécanique des fluides
mathématique consiste à construire des solutions
« raisonnables » de l’équation d’Euler. Sous certaines hypothèses
de régularité, cela équivaut à construire des trajectoires
qui minimisent l’action, localement en temps :
pour tous temps $t_0$ et $t_1$ suffisamment proches, pour toute
trajectoire $m(t,\cdot)$ à valeurs dans $\rm SDiff(\Omega)$, telle que
$m(t_0,\cdot) = g(t_0,\cdot)$ et $m(t_1,\cdot) = g(t_1,\cdot)$, on doit avoir

\[\begin{equation} \int_{t_0}^{t_1} \left ( \int_\Omega \left \| \frac{dg}{dt} \right\|^2\,dx \right )\, dt \leq \int_{t_0}^{t_1} \left ( \int_\Omega \left \| \frac{dm}{dt} \right\|^2\,dx \right )\, dt.\label{equation_3} \end{equation}\]
En termes géométriques, le problème est de
construire des géodésiques dans l’espace $\rm SDiff(\Omega)$.
Remarquons bien qu’il y a deux problèmes possibles :

• soit on se donne la valeur de $g(t,\cdot)$ en $t=t_0$ et $t=t_1$,
  soit $g_0$ et $g_1$, et on cherche à construire une solution
  (une trajectoire optimale) reliant
  $g_0$ à $g_1$. En d’autres termes, on connaît l’état du fluide
  à deux instants donnés, et on cherche à reconstituer la trajectoire
  entre ces deux instants ;

• soit on se donne la valeur de $g(t,\cdot)$ en $t=t_0$, soit $g_0$,
  et sa dérivée (la vitesse initiale des particules),
  $dg/dt|_{t=t_0}$, et on cherche à prédire la trajectoire
  du fluide aux instants ultérieurs.

Les deux problèmes ne sont pas équivalents ; le premier est
celui qui nous préoccupera. A priori plus simple que le deuxième,
il recèle cependant des surprises : par exemple,
un résultat de Shnirelman implique
qu’ il n’existe pas toujours de trajectoire optimale.

GEODÉSIQUES APPROCHÉES

Pour tenter d’y voir plus clair, Yann Brenier au milieu des années 80
cherchait à construire des
géodésiques approchées, par une procédure de discrétisation
du temps. Considérons le cas extrêmement simplifié où
il n’y a que trois temps : $t_0$, $t_1$, et $t_{1/2}=(t_0+t_1)/2$.
On se donne $g_0=g(t_0,\cdot)$, $g_1=g(t_1,\cdot)$, et on
note $\|m\|_{L^2} = \sqrt{\int m^2\,dx}$.
Il est facile de s’apercevoir que la discrétisation du
problème $\ref{equation_3}$ consiste à rechercher $g_{1/2}\in \rm SDiff(\Omega)$
tel que pour tout $m\in\rm SDiff(\Omega)$,

\[\begin{equation}\|g_1-g_{1/2}\|_{L^2}^2 + \|g_{1/2}-g_0\|_{L^2}^2 \leq \|g_1-m\|_{L^2}^2 + \|m-g_0\|_{L^2}^2.\label{equation_4}\end{equation} \]
Et comme tous les éléments de $\rm SDiff(\Omega)$ ont la même norme $L^2$
(voir encadré 1), l’équation \eqrefgm peut se réécrire :
pour tout $m\in \rm SDiff(\Omega)$,
\[\begin{equation} \|g_{1/2} - h\|_{L^2}^2 \leq \|m-h\|_{L^2}^2, \label{equation_5}\end{equation} \]
où $h=(g_0+g_1)/2$.
Autrement dit, le $g_{1/2}$ que nous cherchons doit être la
projection orthogonale du milieu $h$ de $g_0$ et $g_1$,
sur le groupe $\rm SDiff(\Omega)$, au sens de la norme $L^2$.

Comme le lecteur le vérifiera sans peine, le groupe $\rm SDiff(\Omega)$
n’est pas convexe ; par ailleurs, il n’est pas fermé au sens de
la topologie $L^2$. La non-convexité empêche d’appliquer les
théorèmes classiques de projection sur un convexe, mais
ce n’est pas un problème fondamental très
sérieux ; en revanche, on ne peut envisager de définir une
projection sur un ensemble non fermé (que serait la projection
d’un élément de $\overline{\rm SDiff(\Omega)}\setminus \rm SDiff(\Omega)$ ?)...
Il faut en conclure que le problème de minimisation $\ref{equation_5}$
est en général mal posé : il n’admet pas toujours
de solution pour un $h$ général... Pour contourner ce problème,
on va appliquer une procédure classique du calcul des variations :
la relaxation, qui consiste à remplacer l’espace trop restreint
$\rm SDiff(\Omega)$ par son adhérence $\overline{\rm SDiff(\Omega)}$. Ce dernier espace
est constitué de toutes les applications $s$
(pas nécessairement bijectives) préservant la mesure de Lebesgue ;
on le notera $\S(\Omega)$.

Il est possible de montrer par des théorèmes assez
généraux que l’opération de projection sur $\S(\Omega)$ est
presque toujours » bien définie. Mais on peut mieux faire et
donner une construction plus explicite. Soit $\pi$ la mesure
image sur $\Omega\times\Omega$, définie par $\pi=(m\times h)\#\lambda$.
Par définition de la mesure image,
\[ \|m-h\|_{L^2}^2 = \int_\Omega |m-h|^2 = \int_{\Omega\times\Omega} |x-y|^2\,d\pi(x,y). \]
Par ailleurs, il est facile de vérifier que les marginales
de $\pi$ (voir encadré 1)
sont la mesure de Lebesgue $\mu=\lambda$ d’une part,
et la mesure $\nu = h\# \lambda$ d’autre part.
Notre problème de minimisation peut maintenant être comparé
au problème plus général qui consiste à minimiser
la quantité
\[ \int_{\Omega\times\Omega} |x-y|^2\,d\pi(x,y) \]
parmi tous les $\pi$, mesures de probabilité sur l’espace
produit $\Omega\times\Omega$ dont les marginales sont $\lambda$ et
$h\#\lambda$. En développant le carré, on voit qu’il
est équivalent de maximiser la quantité
\[ \int_{\Omega\times\Omega} x\cdot y\,d\pi(x,y). \]
En termes probabilistes, nous cherchons à maximiser
les corrélations entre des variables aléatoires de lois
respectives $\mu$ et $\nu$, et dont la loi jointe serait l’inconnue $\pi$.

Partis d’un problème de mécanique des fluides, nous avons abouti
à un problème célèbre d’optimisation : le problème
de Monge-Kantorovich. Sous sa version la plus générale, on
peut l’énoncer ainsi : soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures de
probabilité sur des espaces respectifs $X$ et $Y$, soit $c:X\times Y \to \mathbb{R}_+$ une fonction, dite « fonction de coût » ; le problème
consiste à minimiser la fonctionnelle de coût
\[ \int_{X\times Y} c(x,y)\,d\pi(x,y) \]
parmi toutes les mesures $\pi$ sur $X\times Y$
admettant $\mu$ et $\nu$ pour marginales. Formulé pour la
première fois sous cette forme par le célèbre
économiste-mathématicien russe Leonid Kantorovich, ce problème
avait été étudié dès 1780 par Gaspard Monge. L’existence d’un
minimiseur est un exercice élémentaire d’analyse fonctionnelle,
qui ne nous apporte cependant guère d’informations sur le problème
initial. Pour en savoir plus, on peut appliquer
un célèbre principe de dualité dû à Kantorovich, et
que nous appellerons le principe du convoyeur (voir encadré 2).
Dans le cas qui nous intéresse, il aboutit
à l’identité de type « minimax »
\[ \begin{equation}\sup_{\pi} \int x\cdot y \,d\pi(x,y) = \inf_{\varphi} \int \varphi\,d\mu + \int \varphi^*\,d\nu,\label{equation_6}\end{equation} \]
où l’infimum est pris sur toutes les paires $(\varphi,\varphi^*)$ de
fonctions convexes conjuguées :
\[ \left\{ \begin{array}\displaystyle \varphi^*(y) = \sup_x (x\cdot y - \varphi(x)) \\ \displaystyle \varphi(x) = \sup_y (x\cdot y - \varphi^*(y)). \end{array} \right.\]

Le problème variationnel à droite de $\ref{equation_6}$ ne semble
guère plus simple que celui qui se trouve à gauche... Cependant,
en termes de calcul des variations, il est considérablement plus
agréable : sans perte de généralité, on peut fixer la
valeur de $\varphi$ en un point (cela ne change pas la valeur de l’infimum) ; or
les paires de fonctions convexes conjuguées $(\varphi,\varphi^*)$,
définies sur un ouvert borné, ayant une valeur fixée en un
point, forment un sous-ensemble compact de l’espace
des fonctions continues sur cet ouvert. Le supremum
est donc atteint dans le membre de droite de \eqrefminmax,
par une paire de fonctions convexes.

Soit maintenant $\pi$ une mesure optimale dans le problème de
gauche de $\ref{equation_6}$, et $\varphi$ une fonction convexe optimale
dans le problème de droite de $\ref{equation_6}$ : en utilisant
les propriétés de marginales, on peut écrire :

$ \int_{\Omega\times\Omega} x\cdot y\,d\pi(x,y) $
\[\begin{array} \\= \int_\Omega \varphi(x)\,d\mu(x) + \int_\Omega \varphi^*(y)\,d\nu(y) \\ = \int_{\Omega\times\Omega} [\varphi(x)+\varphi^*(y)]\,d\pi(x,y), \end{array}\]
d’où
\[ \int_{\Omega\times\Omega} [\varphi(x) + \varphi^*(y) - x\cdot y]\,d\pi(x,y) =0. \]
Or on a toujours $\varphi(x) + \varphi^*(y) \geq x\cdot y$, et donc
nécessairement, pour $\pi$-presque tous $x$ et $y$,
\[ x\cdot y = \varphi(x) + \varphi^*(y). \]
Dans le langage de l’analyse convexe, on dit que $y$ appartient au
sous-différentiel $\partial\varphi(x)$ de $\varphi$ au point $x$.
Pour peu que les mesures $\mu$ et $\nu$ soient absolument
continues par rapport à la mesure de Lebesgue, on peut montrer que
$\partial\varphi(x)=\{\nabla\varphi(x)\}$, et en déduire
que $\nu=\nabla\varphi\#\mu$, où l’on considère
$\nabla\varphi$ comme une application allant de $\Omega$ and $\mathbb{R}^n$.
A partir de là, il est facile d’identifier notre projection orthogonale
comme
\[ \begin{equation} s = \nabla\varphi^*\circ h = (\nabla\varphi)^{-1}\circ h. \label{equation_7}\end{equation}\]

Le résultat précédent peut sembler suspect :
en composant les deux membres de $\ref{equation_7}$ par $\nabla\varphi$,
on obtient
\[\begin{equation} h = \nabla\varphi\circ s: \label{equation_8}\end{equation}\]
l’application $h$ est donc la composition de $\nabla\varphi$ par
une application préservant la mesure de Lebesgue --- or nous
n’avons fait aucune hypothèse sur $h$, si ce n’est que
$h\#\lambda$ soit absolument continue... Il s’agit précisément
du remarquable théorème de factorisation polaire de Brenier :

Ce théorème présente de nombreux points communs avec d’autres
théorèmes classiques : en particulier la factorisation polaire
bien connue des matrices, $M=SO$ ($S$ symétrique, $O$ orthogonale).
Il est moins bien connu, d’ailleurs, que le facteur $O$ dans cette
décomposition peut être vu comme la projection orthogonale de $M$
sur le groupe des matrices orthogonales ! Les géomètres pourront
également reconnaître dans le théorème de Brenier une
version non linéaire du théorème de décomposition de Hodge.

LE PRINCIPE DU CONVOYEUR (« SHIPPER »)

C’est une façon
imagée d’exprimer la dualité de Kantorovich. Soit un mathématicien
industriel, devant organiser le convoi de sa production de charbon depuis
les mines jusqu’aux usines. La production et la consommation
de charbon sont représentées par des mesures positives,
les quantités totales étant en adéquation (les mesures
ont même masse). Le souci de notre mathématicien est
de minimiser le coût dépensé en transport,
soit $\int c(x,y)\,d\pi(x,y)$, où $c(x,y)$ représente
le coût du transport de $x$ à $y$, et $d\pi(x,y)$ la quantité
élémentaire de charbon transportée du point $x$ au point $y$.
Les marginales de $\pi$ sont fixées : ce sont respectivement les densités
de charbon produit, et consommé ; nous sommes donc en présence d’un
problème de Monge-Kantorovich. Un autre mathématicien se
manifeste alors, et suggère de lui sous-traiter le problème
de transport : « Je me contenterai de te faire payer un prix
à l’embarquement et un prix au débarquement ;
ces prix varieront en fonction de l’emplacement, et je suis prêt à
octroyer des compensations financières (prix négatifs)
pour certains endroits. Tu y seras forcément gagnant, car
la somme du prix d’embarquement et du prix de débarquement
sera toujours inférieure ou égale au prix que tu
paierais pour faire transporter la marchandise ! »
Bien sûr, l’affaire est conclue.

Si l’on note $\varphi(x)$ le prix à payer
pour embarquer au point $x$, et $\psi(y)$ le prix à payer pour
débarquer au point $y$, on voit que le convoyeur se fait payer
\[ \begin{equation}\int \varphi(x) \,d\mu(x) + \int \psi(y)\,d\nu(y). \label{equation_9}\end{equation}\]
Son problème est donc maintenant de fixer des prix $\varphi$ et $\psi$
de la manière la plus avantageuse, c’est-à-dire de façon à
maximiser \eqrefconvoi tout en respectant la contrainte
$\varphi(x) + \psi(y) \leq c(x,y)$, qui seule garantit que son offre
est suffisamment attrayante pour qu’on lui laisse la charge de
tout le transport.

Le principe du convoyeur (dualité de Kantorovich) assure que la
somme d’argent $\ref{equation_9}$ peut être aussi proche que l’on
souhaite du coût optimal de Monge-Kantorovich. En termes
mathématiques,
\[ \inf_\pi \int c(x,y)\,d\pi(x,y) = \sup_{(\varphi,\psi)} \int \varphi\,d\mu + \int \psi\,d\nu, \]
où l’infimum à gauche est pris sur toutes les mesures $\pi$
de marginales $\mu$ et $\nu$, et le supremum à droite est
pris sur toutes les paires de fonctions de prix $(\varphi,\psi)$
vérifiant l’inégalité $\varphi(x) + \psi(y) \leq c(x,y)$
pour tous $x$ et $y$.

Laissons désormais de côté la mécanique des fluides
et continuons à étudier le problème de Monge-Kantorovich.
Il existe en général de nombreuses manières de transporter
des mesures l’une sur l’autre, et c’est un problème classique
que de construire des transports « remarquables », en un certain sens.
Or nous venons de constater que deux mesures $\mu$
et $\nu$ sur $\Omega$, absolument continues, pouvaient être transportées
l’une sur l’autre par un gradient de fonction convexe.
Voici un énoncé un peu plus général :

Si $f$, $g$ et $\varphi$ sont suffisamment régulières, alors on
peut facilement en déduire (voir encadré 1)
que $\varphi$ est une solution de l’ équation de Monge-Ampère
\[ \det (D^2\varphi)(x) = \frac{f(x)}{g(\nabla\varphi(x))}. \]
L’étude de cette équation fort célèbre est considérée
comme extrêmement ardue, du fait de son caractère
« très non-linéaire ». Le théorème 2 fournit
donc une méthode, remarquablement simple et générale,
pour construire des solutions faibles de cette équation.
C’est un problème très délicat que de savoir si ces solutions
faibles sont des solutions classiques... Dans une série
d’articles difficiles, Luis Caffarelli montre que si $f$ et $g$ sont
strictement positives et de classe $C^{k,\alpha}$
($k\in\mathbb{N}$, $\alpha\in ]0,1[$), au sens où
leurs dérivées d’ordre $k$ sont Hölder-continues d’exposant
$\alpha$, alors $\varphi$ est régulière, de classe $C^{k+2,\alpha}$.
Ce résultat est bien sûr optimal dans sa catégorie.

INTERPOLATION DE McCANN

Changeons radicalement de paysage physique. Au début des années
90, Robert McCann travaillait à démontrer
l’unicité des formes d’équilibre
de certains systèmes physiques (étoile, gaz en interaction...)
dont l’état est modélisé par une mesure de probabilité.
Le problème mathématique se pose de la manière suivante :
étant donnée telle ou telle fonctionnelle d’énergie $F$, peut-on
démontrer qu’un minimiseur existe, et qu’il est unique sous telle
ou telle contrainte ? Le problème isopérimétrique et ses
variantes (formes des cristaux, des gouttes d’eau, etc.) appartiennent
à cette catégorie. Ces résultats d’unicité sont le plus souvent
subordonnés à des propriétés de stricte convexité,
selon un schéma de preuve très classique.
En effet, si $\mu$ et $\nu$ sont deux minimiseurs, alors pour tout
$t\in [0,1]$ on peut définir leur « interpolation linéaire »

\[\begin{equation}\rho_t=(1-t)\mu+t\nu. \label{equation_10}\end{equation}\]

Si $F$ est strictement convexe, la fonction $t\mapsto F(\rho_t)$
l’est également (sauf si $\mu=\nu$), et présente un minimum strict pour
un certain $t\in ]0,1[$ --- ce qui contredit l’hypothèse de minimalité
pour $\mu$ et $\nu$.
Bien évidemment, cette procédure classique ne s’appliquait pas aux
exemples considérés par McCann (cela aurait été trop
facile !!). Il eut cependant l’idée de substituer à
l’interpolation $\ref{equation_10}$ une autre recette, basée sur
le transport optimal. Définissons donc, pour tout $t$ (« temps »)
compris entre 0 et 1,
\[\begin{equation} \rho_t = [(1-t)\rm Id + t\nabla \varphi] \# \mu. \label{equation_11}\end{equation}\]

Bien sûr, $\rho_0=\mu$, $\rho_1=\nu$.

Les deux exemples de la figure ci-dessous
montreront combien cette procédure est qualitativement
différente de la procédure plus classique d’interpolation linéaire.
Dans chacun des deux cas envisagés,
la densité de départ est représentée en vert, la densité
d’arrivée en rouge, la densité interpolée en jaune. Les deux
figures du haut considèrent une interpolation par transport de mesure
(interpolation par déplacement), les deux figures du bas une interpolation
linéaire. Noter que dans les deux cas, non seulement la forme générale,
mais aussi les supports des mesures interpolées sont différents.

Différence entre l’interpolation « linéraire » et l’interpolation par transport

Le théorème suivant, dû à McCann, illustre l’intérêt
de cette procédure :

La formule $\ref{equation_12}$ contient deux termes ; on peut penser au premier
comme à un terme d’énergie interne et au second
comme à un terme d’énergie potentielle.
L’hypothèse de convexité du potentiel d’interaction $W$ peut sembler
mystérieuse, mais elle a trouvé des exemples d’application,
de manière quelque peu surprenante, dans l’étude des milieux
granulaires.

Divers résultats d’unicité résultent de ce théorème
de « convexité par déplacement ».
Des études plus poussées ont mis en évidence l’intérêt
de ces notions dans l’étude de certaines équations issues de la
mécanique statistique. Felix Otto et ses collaborateurs ont ainsi
montré qu’il existait un lien naturel entre
l’équation de la chaleur, le transport optimal
et la fonctionnelle d’entropie de Boltzmann, $S(\rho) = -* \int \rho\log \rho$. Voici une formulation imagée de leur
découverte. Soit $\rho(t,x)$ la densité de particules
diffusant librement, de sorte que $\rho$ suit l’équation de la chaleur.
Pour tout temps $t\geq 0$, $\rho(t)=\rho(t,\cdot)$ est une densité
de probabilité. Entre deux instants infiniment proches $t$ et $t+dt$,
elle évolue de manière à maximiser l’entropie,
tout en tenant compte d’une pénalité pour limiter les
déplacements trop importants de particules : la quantité
à maximiser est
\[ S(\rho(t+dt)) - \frac1{2(dt)^2} T_2\bigl (\rho(t),\rho(t+dt)\bigr ), \]
où $T_2(\mu,\nu)$ désigne le coût de transport optimal
entre $\mu$ et $\nu$, pour le coût $c(x,y) = |x-y|^2$.
Cet énoncé peut se traduire de manière compacte grâce
au concept, bien connu en physique et en mathématiques,
de flot gradient.

APPLICATIONS A LA THÉORIE

C’est une banalité que de dire que les mathématiques
« pures » trouvent sans cesse des applications ; mais de manière
également universelle en mathématiques, des concepts dont le
développement a été motivé par des problèmes concrets
trouvent des applications dans des questions d’apparence purement
théorique. Le transport optimal n’échappe pas
à la règle : il a trouvé des applications spectaculaires
dans le domaine des inégalités fonctionnelles à caractère
géométrique. Considérons ainsi la célèbre
(pour les spécialistes !) inégalité de Young optimale,
\[ \|f\ast g\|_{L^r(\mathbb{R}^d)} \leq \left ( \frac{C_p C_q}{C_r} \right )^d \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}\|g\|_{L^q(\mathbb{R}^d)}, \]

$C_p^2 = p^{1/p}/(p')^{1/p'}$, $p'=p/(p-1)$, $1/p+1/q=1+1/r$. Il en existe
plusieurs démonstrations ; cependant, la plus spectaculaire
est certainement celle qui a été mise au point par
Franck Barthe, reposant sur le transport optimal. Comme
l’ont remarqué Cordero-Erausquin, Nazaret et l’auteur, il est
également possible d’utiliser le transport de mesure pour démontrer
avec peu d’efforts la non moins célèbre inégalité de Sobolev
optimale,
\[ \|f\|_{L^{p^\star}(\mathbb{R}^d)} \leq S_d(p) \|\nabla f\|_{L^{p}(\mathbb{R}^d)}, \]
où $p^\star = dp/(d-p)$, $1 optimale. Bien sûr, le transport de mesure n’apparaît ici que comme
un outil. Il en est de même pour le remarquable théorème
suivant, dû à Caffarelli :

En termes compacts : une inégalité fonctionnelle de la forme extrêmement générale $\ref{equation_12}$ (qui inclut nombre d’inégalités de type isopérimétriques, trou spectral, etc.) ne peut être qu’améliorée par perturbation log concave d’une gaussienne. Encore une illustration des propriétés « miraculeuses » des fonctions gaussiennes...

POUR EN SAVOIR PLUS

L. Ambrosio, Y. Brenier, G. Buttazzo, L. Caffarelli, L.C. Evans,
A. Pratelli et C. Villani Optimal transportation and applications
Actes de l’Ecole d’Ete CIME tenue à Martina Franca, Septembre 2001.
Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag

C. Villani Topics in optimal transportation
Graduate Series in Mathematics,
American Mathematical Society