Tres mil doscientos sesenta y cuatro...

Cómo Jean-Yves recientemente precisó un teorema de geometría

Piste rouge Le 5 novembre 2008  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 12 avril 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Trois mille deux cent soixante-quatre… Voir les commentaires
Lire l'article en  

Una linterna ilumina zonas limitadas por curvas que se llaman cónicas. Toman diversas formas, cuyos nombres son más o menos familiares : elipses, parábolas e hipérbolas.

El estudio de estas curvas se remonta a los antiguos griegos (Apolonio, siglo III A.C.) y ha conservado un rol central en geometría durante siglos. Hasta 1970, buena parte del programa de matemáticas de los cursos finales de secundaria estaba dedicado a estas curvas.

Intersección de cónicas

Dos cónicas pueden cortarse en 0, 1, 2, 3 o 4 puntos, como lo muestran estas figuras :

Los matemáticos consideran que dos cónicas se cortan siempre en 4 puntos, aunque tengan que admitir que ¡algunos de ellos son ’’imaginarios’’, o están ’’en el infinito’’ o incluso son ’’múltiples’’ ! ¿Juego de palabras ? Tal vez. Pero quienes conocen los números complejos se acuerdan : en el colegio uno aprende que no hay número cuyo cuadrado sea –1, pero cuando se llega al final de la secundaria, se conoce la existencia de un misterioso número i ’’totalmente imaginario’’ cuyo cuadrado es –1…

¡ Pobre Chasles !

Los estudiantes conocen la ’’relación de Chasles’’ : si A, B, C son tres puntos sobre una recta, entonces AB + BC = AC . Esta relación es por supuesto útil, pero no le hace justicia al pobre Chasles, que se merece un mejor reconocimiento. Además, la memoria de Chasles está manchada por una circunstancia desafortunada : el inocente científico se dejó abusar durante muchos años por un falsificador que le vendía a precio de oro ’’antiguos manuscritos’’ increíbles, entre ellos una carta de amor de Cleopatra a César ¡en francés ! Pero Michel Chasles era ante todo uno de los más grandes geómetras del siglo XIX, ’’el hombre para quien las cónicas no tenían secretos’’, ’’el emperador de la geometría’’. Vamos a hacerle justicia…

Un teorema difícil de Chasles (1864)

Desde hace mucho tiempo se sabe que por 5 puntos del plano pasa una única cónica.
A mediados del siglo XIX los geómetras se plantearon un desafío : dadas 5 cónicas en el plano ¿cuántas cónicas que les sean tangentes se puede trazar ? La pregunta no es fácil ; hay numerosas soluciones falsas... Steiner aseguraba, sin razón, que la respuesta es 7776. De Jonquières no encontraba el mismo resultado pero no se atrevía a publicarlo, ya que la reputación de Steiner era grande. Finalmente, Chasles halla la solución correcta en 1864 : hay 3264 cónicas tangentes a 5 cónicas dadas. Por supuesto, Chasles trabaja con los puntos imaginarios y es posible que entre esas 3264 cónicas, algunas (tal vez todas) sean míticas cónicas imaginarias, que por lo tanto no existen ’’realmente’’. Todo lo que uno puede decir de seguro es que hay a lo más 3264 cónicas que son tangentes a 5 cónicas dadas.

Un ejemplo difícil de 1997

En 1997, tres matemáticos, Ronga, Tognoli y Vust, consiguieron una proeza. Encontraron un ejemplo de 5 cónicas reales bien elegidas, tales que la integralidad de las 3264 cónicas de Chasles de hecho existen : son ’’reales’’. Es el caso para las 5 hipérbolas de la figura siguiente... Pero sólo se trata de un ejemplo. Para otras configuraciones de las 5 cónicas ¿cuántas entre las 3264 son reales ?

Un hermoso teorema de 2005 : al menos 32 de las 3264

Jean-Yves Welschinger, investigador del CNRS en Lyon, acaba de mostrar el muy lindo teorema. Se considera 5 elipses en el plano, cuyos interiores no se encuentran, como en la figura. Entonces entre las 3264 cónicas de Chasles, ¡al menos 32 existen realmente !

Aquí hay una figura donde se ve las 5 elipses acompañadas de otras 32 que les son tangentes.

32coniques

Cuatro (¿buenas ?) razones que hacen que este teorema sea interesante

  • La demostración es verdaderamente hermosa. Sin duda le proporcionó un vivo placer estético a Jean-Yves, así como a sus lectores…
  • Este teorema completa y aclara un teorema que data de alrededor de 150 años.
  • La prueba utiliza métodos extremadamente recientes en matemáticas fundamentales, aún inaccesibles hace diez años, ¡que se beneficiaron de la ayuda indispensable de físicos teóricos ! No se trata de un teorema que Chasles hubiera podido mostrar, sino el resultado de un trabajo colectivo de una comunidad de matemáticos que acumuló nuevas ideas desde hace varios siglos.
  • Nuevas preguntas surgen : ¿se puede generalizar este resultado para otras configuraciones de 5 cónicas ?, ¿para otros tipos de curvas, o para superficies ? Se sabe, por ejemplo, que el número de curvas de grado 4 tangentes a 14 curvas dadas de grado 4 es 23 011 191 144. Jean-Yves o uno de sus sucesores ¿podrán recoger el desafío y determinar cuántas de ellas son reales ?

¿Una diversión ?

Este artículo puede dejar la impresión de que el matemático Jean-Yves se interesó en un problema un poco polvoriento más bien parecido a un enigma o a una diversión, que en un verdadero problema serio y profundo. Sería un error, del cual el autor de este artículo sería completamente responsable. La Ciencia busca encontrar soluciones a problemas de una variedad extraordinaria. A menudo -no siempre- esos problemas se expresan bajo la forma de ecuaciones que pueden llevar diversos nombres, a veces bárbaros : ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales, ecuaciones en derivadas parciales, ecuaciones diofánticas, etc. Casi siempre, escribir la ecuación no es tan difícil, sino que lo que realmente cuesta más es resolverla, es decir ¡encontrar las soluciones ! A menudo, incluso lo que importa es saber si el problema tiene una solución, tal vez sin que tenga siquiera que hacerla explícita. Poner en marcha métodos prácticos que permitan no encontrar las soluciones sino al menos contarlas, eso es un problema mayor.

A lo largo del desarrollo de las matemáticas, criterios cada vez más potentes han permitido responder este tipo de preguntas para ecuaciones cada vez más generales. Por ejemplo, en el liceo, uno aprende que una ecuación de primer grado con una incógnita tiene una solución ; que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones (en general complejas) ; y en la universidad, que una ecuación de $n$-ésimo grado tiene $n$ soluciones (complejas) en general. Encontrar las soluciones de una ecuación que le ha sido dada, digamos de grado 1000 ¡no es nada fácil !, pero saber a priori que hay 1000 soluciones (¡y por lo tanto al menos 1 !), ésa es una información útil para el científico. La discusión que hemos tenido en este artículo consistía en estudiar el número de soluciones reales de un sistema de ecuaciones de grandes grados con muchas incógnitas. Es el campo clásico de la geometría algebraica que tradicionalmente se llama la ’’teoría de la intersección’’. Hace una veintena de años, los matemático-físicos Gromov-Seiberg-Witten perfeccionaron técnicas extremadamente potentes para contar las soluciones de ecuaciones más bien generales aún, que salen del marco de las bravas ecuaciones entre polinomios... pero eran soluciones complejas. La contribución de Jean-Yves se inscribe en este enfoque y busca contar el número de soluciones reales en un sistema de ecuaciones muy general. Por supuesto, contar las cónicas tangentes a cinco cónicas dadas no es la motivación principal ¡eso no habría sido de gran interés ! Y además, tampoco era la motivación de Chasles, de seguro. Se trata de ser capaz de decir, ante un problema difícil, ’’yo no conozco las soluciones del problema, pero sé cuántas hay’’. Abordar una pregunta mayor de este tipo mediante un ejemplo simple pero significativo es muy a menudo el enfoque del matemático.

Queda todo por hacer…

Para profundizar más

Se puede leer el artículo de Jean-Yves Welschinger en Images des Mathématiques.

Este artículo inicialmente fue escrito para un folleto que acompañaba la exposición « Por qué las Matemáticas » en Lyon, Francia, en 2006.

Article original édité par Étienne Ghys

Partager cet article

Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Tres mil doscientos sesenta y cuatro...» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?