Tresses en mouvement

Piste bleue 2 août 2014  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires (2)

« Des tresses sur un site dédié aux mathématiques ? » Eh oui, la théorie des tresses est bel et bien une théorie mathématique dont l’objet d’étude est directement inspiré des tresses que l’on rencontre dans la vie de tous les jours, que ce soit dans les cheveux ou dans certaines décorations. En quelque sorte c’est une théorie des croisements puisque que justement il s’agit de comprendre comment les brins se croisent, se chevauchent les uns par rapport aux autres.

Les tresses ont déjà fait leur apparition à plusieurs reprises sur ce site. Qu’on se rappelle :

Je ne peux bien sûr qu’encourager nos lecteurs à lire ou relire chacun de ces articles, chacun enrichissant ce magnifique sujet à sa façon. Et pour celles et ceux qui souhaiteraient en savoir davantage encore, je peux recommander l’exposé Le problème d’isotopie des tresses de Patrick Dehornoy, à lire [1] ou à regarder.

Dans cet article, nous vous proposons de faire connaissance avec Ester Dalvit qui vient de réaliser un film à propos de la théorie des tresses. Au menu donc, deux interviews pour découvrir ce film et son auteure.


Ester Dalvit (que vous pouvez retrouver sur sa chaîne YouTube) est une étudiante en post-doctorat en mathématiques à l’Université de Trento qui, à l’occasion de sa thèse, a réalisé un très beau projet autour de la théorie des tresses. Ce projet, c’est le site web

http://matematita.science.unitn.it/braids/index.html

et quatre courts-métrages à propos des tresses et des nœuds :

  1. Le groupe des tresses
  2. Le problème du mot
  3. Les nœuds
  4. La danse de Hilden

Les chapitres 3 et 4 ne sont pas encore disponibles en français mais le seront certainement à l’automne. En attendant les quatre chapitres sont disponibles en anglais et en italien. Le narrateur de la version française est Pietro Peterlongo, ce qui ne manque de donner un certain charme italien à cette version :-).

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Ester Dalvit

Salut Ester. Il fait un soleil magnifique du côté des calanques marseillaises en ce mois de juin mais on se doute que tu n’es pas venue au CIRM juste pour ça. N’est-ce pas ?

E.D.

En effet ! Cette semaine (du 23 au 27 juin), il y a une école thématique avec quatre mini-cours autour de la Topologie géométrique et quantique en dimension 3. Comme beaucoup de participants ici (je crois qu’on est environ 80), je suis venue apprendre de nouvelles mathématiques, en particulier autour de la théorie des nœuds. En fait, je termine un post-doc à Trento et à partir de septembre je serai du côté de Toronto au Canada. Avec un double projet : un projet de recherche et un nouveau projet de visualisation mathématique.

Ah oui, passionnant ça ! Peux-tu nous en dire quelques mots ?

E.D.

L’une des branches mathématiques qui me plaît beaucoup est celle de la théorie des nœuds. Pas seulement les nœuds qu’on fait avec des morceaux de ficelle, mais également les nœuds qu’on fait avec des sphères ! Tout comme on étudie depuis longtemps maintenant les nœuds, c’est-à-dire les plongements de $S^1$ dans $S^3$, on peut étudier les plongements de $S^2$ dans $S^4$... Pas facile à comprendre mais il y a sûrement des choses à montrer avec des images ou des films. Ce qui tombe bien car j’adore tout ce qui tourne autour de la visualisation mathématique [2].

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Dans le numéro d’août 2012 de la revue XlaTangente, Ester Dalvit avait répondu à quelques questions à propos de ses films sur les tresses. Paolo Bellingeri a accepté de traduire l’interview pour les lecteurs d’Images des maths [3]. C’est cette interview que nous vous proposons de découvrir dans la suite de cet article.

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Ester Dalvit au CIRM (juin 2014)

Pourquoi un film sur les tresses ?

E.D.

En 2009, quand j’ai commencé ma thèse, je voulais m’investir dans la communication et l’enseignement des mathématiques, mais je n’avais pas encore les idées claires sur quel sujet spécifique travailler. J’avais produit des animations interactives sur la visualisation des objets en dimension quatre, mais même si le thème me fascinait, je ne savais pas comment structurer un projet plus ambitieux dans ce domaine.

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Nicolas Oresme, l’« Einstein du XIV° siècle »


Heureusement, mon directeur de thèse, Domenico Luminati, qui aimait les nœuds et les tresses, m’a proposé de passer deux mois à Caen, au laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme où il y a une équipe qui travaille sur les groupes de tresses. Cette expérience m’a ouvert un monde jusque-là inconnu : j’ai été impressionnée par la variété des approches différentes, la profondeur des concepts mathématiques impliqués et les connexions avec des domaines de recherche très variés. Il m’est apparu donc naturel d’essayer de transmettre la beauté que j’avais découverte : j’ai décidé que le but de ma thèse de doctorat serait d’illustrer en images quelques idées de la théorie des tresses.

Paolo Bellingeri, qui est devenu mon deuxième directeur de thèse, m’a aussi donné l’occasion de parler avec Aurélien Alvarez, l’un des auteurs du film Dimensions. Voir ce magnifique film et le succès de public qu’il a eu, m’a stimulée à relever le défi de structurer les animations sous forme de film en plusieurs chapitres.

Après quelques conférences et séminaires dans le domaine, j’ai pu entrer en contact avec d’autres chercheurs. Certains d’entre eux m’ont donné de précieux conseils : tout d’abord je voudrais citer Roland van der Veen, qui était post-doc à Berkeley et qui m’a écrit de nombreux commentaires pertinents à la fois d’un point de vue mathématique et esthétique.

Comment est structuré le film ?

E.D.

Le film est divisé en quatre parties, dont chacune dure environ 15 minutes. Les chapitres sont conçus pour être vus dans l’ordre, mais pas nécessairement en une seule fois. Les deux premiers sont simples, tandis que les suivants sont conceptuellement plus profonds, mais ils contiennent une plus grande palette de visualisations.

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Emil Artin (1898-1962)


Sur les tresses il y a vraiment beaucoup à dire, il existe différentes approches, différentes applications, différentes généralisations... Choisir quoi montrer et quoi « jeter » n’a pas été facile. Sûrement, il ne pouvait pas manquer la formalisation mathématique des tresses et des groupes de tresses : cette partie occupe tout le premier chapitre, qui commence avec la définition d’une tresse, il se poursuit avec la notion de groupe et se termine avec la présentation de groupe trouvée par Emil Artin en 1925 et qui est encore aujourd’hui la plus connue et la plus utilisée.

Le deuxième chapitre traite du problème du mot dans les groupes de tresses, un des problèmes classiques de la théorie combinatoire des groupes : dans le premier chapitre on a expliqué que chaque tresse peut être décrite par un « mot », mais comment savoir si deux mots décrivent la même tresse ou pas ? Pour répondre à cela, plusieurs algorithmes ont été proposés : dans le film on montre celui du « peignage » du à Artin, et celui de « réduction des poignées » proposé par Patrick Dehornoy il y a une vingtaine d’années.

Le troisième chapitre est une incursion dans la théorie des nœuds : ces objets topologiques sont très proches des tresses. Dans le film on montre le lien entre les tresses et les nœuds et on présente l’un des résultats les plus célèbres de la théorie des nœuds : le polynôme de Jones, qui est un invariant de nœuds qui peut être défini à partir des tresses.

Le quatrième chapitre est mon préféré : les tresses sont ici décrites comme des mouvements (des danses) de points dans le disque. On découvre un sous-groupe particulier du groupe de tresses et on décrit un autre lien entre tresses et nœuds, différent de celui proposé dans le troisième chapitre. La fin du film puise dans l’actualité de la recherche car on présente un problème algorithmique qui a été résolu il y a seulement cinq ans.

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Extrait du chapitre 4 : La danse de Hilden

Comment as-tu réalisé le film ? Quels problèmes as-tu rencontrés ?

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Ester Dalvit

E.D.

Je tiens à souligner que l’ensemble du film a été réalisé en utilisant des logiciels libres : l’instrument principal, POV-Ray, est un programme de ray-tracing qui est généralement utilisé pour créer des images et animations en trois dimensions.

La partie la plus difficile a été la réalisation du premier chapitre : je devais trouver le contenu à choisir, calibrer le niveau des explications, combiner images, textes, musiques... Après avoir réglé dans les grandes lignes le premier chapitre, j’ai travaillé plus ou moins en parallèle sur les autres. Pour moi, c’était une bonne expérience, même si parfois le travail que j’avais en face de moi semblait énorme et, avec le peu d’expérience que j’avais, je ne savais pas par où commencer.

Heureusement j’ai été beaucoup aidée ; ici je tiens à remercier, en plus d’Aurélien Alvarez et Roland van der Veen, Lilli Fragneto, qui a vu une version très primitive et qui a donné de précieux conseils concernant le graphisme, Domenico Luminati et Paolo Bellingeri, qui m’ont suggéré de bonnes idées pour représenter des concepts mathématiques et qui m’ont mise en contact avec plusieurs chercheurs, Maria Dedò, qui m’a expliqué pourquoi certains passages du film pouvaient être problématiques et qui m’a suggéré comment les améliorer. La musique a été composée, arrangée et reproduite électroniquement par Raul Masu, étudiant en musique et en informatique. Pour la version française j’ai été aidée par Philippe Humbert, qui a traduit les textes, et Pietro Peterlongo, qui a prêté sa voix pour l’enregistrement.

Beaucoup d’autres personnes ont été précieuses pour ce projet, en particulier Patrick Dehornoy, John Guaschi, Damiana Lerose, Silvia de Toffoli, Robin Scott, Italo Tamanini, Eleonora Guerrini, Nicolas Chevalier, Jean Fromentin, Juan Gonzalez-Meneses, Michael Eisermann, Alessia Cattabriga, Beatrice Uber, et mes amis doctorants toujours enthousiastes.

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Extrait du chapitre 1 : une tresse

Quel est le public visé par ce film ?

E.D.

Le film a été conçu en partie pour les étudiants et les enseignants des dernières années de l’école secondaire, mais surtout pour les premières années d’université.
Je crois, cependant, que même un public plus général peut le regarder sans se soucier de tout comprendre ; j’espère qu’il pourra garder en mémoire des images, quelques questions mathématiques et se laisser fasciner par les aspects plus compliqués de la théorie des tresses.

Quelques extraits du film ont été exposés au Musée des sciences naturelles de Trento et dans plusieurs conférences : je sais aussi que le film a été utilisé dans des cours de master et doctorat. J’ai remarqué un effet « bouche à oreille » : j’ai été surprise de recevoir tellement d’appréciations, par des étudiants, des chercheurs de niveau international mais aussi de non mathématiciens.

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Extrait du chapitre 2 : une tresse et sa forme normale
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Extrait du chapitre 2 : un algorithme pour dénouer les tresses

Où regarder et où télécharger le film ?

E.D.

On peut télécharger le film sur http://matematita.science.unitn.it/braids/fr/ en anglais, italien... et français (mais juste deux chapitres pour l’instant !). La version anglaise est aussi publiée par le site Imaginary. J’envisage de produire un DVD avec un livret d’explications, mais j’aimerais garder le film en accès libre, ce qui complique un peu la tâche de trouver des financements pour la diffusion... Bref, le travail n’est pas encore terminé, mais les appréciations que j’ai reçues de la part des chercheurs en théorie des nœuds m’ont convaincue de l’utilité de cette aventure !

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Extrait du chapitre 3 : le nœud de trèfle et son image miroir
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Extrait du chapitre 3 : des tresses aux nœuds
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Extrait du chapitre 3 : d’un nœud à une tresse
Post-scriptum :

Un grand merci à Paolo Bellingeri pour sa traduction de l’italien vers le français de la deuxième interview de cet article qui fut pour la première fois publiée par la revue XlaTangente, avant d’être traduite pour Mathematics in Europe en collaboration avec Imaginary. Le projet est porté par Münchner Rück ; retrouvez tous les articles traduits à l’occasion de ce projet sur Mathematics in Europe.

Merci également à Marielle Simon, B !gre et Michele Triestino pour leurs relectures attentives et leurs suggestions d’amélioration de l’article.

Article édité par Bertrand Rémy

Notes

[1Leçon de mathématiques d’aujourd’hui, Bordeaux, avril 2008.

[2Les plus impatients des lecteurs trouveront les premières images d’Ester concernant la « théorie des nœuds pour les sphères » sur ce lien.

[3Merci à Gilberto Bini d’avoir accepté la possibilité d’une telle traduction/republication.

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Tresses en mouvement» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Le logo de l’article est extrait du film d’Ester Dalvit, ainsi que la plupart des images de l’article. Les images autour de Nicolas Oresme et Emil Artin proviennent de Wikipédia.

Commentaire sur l'article

  • Tresses en mouvement

    le 5 août 2014 à 21:43, par bayéma

    bonjour. article sympa !
    saviez-vous qu’il existe une plastique des nœuds rares pour celles et ceux qui s’intéressent aux nœuds mathématiques et aux tresses correspondantes sans formulation algébrique ? un livre est paru en 1992, « plastique des nœuds rares » de richard haddad et jean trentelivres. éd. de la lysimaque, paris. la recherche y est axée sur la notion de nœuds rares qui sont aux nœuds ce que les nombres premiers sont aux nombres. excellent pendant les vacances, bonnes lectures !
    josef bayéma, plasticien, guadeloupe.

    Répondre à ce message
  • Tresses en mouvement

    le 6 août 2014 à 14:23, par Quentin

    Merci à l’auteur de ces lignes de m’avoir fait découvrir ce très beau travail. Et bravo à la réalisatrice de ces videos !!!

    J’attends la suite de la version francaise avec impatience.

    Est ce que d’autres langues sont prévues ? Je trouve que cela vaudrait le coup de donner encore plus de visibilité à ce travail.

    Amicalement.

    Répondre à ce message

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