Trois cadrans solaires

Piste verte Le 4 novembre 2016  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (1)

Je me suis toujours demandé pourquoi les cadrans solaires me fascinent alors que leur intérêt pratique est tout à fait limité et que mon téléphone me donne l’heure à la seconde près, même par temps nuageux.

Il me semble que c’est leur simplicité géométrique qui m’attire.
Je n’ai qu’une vague idée du fonctionnement de mon téléphone mais
je vois bien le mouvement du Soleil dans le ciel et je sais que l’heure est liée à la rotation de la Terre, en quelque sorte par définition.
Un cadran solaire va donc chercher l’heure à sa source.
À midi, le Soleil est (à peu près) au sud, tout simplement.
La géométrie qui est en jeu dans un cadran solaire me rappelle les mathématiques du collège, avec ses triangles, ses parallèles et son théorème de Thalès.
Je sais bien que certains cadrans sont très élaborés et relèvent d’une géométrie un peu savante, mais ce sont les plus simples qui me plaisent, ceux qu’on comprend instinctivement.

Il y a bien entendu une très vaste littérature sur les cadrans solaires et il existe de nombreuses associations d’amateurs.
J’ai déjà eu l’occasion d’évoquer un cadran solaire digital extrêmement sophistiqué dans Images des mathématiques ; on le place au Soleil et on voit apparaître de manière mystérieuse l’heure écrite en chiffres sur un disque. Mais il est en quelque sorte trop compliqué et personne ne comprend intuitivement « comment ça marche ».

Je voudrais présenter trois cadrans que je trouve intéressants.

Le premier se trouve au jardin botanique de Rio de Janeiro.

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Il est à la fois « digital » et extrêmement simple, et je dirais même pédagogique.
La photo suffit à en expliquer le fonctionnement.
L’axe est bien entendu l’axe du Monde, orienté vers le sud (eh oui, Rio est dans l’hémisphère sud) et incliné d’un angle égal à la latitude.
Le cylindre qui l’entoure fait immédiatement comprendre que le Soleil fait un tour par jour autour de l’axe [1]. On y a tout simplement percé des orifices pour que l’ombre dessine l’heure, en chiffres.
Cette fois, on comprend tout, sans réfléchir !

À côté du cadran on trouve une petite explication de « l’équation du temps » qui permet d’évaluer la différence entre l’heure solaire et l’heure vraie [2] .
J’ai déjà eu l’occasion d’aborder cette délicate question dans un article de Images des Maths intitulé « Chercher midi à midi et quart ? ».
L’idée générale est simple.
D’une part, la Terre ne tourne pas à vitesse (angulaire) constante autour du Soleil.
Elle va un peu plus vite quand elle en est proche et un peu moins vite quand elle est plus lointaine [3].
D’autre part, l’axe de rotation de la Terre n’est pas perpendiculaire au plan de son orbite autour du Soleil, si bien que le parcours du Soleil sur le cylindre qui entoure l’axe de notre cadran brésilien n’est pas non plus uniforme [4].
À cause de ces deux phénomènes qui se combinent, le Soleil n’est pas tout à fait au nord à midi (au Brésil).
Il est tantôt un peu à l’est et tantôt un peu plus à l’ouest.
La courbe « équation du temps » permet d’évaluer la correction en fonction de la date.
Cette correction n’est pas petite : suivant la période il faut ajouter ou retirer une quinzaine de minutes à l’heure indiquée par le cadran pour obtenir l’heure vraie.

Voici une photo que j’ai prise à Pise sur une façade.

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La lumière du Soleil passe à travers un petit œilleton et produit un point lumineux sur le mur.
La courbe qui est dessinée représente la position de ce point lumineux à midi, heure vraie, ou heure de la montre si vous préférez.
En été, le Soleil est très haut et le point lumineux est donc au plus bas.
Mais on voit nettement les décalages vers l’est et l’ouest suivant la période de l’année. Cette courbe s’appelle l’analemme.

Évidemment, il est un peu désagréable de devoir corriger l’indication du cadran en consultant une table pour avoir l’heure véritable.
Voici deux exemples de cadrans qui permettent de se libérer de cette correction.

Celui-ci est situé sur le campus de l’université Cornell, aux USA.

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En tournant un petit bouton de temps en temps, par exemple une fois par semaine, le cadran se « déplace » et on peut alors lire l’heure directement sans qu’aucune correction ne soit nécessaire.
Regardez la photo du bouton : il est gradué en fonction de la date.

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Pour être franc, je n’aime pas trop ce mécanisme.
Un vrai cadran solaire ne doit contenir aucun rouage n’est-ce pas ?

J’aime bien la deuxième solution pour une raison un peu spéciale.
J’étais persuadé en être l’inventeur jusqu’au jour où... j’en ai vu un exemplaire à Tel-Aviv.
Cela arrive souvent au mathématicien : découvrir que ce qu’il croyait avoir inventé l’avait déjà été bien plus tôt.
Parfois — souvent — c’est une expérience désagréable…

Voilà de quoi il s’agit.
Prenez un cadran un peu banal.
Il s’agit d’une tige (le gnomon) qui est plantée d’une manière ou d’une autre et dont on examine l’ombre.
Souvent, on dessine une courbe graduée en heures sur un plan et on lit l’heure à l’intersection de cette courbe avec l’ombre du gnomon.
L’idée est alors très simple.
Pourquoi ne pas prendre un gnomon épais, un peu en forme de courgette, dont l’ombre est donc plus large ?

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Cette ombre coupe le bord gradué du disque sur un certain intervalle, qui a donc deux extrémités, à droite et à gauche.
La largeur de cet intervalle dépend de la date puisque le Soleil est plus ou moins haut.
Si on s’y prend bien, si on choisit bien la forme de la courgette, on peut faire en sorte que cet intervalle corrige automatiquement l’équation du temps.
Il suffit alors de regarder le bord gauche de l’ombre au printemps et le bord droit à l’automne.
Les lecteurs de Images des Mathématiques sauront-ils résoudre ce joli exercice de géométrie ?
Quelle forme faut-il donner au gnomon ?
J’avais pensé naïvement avoir été le premier à résoudre ce problème !

Post-scriptum :

Je remercie chaleureusement Vincent Beck, Mathilde Herblot, rgugliel, Sylvia, arnaudseguin et Christophe Boilley qui ont bien voulu relire une version préliminaire de cet article. Leurs commentaires ont été très précieux.

Article édité par Romain Dujardin

Notes

[1Je me comprends... je sais bien que c’est la Terre qui tourne et pas le Soleil !

[2Évidemment, il y a un décalage constant entre l’heure vraie et l’heure légale (sans parler des heures d’été etc.) mais cette question n’est pas ce qui nous préoccupe ici.

[3Cela résulte de la « loi des aires » : lorsqu’une planète est attirée par un Soleil, le produit du carré de sa vitesse angulaire et de sa distance au Soleil est constant au cours du mouvement. Cette loi a été découverte expérimentalement par Kepler et expliquée par Newton.

[4Je rappelle que l’écliptique (le plan de l’orbite de la Terre autour du Soleil) fait un angle de 23°26’ avec le plan équatorial de la Terre. Cet angle est la latitude des tropiques. Il est presque constant. Il faudrait attendre plus de 5000 ans pour qu’il change d’un demi-degré, ce qui peut nous rassurer après avoir entendu Nicolas Sarkozy déclarer la semaine dernière « Il suffit que la planète change d’axe d’un demi-degré face au Soleil, et vous avez le Sahara, qui était une mer ou une forêt, qui devient un désert ». Quelle chance d’avoir des hommes politiques qui pensent à notre avenir au-delà de 2017 ! Le roman de Jules Verne « Sans dessus dessous » dans lequel les héros veulent faire basculer la Terre grâce au recul d’un énorme boulet de canon est beaucoup plus drôle.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Trois cadrans solaires» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - Un cadran à Palma de Majorque

Commentaire sur l'article

  • Trois cadrans solaires

    le 5 novembre 2016 à 09:57, par ROUX

    Toujours autant de plaisir à lire vos articles : cette rigueur, cette humilité brûlante, cette gentillesse, cette perpétuelle recherche d’une évocation de mathématiques par ce regard émerveillé sur un objet.

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