Trompo

Piste verte Le 4 juin 2011  - Ecrit par  Michèle Audin
Le 16 janvier 2023  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
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Los diferentes aspectos del movimiento de un trompo evocan aquellos del movimiento de un planeta : rotación alrededor de su eje, precesión, nutación. Estas palabras son descifradas y el movimiento descrito. ¡Se dan algunas explicaciones matemáticas !

Aquí vamos a hablar de un trompo, uno muy común, no de esos trompos complicados que un campo magnético hace girar encima de la mesa, o una forma de hongo que se hace girar durante su rotación (como el caso que se ve aquí a la derecha). No, no. Solo un trompo, como el rojo que se ve en reposo en la foto que sirve como logo de este artículo ; como aquellos representados abajo ; como el trompo rojo que usted ve de nuevo en movimiento en la foto siguiente. Un trompo, sólido, de forma y color variables, pero siempre con un eje de revolución.

Él gira, y sin embargo...

Y, sin embargo, su movimiento es compuesto.

Él gira alrededor de su eje, es seguro, pero ese movimiento de rotación se acompaña por una rotación del eje mismo, que describe un cono alrededor de la vertical : el trompo está inclinado. Este movimiento se llama precesión (vea aquí abajo).

En realidad no es exactamente un cono lo que el eje describe. Hay especies de pequeños festones y ese otro movimiento se llama la nutación del trompo. Es el movimiento que se adivina con el temblor del eje en la fotografía. Es ese movimiento el que está representado, de manera exagerada (en la realidad, los dos pequeños círculos verdes están mucho más cercanos) en la figura de la izquierda.

Palabras de la astronomía

Si bien el movimiento del trompo no es el de un planeta, las palabras para hablar de él, precesión y nutación, vienen directamente de la astronomía.

La precesión del trompo hace referencia al movimiento de la Tierra y a su « precesión de los equinoccios ».

El movimiento de la Tierra alrededor de su centro es bastante complicado.

Es principalmente un movimiento de rotación : la Tierra gira alrededor de su eje.

La figura muestra el plano de la eclíptica, la de la órbita [1] del planeta Tierra alrededor del Sol. La dirección perpendicular a ese plano, llamada aquí, muy impropiamente, ’’vertical’’ [2] (entre comillas). Se sabe que esta ’’vertical’’ no es la dirección del eje de rotación de la Tierra, el que une los polos Norte y Sur. Esas dos direcciones forman entre sí un ángulo de aproximadamente 23 grados. Es la inclinación del eje de la Tierra lo que hace que haya estaciones, y entre éstas, equinoccios (y solsticios).

Más escondido pero bien real es el movimiento de precesión del eje : el eje de la Tierra describe un cono de revolución alrededor de nuestra ’’vertical’’. Con algunas consecuencias : la precesión... de los equinoccios.

  • hace ’’moverse’’ las estaciones (en trece mil años, el mes de abril será en otoño [3]),
  • también hace ’’moverse’’ las estrellas. El extremo del eje describe un pequeño círculo sobre esta esfera ideal que es la bóveda celeste [4]. Hoy en día, el punto de ese círculo donde está el eje es cercano a la Estrella Polar (Alpha Ursae Minoris [5]), que nos indica el norte, pero hace cinco mil años era la Alfa del Dragón (Alpha Draconis)... cinco mil años en la escala de la historia de las observaciones astronómicas está lejos de ser una eternidad, y cuando abril sea en otoño (en el hemisferio norte), será la estrella Vega (en la constelación de la Lira) la que nos (?) indique el norte.

La nutación del trompo hace referencia a la nutación del movimiento de la Tierra. Es la parte más escondida del movimiento de nuestro planeta. En realidad no es exactamente un cono de revolución el que describe nuestro eje de rotación : hay pequeños festones, oscilaciones.

La palabra nutación viene del latín nutare [6]. ’’Nutare’’ es lo que escribió Newton en sus Principia en 1687 [7].

Desde el punto de vista de la precesión, el eje de la Tierra estará en la misma posición que hoy en 25 800 años. La nutación es un fenómeno mucho más tenue : el tiempo que toma el eje de la Tierra para efectuar un ’’pequeño festón’’ es de 18,6 años, pero su amplitud es minúscula [8].

La nutación se debe al hecho de que la Tierra no es realmente una esfera sino que está aplanada en los polos. Como el trompo, nuestro planeta es un ’’sólido de revolución’’ (aproximadamente).

Un poco de matemáticas

Volvamos al trompo. Ya no se trata de modelizar el movimiento alrededor de su centro de gravedad de un planeta en órbita en torno al sol, sino el de un cuerpo sólido en un campo de gravedad constante.

El movimiento del trompo es así descrito por ecuaciones, derivadas a su vez de las leyes de la física, que no detallaremos aquí. Consideremos, por ejemplo, la altura a la cual se encuentra el extremo del eje del trompo en un cierto instante. Es la cantidad que vemos oscilar (el extremo del eje queda entre las dos circunferencias verdes de la figura de arriba).

Ocurre que las leyes de la física imponen a la manera en la cual esta altura varía en el curso del tiempo, satisfacer cierta ’’ecuación diferencial’’, que se encontrará, si se desea, al desplegar el bloque de abajo...

Ecuación diferencial

Se obtiene un gran sistema diferencial bastante complicado (no lineal). De ahí se puede deducir que la altura $x$ varía en el curso del tiempo como lo indica la ecuación diferencial
\[\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2=(1-x^2)(\alpha-2x)-(c-kx)^2.\]
Aquí $\alpha$, $c$ y $k$ son constantes (la energía total del trompo, el momento en relación al eje... y se ha supuesto que la longitud del eje es $1$, de modo que $x\leq 1$). El segundo miembro es un polinomio de tercer grado. Es nulo para tres valores, $a$ y $b$ menores que $1$ y $c$ mayor. La figura de abajo (a la izquierda) muestra la curva de ecuación
\[y^2= (1-x^2)(\alpha-2x)-(c-kx)^2.\]

... y que a su vez impone a nuestra altura quedar acorralada entre dos valores.

La curva representada en la figura de la izquierda (y dada por la ecuación en el bloque a desplegar de arriba) es una curva elíptica [9]. Las soluciones de las ecuaciones del movimiento del trompo son lo que se llama funciones elípticas, ligadas a la curva elíptica obtenida [10], como se sabe desde que Joseph-Louis Lagrange (1736—1813) (cuyo retrato vemos aquí) estudió ese problema, a fines del siglo XVIII.

Un poco más de matemáticas

Otros sistemas mecánicos presentan un comportamiento similar al del trompo. Esto fue señalado en la segunda mitad del siglo XIX por Sofia Kovalevskaya, de quien vemos un retrato aquí [11]. Hoy en día, esos sistemas se llaman sistemas integrables. Para caracterizarlos sin emplear demasiadas palabras técnicas, digamos que tienen un comportamiento muy regular, casi periódico [12].

Miremos por ejemplo un ’’péndulo’’, una pequeña bola al final de un hilo enganchado a un punto fijo, que se mueve en el espacio. La bolita queda siempre a la misma distancia de ese punto durante su movimiento. En otras palabras, se mueve sobre una esfera, que no vemos pero que podemos imaginar.

Y es eso lo que muestran las dos figuras de abajo. La de la izquierda muestra esta esfera ’’imaginaria’’. Muestra también cómo la bola se mueve sobre esta esfera. La de la derecha muestra la trayectoria vista desde arriba. Tal como aquella del extremo del eje del trompo, esta trayectoria está ’’acorralada’’ entre dos circunferencias paralelas sobre la esfera.

Igual que con el trompo, durante este movimiento del péndulo hay cantidades físicas que no varían, como la energía del sistema [13] o el momento (del trompo en relación a su eje, del péndulo en relación a la vertical).

Igual que para el trompo, el sistema se resuelve gracias a integrales elípticas.

Precesión y nutación, curvas elípticas, cantidades conservadas, movimiento casi periódico... Hoy en día se estudia ’’sistemas’’ más abstractos, que salen de otras partes de las matemáticas más que de la mecánica. Por ejemplo, la teoría de las representaciones o de la geometría algebraica, y que comparten con nuestro simple ’’trompo’’ una cierta cantidad de propiedades [14]. Los matemáticos tal vez ya no ven girar el trompo con los mismos ojos que los niños... pero al menos encuentran tanto maravillamiento ahí.

Post-scriptum :

Agradezco a los relectores cuyos nombres o seudónimos son Maxime Bourrigan, Safieddine Bouali, subshift, mjchopperboy y Gilles Damamme por su atenta relectura de una versión preliminar de este artículo y su ayuda para mejorarlo.

Notes

[1Esta órbita es una elipse (un círculo un poco aplanado) como lo enunció Kepler.

[2La vertical del punto donde usted está cuando lee este artículo es la dirección de la recta que une ese punto con el centro de la Tierra, todos los astrónomos se lo dirán.

[3April in Paris no verá más los castaños en flor, (chestnuts in blossom), sino las castañas brillantes caídas en el suelo... una predicción muy optimista en cuanto al porvenir del planeta.

[4El cono corta esta esfera en dos círculos, por supuesto, uno al norte y otro al sur, pero hay una buena razón (además de geopolítica) para preferir interesarse aquí en la del norte, en el cielo boreal : las estrellas cercanas a la dirección del sur son mucho menos brillantes que las citadas aquí.

[5Sin ser para nada latinista, no resisto el placer de utilizar esos nombres latinos con sus hermosos genitivos.

[6tambalearse, vacilar, oscilar. La palabra nūto quiere decir también ’’señalar con un movimiento de la cabeza’’, una muy linda imagen. Agradezco a Maxime Bourrigan por este comentario.

[7Philosophæ naturalis principia mathematica (principios matemáticos de la filosofía natural) es el título del libro en el cual Newton expuso la gravitación universal y los fundamentos de la mecánica.

[8Para aquéllos a quienes les gusta las cifras : 17 segundos de arco, es decir, 17/3600 grados. Es notable que un fenómeno tan minúsculo haya sido observado y medido desde el siglo XVII. Este artículo es un buen lugar para señalar que la descripción de la precesión y de la nutación de la Tierra utilizada aquí, está inspirada en un pasaje de una crítica del volumen de las Œuvres Complètes de d’Alembert dedicada a la precesión y a la nutación (a partir de la página 105 del archivo contenido en el vínculo).

[9Llamado a la gente : es más que extraño que objetos matemáticos tan útiles como las curvas elípticas nunca hayan sido tema de un artículo en este sitio...

[10Uno puede encontrar que las curvas « elípticas » están mal llamadas, ya que no son elipses. En cambio, las funciones « elípticas » están bien llamadas, ya que están ligadas a esas curvas (elípticas).

[11Para saber más acerca de esta matemática, vea en este sitio el perfil que se le dedicó y un artículo acerca de los matemáticos durante el período de la Comuna de París.

[12Lo más simple aquí es enviar a los lectores/lectoras valientes a un artículo (un poco difícil) de este sitio.

[13Cuidado. El modelo matemático utilizado supone que no hay pérdida de energía y que el trompo gira...para siempre.

Hace una decena de años, recibí un llamado telefónico del Wall Street Journal (!). El periodista había encontrado a un fabricante de trompos que le había mostrado un trompo que giraba durante diez minutos sin parar. El periodista quería saber si yo pensaba que era suficientemente interesante como para que diario dedicara un artículo a esta novedad. Le respondí que yo era experta en trompos que giraban por siempre...¡pero al periodista no le interesó escribir un artículo a este respecto !

[14A pedido de un relector, incluyo aquí una lista muy desordenada (y redundante, sin embargo incompleta) de sistemas ’’’integrables’’, copiada de un libro escrito sobre el tema hace una quincena de años :

los sistemas de Calogero-Moser, de Calogero-Sutherland, de Calogero,el sólido de Clebsch en un fluido ideal, el « sólido » de dimensión $n$, el trompo de Euler-Arnold, las ecuaciones de Euler, el trompo de Euler-Poinsot, el trompo $SO(4)$ exótico, la partícula libre sobre un elipsoide, el sólido libre, las geodésicas de un elipsoide, el sistema de Garnier, el de Gaudin, el flujo geodésico sobre un toro, sobre una superficie de revolución, las geodésicas de las cuádricas, sobre $SO(3)$, las funciones de Goldman,el trompo de Goryachev-Chaplygin, el oscilador armónico, el sistema de Hénon-Heiles, el potencial de Holt, el sistema de Jeffrey-Weitsman, el problema de Kepler, el sólido de Kirchhoff, el potencial de Kolosoff, el trompo de Kovalevskaya, el de Lagrange, el péndulo matemático, los sistemas de Moser, el movimiento de una partícula en un campo central, el de una partícula sobre una esfera en un potebcial cuadrático, el problema de Neumann, la red de Toda periódica, las redes de Toda no-abelianas, no periódicas, el sistema de Ruijsenaars, el péndulo esférico, el trompo $SO(n)$, el sólido de Steklov, el trompo simétrico de Lagrange, el problema con dos cuerpos, el oscilador anarmónico de dimensión 2, el oscilador de dimensión 2...

sin hablar de los sistemas en dimensión infinita como la ecuación de Korteweg-de Vries.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Trompo» — Images des Mathématiques, CNRS, 2023

Crédits image :

Image à la une - Las fotografías de los trompos son de la autora ; las figuras fueron dibujadas por la autora, con ayuda de un trompo creado por Raymond Séroul. Las dos figuras que ilustran la precesión fueron dibujadas para una crítica en la Gazette des Mathématiciens.

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