À l’occasion du passage au nouveau millénaire, en l’an 2000, le Clay Mathematics Institute, une fondation américaine privée, a proposé une liste de sept problèmes dont la résolution sera récompensée d’un prix de un million de dollars pour chacun. La plupart de ces défis sont d’une grande abstraction et peuvent sembler éloignés de toute réalité physique. Par contraste, au sein de cette liste, le problème des équations de Navier-Stokes apparaît bien concret : ces équations sont censées décrire les écoulements des fluides (liquides ou gaz) ordinaires.

L’ESSENTIEL

• Les équations
  de Navier-Stokes
  sont censées décrire
  les écoulements des fluides.
• Elles modélisent
  un fluide comme un milieu continu, c’est-à-dire caractérisé par
  des grandeurs physiques définies en tout point
  de l’espace et à tout instant.
• À ce jour,
  la cohérence mathématique de ces équations n’a pas été prouvée.
• Le phénomène
  de turbulence est l’un
  des principaux obstacles à une telle démonstration.

Afin de déterminer comment un fluide se comporte dans une situation donnée, on peut réaliser des expériences. Mais en pratique, c’est souvent trop difficile ou trop coûteux. Dans ce cas, il est possible de s’appuyer sur des simulations numériques, par ordinateur, des équations qui régissent les écoulements. C’est ainsi que les ingénieurs-architectes calculent le comportement des grandes structures, tels les ponts ou les gratte-ciel, sous l’action du vent.

La simulation numérique permet aussi de déterminer les caractéristiques aérodynamiques d’une automobile, d’un train à grande vitesse ou d’un avion, sans avoir à construire au préalable des prototypes de ces appareils et à les tester dans une soufflerie.
La simulation numérique en mécanique des fluides est fondée sur une stratégie de résolution approchée des équations de Navier-Stokes. Ces équations, qui se révèlent donc cruciales pour les activités des constructeurs automobiles ou des bureaux d’ingénieurs, s’invitent même à Hollywood afin, par exemple, de simuler le tourbillon où s’enfonce le Titanic lors de son naufrage.

L’existence et l’unicité des solutions sont à prouver

La résolution des équations de Navier-Stokes joue donc un rôle important, qu’il s’agisse de science ou de technologie. Pourquoi ces équations figurent-elles sur la liste des « problèmes du millénaire » ? Des équations dont des programmes informatiques calculent des solutions approchées présentent-elles encore un réel intérêt pour les mathématiciens ou les physiciens ? Le problème, c’est que l’on n’est pas sûr que ce qui est calculé est réellement une solution approchée et si le résultat est fidèle à la réalité.

Une comparaison avec un exemple très classique éclairera ces questions. Afin de décrire les phénomènes naturels par des équations, Isaac Newton avait énoncé les lois régissant la mécanique d’un point matériel, par exemple la loi selon laquelle la force agissant sur une masse ponctuelle est égale au produit de sa masse par son accélération. Considérons un nombre fini de masses ponctuelles, par exemple les corps célestes du Système solaire, dont on connaît les positions et vitesses à un instant donné. Supposons en outre que ces masses ponctuelles soient soumises aux seules forces de la gravitation newtonienne.

Dans ces conditions, toute l’évolution du système est mathématiquement déterminée : connaissant les positions et vitesses des points matériels à un instant donné, les équations de la mécanique permettent en principe de déterminer les positions et vitesses à tout instant ultérieur. Les mathématiques offrent dans ce cas une image déterministe de la nature : des conditions initiales identiques impliquent toujours une même évolution au cours du temps.

Or les équations de Navier-Stokes ne présentent malheureusement pas un tel déterminisme. Il n’a pas été possible à ce jour de prouver, pour ces équations, qu’il existe en toutes circonstances une solution complètement déterminée par les conditions initiales. La situation reste par conséquent confuse.

Pourquoi cette classe d’équations soulève-t-elle autant de difficultés ? C’est ce que nous allons expliquer dans la suite de cet article. Une première réponse, incomplète, est qu’avec les équations de Navier-Stokes, on passe du discret au continu. Il s’agit d’« équations aux dérivées partielles », et non d’équations différentielles ordinaires comme en mécanique du point.

Qu’est-ce que cela signifie ? Pour un point mobile, la deuxième loi de Newton, selon laquelle la force est égale à la masse multipliée par l’accélération, équivaut à une équation différentielle, l’inconnue étant la position $x(t)$ du point et l’accélération étant la dérivée $dv(t)/dt$ de la vitesse $v(t)$ par rapport au temps (qui est son taux de variation infinitésimal), c’est-à-dire la dérivée seconde $d^2x(t)/dt^2$ de la position : dans les équations de la mécanique du point n’interviennent que des fonctions d’une seule variable, le temps $t$.

En revanche, la description d’un fluide repose sur des fonctions de deux variables au moins : la position (décrite par une, deux ou trois coordonnées) et le temps. La vitesse d’un fluide au point $r$ et à l’instant $t$ est ainsi notée $v(r, t)$. En plus des dérivées par rapport au temps qui proviennent, comme dans le cas classique, de la deuxième loi de Newton, on a des dérivées par rapport aux coordonnées de position, car l’état (la vitesse, la pression) d’un fluide en un point dépend de, et influe sur, l’état du fluide aux points voisins (on parle de dérivées partielles, car il s’agit de dérivées par rapport à l’une seulement des variables de la fonction).

Comme on introduit au moins une fonction pour chaque point de l’espace et que ces points sont en nombre infini (un infini continu, et non discret), alors que dans le cas habituel seul un nombre fini de fonctions du temps interviennent (les positions ou vitesses des points mobiles considérés), on devine que les équations aux dérivées partielles sont bien plus complexes que les équations différentielles ordinaires. Mais il ne s’agit là que d’une petite partie de l’explication de la difficulté.

Examinons de plus près ces équations de Navier-Stokes. Elles décrivent les comportements tant des liquides que des gaz. Dans notre expérience quotidienne, l’eau et l’air semblent se comporter très différemment, mais ce phénomène tient essentiellement à la différence de masse volumique, la densité de l’eau étant un millier de fois supérieure à celle de l’air. Dans les équations, la densité du fluide apparaît sous la forme d’un paramètre constant, et n’influe pas fondamentalement sur le comportement des solutions.

Un écoulement dans une cavité carrée plane où, initialement, le fluide est au repos, est un système souvent utilisé pour tester des algorithmes de résolution numérique des équations de la mécanique des fluides. Ici, le fluide est entraîné de gauche à droite au niveau de la paroi supérieure. Les lignes de courant correspondant à une rotation horaire sont en bleu, celles correspondant à une rotation antihoraire sont dans des teintes rouges.

Une autre différence apparente entre un liquide et un gaz est la compressibilité. Avec une simple pompe à bicyclette, on peut aisément comprimer un volume d’air. L’eau, de son côté, est incompressible, ce que l’on peut ressentir douloureusement en sautant mal d’un plongeoir. L’expérience de la pompe à vélo est cependant atypique : au sommet des gratte-ciel, pour les trains rapides ou les avions, l’air, à des vitesses de l’ordre de 300 kilomètres par heure, se comporte comme s’il était incompressible.

Si le fluide doit être considéré comme compressible, c’est-à-dire si sa densité peut notablement varier, la situation est plus complexe. Aussi, nous nous limiterons dans la suite de cet article au cas des fluides incompressibles.

250 ans d’histoire

D’où viennent les équations de Navier-Stokes ? Leur histoire remonte au XVIIIe siècle. En 1755, dans un mémoire intitulé Principes généraux du mouvement des fluides, le grand savant suisse Leonhard Euler donna corps à l’hydrodynamique classique ou, plus précisément, à la mécanique des fluides sans frottement.

En appliquant les lois de Newton à des volumes infinitésimaux de fluide, Euler aboutit à un système d’équations qui porte aujourd’hui son nom (voir l’encadré ci-dessous), et il donna la première définition rigoureuse de la pression $p$ d’un fluide. Les équations d’Euler sont un système de trois équations comportant quatre fonctions inconnues de la position et du temps : les trois composantes $(u, v, w)$ de la vitesse du fluide (selon les axes $Ox, Oy$ et $Oz$ respectivement) et la pression $p$. Afin d’avoir autant d’équations que d’inconnues et ainsi espérer pouvoir résoudre le système de manière unique, il est nécessaire d’introduire une équation supplémentaire, qui traduit localement la conservation de la masse du fluide.

Euler avait également énoncé ces équations dans le cas de fluides compressibles ; le cas incompressible s’en déduit en supposant que la densité du fluide est une constante, indépendante du temps et de la position.

Les équations de Navier-Stokes généralisent les équations d’Euler : les premières se ramènent aux secondes en annulant le terme de viscosité, lié aux frottements.

Les équations d’Euler font apparaître une difficulté qu’elles partagent avec les équations de Navier-Stokes : elles sont non linéaires. La propriété de non-linéarité, qui peut se lire aisément sur une équation, signifie que la somme de deux solutions possibles de l’équation ne constitue pas, en général, une autre solution possible.

Cela implique des différences importantes par rapport aux équations linéaires. Par exemple, des ondes régies par des équations linéaires peuvent se maintenir et se superposer sans interagir et se perturber mutuellement. En outre, les solutions d’équations linéaires ne peuvent pas devenir beaucoup plus complexes que les conditions aux limites (la donnée des vitesses du fluide sur le bord de la région qu’il occupe) ou les conditions initiales (la donnée des vitesses initiales du fluide). En revanche, dans le cas d’une équation non linéaire, même une situation géométrique très simple peut donner lieu à une solution (un écoulement) d’une grande complexité.

LES ÉQUATIONS D’EULER

Afin d’établir les équations qui
régissent l’écoulement des fluides, notamment celles d’Euler et de Navier-Stokes, les physiciens considèrent un minuscule « volume test » de position fixée et cherchent à déterminer les forces agissant sur le fluide qu’il contient.
La gravité est en général une première force extérieure à considérer. Il faut ensuite prendre en compte la pression, qui varie a priori d’un point à l’autre de la surface du volume test. Les liquides et les gaz tendent en effet à s’écouler dans la direction où la pression est la plus faible. Il faut enfin faire le bilan des entrées et sorties de fluide dans le volume test.
Grâce à l’analyse infinitésimale, on peut ensuite passer à la limite où le volume test se réduit à un point. La différence entre l’état du fluide au bord droit du volume test et son état au bord gauche correspond alors à une dérivée partielle (une dérivée par rapport à
la coordonnée dont l’axe va de gauche à droite). On obtient ainsi des équations aux dérivées partielles, c’est-à-dire des équations où figurent des dérivées (partielles) de fonctions inconnues de la position et du temps.
Notons $u, v, w$ les composantes de la vitesse de l’écoulement selon les axes $Ox, Oy, Oz$ respectivement et $f, g, h$ les trois composantes d’une force extérieure donnée. L’écriture $\partial u/ \partial t$ désigne la dérivée de la composante $u$ de la vitesse par rapport au temps $t$, l’écriture $\partial p/ \partial z$ désigne la dérivée de la pression par rapport à la coordonnée $z$,et ainsi de suite. Avec ces notations, les équations d’Euler s’écrivent :

$\displaystyle{\frac{\partial u} {\partial t}+u\frac{\partial u} {\partial x} +v\frac{\partial u} {\partial y} + w\frac{\partial u} {\partial z} +\frac{\partial p} {\partial x}=f, \\ \frac{\partial v} {\partial t}+ u \frac{\partial v} {\partial x}+ v \frac{\partial v} {\partial y}+ w\frac{\partial v} {\partial z}+\frac{\partial p} {\partial y } = g, \\ \frac{\partial w} {\partial t}+ u \frac{\partial w} {\partial x}+ v \frac{\partial w} {\partial y}+ w \frac{\partial w} {\partial z}+\frac{\partial p} {\partial z} = h.} $

Elles sont une traduction de la loi de Newton selon laquelle le produit de la masse par l’accélération est égal à la force appliquée.
L’accélération (dérivée de la vitesse) correspond aux quatre premiers termes de chaque équation du système (la dérivée partielle par rapport au temps est complétée par trois termes en raison du fait que la vitesse intervenant dans ces équations est celle caractérisant le fluide en un point donné de l’espace, et non la vitesse d’une particule fluide suivie dans son mouvement).
Le cinquième terme (par exemple $\partial p/ \partial x$) est la force due à la pression, qui est une force interne au fluide. Par convention, on place les forces extérieures dans le membre de droite des équations.
Par ailleurs, dans ces équations où l’on suppose le fluide incompressible, la densité (ou la masse) du fluide ne figure pas explicitement ; pour simplifier l’écriture, elle est intégrée dans les définitions de la pression et de la force extérieure.
Grâce aux notations de l’analyse vectorielle, on peut exprimer ces trois équations en une seule formule compacte et élégante. Notons $v = (u, v, w)$ le vecteur vitesse et $f = (f, g, h)$ le vecteur force extérieure. Avec l’opérateur « nabla » $\nabla = (\partial/\partial x, \partial / \partial y, \partial/ \partial z)$, les équations d’Euler s’écrivent alors :
\[\frac{\partial v} {\partial t} +(v . \nabla)v+\nabla p=f,\]
où l’opérateur $(v . \nabla)$ agit comme un produit matrice-vecteur [1].
Cette expression (trois équations pour quatre fonctions inconnues) doit être complétée par une autre équation, qui exprime l’incompressibilité et la conservation de la masse et qui s’écrit :
\[\nabla . v = 0, \] c’est-à-dire
\[\frac{\partial u} {\partial x}+\frac{\partial v} {\partial y} + \frac{\partial w} {\partial z} = 0.\]

La viscosité, facteur de régularité

Les équations de Navier-Stokes généralisent les équations d’Euler en introduisant un terme de viscosité tenant compte de phénomènes de frottements. Le frottement, qui entraîne une dissipation d’énergie, est un élément modérateur dans les écoulements. Cela explique que les équations d’Euler soient souvent plus « turbulentes » encore que celles de Navier-Stokes. Par exemple, les solutions des équations d’Euler peuvent décrire des écoulements où le fluide est cisaillé et où, par conséquent, la vitesse du fluide n’est pas définie sur toute une surface. En fait, pour ces raisons, on sait qu’il n’est pas possible d’obtenir un énoncé général d’unicité des solutions pour les équations d’Euler.

Dans la réalité cependant, les fluides ne souffrent pas de ces ambiguïtés et semblent avoir des vitesses bien définies partout. On en conclut qu’un élément crucial n’est pas pris en compte dans les équations d’Euler. Cela a conduit Gregori Tokaty, mécanicien des fluides d’origine russe disparu en 2003, à proposer la métaphore suivante : avec ses équations, le tailleur de génie Euler nous a confectionné un pantalon, certes magnifique, mais dépourvu de tout bouton. Ce qui empêche ce pantalon de glisser (ou les fluides de se décomposer), c’est l’omniprésence d’un frottement qui, dans le cas des fluides, est désigné par le terme de viscosité. Si ce phénomène est familier pour des liquides tels que le miel ou l’huile, il l’est moins pour les gaz ; les scientifiques ont d’ailleurs mis longtemps à appréhender le rôle crucial joué par la résistance de l’air et à élaborer une théorie des fluides visqueux.

Simulation numérique de l’écoulement d’un film d’eau savonneuse, de haut en bas, à travers lequel sont installés des obstacles (dix petits cercles en amont, analogues à des piliers de pont sur une rivière, et une autre série de petits cercles disposés sur le bord gauche). Les trois images montrent l’état du fluide à des instants successifs. Les parties en bleu correspondent à des tourbillons tournant dans un sens, les parties en rouge à des tourbillons tournant dans le sens contraire. Les obstacles sont responsables de la turbulence de l’écoulement en aval. Il s’agit là d’une turbulence à deux dimensions, pour laquelle les équations de Navier-Stokes sont mieux maîtrisées, et on a su prouver dans ce cas à la fois l’existence et l’unicité de solutions régulières.

Newton avait déjà formulé l’hypothèse selon laquelle, dans un fluide visqueux s’écoulant entre deux parois, apparaissent des forces proportionnelles à la vitesse du fluide, appelées forces de cisaillement. Cent cinquante ans plus tard, l’ingénieur polytechnicien français Claude-Louis Navier, avec son Mémoire sur les lois du mouvement du fluide de 1822, réalisait une percée dans la prise en compte de la viscosité.

Attiré par l’atomisme de Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), Navier a inscrit ses travaux dans le cadre de la théorie moléculaire. Mais il s’est appuyé sur les méthodes de la mécanique des milieux continus et la théorie de l’élasticité, développées en particulier vers 1820 par le mathématicien français Augustin-Louis Cauchy.

Pour expliquer la viscosité, Navier postula l’existence d’une force d’attraction entre deux molécules, l’intensité de cette force décroissant rapidement avec la distance, et il en déduisit de façon remarquable une équation utilisable à l’échelle macroscopique. Il énonça aussi qu’un fluide visqueux ne peut glisser parfaitement le long des parois d’un conduit ; au contraire, sa vitesse au niveau des parois doit être proche de zéro. C’est la « condition de non-glissement » du fluide le long des parois.

Certains désaccords entre la théorie de Navier et les observations, ainsi que le besoin de clarifier plusieurs points dans les raisonnements, ont rendu Navier perplexe et les autres scientifiques ne furent pas convaincus. Mais les équations étaient en place.

Quelques années plus tard, toujours en France, Adhémar Barré de Saint-Venant parvenait à faire progresser la théorie des fluides visqueux sans utiliser d’hypothèses de nature moléculaire. Dans son Mémoire sur la dynamique des fluides présenté en 1834 à l’Académie des sciences, Barré de Saint-Venant se concentrait sur la modélisation de la vitesse relative des particules de fluide, le terme « particule » devant ici se comprendre au sens de la mécanique du continu, c’est-à-dire comme un volume infinitésimal de fluide. Si l’on considère deux particules de fluide adjacentes se déplaçant à des vitesses différentes, une force de cisaillement résulte du frottement entre les deux particules.

La viscosité modélisée

Contrairement à la pression hydrostatique, la force de cisaillement ne s’exerce pas perpendiculairement à l’interface des deux particules fluides, mais tangentiellement. Barré de Saint-Venant adopta alors pour hypothèse que les forces de cisaillement apparaissent dans la direction de l’écoulement – plus précisément dans le sens du mouvement relatif des deux particules de fluide – et qu’elles sont proportionnelles à la vitesse relative des deux particules.
On montre qu’il résulte de ces forces de cisaillement, qui s’opposent à la vitesse relative de deux particules fluides en contact, une viscosité qui lisse les différences de vitesses entre un point du fluide et ses voisins. La force de viscosité correspond alors, dans les équations de Navier-Stokes, à un coefficient de viscosité, noté par la lettre grecque $\mu$ (mu), multiplié par la somme des dérivées spatiales d’ordre deux de la vitesse (voir l’encadré ci-dessous).

LES ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Dans l’espace tridimensionnel, les équations de Navier-Stokes censées régir l’écoulement d’un fluide incompressible s’écrivent :

$\displaystyle{ \frac{\partial u} {\partial t}+u\frac{\partial u} {\partial x} +v\frac{\partial u} {\partial y} + w\frac{\partial u} {\partial z} +\frac{\partial p} {\partial x} - \mu\left(\frac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 u} {\partial y^2} +\frac{\partial^2 u} {\partial z^2}\right) = f, \\ \frac{\partial v} {\partial t}+ u \frac{\partial v} {\partial x}+ v \frac{\partial v} {\partial y}+ w\frac{\partial v} {\partial z}+\frac{\partial p} {\partial y } -\mu\left(\frac{\partial^2 v} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 v} {\partial y^2} +\frac{\partial^2 v} {\partial z^2} \right)= g, \\ \frac{\partial w} {\partial t}+ u \frac{\partial w} {\partial x}+ v \frac{\partial w} {\partial y}+ w \frac{\partial w} {\partial z}+\frac{\partial p} {\partial z} - \mu\left(\frac{\partial^2 w} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 w} {\partial y^2} +\frac{\partial^2 w} {\partial z^2} \right) = h. }$

Elles reviennent à ajouter aux équations d’Euler un terme correspondant à la force de viscosité. Le terme de viscosité se compose du coefficient de viscosité $\mu$ multiplié par une somme de dérivées secondes de la vitesse. Cette somme s’exprime de façon compacte à l’aide de l’opérateur « laplacien », noté par la majuscule grecque $\Delta$ (delta) et défini par :
\[\Delta u = \frac{\partial^2 u} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 u} {\partial y^2} +\frac{\partial^2 u} {\partial z^2} .\]
Les équations de Navier-Stokes prennent alors l’expression vectorielle suivante :
\[ \frac{\partial v} {\partial t} + (v.\nabla)v + \nabla p - \mu\Delta v= f .\]
La conservation de la masse est également vérifiée par les équations de Navier-Stokes, et s’exprime par la même équation que pour les équations d’Euler $(\nabla . v = 0).$

Ainsi, Barré de Saint-Venant avait franchi un pas significatif pour établir les équations de Navier-Stokes. Et pourtant, son nom ne leur est pas associé. Pourquoi ? En fait, les travaux de Barré de Saint-Venant n’ont été imprimés, et donc diffusés,
qu’en 1843. Indépendamment, le physicien britannique George Gabriel Stokes publia en 1845 des résultats similaires dans sa thèse On the theories of the internal friction of fluids in motion. De façon un peu injuste, sur les deux noms, seul celui de Stokes, en plus de celui de Navier, s’est imposé pour désigner les équations du mouvement d’un fluide.

Revenons aux difficultés associées aux équations de Navier-Stokes. L’une des principales concerne la turbulence, très souvent constatée dans les écoulements rapides. Le caractère fascinant et intrigant de ce phénomène peut être constaté sur une expérience très simple. Il suffit d’observer un lent écoulement d’eau dans un tube horizontal en verre auquel on ajoute une goutte colorée : la goutte s’étire en un fil qui, au bout d’une certaine distance, se met à tourbillonner et ainsi à se mélanger de façon chaotique avec l’eau. Le courant est devenu spontanément turbulent !

Un problème épineux : la turbulence

La turbulence est un phénomène auquel les physiciens et mathématiciens s’intéressent depuis longtemps, sans qu’ils soient parvenus à en proposer une explication et une description satisfaisantes. Cela n’empêche pas son exploitation par les ingénieurs. On sait par exemple qu’un sillage turbulent derrière un mobile entraîne une résistance, ou force de traînée, moins importante qu’un sillage laminaire (non turbulent). C’est pourquoi le profil des casques de moto modernes comporte des creux, qui rendent turbulent l’écoulement de l’air en aval du casque.

La turbulence est un phénomène qui met en jeu de multiples échelles de longueur, qui vont jusqu’à l’échelle microscopique. Or à cette échelle, la description d’un fluide en tant que milieu continu, qui est à la base des équations de Navier-Stokes, perd sa pertinence. Qui plus est, les méthodes numériques pour résoudre ces équations procèdent par discrétisation, un découpage de l’espace en petits volumes où l’écoulement est supposé uniforme – ce qui n’est pas une bonne approximation si l’écoulement est turbulent jusqu’à des échelles plus petites que celle de la discrétisation.

Il n’est donc pas du tout assuré que, dans des régimes turbulents, la résolution numérique des équations de Navier-Stokes fournisse des solutions qui ressemblent suffisamment au comportement réel du fluide. En fait, en simulation numérique, on s’appuie sur ce que l’on appelle des modèles de turbulence, où l’on introduit de façon ad hoc, phénoménologique, des paramètres censés englober les détails inaccessibles de la turbulence. Ces modèles, dont il existe des familles entières, aboutissent à des résultats plus ou moins utiles selon les champs d’application. Mais ils ne sont qu’un pis-aller en l’absence d’une véritable compréhension de la turbulence.

Il faut aussi souligner que les algorithmes numériques ne résolvent pas vraiment les équations de Navier-Stokes : ils visent des approximations des solutions de ces équations, en supposant que celles-ci existent. Par exemple, la discrétisation remplace les dérivées, mathématiquement définies par un passage à la limite, par de simples quotients de différences. Autrement dit, on remplace la question posée par une autre, plus simple et qui approche autant que possible la question originale, tout en espérant que la solution de ce nouveau problème sera elle aussi assez voisine de la solution de la question initiale. Cela doit cependant être prouvé au cas par cas.

Le modèle reflète-t-il la réalité ?

On croit souvent qu’une procédure fiable de vérification est de comparer les solutions numériques avec des données expérimentales. Mais il s’agit là d’une idée fausse. On peut certes ajuster progressivement un modèle de turbulence jusqu’à ce que la solution numérique approche les données expérimentales avec une grande précision, mais ce n’est pas ainsi que l’on améliore notre compréhension de la turbulence.

Par ailleurs, comme j’y ai fait allusion, les équations de Navier-Stokes ne constituent qu’un modèle mathématique de l’écoulement d’un fluide visqueux, et il n’est pas garanti que ce modèle soit toujours conforme à la réalité physique.

En premier lieu, le fait de manipuler une fonction dérivable $v(r, t)$ sous-entend qu’il existe un milieu uniforme où l’on peut en chaque point et à tout instant associer une vitesse. Or une situation plus conforme à la réalité est celle où de très nombreuses molécules se déplacent de façon désordonnée, échangeant entre elles quantité de mouvement et énergie. Au sens strict, la grandeur $v(r, t)$ représente en fait une moyenne sur toutes les molécules présentes dans un petit volume entourant le point $r$.

En effet, il est possible de s’appuyer sur une description de nature microscopique pour aboutir aux équations de Navier-Stokes, moyennant certaines approximations. On peut en particulier s’appuyer sur la théorie cinétique des gaz, élaborée par le physicien autrichien Ludwig Boltzmann (1844-1906), qui donne une description probabiliste et statistique de ce qui se passe à l’échelle moléculaire. Mais le passage de l’échelle moléculaire à des moyennes définies en tout point est délicat, et il n’est pas sûr que la viscosité d’un fluide autre qu’un gaz parfait soit correctement décrite par le terme correspondant dans les équations de Navier-Stokes. Peut-être faut-il aller au-delà des dérivées d’ordre deux et inclure des dérivées d’ordre supérieur pour une modélisation plus précise ?

L’étude de l’écoulement de l’air et de la force de traînée que cet écoulement engendre est importante pour la tenue de route des véhicules. La modélisation de l’écoulement est surtout très complexe à l’arrière du véhicule, et une procédure dérivée de la théorie cinétique des gaz se révèle plus appropriée qu’une résolution approchée des équations de Navier-Stokes.

Il y a quelques années, le mathématicien tchèque Jindřich Nečas (1929-2002) a proposé un modèle alternatif de la viscosité avec l’espoir de prouver l’existence de solutions pour les équations ainsi modifiées. Il n’y est cependant pas parvenu, et les équations de Navier-Stokes représentent toujours la meilleure modélisation dont nous disposons.

Comme un énoncé d’existence et d’unicité des solutions semble pour le moment hors de portée, les mathématiciens se concentrent sur des objectifs intermédiaires. Par exemple, existe-t-il une solution manifestement non physique des
équations de Navier-Stokes ? Si tel était le cas, il apparaîtrait clairement que ces équations ne constituent pas une description adéquate de la réalité. Si, au contraire, on réussissait à exclure qu’apparaissent certaines solutions non physiques, on s’approcherait un peu plus de la preuve recherchée.

Une solution non physique serait, par exemple, une solution pour laquelle les énergies cinétique et potentielle du système augmentent. En effet, puisque les frottements dissipent de l’énergie cinétique en chaleur, la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle doit rester inférieure, ou au plus égale, à sa valeur initiale. Il est relativement facile de prouver que cela est le cas pour les équations de Navier-Stokes.

Des solutions qui explosent...

Une autre situation non physique correspondrait à une concentration de l’énergie du système au voisinage d’un seul point, la densité d’énergie tendant ainsi vers l’infini en ce point. Les spécialistes nomment blow-up, ou explosion, ce cas de figure.

Pour mieux comprendre ce problème, faisons l’expérience de pensée suivante : avec une grande cuillère, on imprime un mouvement de rotation à l’eau dont un seau est rempli. Une fois la rotation lancée, nous définissons à un certain instant
l’écoulement rotatif obtenu comme étant les conditions initiales des équations de Navier-Stokes. En un point quelconque du seau, la vitesse du fluide peut-elle augmenter sans limite et ainsi donner lieu à une explosion ? Un tel comportement n’a, bien entendu, jamais été observé. Mais y a-t-il pour autant, dans les équations, une propriété qui empêcherait le développement d’une telle explosion ?

Les mathématiciens connaissent en effet d’autres équations différentielles non linéaires qui présentent des phénomènes non physiques d’explosion. C’est d’ailleurs le cas des équations d’Euler : par exemple, il en existe des solutions qui correspondent à une évolution explosive du fluide, alors que ce dernier est initialement partout immobile !

Sauf dans quelques rares situations extrêmement simples, on ne sait pas trouver de solutions mathématiquement explicites (c’est-à-dire non numériques) aux équations de Navier-Stokes. Aussi, pour rechercher des solutions ou pour les caractériser même sans les avoir trouvées, les mathématiciens sont obligés de recourir à des voies indirectes.

Par exemple, ils considèrent qu’a priori une solution des équations est une certaine fonction appartenant à un espace fonctionnel approprié, c’est-à-dire un espace abstrait de dimension généralement infinie dont les points sont des fonctions ayant des propriétés assez peu restrictives. En se déplaçant continûment dans cet espace, on passe continûment d’une fonction à une autre. Et pour que l’on puisse comparer des fonctions et considérer des suites de fonctions, l’espace fonctionnel doit être muni d’une notion de distance et de limite.

Dans un premier temps, les mathématiciens ont choisi des espaces fonctionnels dont les éléments sont des fonctions suffisamment régulières (ce qui signifie par exemple des fonctions dérivables plusieurs fois). Mais cela s’est révélé insuffisant et il a fallu se placer dans des espaces plus vastes, contenant aussi des fonctions discontinues ou non différentiables.

En considérant non pas ces fonctions au sens strict, mais les intégrales de leur produit avec une « fonction test » (une fonction en partie arbitraire, ayant toutefois des propriétés telles que l’intégrale considérée a toujours une valeur bien définie), on parvient à une notion de « solution faible » des équations de Navier-Stokes, l’ensemble des solutions faibles englobant celui des solutions régulières.

En 1933 et 1934, le mathématicien français Jean Leray a pu prouver l’existence de telles solutions faibles. Il a aussi démontré l’existence et l’unicité de solutions régulières, mais seulement pour des temps finis, c’est-à-dire sans pouvoir garantir que ces solutions ne deviennent pas singulières au bout d’un temps suffisamment long.

Trente ans plus tard, en 1964, les Japonais Hiroshi Fujita et Tosio Kato ont étendu le résultat de Leray. Les deux chercheurs ont ainsi prouvé l’existence et l’unicité de solutions régulières globalement en temps, mais pour des données petites (fluide proche de l’immobilité). Vingt ans plus tard, en 1984, Tosio Kato a généralisé ce résultat en introduisant une méthode robuste que de nombreux mathématiciens ont ensuite reprise dans divers cadres, pour résoudre d’autres équations.

Un autre résultat important a été obtenu avec une méthode similaire à celle de H. Fujita et T. Kato : vers 1993, Marco Cannone et Yves Meyer, à l’Université de Paris-Dauphine, avec Fabrice Planchon, à l’École polytechnique, ont prouvé
qu’il existe des solutions régulières globalement en temps, pour des données fortement oscillantes.

Plus récemment encore, vers 2010, Jean-Yves Chemin, à l’Université Pierre et Marie Curie, et Isabelle Gallagher, à l’Université Paris-Diderot, ont présenté des classes de données, ni forcément petites ni forcément oscillantes, pour lesquelles les équations de Navier-Stokes ont une solution régulière globalement, dans tout l’espace.

Malgré des progrès, le problème résiste

Malgré ces avancées et d’autres, on ne dispose pas encore d’un énoncé général d’existence et d’unicité de solutions régulières. Les tentatives ont jusqu’ici échoué, car en essayant de passer de solutions faibles à des solutions régulières, des singularités apparaissent, comme celle évoquée à propos du seau d’eau.

Certaines études se sont donc concentrées sur l’évaluation de la quantité de
points où des singularités peuvent se développer. En 1982, l’Argentin Luis Caffarelli, l’Américain Robert Kohn et le Canadien Louis Nirenberg ont montré que l’ensemble de ces points est au plus de mesure nulle (cela signifie qu’il y en a éventuellement une infinité, mais qu’ils sont infiniment plus rares que les points où la solution est régulière).

Ce résultat a été sensiblement amélioré vers 2003 par l’Espagnol Luis Escauriaza et le Russe Gregory Seregin et le Tchèque Vladimír Šverák, qui ont étudié la régularité locale des solutions faibles de Leray et établi un critère permettant d’affirmer qu’une solution conduise à une explosion (une perte de régularité).

Pour résumer, deux solutions sont envisageables au problème proposé par l’Institut Clay. Soit on montre que, sous des hypothèses réalistes, une solution régulière des équations de Navier-Stokes existe pour tous les temps, soit, au contraire, que des singularités peuvent apparaître. Dans tous les cas, le résultat représentera un progrès considérable dans l’étude de ces équations aux dérivées partielles.

Références

É. Guyon et al., Ce que disent les fluides, 2e édition, Belin-Pour la Science, 2011.

É. Guyon et al., Hydrodynamique physique, 2e édition, EDP Sciences-CNRS Éditions, 2011.

J.-Y. Chemin, I. Gallagher et D. Gérard-Varet, Facettes mathématiques de la mécanique des fluides, Journées X-UPS 2010. Editeurs : P. Harinck, A. Plagne et C. Sabbah. Éditions de l’École Polytechnique/Ellipses, 2010. vi+111 pp.

V. Sverák, PDE aspects of the Navier-Stokes equations, colloque De Giorgi, 2007, téléchargeable ici.

L. Saint-Raymond, Le comportement des gaz : d’une limite à l’autre, Pour la Science, n° 324, pp. 52-59, octobre 2004.

P. G. Lemarié-Rieusset, Recent Developments in the Navier-Stokes Problem, Chapman & Hall/CRC, 2002.