Un aller-retour au pays des pavages.

Piste verte Le 14 avril 2016  - Ecrit par  Mélanie Guenais Voir les commentaires (2)

Pavage d’une route, carrelage d’une salle de bain, je connais : rien de nouveau ni d’extraordinaire, et pourtant... Me croirez-vous si je vous affirme que l’image ci-dessus s’obtient avec des carreaux de salle de bain ? Savez-vous pourquoi ces images qui se répètent régulièrement peuvent-elles toutes se construire à l’aide d’un carreau de salle de bain, ou presque ? Saurez-vous ensuite reconnaître le carreau de toutes les images que nous allons visiter ? Avez-vous envie de découvrir le secret de fabrication de cette image en vidéo ? C’est l’objectif de cet aller-retour. Alors, en route !

Préparation au voyage

« Visite au pays des pavages » ma foi pourquoi pas ?
Au fait pouvons-nous avoir quelques détails sur le trajet ?

Bien sûr ! Pour partir il faut un billet aller : il ressemble à un carreau de salle de bain... Lorsqu’on le pose comme un carrelage, on obtient un pavage : ce sont ces images que nous allons observer, pour le plaisir des yeux puis pour comprendre leur structure. Fais apparaître les règles en cliquant dans le cadre ci-dessous : à chaque fois que tu cliques, une nouvelle règle s’affiche. Il y en a quatre.

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A chaque clic dans la fenêtre une nouvelle règle apparaît.

L’image que j’obtiens de cette façon c’est finalement ce que les mathématiciens appellent aussi pavage (périodique).

Mon billet aller : la maille

Ce voyage n’a pas l’air très compliqué. À quoi ressemble mon billet ? Les mathématiciens lui donnent de nombreux noms que tu connais bien :

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pas très original tout ça...

Nous appellerons une maille, tout ce qui permet de fabriquer un pavage.
Un billet désignera pour nous une maille de forme bien particulière.

La forme du billet :

Il s’agit du contour du billet. Nous allons le choisir le plus simple possible, comme celui d’un carré ou d’un rectangle. Mais si j’appuie sur le haut d’un rectangle, sa forme est changée et certains de ses angles s’aplatissent : le rectangle se transforme en parallélogramme et continue de fabriquer un pavage.

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Regarde bien, si tu aplatis le billet, tu peux encore partir : bien sûr ton image va changer un peu. C’est presque comme si tu regardais ton carrelage le nez par terre.

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Clique et tire sur les coins bleus de la maille pour observer les déformations du paysage.

Remarquons aussi qu’une maille avec quatre côtés a toujours la forme d’un parallélogramme. En effet, puisque je dois les poser bord à bord, c’est que les bords opposés sont parallèles : et un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux, c’est bien un parallélogramme.
Nous venons de prouver une propriété que les mathématiciens énonceraient à peu près comme cela :

Théorème : Les seuls quadrilatères pavant le plan sans tourner sont les parallélogrammes.

Finalement, nous pouvons maintenant définir notre billet ainsi :

Définition : Un billet est une maille dont la forme est un parallélogramme.

Parfois, une maille de forme plus étrange permet aussi de fabriquer le pavage, comme nous en avons l’impression sur l’image de l’article : en fait je vais t’expliquer pourquoi on pourra toujours l’échanger pour un billet en forme de parallélogramme, sans changer de pavage... mais pour l’instant, continuons nos préparatifs. Tu comprendras quand nous serons arrivés.

Achète ton billet : trois points pour un parallélogramme

Au fait, pour fabriquer un parallélogramme, tu as une idée ? Bien sûr, il y a quatre sommets à placer, mais pas n’importe comment : avec trois points placés au hasard (pas alignés), je pourrai toujours fabriquer un parallélogramme dont les trois premiers sommets sont ces points là. Dans l’animation suivante, tu peux t’entraîner à trouver la place du quatrième sommet :

Le motif du billet :

C’est le dessin sur le billet. De lui vient la richesse artistique de nos pavages. Seul le contour du dessin est important : une fois dessiné, je pourrai choisir les couleurs comme je veux et du coup, je ne tiendrai pas compte des couleurs. Dans le dessin suivant, je considérerai que toutes les mailles sont les mêmes : seule leur couleur a changé.

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A ne pas manquer !

Pour profiter du voyage, voilà quelques éléments qu’il faudra bien observer dans l’image : en plus de la maille, de sa forme et du pavage, je verrai la grille constituée des formes collées bord à bord, et le réseau. Le réseau, ce sont les nœuds de la grille, comme pour un grillage.
Remarque le dessin autour d’un nœud : c’est toujours le même, on en aura besoin plus tard.

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Clique sur la flèche en bas à gauche pour voir les éléments du pavage.

Visite au pays périodique.

Maintenant que tout est prêt nous pouvons y aller. Voici un petit aperçu de nos pavages : ils sont beaux n’est-ce pas ?

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Détail du palais de l’Alhambra, Grenade.
La forme de mon billet est un losange, c’est facile !

Cette photo représente une sebka du patio des Myrtes de l’Alhambra. Ce monument mythique des pavages et chef d’oeuvre de l’art islamique en Espagne a été édifié dans le courant du XIVe siècle par les rois nasrides à Grenade. Ce qu’on voit c’est régulier, mais compliqué : ce qui est compliqué c’est le motif du billet. Il y en a du travail ici pour reproduire toujours de façon identique le motif sur mon billet. L’art musulman était expert en la matière !

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Colonnes de basalte en Californie
Mais où sont mes billets à 4 côtés ? Ici j’en vois plutôt 6 ?

« Devil’s pospile national monument » : un nom diabolique comme les Américains aiment à qualifier de nombreux sites naturels locaux. Ce sont des colonnes de basalte poussées dans la Sierra californienne il y a 600 000 ans. On en voit le sommet lissé par l’érosion. Ce pavage naturel est très vieux, et un peu moins régulier que le précédent [1].

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Détail d’une marqueterie
Ce billet semble être un losange, sauf qu’il tourne ! Il ne devrait pourtant pas.

La photo ci-dessus montre une table marquetée à la manière de Jean-François Oeben, ébéniste du roi sous Louis XV. Son talent pour les meubles à mécanisme et les marqueteries des plus fines peut se contempler encore au château de Versailles. Ce pavage de son invention nous laisse une nouvelle impression : c’est plat, pourtant je vois des cubes de Oeben... De plus en plus surprenant.

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Pegasus de M.C. Escher
Où est passé mon billet à 4 côtés ? J’ai du l’égarer...

Ces pégases sont parmi les plus belles réalisations artistiques de pavages périodiques. Ils ont été dessinés par Maurits Cornelis Escher, artiste du milieu du XXe siècle. Très sensible à l’art islamique géométrique et aux mathématiques, il a beaucoup travaillé sur le thème des pavages. C’est curieux les chevaux ont l’air de se déplacer, tous dans le même sens, les blancs comme les rouges (eh oui, il y a des rouges).

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Lézards, M.C Escher
Là, j’ai vraiment perdu mon billet...

Les lézards ci-dessus sont aussi une réalisation de M.C. Escher. Cela se complique, il y a des lézards partout... Je n’y vois plus rien que des lézards, beige, ocres, noirs, plus un seul espace vide entre tous ces lézards qui me donnent le tournis. Cette fois-ci je suis vraiment perdue.

Je voudrais bien rentrer : mais je ne trouve pas mon billet ! Comment faire pour le retrouver ?

Le retour... Pas si facile !

Retournons chez les pégases, ils semblent plus organisés. Voyons voir, un billet, quand je le reproduis et que je pose les autres côte à côte, je fabrique mon pavage :

Alors c’est d’accord, ma maille c’est un cheval ! Seul le dessin du motif est important, la couleur ne compte pas : essaye dans l’animation suivante de faire du carrelage avec les pégases. Il te suffit de déplacer l’un de ceux de la pile de gauche pour le poser à droite de la fenêtre. Ensuite tu peux glisser les suivants à côté pour remplir la fenêtre.

Oui, mais c’est une maille très tordue, et la forme de mon billet doit être parallélogramme, c’est un souci : comment retrouver un parallélogramme dans cette image ?

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Le réseau : point de départ.

Commençons par ce qui est plus facile : trouver le réseau. Rappelle toi, autour d’un nœud du réseau, le dessin est toujours le même. Pour dessiner ce réseau, j’ai donc besoin de connaître les endroits où les motifs se répètent. Voilà comment nous pouvons procéder :

Je commence par marquer mon point de départ, pour ne pas me perdre. Ensuite je prends une copie de mon pavage avec mon point marqué puis je déplace ma copie : lorsque les dessins se superposent, j’indique sur l’original où se trouve le point de départ de la copie, et je continue.
À toi de jouer :

Quelques explications : (...)

Quelques explications :
Lorsque le calque se superpose à l’image, le point de départ du calque (en vert) indique un nœud du réseau : on peut imaginer qu’une photo prise du point de départ serait exactement identique à celle prise en ce nouveau point. Mais alors, si je vois la même chose, je peux deviner qu’en continuant mon chemin dans cette même direction, à la même distance que celle que je viens de parcourir, je trouverai à nouveau ce même point de vue ; il y aura donc un nouveau nœud à cet endroit... je peux ensuite continuer indéfiniment. Je pourrai aussi décider de reculer, et le phénomène se répèterait de même.
Pour compléter le réseau, il reste à trouver une autre direction dans laquelle, à une certaine distance, le calque se superpose à l’image.

Ce que j’obtiens est un ensemble de points régulièrement espacés dans plusieurs directions [2]. Ces espacements, ces directions ne changent pas lorsque je change mon point de départ : tu peux également le vérifier dans la fenêtre interactive ci-dessus après avoir trouvé le réseau.

Une maille ? Des mailles !

Maintenant que j’ai trouvé le réseau, je n’ai plus qu’à relier quatre points du réseau pour former une maille en forme de parallélogramme... sauf que : laquelle ? C’est que le choix ne manque pas ! Peux-tu en dessiner quelques-unes ? Rappelle-toi, trois points déterminent un parallélogramme. Tu peux remarquer que le quatrième point de la maille est toujours un point du réseau : c’est parce que l’espacement entre deux points est toujours le même dans une direction donnée.

Billet s’il vous plaît !

Maintenant que nous avons bien travaillé, il n’y a plus qu’à découper un billet retour : c’est un parallélogramme, comme au début, sauf que ton pavage a changé.
Découpe ton billet dans cette image que tu connais bien à présent ! Tu pourras contrôler qu’il fabrique le bon pavage, dans la fenêtre de droite.

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Crée ta maille pour fabriquer ton billet retour en cliquant sur 3 points. Vérifie que ton paysage de droite est bien identique à celui de départ.

Impressions de voyage.

Qu’avons nous appris au cours de ce voyage finalement ? Nous avons vu de belles choses, c’est sûr. Mais nous avons aussi compris que dans ces images qui contiennent des motifs répétitifs réguliers, nous pouvions toujours trouver un carreau de carrelage permettant de reconstituer l’image : il s’agit d’un parallélogramme que nous avons appelé « billet ».

Voilà un joli théorème ! On aime parfois lui donner le nom de « théorème du papier peint » [3]. Il a été démontré il y a une centaine d’années [4]. Voici comment des mathématiciens pourraient le formuler :

Théorème du papier peint : Tout motif recouvrant le plan obtenu à partir d’une maille de forme quelconque peut aussi être réalisé à l’aide d’une maille en forme de parallélogramme.

Pour le démontrer, nous avons déterminé d’abord un point de départ, puis les points du réseau, autour desquels l’image est semblable à l’image autour du point de départ. Ensuite nous avons choisi trois points du réseau qui n’étaient pas alignés : le parallélogramme formé à partir de ces trois points nous a fourni un billet convenable. Finalement, il y avait beaucoup de choix ! À présent, tu pourras t’entraîner sur les images que nous avons rencontrées à reconnaître l’un de ces carreaux.

Pour s’amuser un peu.

Si tu as bien compris, la maille en forme de cheval, c’était un carré déguisé. Fais rentrer ton cheval tout entier dans un carré : il suffit de déplacer les morceaux.

Pas toujours carré !

Comme on l’a vu, on peut toujours choisir un billet en forme de parallélogramme. En revanche, il n’est pas toujours possible de le choisir carré, comme c’est le cas pour les pégases : tu peux tester sur les cubes ci-dessous.

Côté artiste : inventons des pavages...

A présent, tu peux faire des dessins comme M.C. Escher a conçu ses pégases : dessine sur un carré ou un rectangle une ligne tordue joignant 2 côtés opposés, puis découpe et recolle de l’autre côté. De cette manière, tu fais « disparaître » les côtés recollés. Répète la même opération avec les côtés restants : le carré à disparu ! Si tu n’es pas content de ton œuvre, tu peux continuer à re-découper des morceaux (attention à ne pas en perdre !), tu peux aussi recommencer (pour faire aussi bien qu’Escher, il faudra beaucoup d’essais..)

Dans l’imaginaire du mathématicien.

Mais à quoi pensent les mathématiciens qui contemplent ces paysages ? Eh bien, ils observent, ils rêvent, ils se posent plein de questions et tentent d’y répondre. Mais si certains problèmes sont faciles à résoudre, d’autres deviennent vite très ardus, et certains même n’ont pas encore trouvé de solutions ! En voilà quelques exemples :

  • Peut-on paver avec n’importe quoi ? Evidemment non..on ne peut pas coller des mailles circulaires bord à bord ! Alors avec quelles formes ? Là c’est trop compliqué... Simplifions un peu, organisons-nous, changeons les règles :
  • Peut-on paver avec des polygones ? Nous avons vu que les seuls quadrilatères pavants sont les parallélogrammes. Si nous changions les règles ? Nous allons permettre aux mailles de tourner. Alors tous les quadrilatères peuvent faire du carrelage
     [5].
    Mais les pentagones ? et bien la réponse est... des fois oui, souvent non. Mais lesquels exactement : eh bien, on ne sait pas !
     [6]
  • Si je peux recouvrir le plan avec une maille de forme donnée, y a-t-il toujours un réseau caché ? La réponse est : pas toujours. Parmi ces exemples exotiques, on trouve d’ailleurs un prix Nobel ... de chimie !
     [7]

On pourrait continuer très, très longtemps tant les questions sont nombreuses... mais c’est tant mieux ! car c’est la difficulté des réponses qui nous permet de découvrir de nouvelles pistes et d’aborder des paysages encore inconnus.

Alors, pour finir, à toi de jouer les mathématiciens : trouve des questions, cherche des réponses !

Post-scriptum :

Je remercie Vincent Borelli, Bruno Duchesne, Julien Bureaux et Claire Wenandy pour leur relecture attentive, et particulièrement Jérôme Buzzi, éditeur de cet article, pour ses encouragements et son soutien.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Ce type de pavage est formé par les fissures qui apparaissent à la suite du refroidissement très lent du basalte liquide. La maille est un hexagone pour des raisons de meilleure stabilité de la roche, mais des erreurs peuvent se glisser : voir cet article pour plus d’explications.

[2Dans la plupart des motifs comportant des répétitions on pourra trouver ce type de propriété. Dans certains cas un peu exceptionnels, les répétitions ne seront pas exactement identiques partout, et le réseau ne sera donc pas bien défini.

[3en référence aux groupes de papier peint

[4La première classification des pavages périodiques du plan est due à un cristallographe russe, E. S. Fedorov, et date de 1891. Celle-ci permet de déduire notre théorème. L’énoncé que nous donnons ici correspondrait plutôt à un cas particulier d’un théorème plus général démontré en 1910 par un mathématicien allemand, L. Bieberbach (pour plus de détails voir cet article ou celui-là).

[5Il suffit de les mettre 2 par 2, pour plus de détails voir

[6Les pavages pentagonaux sont très anciens, puisqu’on en trouve déjà des réalisations dans certaines rues pavées du Caire. Pour autant l’énumération de toutes les formes de mailles pentagonales est un problème résistant et particulièrement pittoresque en rebondissements. Il représente sans doute l’une des plus grandes leçons de modestie pour les mathématiciens qui se sont vu surpassés par l’imagination des amateurs (et particulièrement une amatrice, voir ). Mais la persévérance des chercheurs est sans limite, et permet de progresser encore aujourd’hui.

[7C’est le cas des pavages apériodiques qu’on peut observer dans les quasi-cristaux, et dont la découverte a valu à D. Schechtman le prix Nobel de chimie en 2013 (voir ici, ou ). Pour plus de détails sur ces types de pavages et les questions qu’ils soulèvent voir cet article.

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Pour citer cet article :

Mélanie Guenais — «Un aller-retour au pays des pavages.» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - © M.C. Escher
Animations  : Mélanie Guenais
Vidéo  : Pascal et Anselme Massimino
Détail du palais de l’Alhambra, Grenade. - Jaime Alonso
Détail d’une marqueterie - Serged, wikipedia
Colonnes de basalte en Californie - Mélanie Guenais
Pegasus de M.C. Escher - © M.C. Escher
Lézards, M.C Escher - © M.C. Escher
Doudou - Anselme Massimino

Commentaire sur l'article

  • Un aller-retour au pays des pavages.

    le 14 avril à 09:10, par ROUX

    Excellent !
    Et que le pégase soit un carré, alors là, respect !
    Je tenterai avec le lézard qui, pavant, est aussi un carré, donc...
    Eh bien mes élèves n’auront leurs copies que demain : j’ai trop joué  :) !!!

    Répondre à ce message
    • Un aller-retour au pays des pavages.

      le 14 avril à 13:30, par Mélanie Guenais

      Merci beaucoup pour ces compliments !

      Mais, attention, pour le lézard ce n’est justement pas un carré (avez-vous vu l’animation « pas toujours carré » ? )
      En fait pour les lézards, on peut même se ramener à un triangle... mais c’est une autre histoire. (si cela vous intéresse, je peux vous envoyer des documents.)

      Amicalement
      Mélanie

      Répondre à ce message

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