Un árbol pitagórico
Piste bleue Le 29 août 2022Le 6 février 2013
Article original : Un arbre pythagoricien Voir les commentaires
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¿Se acuerda del teorema de Pitágoras ?
El cuadrado de la hipotenusa
es igual, si no me engaño,
a la suma de los cuadrados
construidos sobre los otros lados [1].
Partamos de un triángulo rectángulo muy especial, ya que también es isósceles.
El teorema de Pitágoras dice exactamente que el área del gran cuadrado azul es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.
Por supuesto, uno tiene ganas de hacer con cada uno de los pequeños cuadrados lo que se ha hecho con el grande, como esto :
Y uno recomienza. Se obtiene un árbol :
Uno también puede partir de un triángulo rectángulo no isósceles para obtener un árbol menos simétrico, pero más bonito :
Para divertirnos, apilemos cubos en lugar de cuadrados... ¡como los niños ! Este es el árbol que se obtiene :
Este árbol puede ser un poco decepcionante ya que es demasiado ’’plano’’. Entonces, para ’’darle volumen’’, hagamos girar la construcción en 90 grados en cada etapa de la construcción. El resultado es más interesante :
¿Quieres un problema de geometría ?
- En la construcción de nuestro primer árbol (el que está en el plano, representado arriba en azul), muestra que en cada etapa de la construcción, el área del árbol aumenta en una cantidad igual al área del cuadrado inicial.
- Muestra que se puede continuar la construcción tantas veces como se desee, y que el árbol obtenido permanecerá dentro de un mismo círculo de radio a determinar.
- Deducir que a partir de una cierta etapa los cuadrados del árbol terminan por superponerse. ¿Puedes precisar esta etapa ?
Pasemos al árbol en el espacio, en el cual se hace girar 90° en cada etapa.
- Muestra que se puede continuar la construcción tantas veces como uno desee, y que el árbol permanecerá dentro de una bola de radio a determinar.
- Muestra que en la $n$-ésima etapa de la construcción, el volumen del árbol aumenta en una cantidad igual a $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.
- Observa que el argumento que era válido en el plano ya no se aplica, debido a que la suma $1+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+ ... +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ no tiende hacia el infinito.
Por lo tanto, uno no puede concluir, como anteriormente, que los cubos terminan por superponerse. Es una buena noticia, ya que los autores de este artículo no tienen la impresión de que se superpongan...
¿Algún lector podrá demostrar que los cubos no se superponen ?
La redacción de Images des maths y los autores agradecen por su atenta relectura a los relectores Michaël Bages y P.Levallois.
Notes
[1] Un cuarteto del cantante Franc-Nohain (1872-1934)
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Pour citer cet article :
Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Un árbol pitagórico» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013
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