Objet du mois Retour à la rubrique

Un arbre pythagoricien

Piste bleue Le 6 février 2013  - Ecrit par  Étienne Ghys, Jos Leys Voir les commentaires (6)
Lire l'article en  

Vous vous souvenez du théorème de Pythagore ?

Le carré de l’hypoténuse

Est égal, si je ne m’abuse

À la somme des carrés

Construits sur les autres côtés [1].

Partons d’un triangle rectangle très spécial puisqu’il est aussi isocèle.
Le théorème de Pythagore dit précisément que l’aire du grand carré bleu est égale à la somme des aires des deux petits carrés.

PNG - 6 ko

On a bien sûr envie de faire avec chacun des petits carrés ce qu’on a fait avec le grand, comme ceci :

PNG - 7 ko

Et on recommence. On obtient un arbre :

PNG - 83.4 ko

On peut aussi partir d’un triangle rectangle non isocèle pour obtenir un arbre moins symétrique, mais plus joli :

PNG - 79.5 ko

Pour nous amuser, empilons des cubes au lieu de carrés, comme les enfants ! Voici l’arbre qu’on obtient :

PNG - 327.9 ko

Cet arbre est peut-être un peu décevant puisqu’il est assez « plat ». Alors, pour lui « donner du volume », faisons pivoter la construction de 90 degrés à chaque étape de la construction. Le résultat est plus intéressant :

PNG - 401.2 ko

Vous voulez un problème de géométrie ?

  • Dans la construction de notre premier arbre (celui qui est dans le plan et représenté en bleu ci-dessus), montrez qu’à chaque étape de la construction, l’aire de l’arbre augmente d’une même quantité égale à l’aire du carré initial.

Indication

Supposons que le côté du carré bleu initial ait une longueur $L$.

Fixons un peu de terminologie. Nous dirons que le carré bleu initial (d’aire $L^2$) est de première génération.
Les deux petits carrés bleus de la première figure seront appelés de deuxième génération et ainsi de suite : à chaque étape on construit la génération suivante.
Le théorème de Pythagore montre que chaque carré de génération $n$ fournit deux carrés de génération $n+1$ de même aire totale. L’aire totale de tous les carrés de la $(n+1)$-ème génération est donc égale à celle des carrés de la $n$-ème génération : cette aire est donc égale à $L^2$.
L’arbre construit à la n-ème étape est donc d’aire totale $n \times L^2$.

  • Montrez qu’on a beau continuer la construction autant de fois qu’on veut, l’arbre obtenu restera à l’intérieur d’un même disque dont vous estimerez le rayon.

Indication

À l’aide du théorème de Pythagore, on peut calculer la distance entre le centre de ce grand carré et celui de l’un des deux petits carrés bleus. On trouve $\sqrt{5}/2 \times L$.

Un carré de $n$-ème génération a un côté de longueur $\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n-1}\times L$.

La distance entre le centre du carré initial et celui d’un carré de la $n$-ème génération est inférieure à
\[\frac{\sqrt{5}}{2} \left( 1 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + ... + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1} \right)\times L .\]
On utilise alors la formule donnant la somme d’une suite géométrique :
\[ 1+ a+ a^2+ ...+ a^{n-1} = \frac{1-a^{n}}{1-a}, \]
ce qui donne une distance entre les centres inférieure à
\[ \frac{\sqrt{5}}{2} \frac{1-\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\times L \]
et donc inférieure à
$r=\frac{\sqrt{5}}{2} \frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}} \times L= \sqrt{5} (2+ \sqrt{2}) /2 \times L \simeq 3,82 L$.
Toute la construction reste donc intérieure à un disque de rayon $r$.

  • En déduire qu’à partir d’une certaine étape les carrés de l’arbre finissent par se chevaucher. Pouvez-vous préciser cette étape ?

Indication

Si $n L^2 > \pi r^2 \simeq 45,77 L^2 $, c’est-à-dire si $n \geq 46$, l’arbre de la $n$-ème génération ne peut pas être contenu dans le disque de rayon $r$ s’il n’y a pas chevauchement.
En fait, on constate de chevauchement à partir de $n=6$.

Passons à l’arbre dans l’espace, dans lequel on fait tourner de 90 degrés à chaque étape.

  • Montrez qu’on a beau continuer la construction autant de fois qu’on veut, l’arbre restera à l’intérieur d’une boule dont vous estimerez le rayon.

Indication

Le calcul est analogue.

  • Montrez qu’à la $n$-ème étape de la construction, le volume de l’arbre augmente d’une quantité égale à $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.

Indication

La $n$-ème étape construit $2^n$ nouveaux cubes, de côté $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ et dont le volume total est donc $\left( \frac{ \sqrt{2}} {2} \right)^n$.

  • Observez que l’argument qui était valable dans le plan ne s’applique plus puisque la somme $1+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+ ... +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ ne tend pas vers l’infini.

Indication

La somme $1+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+ ... +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ est en effet inférieure à $1/ (1- \sqrt{2}/2)$.

On ne peut donc pas conclure, comme précédemment, que les cubes finissent par se chevaucher. C’est une bonne nouvelle car les auteurs de cet article n’ont pas l’impression qu’ils se chevauchent !

Un lecteur pourra-t-il démontrer que les cubes ne se chevauchent pas ?

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths et les auteurs remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs Michaël Bages et
P.Levallois.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1] Un quatrain du chansonnier Franc-Nohain (1872-1934)

Partager cet article

Pour citer cet article :

Étienne Ghys, Jos Leys — «Un arbre pythagoricien» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Commentaire sur l'article

  • Un arbre pythagoricien

    le 6 février 2013 à 22:16, par projetmbc

    Bonsoir, pourrait-on avoir les codes des images ? Pour la 3D, j’imagine que c’est POV-Ray qui a été utilisé. Si c’est le cas, ce serait sympa de partager les codes.

    Répondre à ce message

    • Un arbre pythagoricien

      le 7 février 2013 à 10:25, par Laurent Tournier

      Je viens de voir que Jos Leys a déjà répondu, mais comme j’ai aussi joué hier soir à dessiner cet arbre avec POV-Ray, je peux fournir mon code source aussi. Au départ, je voulais surtout voir l’arbre de face pour me faire une idée sur la dernière question : si les deux « branches » principales ne se rencontrent pas, alors aucun cube ne se chevauche. Et (à défaut d’un calcul rigoureux mais peut-être laborieux), l’image est en effet fort convaincante.

      Répondre à ce message

  • Un arbre pythagoricien

    le 7 février 2013 à 09:00, par Jos Leys

    Le code pour l’arbre avec la rotation de 90° à chaque pas est ici : http://www.josleys.com/gfx/Pyth_tree_05.pov

    Répondre à ce message

    • Un arbre pythagoricien

      le 7 février 2013 à 10:46, par projetmbc

      Merci pour le codes, C’est super !

      Répondre à ce message

  • Un arbre pythagoricien

    le 7 février 2013 à 11:05, par Jean-Paul Allouche

    Bel article ! Peut-être la propriété de non-intersection pourrait-elle être abordée comme pour la courbe de pliage régulier de papier (ou courbe du dragon) ? (voir ce survol et sa bibliographie).

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?

Les auteurs

Étienne Ghys

Directeur de recherche au CNRS, secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences.
Jos Leys

Mathematical Imagery

Voir les commentaires (6)

Partager cet article

Dossiers

Cet article fait partie du dossier «Le théorème de Pythagore» voir le dossier

La BD du jour

Un article au hasard

Cliquez pour découvrir un article au hasard parmi tous les articles publiés !

Actualités des maths