Rediffusion d’un article publié le 6 février 2013
Un arbre pythagoricien
Piste bleue Le 29 août 2022 Voir les commentaires (7)Lire l'article en


Où l’on s’amuse à construire des arbres avec le théorème de Pythagore.
(Rediffusion d’un article publié le 6 février 2013).
Vous vous souvenez du théorème de Pythagore ?
Le carré de l’hypoténuse
Est égal, si je ne m’abuse
À la somme des carrés
Construits sur les autres côtés [1].
Partons d’un triangle rectangle très spécial puisqu’il est aussi isocèle.
Le théorème de Pythagore dit précisément que l’aire du grand carré bleu est égale à la somme des aires des deux petits carrés.
On a bien sûr envie de faire avec chacun des petits carrés ce qu’on a fait avec le grand, comme ceci :
Et on recommence. On obtient un arbre :
On peut aussi partir d’un triangle rectangle non isocèle pour obtenir un arbre moins symétrique, mais plus joli :
Pour nous amuser, empilons des cubes au lieu de carrés, comme les enfants ! Voici l’arbre qu’on obtient :
Cet arbre est peut-être un peu décevant puisqu’il est assez « plat ». Alors, pour lui « donner du volume », faisons pivoter la construction de 90 degrés à chaque étape de la construction. Le résultat est plus intéressant :
Vous voulez un problème de géométrie ?
- Dans la construction de notre premier arbre (celui qui est dans le plan et représenté en bleu ci-dessus), montrez qu’à chaque étape de la construction, l’aire de l’arbre augmente d’une même quantité égale à l’aire du carré initial.
- Montrez qu’on a beau continuer la construction autant de fois qu’on veut, l’arbre obtenu restera à l’intérieur d’un même disque dont vous estimerez le rayon.
- En déduire qu’à partir d’une certaine étape les carrés de l’arbre finissent par se chevaucher. Pouvez-vous préciser cette étape ?
Passons à l’arbre dans l’espace, dans lequel on fait tourner de 90 degrés à chaque étape.
- Montrez qu’on a beau continuer la construction autant de fois qu’on veut, l’arbre restera à l’intérieur d’une boule dont vous estimerez le rayon.
- Montrez qu’à la $n$-ème étape de la construction, le volume de l’arbre augmente d’une quantité égale à $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.
- Observez que l’argument qui était valable dans le plan ne s’applique plus puisque la somme $1+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+ ... +\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ ne tend pas vers l’infini.
On ne peut donc pas conclure, comme précédemment, que les cubes finissent par se chevaucher. C’est une bonne nouvelle car les auteurs de cet article n’ont pas l’impression qu’ils se chevauchent !
Un lecteur pourra-t-il démontrer que les cubes ne se chevauchent pas ?
La rédaction d’Images des maths et les auteurs remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs Michaël Bages et
P.Levallois.
Notes
[1] Un quatrain du chansonnier Franc-Nohain (1872-1934)
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Pour citer cet article :
Étienne Ghys, Jos Leys — «Un arbre pythagoricien» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022
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