Un autre monde est possible

30 janvier 2012  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (8)

L’institut qui m’a accueilli en automne regroupe des gens d’horizons
variés (biologistes, chimistes, physiciens, sociologues, etc.), et chacun, à tour de rôle, est censé présenter son domaine (en 20 minutes)
au cours d’un repas hebdomadaire. J’y ai parlé du monde $p$-adique.

Le monde réel

Les nombres réels ont été utilisés pendant 2 millénaires, mais n’ont
été formellement définis qu’en 1872 : Cantor et Dedekind en ont donné
chacun une construction en réponse à une demande un peu inquiète
de Weierstrass (on ne sait jamais, le monde aurait fort bien pu s’écrouler
tout d’un coup ; la période était propice à la naissance de monstres
défiant l’intuition, par exemple des fonctions continues dérivables
nulle part). Les constructions de Cantor et Dedekind partent
du corps ${\mathbf Q}=\{\frac{a}{b},\ a,b\ {\rm entiers},\ b\neq0\}$
des nombres rationnels. Les grecs avaient déjà réalisé, à
leur grande horreur, qu’il existe des nombres irrationnels
(du genre $\sqrt 2$).
Une manière de s’en convaincre est de regarder le développement décimal
(ou plus généralement le développement en base $p$,
si $p$ est un entier quelconque)
d’un nombre rationnel : il se répète au bout d’un certain temps,
et donc tout nombre dont le développement décimal n’a pas cette
propriété n’est pas rationnel. Ce que font Cantor et Dedekind
revient à
rajouter tous les développements décimaux possibles
et donc à boucher les trous de ${\mathbf Q}$, et on
obtient de cette manière un corps, le corps ${\mathbf R}$ des
nombres réels [1],
qui est complet (contrairement à ${\mathbf Q}$), ce qui signifie
que toute suite qui a l’air d’avoir une limite [2]
en a effectivement une [3].

La valeur n’est pas absolue ; la norme n’est pas immuable

Implicite dans ce qui précède est le fait que l’on mesure
la distance $d(x,y)$ entre deux nombres rationnels $x$ et $y$
en utilisant la
distance usuelle $d(x,y)=|x-y|$, où $|\ |$ désigne la valeur
absolue. Cette valeur absolue vérifie les propriétés suivantes :

(i) $|x|\geq 0$ et $|x|=0$ si et seulement si $x=0$,

(ii) $|xy|=|x|\,|y|$ pour tous $x,y\in{\mathbf Q}$,

(iii) $|x+y|\leq |x|+|y|$ pour tous $x,y\in{\mathbf Q}$ (inégalité triangulaire).

Plus généralement, on appelle norme sur ${\bf Q}$ toute fonction
$\Vert\ \Vert:{\mathbf Q}\to{\mathbf R}_+$ vérifiant les mêmes propriétés
(i), (ii) et (iii) ci-dessus que $|\ |$. Une telle norme donne une manière
de mesurer les distances, en posant $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$, et donc une
manière de voir le monde.

On peut construire, en partant d’un nombre premier $p\in\{2,3,5,7,11,\dots\}$,
une norme $|\ |_p$ sur ${\bf Q}$, dite $p$-adique, pour laquelle plus
un nombre est divisible par $p$ plus il est petit [4]
et on obtient de la sorte une
norme qui vérifie
l’inégalité ultramétrique $|x+y|_p\leq\sup(|x|_p,|y|_p)$
plus forte que l’inégalité triangulaire.

Des mondes où l’ordre ne règne pas

On définit alors, suivant Hensel (1897), le corps ${\bf Q}_p$
des nombres $p$-adiques, en complétant ${\bf Q}$ pour la norme
$|\ |_p$, par exactement le même procédé que celui de Cantor [5]
qui nous a permis de construire ${\bf R}$ à partir de ${\bf Q}$
en complétant pour la valeur absolue. La norme $|\ |_p$
s’étend, par continuité, à ${\bf Q}_p$, et ${\bf Q}_p$
est complet pour cette norme, par construction.

Un nombre $p$-adique a, comme un nombre réel, une écriture en base $p$ ;
la différence est qu’en $p$-adique il y a une infinité de chiffres
avant la virgule et un nombre fini après, alors qu’en réel c’est l’inverse
(c’est dû au fait que $\frac{1}{p^n}$ est petit dans le monde réel si
$n\to +\infty$, alors qu’en $p$-adique c’est $p^n$ qui l’est).
Une autre différence (agréable) est que l’écriture en base $p$ est unique
en $p$-adique, alors que certains nombres réels ont deux écritures.
Par contre, il reste vrai que les rationnels ont une écriture
qui se répète au bout d’un moment et que ce sont les seuls
nombres ayant cette propriété. Il est aussi vrai que la complétion
consiste à rajouter tous les développement en base $p$ possibles
(avec un nombre fini de chiffres après la virgule).

L’ultramétricité de $|\ |_p$ a des conséquences amusantes dont certaines
sont assez déstabilisantes et d’autres très agréables :

— Tout point d’une boule [6] en est le centre.

— Une suite $(u_n)_{n\in{\bf N}}$ converge
si et seulement si $|u_{n+1}-u_n|_p$ tend vers $0$ [7]. Par exemple, $1+2+4+8+\cdots+2^n+\cdots=-1$ dans [8]
${\bf Q}_2$.

— L’ensemble ${\bf Z}_p$ des $x\in{\bf Q}_p$ vérifiant $|x|_p\leq 1$
est stable par addition, passage à l’opposé, et multiplication.
C’est donc un sous-anneau de ${\bf Q}_p$.
C’est aussi l’ensemble des $x\in{\bf Q}_p$ n’ayant pas de chiffre
après la virgule dans l’écriture en base $p$ ; on peut donc le voir
comme l’analogue $p$-adique du segment $[0,1]$.

— L’ensemble ${\bf Z}_p^*$ de ses
éléments inversible est l’ensemble des $x\in{\bf Q}_p$ vérifiant
$|x|_p=1$. Un élément de ${\bf Z}_p$ qui n’est pas inversible
est divisible par $p$, et ${\bf Z}_p$ est donc la réunion disjointe
de $p{\bf Z}_p=\{px,\ x\in{\bf Z}_p\}$.

Les mondes possibles

On peut se demander s’il existe d’autres mondes que le monde réel
ou les mondes $p$-adiques, mais Ostrowski (1918) a montré que ce
sont les seuls possibles :

À équivalence [9] près, les seules normes
non triviales [10]
sur ${\bf Q}$ sont la valeur absolue et les
$|\ |_p$, où $p$ parcourt l’ensemble des nombres premiers
.

Les mondes réel et $p$-adiques n’ont a priori rien à voir
(par exemple car une somme d’entiers positifs peut être négative, voir
ci-dessus, ou parce que l’on peut trouver une suite de nombres
rationnels $(r_n)_{n\in{\bf N}}$ ayant pour limite $\pi$ dans ${\bf R}$,
$1$ dans ${\bf Q}_2$, $\sqrt 7$ dans ${\bf Q}_3$ et $\sqrt{-1}$ dans ${\bf Q}_5$), mais
ils sont reliés entre eux de manière subtile et pas vraiment
complètement comprise. Le premier indice de ce lien est
la formule du produit [11] :

Si $x\in{\bf Q}-\{0\}$, alors [12]
$|x|\cdot\prod_{p}|x|_p=1$.

Des effets bénéfiques de la globalisation

Au vu du théorème d’Ostrowski, il est naturel d’essayer de
considérer simultanément les mondes réel et $p$-adiques,
ce qui mène directement [13] à la construction des adèles.
On définit un adèle comme une collection
$(x_\infty,x_2,x_3,\dots,x_p,\dots)$, où $x_\infty\in{\bf R}$
et $x_p\in{\bf Q}_p$, avec $x_p\in{\bf Z}_p$ sauf pour un nombre fini
de $p$. On note ${\bf A}$ l’ensemble des adèles ; on en fait un anneau
en définissant l’addition et la multiplication composante
par composante [14].
Cet anneau contient ${\bf Q}$ de manière naturelle [15]

Tout nombre réel $x$ peut s’écrire de manière unique
$x=n+r$, avec $n\in{\bf Z}$ et $r\in [0,1[$ (l’entier $n$ est
la partie entière de $x$). On peut écrire ceci
de manière compacte, sous la forme ${\bf R}/{\bf Z}\sim [0,1[$.
Comme le segment $[0,1[$ est de longueur $1$, cela conduit
à considérer que le volume ${\rm Vol}({\bf R}/{\bf Z})$
de ${\bf R}/{\bf Z}$ est $1$.

De même, on montre que tout adèle $x$ peut s’écrire
de manière unique sous la forme $x=q+r$, avec $q\in{\bf Q}$
et $r\in[0,1[\times{\bf Z}_2\times{\bf Z}_3\times\cdots\times{\bf Z}_p\cdots$.
Autrement dit,
${\bf A}/{\bf Q}\sim [0,1[\times{\bf Z}_2\times{\bf Z}_3\times\cdots\times{\bf Z}_p\cdots$.
Comme ${\bf Z}_p$ est l’équivalent $p$-adique du segment $[0,1]$,
il est naturel de lui attribuer un volume égal à $1$,
et on obtient donc
${\rm Vol}({\bf A}/{\bf Q})={\rm Vol}([0,1[)\times\prod_p{\rm Vol}({\bf Z}_p)=1$
car tous les termes du produit valent $1$.
Ce second indice de l’interconnexion des mondes réel et $p$-adiques
n’est que moyennement convaincant car il semble reposer sur
des conventions un peu arbitraires, mais le suivant l’est nettement plus.

Un petit miracle

Si $\Lambda$ est un anneau, on note ${\bf SL}_2(\Lambda)$
l’ensemble des matrices $2\times 2$
à coefficients dans $\Lambda$,
de déterminant $1$ [16].
Comme ci-dessus, on montre que
\[{\bf SL}_2({\bf A})/{\bf SL}_2({\bf Q})\sim ({\bf SL}_2({\bf R})/{\bf SL}_2({\bf Z}))\times{\bf SL}_2({\bf Z}_2) \times{\bf SL}_2({\bf Z}_3)\times\cdots,\] et donc
\[{\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf A})/{\bf SL}_2({\bf Q}))= {\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf R})/{\bf SL}_2({\bf Z}))\cdot\prod_p {\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf Z}_p)).\]
Le calcul du volume ${\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf R})/{\bf SL}_2({\bf Z}))$
est assez délicat (c’est une intégrale triple sur un domaine
pas si facile que ça à décrire) ; une méthode astucieuse
de Siegel (1945), revisitée par Weil (1946), fournit la formule [17]
\[{\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf R})/{\bf SL}_2({\bf Z}))=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots\]

Par ailleurs, si $a,b\in{\bf Z}_p$, on peut trouver $c,d\in{\bf Z}_p$ tels
que $ad-bc=1$ si et seulement si $a$ et $b$ ne sont pas simultanément
divisible par $p$. La proportion de tels couples est donc
$1-\frac{1}{p^2}$ et on a ${\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf Z}_p))=1-\frac{1}{p^2}$.
Un miracle apparaît alors : si on multiplie
$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots$ par $1-\frac{1}{2^2}$, on obtient
\[1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}-\frac{1}{6^2}-\cdots\,,\]
et il ne reste plus que les termes impairs.
Si on multiplie le résultat par $1-\frac{1}{3^2}$, on supprime de même
tous les termes divisibles par $3$, puis en multipliant
par $1-\frac{1}{5^2}$, on enlève
tous les termes divisibles par $5$... A la limite il ne reste
plus que $1$, et on obtient donc [18]
\[{\rm Vol}({\bf SL}_2({\bf A})/{\bf SL}_2({\bf Q}))=(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots)(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2}) (1-\frac{1}{5^2})\cdots=1.\]

Plus généralement, on montre que
${\rm Vol}({\bf SL}_n({\bf A})/{\bf SL}_n({\bf Q}))=1$,
ce qui est un cas particulier de formules très générales,
dont beaucoup sont encore largement conjecturales
(conjectures de Bloch et Kato et de Fontaine et Perrin-Riou).
Celles-ci ont inspiré aux physiciens la théorie
des cordes $p$-adiques qui ne semble pas avoir
eu le succès espéré ; peut-être faut-il attendre
que les mathématiciens aient mieux compris ce qui se passe.

Notes

[1La terminologie "rationnel, irrationnel,
transcendant, réel, imaginaire, complexe" ferait la joie
des psychologues.

[2Une suite
a l’air d’avoir une limite si on peut l’inclure dans un intervalle
de longueur arbitrairement petite après en avoir enlevé un nombre
fini (dépendant de l’intervalle) de termes ; une telle suite est
dite de Cauchy. Avec des quantificateurs, cela devient :
la suite $(u_n)_{n\in{\bf N}}$ est de Cauchy si et seulement si
$\forall\epsilon>0, \exists N\in{\bf N}, \forall n\geq N, |u_n-n_N|\leq\epsilon$.
On fera attention qu’il ne suffit pas que $u_{n+1}-u_n$ tende vers
$0$ pour que $(u_n)_{n\in{\bf N}}$ soit de Cauchy.

[3La construction de Cantor revient à rajouter
de force les limites de suites de Cauchy de nombres rationnels.

[4De
manière précise, on procède comme suit.
Si $a\in{\bf Z}$ est un entier, on note $v_p(a)$ le nombre de fois
que l’on peut diviser $a$ par $p$ (avec $v_p(0)=+\infty$ par convention),
et on pose $|a|_p=p^{-v_p(a)}$ (et donc $|0|_p=0$).
Par exemple $48=2^4\cdot 3$, et donc
$v_2(48)=4$ et $|48|_2=2^{-4}$, $v_3(48)=1$ et $|48|_3=3^{-1}$,
et $v_p(48)=0$ et $|48|_p=1$ pour tout $p\neq 2,3$.
On a $v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$ (c’est clair sur la définition)
et $v_p(a+b)\geq {\rm min}(v_p(a),v_p(b))$
(car la divisibilité de $a$ et $b$ par $p^k$ entraîne celle
de $a+b$) ; ce qui se traduit par $|ab|_p=|a|_p|b|_p$ et
$|a+b|_p\leq\sup(|a|_p,|b|_p)$.
On étend $|\ |_p$ à
${\mathbf Q}$
en posant $|x|_p=|a|_p/|b|_p$ si $x=a/b$ avec $a,b\in{\mathbf Z}$
(ce qui ne dépend pas
de l’écriture de $x$ sous la forme $a/b$).

[5On rajoute de force les limites des suites de Cauchy de nombres
rationnels pour la distance définie par $|\ |_p$ ; le procédé
de Dedekind utilise à plein l’ordre règnant dans le monde réel
et est inutilisable dans le monde $p$-adique.

[6La boule fermée de centre $x_0$
et de rayon $r$ est l’ensemble des $x$ tels que $|x-x_0|_p\leq r$ ;
dans ${\bf R}$, cette boule est un segment.

[7Que la
vie de nos étudiants serait agréable s’il en était de même dans ${\bf R}$...

[8La série converge
car $|2^n|_2=\frac{1}{2^n}\to 0$, et on a
$(1+2+4+8+\cdots+2^n)-(-1)=2^{n+1}$ qui tend vers $0$ dans
${\bf Q}_2$.

[9Deux normes sont dites équivalentes
si les suites tendant vers $0$ sont les mêmes pour les deux normes ; deux
normes équivalentes donnent naissance au même monde.

[10La norme triviale est la norme définie
par $\Vert 0\Vert=0$ et $\Vert x\Vert=1$ pour tout $x\neq 0$.

[11Par exemple $|48|=48=2^4\cdot 3$, $|48|_2=2^{-4}$,
$|48|_3=3^{-1}$ et $|48|_p=1$ si $p\neq 2,3$ ; on a donc
$|48|\cdot\prod_p|48|_p=48\cdot 2^{-4}3^{-1}=1$. Plus généralement,
si $a$ est un entier non nul, on peut
le factoriser sous la forme $a=\pm\prod_pp^{v_p(a)}$ (avec $v_p(a)=0$ sauf pour
un nombre fini de $p$) ; alors $|a|=\prod_pp^{v_p(a)}$ et
$|a|_p=p^{-v_p(a)}$ pour tout $p$ ; il s’ensuit que quand on
fait le produit de toutes les normes, la puissance de $p$ dans $|a|$
est annulée par celle dans $|a|_p$, et le produit vaut $1$ comme annoncé
(le résultat pour $r\in{\bf Q}$ non nul s’en déduit en écrivant
$r$ sous la forme $r=a/b$ avec $a,b$ entiers).

[12Le produit porte
sur les nombres premiers ; c’est en fait un produit fini car tous les
termes sauf un nombre fini valent $1$ : si $x=a/b$ et si
$p$ ne divise ni $a$ ni $b$, alors $|x|_p=1$.

[13Il a quand même fallu 50 ans
après la construction des nombres $p$-adiques pour que
les adèles soient introduits, et leur construction a été
rien moins que directe (Chevalley (1940) a introduit le groupe
des idèles qui est, a posteriori, le groupe des éléments
inversibles de ${\bf A}$ ; les adèles sont nés $5$ ans plus tard) :
ce sont toujours les idées simples qui viennent
en dernier...

[14$(x_\infty,x_2,x_3,\dots,x_p,\dots)+(y_\infty,y_2,y_3,\dots,y_p,\dots)= (x_\infty+y_\infty,x_2+y_2,x_3+y_3,\dots,x_p+y_p,\dots)$
et
$ (x_\infty,x_2,x_3,\dots,x_p,\dots)\cdot (y_\infty,y_2,y_3,\dots,y_p,\dots)= (x_\infty y_\infty,x_2 y_2,x_3 y_3,\dots,x_p y_p,\dots)$.

[15Si $r=a/b\in{\bf Q}$,
alors $|r|_p\leq 1$ si $p$ ne divise pas $b$, et donc $r\in{\bf Z}_p$
sauf un nombre fini de $p$. On peut donc associer à $r$
l’adèle dont toutes les composantes sont égales à $r$.
Pour un théoricien des nombres, plonger ${\bf Q}$ dans ${\bf R}$ ou dans
${\bf Q}_p$ revient à regarder les phénomènes d’un point de vue
local ; le plonger dans ${\bf A}$ (qui contient tous les mondes possibles)
offre un point de vue global sur ce qui se passe.

[16i.e. l’ensemble des
$\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\big)$,
avec $a,b,c,d\in\Lambda$ vérifiant $ad-bc=1$.

[17Le terme dans
le membre de droite est égal à $\frac{\pi^2}{6}$ (Euler, 1734)

[18En passant, on a obtenu la formule
$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+\cdots=\prod_p(1-\frac{1}{p^2})^{-1}$ due, elle aussi,
à Euler (1737).

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «Un autre monde est possible» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Commentaire sur l'article

  • Un autre monde est possible

    le 1er février 2012 à 19:29, par projetmbc

    Bonsoir, j’ai toujours bien aimé le monde p-adique.

    Je me demande s’il existe des applications concrètes des nombres p-adiques à la physique, la biologie ou tout autre domaine non purement mathématique. Cela pourrait faire l’objet d’un article pour la piste noire.

    Répondre à ce message
  • Un autre monde est possible

    le 1er février 2012 à 21:01, par Pierre Colmez

    Il y a la publication 40 sur la page de Bertrand Maury.

    Répondre à ce message
  • Un autre monde est possible

    le 4 février 2012 à 15:41, par projetmbc

    Merci pour cet article qui a le bon d’être téléchargeable...

    Répondre à ce message
  • Un autre monde est possible

    le 6 février 2012 à 21:50, par Théo Vohan

    Bonsoir et merci pour l’article.
    Je trouve le théorème d’Ostrowski (j’espère l’orthographe correcte) très impressionnant et j’ai bien aimé vos explications.
    Je voulais aussi poser une question pour laquelle je ne trouve pas de réponse sur internet : est-ce que certain problème d’analyse réelle peuvent se comprendre mieux (ou même être résolus exclusivement) grâce aux nombres p-adiques ?
    Merci d’avance et bonne continuation.

    Répondre à ce message
    • Un autre monde est possible

      le 7 février 2012 à 10:19, par Pierre Colmez

      Le parallèle entre les résultats d’analyse réelle et ceux d’analyse p-adique est assez remarquable et je pense qu’il jette un éclairage intéressant sur l’analyse tout court.

      A part ça, il y a des problèmes d’analyse complexe (le prolongement analytique de certaines fonctions $L$, a priori définies dans des demi-plans) que l’on n’arrive à résoudre (pour le moment) qu’en utilisant des techniques $p$-adiques (passer d’un monde à l’autre repose sur des résultats assez sophistiqués dans ce cas) grâce à une stratégie introduite par Andrew Wiles dans sa démonstration du théorème de Fermat.

      Répondre à ce message
      • Un autre monde est possible

        le 7 février 2012 à 18:26, par projetmbc

        Bonsoir, existe-t-il des références sur ce sujet ? Des livres ? des articles téléchargeables ?

        Répondre à ce message
        • Un autre monde est possible

          le 7 février 2012 à 21:38, par Pierre Colmez

          Pour le premier point, on peut consulter mon livre qui contient un certain nombre de choses sur les $p$-adiques (en particulier dans l’annexe D) et sur les sujets intervenant dans la preuve de Wiles (mais qui n’aborde pas cette dernière). Pour le second, on peut commencer par cet ouvrage et aller voir les références qui s’y trouvent (mais c’est une lecture assez exigeante).

          Répondre à ce message
          • Un autre monde est possible

            le 9 février 2012 à 17:07, par projetmbc

            Merci pour ces références.

            Répondre à ce message

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