Un autre théorème de distanciation physique

Piste bleue Le 9 novembre 2020  - Ecrit par  Andrés Navas Voir les commentaires (2)
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Comment placer le plus du monde sur un terrain en utilisant le moins de surface possible tout en respectant la distanciation physique exigée pas les autorités face à l’épidémie ?

Dès nos jours, il est indispensable de repenser les espaces publics afin de respecter les mesures de distanciation physique nécessaires pour prévenir la propagation de l’épidémie du coronavirus. Dans cet article nous avons vu que lorsqu’on étudie les distances mutuelles d’un petit nombre de personnes, des considérations élémentaires de la géométrie des triangles nous fournissent des pistes de résolution (ou des indications très utiles ou efficaces ?).

Mais comment faire avec une grande quantité de personnes ?

J’ai trouvé l’illustration ci-dessous en survolant un article de la BBC sur la distanciation physique.

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Dans cette illustration, des nombreuses personnes sont situées chacune sur un sommet d’une grille (carrée), de manière à respecter une distance minimale (disons $2 \, m $). Mais est-ce la meilleure façon de se placer ?

Certainement pas : si nous plaçons les mêmes personnes sur les sommets d’une division du terrain en triangles équilatéraux (comme illustré ci-dessous), alors la distance physique est toujours respectée (les côtés des triangles ont également une longueur de $2 \, m$), mais une surface plus petite est utilisée ! En effet, dans la grille ci-dessus, des groupes de 4 personnes à proximité déterminent un carré de surface de $4 \, m^2 $. Au contraire, dans l’illustration ci-dessous, des groupes de 4 personnes proches déterminent un losange composé de deux triangles équilatéraux, et l’aire de ce losange est $2 \sqrt {3} \, m^2 = 3,46... \, m^2$ [1]. Il y a donc une économie de plus de 13% de surface !

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Par conséquent, si une manifestation publique doit respecter les règles de distanciation physique alors, en localisant les personnes selon la deuxième illustration au lieu de la première, nous pourrions en convoquer 13 de plus pour chaque groupe de 100 personnes [2].

Existe-t-il une meilleure façon de localiser les personnes que sur les sommets d’une division triangulaire ? La question est imprécise, mais l’argument simple qui suit devrait nous amener à conclure que ce n’est pas possible : dans un triangle équilatéral, la distance maximale entre deux points a lieu exactement entre les sommets [3]. Par conséquent, si nous organisons les personnes sur un terrain de telle sorte que la distance entre elles soit d’au moins $2 \, m $ et que nous dessinons ensuite une division triangulaire (de $2 \, m$ de séparation), alors dans chaque triangle il peut y avoir au plus une personne, sauf si deux ou trois personnes se trouvent exactement sur (certains de) ses sommets. Mais alors, celles-ci sont au bord d’autres triangles : comment être sûr qu’on ne peut pas en mettre moins dans ce triangle pour en mettre plus dans les triangles d’à côté et en avoir plus au total ?

Enfin, voici un énoncé précis de la question : Considérons une surface divisée en triangles équilatéraux avec des côtés de longueur $ d $, comme celui illustrée ci-dessous. Si nous voulons placer des points sur cette surface à une distance d’au moins $d$ les uns des autres, quel est le nombre maximal de points que nous pouvons placer ?

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Il m’a fallu un moment beaucoup plus long que prévu pour arriver à une preuve convaincante de ce que le nombre maximal de points est égal à celui des sommets de la configuration, et que cette quantité n’est atteinte que lorsque les points choisis sont exactement ces sommets. Je suis sûr que ma preuve est trop compliquée, je vais donc laisser cette Note ouverte pour recevoir vos propres arguments dans les commentaires.

Vous pouvez y réfléchir avec un petit café et quelques oranges pour vous inspirer ;)

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Post-scriptum :

Je remercie María José Moreno pour avoir élaboré deux des illustrations de cette Note.

L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient Clément Caubel
pour sa relecture et ses corrections réactives et constructives.

Article édité par Andrés Navas

Notes

[1Souvenez-vous de la fameuse formule de l’aire $A$ d’un triangle équilatéral de côté $a$, à savoir, $A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

[2Attention : si au lieu de triangles on dessine des hexagones (réguliers), alors en plaçant les personnes aux centres de ces hexagones on obtient une configuration équivalente (les réseaux triangulaire et hexagonal sont duaux l’un de l’autre).

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C’est pour cette raison que, de nos jours, dans certaines villes on trouve des hexagones dessinés par terre. En voici une image prise à Santiago (du Chili) :

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[3Plus généralement, le segment le plus long contenu dans un polygone convexe doit coïncider soit avec l’une de ses diagonales soit avec l’un de ses côtés (essayez de le montrer !)

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Un autre théorème de distanciation physique» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - J’ignore à qui appartient l’image d’entrée de cet article (je l’ai trouvé sur le site de Facebook d’une persone aux initiales M. K.). L’image des oranges en configuration hexagonal a été prise de ce site. L’image des triangles/hexagons de la Note en bas de page a été prise de de site, et celle de Santiago d’un journal qui inclus un reportage sur le sujet.

Commentaire sur l'article

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  • circle packing

    le 19 septembre à 13:35, par Thomas Fernique

    « Existe-t-il une meilleure façon de localiser les personnes que sur les sommets d’une division triangulaire [régulière] ? » : la réponse n’est-elle pas simplement « non »,car le plus dense empilement de disques identiques est obtenu en centrant ceux ci sur une grille triangulière" (Laslo Fejs Toth, 1943) ?
    Note : A Paris, il y a des quais de métro avec des cercles dessinés sur un réseau triangulaire (gare du nord par ex), d’autres avec un réseau carré (saint-denis par ex.)

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