Un carrelage original

Piste verte Le 13 juin 2016  - Ecrit par  Pierre-Antoine Guihéneuf Voir les commentaires

« ’Til morning comes, let’s tessellate »

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Émilien fait des travaux chez lui. Il refait sa salle de bains et sa cuisine. Ça lui fait pas mal de carrelage à faire. Et il en a un petit peu marre de toujours carreler de la même manière. Le dessin suivant, il le trouve monotone.

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Pour changer, il aimerait bien trouver d’autres manières de carreler, en piochant dans son stock de carreaux, qui sont carrés et tous de même taille. Assez rapidement, il se rend compte qu’il peut modifier la manière de carreler habituelle, en déplaçant chaque ligne de carreaux vers la gauche ou la droite d’autant qu’il le souhaite, comme sur le dessin suivant. Et bien sûr, il peut faire la même chose en remplaçant les lignes de carreaux par les colonnes.

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Mais il a beau faire plein d’autres essais, il n’arrive pas à trouver d’autres configurations de carrelage. Et il se convainc assez rapidement qu’il n’y a pas le choix : un carreau quelconque a forcément au moins un côté entièrement en commun avec un autre carreau.

Il trouve même une démonstration de cette propriété. Il commence par écrire de manière rigoureuse ce qu’est un carrelage ; ou ce que les mathématiciens appellent pavage :

Un pavage du plan par des carrés est une collection de carrés, tous de la même taille, qui recouvrent tout le plan sans jamais se chevaucher.

Émilien démontre la propriété suivante sur les pavages :

Proposition : Dans un pavage du plan par des carrés, chaque carré a au moins un côté entièrement en commun avec un autre carré.

Preuve trouvée par Émilien

Choisissons un carré du pavage, qu’on colorie en rouge. Il y a au moins un autre carré qui touche le côté droit de notre carré rouge ; ce carré on le colorie en bleu. On a alors deux cas :

  1. Soit le carré bleu a tout un côté entièrement en commun avec le carré rouge. Dans ce cas, on vient de démontrer notre propriété.
  2. Sinon, le côté gauche du carré bleu rencontre au moins un sommet du carré rouge ; ce sommet on l’appelle $S$. Puisqu’on a un pavage du plan, ce point $S$ appartient à la fois aux carrés rouge et bleu, mais aussi à un autre carré, qu’on colorie en vert. Et forcément, le carré vert a un côté entièrement en commun avec le rouge, ce qui démontre notre propriété.

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