Un concepto matemático, tres nociones : los grupos en el siglo XIX según Galois, Cayley y Dedekind

Piste noire Le 12 février 2010  - Ecrit par  Caroline Ehrhardt
Le 17 janvier 2023  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Un concept mathématique, trois notions : Les groupes au XIXe siècle chez Galois, Cayley, Dedekind Voir les commentaires
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En el siglo XX, el concepto de estructura se impuso de manera general en matemáticas. Nos centraremos aquí en varias ocurrencias, en el siglo XIX, de lo que luego se reconocerá como un mismo objeto : la estructura de grupo.

En la actualidad se presenta la noción de ’’grupo’’ en las lecciones de álgebra como un conjunto de elementos sobre el que podemos realizar una operación. Podemos pensar en un conjunto de números con, como operación, la suma o la multiplicación, o incluso en un conjunto de funciones cuya operación es la composición. Por ejemplo, el conjunto de números enteros con la suma como operación es un grupo, porque cumple las cuatro reglas que definen un grupo :

  • La primera regla es sencilla : debemos permanecer en el conjunto al realizar la operación. Entonces, cuando se opera sobre dos o más elementos del conjunto, el resultado también debe pertenecer al conjunto. Por ejemplo, cuando sumamos dos números enteros, el resultado sigue siendo un número entero.
  • Según la segunda regla, si hay que operar sobre más de tres elementos, se puede trabajar paso a paso como se desee, siempre que no se modifique el orden de los elementos. Desde el punto de vista de la escritura algebraica, esto equivale a poner los paréntesis como se quiera cuando se realiza la operación. Esto se llama asociatividad. En el caso de los números enteros, esto significa que encontramos el mismo resultado si hacemos 2+(3+4) y (2+3)+4.
  • También es esencial para la estructura que uno de los elementos del grupo no tenga efecto para la operación. La existencia de este objeto, que se llama elemento neutro, constituye la tercera regla. Por ejemplo, en números, 0 es un elemento neutro para la suma (de la misma manera, $1$ es un elemento neutro para la multiplicación).
  • De acuerdo con la cuarta regla, siempre se debe poder retroceder ; en términos un poco más técnicos, suponemos que partiendo de un objeto dado del grupo, siempre podemos encontrar otro de tal manera que aparezca el elemento neutro cuando realizamos la operación entre los dos. Por ejemplo, esto todavía funciona tomando como grupo el conjunto de enteros ($\mathbb{Z}$) y como operación la suma : basta con sumar cualquier entero y su opuesto para encontrar $0$.

Tomemos algunos ejemplos. Algunos de los conjuntos de números habituales, provistos de una operación, forman grupos. Hemos visto que este es el caso de los números enteros con suma. Los números racionales distintos de cero ($\mathbb{Q}^*$) con la multiplicación también forman un grupo. Del mismo modo, el conjunto de los números reales y el de los números complejos son grupos para la suma y, si quitamos $0$, para la multiplicación. Por otro lado, el conjunto de los enteros distintos de cero ($\mathbb{Z}^*$) no es un grupo para la operación de multiplicación, porque la cuarta regla no se verifica. De hecho, toma el número $2$ ; tendría que ser multiplicado por $\frac{1}{2}$ para encontrar el elemento neutro de la multiplicación, que es $1$. Pero $\frac{1}{2}$ no es un número entero y, por lo tanto, $\mathbb{Z}^*$ no es un grupo para la multiplicación [1].

De manera más general, muchas situaciones matemáticas involucran grupos [2].

También se puede considera grupos de transformaciones geométricas, como las que dejan invariante un triángulo equilátero [3].

En esta figura, corresponden a las rotaciones $r_1$, $r_2$ y $r_3$ con centro $O$ y ángulos $120°$, $240°$ y $360°$, así como las simetrías $s_1$, $s_2 $ y $s_3$ de ejes $(OA)$, $(OB)$ y $(OC)$. El elemento neutro es la transformación que no modifica ningún punto de la figura (es decir, $r_3$).

Este grupo se compone pues de $6$ elementos (que son las transformaciones geométricas) y la operación considerada es la composición de las transformaciones (es decir, la operación que consiste en transformar los puntos sucesivamente por varias transformaciones).

Pero también podríamos adoptar otro punto de vista sobre esta situación, olvidando la figura geométrica y considerando simplemente que cada una de las letras $A$, $B$ y $C$ debe transformarse en $A$, $B$ o $C$. Hay entonces seis posibilidades :

\[ \left( \begin{array}{c} A \mbox{ deviene } A \\ B \mbox{ deviene } B \\ C \mbox{ deviene } C \end{array}\right) \quad \left( \begin{array}{c} A\mbox{ deviene } A \\ B \mbox{ deviene } C \\ C \mbox{ deviene } B \end{array}\right) \quad \left( \begin{array}{c} A \mbox{ deviene } B \\ B \mbox{ deviene } A\\ C \mbox{ deviene } C \end{array}\right) \quad \left( \begin{array}{c} A\mbox{ deviene } B \\ B\mbox{ deviene } C \\ C \mbox{ deviene } A \end{array}\right) \quad \left( \begin{array}{c} A\mbox{ deviene } C \\ B\mbox{ deviene } B\\ C \mbox{ deviene } A \end{array}\right) \quad \left( \begin{array}{c} A \mbox{ deviene } C \\ B\mbox{ deviene } A\\ C \mbox{ deviene } B \end{array}\right) \]

O también, imagina que colocamos tres fichas numeradas $1$, $2$ y $3$, una al lado de la otra (como en la primera línea de las tablas a continuación) y que, en la segunda línea, tratamos de encontrar todos las disposiciones diferentes posibles (la operación que consiste en pasar de una disposición a otra se denomina sustitución). Esto da como resultado seis sustituciones, representadas por los seis bloques a continuación :

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 1&2&3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 1&3&2 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 3&1&2 \end{array} \right) \]

Vemos que bastaría con cambiar los números $1$, $2$ y $3$ por $A$, $B$ y $C$ para encontrarnos en la situación anterior. Además, si volvemos al triángulo, vemos que el primer bloque corresponde a $r_3$, el segundo a $s_1$, el tercero a $s_3$, el cuarto a $r_1$, el quinto a $s_2$ y el último en $r_2$. Por tanto, el conjunto de las seis sustituciones anteriores forma también un grupo de seis elementos si tomamos como operación la que consiste en combinar dos sustituciones transformando sucesivamente el triplete $1$, $2$, $3$ por la primera y luego por la segunda. Además, incluso si abarca objetos y operaciones matemáticos diferentes, el nuevo grupo de hecho ’’funciona’’ de la misma manera que el de las transformaciones del triángulo equilátero.

Como sugiere este ejemplo, el concepto de grupo permite hoy a los matemáticos dar cuenta de un gran número de situaciones diversas razonando sobre el mismo modelo. Así lo explica François le Lionnais (1901-1984) en la introducción al capítulo sobre ’’la noción de grupo, su poder y sus límites’’ del libro Las grandes corrientes del pensamiento matemático, preparado antes de la Segunda Guerra Mundial. Guerra y publicado en 1948 :

’’La gran generalidad de esta concepción, fruto del genio de Galois en la primera mitad del siglo XIX, le ha permitido intervenir en los capítulos más variados de la matemática, de unir su existencia y mecanismos a la estructura del espíritu humano y, quizás, a la arquitectura misma del universo’’ [4].

Pero si bien podemos atribuir el entusiasmo de este matemático al importante desarrollo que había conocido la teoría de grupos desde finales del siglo XIX y a los importantes resultados que ella había producido [5], uno puede dudar de estas afirmaciones en cuanto a la universalidad de la noción de grupo. En particular, nos gustaría argumentar aquí a favor de la idea de que ’’la generalidad de esta concepción’’ es de hecho el resultado de un proceso histórico no lineal, y no una característica intrínseca. En lugar de rastrear el desarrollo de la noción de grupo y sus ramificaciones a lo largo de más de un siglo, proponemos analizar algunos de los diversos significados que la noción de grupo fue cubriendo, desde la década de 1830 hasta la de 1860, examinando el trabajo de tres matemáticos : Évariste Galois (1811-1832), Arthur Cayley (1821-1896) y Richard Dedekind (1831-1916).

El concepto de grupo según Évariste Galois

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Évariste Galois, retratado por su hermano

Évariste Galois fue el primero en utilizar la palabra ’’grupo’’ en un sentido diferente al del lenguaje común. Lo hizo en un trabajo de investigación de 1830 titulado ’’Memoria sobre las condiciones de resolución de ecuaciones por radicales’’ [6], que la Academia de Ciencias había rechazado.

Este trabajo tenía por objeto una cuestión matemática precisa, la resolución de las ecuaciones, en una dirección particular que se denomina ’’resolución por radicales’’. Cabe señalar que este problema ya tenía una larga historia cuando Galois lo abordó. Se sabía desde el siglo XVI que para todas las ecuaciones de grado 3 y 4 era posible encontrar una fórmula que permitiera el cálculo de sus soluciones recurriendo únicamente a las cuatro operaciones habituales (suma, multiplicación, resta, división) y a raíces cuadradas, cúbicas o cuartas [7].

También se dice que estas ecuaciones son ’’solubles por radicales’’ en referencia a las raíces que aparecen en las fórmulas. También se sabía que las ecuaciones tenían tantas soluciones como su grado [8]. Uno de los matemáticos más reconocidos de finales del siglo XVIII, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) había realizado entonces importantes investigaciones para profundizar la cuestión en el caso de ecuaciones de grado mayor que 4, pero sin llegar al final de el problema. Sin embargo, sus Reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones (1770-1771) fueron consideradas una referencia sobre el tema por la mayoría de los matemáticos de la década de 1830 [9]. Además, el matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) había establecido en 1826 que no se podía obtener tal fórmula que fuera válida para todas las ecuaciones de grado mayor o igual que 5 [10].

En este contexto, Galois, que conocía la obra de sus predecesores, buscó saber distinguir las ecuaciones para las que es posible resolver por radicales de aquellas que no. Pero para esto, contrariamente a lo que habían hecho antes los matemáticos, Galois de alguna manera ’’separó’’ la resolución de este problema de los objetos iniciales, es decir, de las ecuaciones y la expresión de sus raíces. Enfocó su atención en un nuevo objeto matemático, al que llamó ’’grupo de una ecuación’’. El razonamiento de Galois consistía de hecho en considerar los diferentes arreglos según los cuales se pueden escribir las raíces de una ecuación. Esto equivale a mirar todas las listas posibles formadas a partir de las raíces $x_1$, $x_2$, $x_3$, …, $x_n$, donde $n$ designa el grado de la ecuación, según un proceso similar al que hemos visto en el caso de las fichas numeradas [11] . Galois definió entonces el ’’grupo de una ecuación’’ seleccionando algunos de estos arreglos, según un criterio bien preciso. El estudio de este grupo permitió a Galois determinar si la ecuación original puede resolverse mediante radicales.

Retomemos el ejemplo que vimos en la introducción para fijar las ideas, denotando $x_1$, $x_2$ y $x_3$ las tres raíces de una ecuación de grado $3$. Esto significa que se parte del grupo siguiente :

\[ \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_3 & x_2 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_1 & x_3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_3 & x_1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_2 & x_1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_1 & x_2 \end{array} \right) \]

Luego, el grupo de la ecuación considerada podría estar formado, por ejemplo, de :

\[ \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_3 & x_1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_1 & x_2 \end{array} \right) \]

La idea de Galois consiste en examinar si este grupo puede ser ’’dividido’’ (según criterios precisos), luego empezar de nuevo con el nuevo grupo obtenido y así sucesivamente. En el ejemplo anterior, la única forma posible de ’’dividir’’ es tomar un grupo que solo contenga un elemento (el elemento neutro, aquí el primer bloque). Podemos, entonces, siguiendo el razonamiento de Galois, deducir que la ecuación de grado $3$ es resoluble por radicales. Sin embargo, si nos atenemos exclusivamente al planteamiento de Galois tal como se presenta en su tesis (y no a los desarrollos que otros matemáticos le trajeron después), esto no nos dice cuáles son las soluciones, ni cómo calcularlas.

Cabe señalar, además, que el ejemplo que presentamos aquí a modo de descripción general está bastante lejos de lo que efectivamente se encuentra en las memorias de Galois [12]. De hecho, el establecimiento del concepto de ’’grupo de una ecuación’’ no se realiza allí según los estándares y con las notaciones que hoy en día utilizan los matemáticos. Además, la palabra ’’grupo’’ aparece varias veces en la pluma de Galois en su sentido habitual. Además, Galois no da en ningún momento una definición en sentido estricto, incluso cuando hace uso matemático del término. Podríamos decir que esto se debe en parte a la incompletud general de la obra de Galois que, muerto a los 21 años, no tuvo la oportunidad de reelaborarla, o incluso que estuvo ligada a la novedad del asunto [13]. Pero nos gustaría arriesgar otra hipótesis que se basa en las prácticas ’’habituales’’ de los geómetras de la época. En efecto, lo que se considera en matemáticas como una definición rigurosa o una demostración convincente puede variar según los contextos, los períodos, las formas de trabajar o incluso las inquietudes científicas de los matemáticos [14]. Sin embargo, a principios del siglo XIX, era habitual que se utilizara un concepto sin preocuparse por definirlo ’’rigurosamente’’ como lo haríamos hoy. A menudo fue el uso que los matemáticos hicieron de ellos, durante las demostraciones, lo que permitió que estos objetos adquirieran el estatus de conceptos matemáticos. Por ejemplo, entre 1800 y 1830, los debates eran todavía vivos sobre el enfoque que debía adoptarse para introducir números negativos, cantidades infinitas o incluso funciones derivadas, pero esto no impidió que los matemáticos utilizaran estos conceptos de forma extensiva en su trabajo, ni que los profesores los enseñaran a sus alumnos. [15]. Así, el significado que podía atribuirse al ’’grupo’’ del que hablaba Galois se construía a partir del uso que se hacía de él, es decir, se vinculaba exclusivamente a la teoría de ecuaciones.

Sin embargo, también es importante señalar que el punto de vista adoptado por Galois chocaba con lo que se consideraba, en 1830, como la ’’manera correcta’’ de plantear y resolver el problema de las ecuaciones. De hecho, ya sea que uno lea los libros de texto de matemáticas [16] o los Reports of the Academy of Sciences. La misma observación se aplica : en ese momento, uno no buscaba saber si una ecuación era resoluble desde un punto de vista teórico, como hizo Galois, sino resolverla desde un punto de vista práctico, aunque signifique encontrar solo soluciones aproximadas [17]. Así, son los métodos de resolución numérica de las ecuaciones los que permitieron calcular rápida y fácilmente estos valores que los matemáticos consideraban más interesantes. [18]. Finalmente, el uso de la noción de grupo obligó a que los resultados de Galois tomaran una forma que no era ’’natural’’ según los criterios de su época, ya que, en sus memorias, llegamos al final del problema sin tener una fórmula que da las raíces, y ni siquiera la menor indicación para llegar a tal fórmula. Además, era incluso imposible seguir paso a paso sus argumentos para saber si una determinada ecuación es resoluble o no. Las conclusiones de su trabajo, por lo tanto, no podían prestarse a ninguna aplicación : como escribió Galois, ’’en una palabra, los cálculos son impracticables’’ [19].

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El Instituto en 1838

El rechazo de la Academia de Ciencias, en 1831, sin duda se explica en gran parte por la inadecuación de la obra de Galois a los estándares y usos matemáticos de su época. Quince años después, cuando se publicó póstumamente la ’’Memoria sobre las condiciones de resolución de ecuaciones mediante radicales’’ en el Journal of Pure and Applied Mathematics de Joseph Liouville, el mundo de las matemáticas ya no era el mismo [20]. Esta prestigiosa revista, leída por muchos matemáticos en Europa, aseguró la difusión de este trabajo.

Pero los matemáticos que entonces se interesaron por el trabajo de Galois no los estudiaron todos en el contexto de la resolución de ecuaciones. Veremos, a través de dos ejemplos, que la lectura que hicieron de él, y por tanto el significado que le dieron a la noción de grupo, estaban íntimamente ligados a sus propias preocupaciones de investigación y, más en general, a las formas de hacer matemáticas que habían aprendido y que fueron practicadas en su entorno científico. Y, como Galois, la acogida de sus propias investigaciones también dependía de estas condiciones.

El concepto de groupe según Arthur Cayley (1821-1895)

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A. Cayley como alumno de graduación (Drawing : T C Wageman © Trinity College, Cambridge)

Entre 1854 y 1859, Arthur Cayley publicó una serie de tres artículos en Philosophical Magazine, que trataban de lo que él llamó ’’teoría de grupos’’ [21]. En estos trabajos, Cayley comienza explicando que utilizará la notación $\theta$ (y, más generalmente, letras griegas) como símbolo de una ’’operación’’. Precisa que esta operación es asociativa (regla 2) y tiene un elemento neutro (regla 3), pero que su naturaleza no le importa : podría ser tanto una sustitución como una función. Estas operaciones, en efecto, serán los elementos de los conjuntos que definirá. Además, especifica que estará interesado en la composición de estas operaciones (es decir, lo que se obtiene cuando se las aplica sucesivamente), a las que llamará más simplemente ’’producto’’ a partir de entonces. .

Posteriormente, da la definición de la palabra ’’grupo’’ ; en una nota al pie de página, menciona que esta idea proviene del trabajo de Galois sobre las permutaciones :

’’Un grupo es un conjunto de símbolos $1$, $\alpha$, $\beta$, …, todos diferentes, tales que el producto de dos cualesquiera de ellos (independientemente del orden), o el producto de uno de ellos por sí mismo pertenece al conjunto’’ [22].

En consecuencia, Cayley nota que si elaboramos una tabla diseñada como una tabla de multiplicar, todas las filas y columnas contienen todos los elementos del grupo (ver abajo).

En el resto del artículo, Cayley se interesa por el caso en que el grupo tiene 4 elementos, luego por el caso en que tiene 6. Al examinar las restricciones que se derivan directamente de la definición, demuestra finalmente que hay solo dos configuraciones posibles en cada caso (dicho de otro modo, solo podemos tener dos tablas diferentes). También insiste en que encontramos una u otra de estas configuraciones en un gran número de situaciones familiares a los matemáticos, y que ’’es solo por su extrema sencillez que no las habíamos notado expresamente’’ hasta entonces.

Volvamos por un momento a nuestro primer ejemplo del triángulo equilátero. Según las notaciones de Cayley, la letra $\theta$ podría denotar cualquiera de las transformaciones $r_1$, $r_2$, $r_3$, $s_1$, $s_2$ o $s_3$.

El ’’producto’’ $r_1 s_2$ transforma :

  • A en C y luego nuevamente en A,
  • B en B, luego en C,
  • C en A, luego en en B.
    Por tanto, se trata de $s_1$.

De la misma forma, cada vez que realizamos el producto de dos de estas transformaciones, podemos ver que volvemos a caer en otra de ellas. Así, según la definición de Cayley, el conjunto formado por $r_1$, $r_2$, $r_3$, $s_1$, $s_2$ y $s_3$ sí es un grupo. La tabla de este grupo, donde cada línea y cada columna contiene todos los elementos una y solo una vez, se da al lado. Las transformaciones que dejan un triángulo equilátero invariante corresponden así a una de las dos configuraciones de grupos de 6 elementos que Cayley había identificado en 1854.

Si volvemos ahora al propio artículo de Cayley, la primera observación que se puede hacer aquí es que no se trata de una simple reelaboración de la obra de Galois, sino de una interpretación de la misma. De hecho, aunque cita a Galois, el enfoque del matemático británico parece significativamente diferente, aunque solo sea porque su investigación sobre grupos no se sitúa en el marco de la teoría de ecuaciones, sino en una perspectiva mucho más general. En particular, la investigación de Cayley no pretende completar el trabajo de Galois para construir una teoría que resulte de él.

De hecho, Arthur Cayley está interesado precisamente en la ’’forma’’ que puede tomar un conjunto del que conocemos el número de elementos, es decir, en las distintas tablas que podemos obtener a partir de un número dado de filas y columnas. Su razonamiento consiste en considerar el conjunto de elementos, sobre los cuales las combinaciones operativas constituyen una especie de restricciones : en la medida en que el resultado del producto de dos elementos debe seguir perteneciendo al grupo, necesariamente debe ser tomado entre sus elementos. Las diferentes elecciones posibles constituyen, por lo tanto, otras tantas configuraciones de grupo diferentes. Por ejemplo, para un grupo con cuatro elementos $1$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, se llega a una situación en la que solo hay dos posibilidades [23].

Cayley establece dos notaciones diferentes para describir un grupo y mostrar las diferencias entre estas configuraciones. La primera consiste, como ya hemos visto, en elaborar una especie de tabla de multiplicar. Para la segunda notación, Cayley hace la lista de símbolos que constituyen el grupo, y la completa con la de las igualdades que deben verificarse para que el conjunto forme efectivamente un grupo. En el caso de un grupo de cuatro elementos, se señalan así las dos configuraciones posibles. La primera es

\[ 1, \quad \alpha , \quad \alpha^2 , \quad \alpha^3 \quad (\alpha^4 =1) \; ; \]

en este caso, todos los elementos del grupo son potencias sucesivas de uno de ellos.

La segunda es :

\[ 1, \quad \alpha , \quad \beta , \quad \alpha \beta \quad (\alpha^2=1, \; \beta^2 =1, \; \alpha \beta = \beta \alpha ) \; ; \]

uno de los elementos no neutros es el producto de los otros dos, pero se requiere que otras igualdades se verifiquen para que el conjunto sea un grupo.

Es importante señalar aquí que, cualquiera que sea la notación utilizada, las configuraciones que destaca Cayley son independientes de la naturaleza de los elementos del grupo : podrían funcionar igual con números que con operaciones o funciones. Desde este punto de vista, el enfoque de Cayley podría describirse como ’’genérico’’ y, de hecho, es una verdadera ’’teoría de grupos’’ lo que él establece. Sin embargo, esta teoría no es ’’la’’ teoría de grupos en el sentido en que la entenderíamos hoy (o, al menos, en el sentido en que se presenta actualmente en los libros de texto) : el objetivo de Cayley no es estudiar las propiedades abstractas que puede deducirse de la definición de grupos en general, como harán los matemáticos del siglo XX. De hecho, Cayley se esfuerza por proporcionar una descripción de todos los grupos que tienen un número determinado de elementos, mostrando cómo esos elementos están dispuestos entre sí dentro del conjunto. La prueba pretende resaltar los puntos comunes entre conjuntos aparentemente diversos, y Cayley apoya su prueba dando varios ejemplos de álgebra [24] y un ejemplo del análisis [25]. Un rasgo característico del enfoque de Cayley es, por lo tanto, el deseo de vincular dominios matemáticos hasta ahora concebidos como heterogéneos, al mostrar que están sustentados por las mismas reglas de operación [26]. Es este doble principio, ’’genérico’’ y ’’organizativo’’, el que da sentido al concepto de grupo que define Cayley.

Cayley es el primero en proponer un punto de vista teórico sobre la noción de grupo que había puesto en marcha Galois. Pero conviene señalar aquí que la búsqueda de principios unificadores es de hecho característica de la forma de trabajar de ciertos matemáticos ingleses que, como Cayley, estudiaron en Cambridge a principios del siglo XIX y que forman lo que se denomina ’’la escuela inglesa de álgebra’’.

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W. Westall, The Court of Trinity College, Cambridge, from R. Ackermann, A History of the University of Cambridge (1815)

Esta escuela de investigación, fundada por Charles Babbage (1791-1871), George Peacock (1791-1858) y John Herschel (1792-1871) en la década de 1820, desarrolló una concepción del álgebra muy diferente a la que se practicaba en Francia en la misma época, la cual, como hemos visto, estaba centrada en ecuaciones. Para los matemáticos de Cambridge, el álgebra era ante todo el estudio de las reglas operativas del cálculo, independientemente de los objetos sobre los que se relacione [27]. Así, el significado que Cayley atribuye al concepto de grupo resulta totalmente coherente con la tradición algebraica inglesa. Une por ejemplo punto por punto lo que otro matemático inglés de la época, Augustus de Morgan (1806-1871), define como álgebra simbólica :

’’Si quisiéramos explicar qué es el álgebra simbólica, primero preguntaríamos qué símbolos se deben usar (sin referirnos a su significado), luego cuáles son las leyes que operan sobre estos símbolos ; las deducciones de todas las consecuencias son lógicas matemáticas comunes. Finalmente, explicaríamos el significado que se debe dar a estos símbolos para que las personas tengan ejemplos en los que las leyes de funcionamiento propuestas sean ciertas.’’
 [28]

De hecho, Cayley comenzó definiendo los símbolos (las operaciones anotadas con las letras griegas), luego una ’’ley’’ (la composición y la regla que define lo que es un grupo). Luego dedujo ’’todas las consecuencias’’, es decir, las diferentes configuraciones posibles ; y, finalmente, explicó ’’el significado’’ de todo esto presentando ejemplos particulares.

Sin embargo, la conformidad del trabajo de Cayley sobre el concepto de grupo con las prácticas algebraicas del entorno científico en el que evolucionó no fue suficiente para asegurar su éxito : sus artículos sobre grupos tuvieron poco eco en las décadas de 1850 y 1860, incluso en los círculos matemáticos británicos. Esto nos muestra que la recepción de la investigación matemática obedece a reglas infinitamente más complejas que la de su inclusión (o no) en los temas de su tiempo.

En efecto, el hecho de que los matemáticos ingleses de mediados del siglo XIX trabajaran según la misma tradición epistemológica, fundada en la década de 1820 y llamada ’’álgebra simbólica’’ de manera concordada por ellos, no significa que las prácticas de investigación que desarrollan no se alejen de ella con el tiempo, ni que todos pongan exactamente el mismo significado detrás de esta expresión. Sin embargo, a finales de la década de 1850, parecería que la cuestión del significado de los objetos o la búsqueda de principios unificadores, antes considerados esenciales, había pasado finalmente a un segundo plano tras los abundantes desarrollos que prometían los nuevos objetos. Es por ejemplo sobre estos nuevos objetos en los que insiste el libro de texto de álgebra superior ’’moderna’’ escrito por George Salmon en 1859 (Lessons Introductory to the Modern Higher Algebra), y del cual la Philosophical Magazine publica una apreciación bastante elogiosa :

’’Durante los últimos dieciocho años, el campo algebraico, por muy bien delimitado que esté, ha visto la llegada de nuevos objetos que responden a los extraños nombres de ’’determinantes’’, ’’hiperdeterminantes’’, ’’invariantes’’ […]. Muchos lectores de Cambridge Mathematical Journal, Philosophical Magazine y Philosophical Transactions se han preguntado qué significa todo esto ; a veces se han preguntado si estas nuevas expresiones y símbolos tienen sentido. Hasta ahora, pocos matemáticos contemporáneos han prestado atención a estos temas. Pero están comenzando a hacerlo, creyendo que hay algo realmente prometedor al respecto.’’
 [29]

La prioridad, por tanto, ya no era volver a conceptos ’’genéricos’’, como el de grupo, capaces de dar un punto de vista global sobre la disciplina algebraica. Desde este punto de vista, la disciplina estaba suficientemente ’’marcada’’. En la década de 1860, en Gran Bretaña, las noticias de investigación no estaban en síntesis ; sobre todo, se imponía el desarrollo de nuevos objetos particulares en los que el álgebra simbólica de los años 1820-1840 había suscitado interés. Al proponer una definición de grupo como un concepto ’’genérico’’ en el sentido de ’’capaz de unificar nociones preexistentes’’, y no como un concepto fructífero en sí mismo, como lo eran los de ’’determinantes’’ o ’’invariantes’’, Cayley de hecho cortó su trabajo de las prioridades algebraicas del medio matemático al que pertenecía, y luego encontró más eco. En uno de ellos, en particular, establece una aproximación a esta noción mediante grafos : Arthur Cayley, ’’The Theory of Groups. Representación gráfica’’, American Journal of Mathematics, No. 1, 1878, p. 403-405)]].

El concepto de grupo según Richard Dedekind (1831-1916)

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R. Dedekind

Sin embargo, es posible que Cayley haya encontrado al menos un lector atento. De hecho, Richard Dedekind, privatdozen [30] en la Universidad de Göttingen (Alemania) en la década de 1850, se había interesado por la obra de Galois desde 1856. Aunque este tema de investigación probablemente le había sido sugerido por Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859), un matemático de estas cuestiones y que acababa de llegar a Göttingen [31], también sabemos que Dedekind tenía en sus manos el número de la Philosophical Magazine que contenía los artículos de Cayley [32]. Así, en 1856-1858, cuando Dedekind impartió el primer curso universitario basado en la obra de Galois [33], tiene a su disposición dos formas de considerar la noción de grupo y de darle significado, la de Galois y la de Cayley. Encontramos la huella de cada uno de ellos en el inicio de su recorrido.

Por un lado, el curso de Dedekind comienza con una larga sección dedicada a las sustituciones, antes de continuar con una presentación de lo que él llama ’’la teoría de las ecuaciones de Galois con coeficientes numéricos indeterminados’’ : la estructura de las lecciones está dictada, por lo tanto, por las memorias iniciales de Galois, y el curso encaja bien, como este último, en el marco de la teoría de ecuaciones. Además, los grupos que imagina Dedekind están formados por el mismo tipo de objetos que los utilizados por Galois.

Por otro lado, la definición de Dedekind de estos ’’grupos de sustituciones’’ resulta ser muy cercana a la que dio Cayley de ’’grupos de símbolos’’ :

’’Un conjunto G de (…) sustituciones distintas es un grupo (...) si todo producto arbitrario de sustituciones contenidas en G aún está en G’’ [34].

Vemos aquí que sería suficiente reemplazar la palabra ’’sustituciones’’ por la expresión ’’símbolos $1$, $\alpha$, $\beta$, …’’ para encontrar la definición de Cayley citada anteriormente. Más aún, Dedekind señala que el objeto que describe aquí con la ayuda de sustituciones, de hecho, interviene en muchos otros dominios :

’’Las siguientes investigaciones se basan únicamente en los […] resultados fundamentales anteriores y en el hecho de que el número de sustituciones es finito : los resultados son, por lo tanto, válidos para cualquier conjunto finito de elementos, objetos o conceptos [que satisfagan estos términos]. En muchas partes de las matemáticas, y especialmente en la teoría de números y el álgebra, a menudo se encuentran otros ejemplos de esta teoría ; los mismos métodos de prueba son válidos allí. Conservaremos, por simplicidad, las notaciones de la teoría de las sustituciones, aunque en lo que sigue también haremos uso de la concepción más general.’’ [35]

Sin embargo, si examinamos con más precisión lo que Dedekind ’’hace’’ exactamente con este concepto de grupo, nos damos cuenta de que el significado que construye para él es, de hecho, muy diferente al de Galois y Cayley. Primero, como muestra la cita anterior, Dedekind toma un ángulo mucho más amplio (o, para usar sus propias palabras, ’’más general’’) que Galois. Pero esta generalidad también adquiere un significado completamente diferente en su curso de álgebra que el que tenía en los artículos de Cayley.

De hecho, en sus demostraciones, Dedekind nunca se basa en la enumeración de los elementos que componen el grupo, ni en su ordenación en tablas. Es característico, por ejemplo, que denote el grupo ’’$G$’’ usando una sola letra en la definición, y no, como hace Cayley, de la lista de elementos que lo componen. . Así, cuando necesita demostrar que un conjunto es efectivamente un grupo, utiliza directamente la definición que dio al principio, sin pasar, como hace Cayley, por cálculos sobre los elementos que forman el grupo. De la misma manera, cuando se propone demostrar para sus alumnos los teoremas sobre ecuaciones algebraicas que se encontraban en las memorias de Galois, Dedekind no recurre a operaciones sobre las diversas sustituciones que forman el grupo de la ecuación, sino a todo el grupo, considerado como un bloque homogéneo. Se podría decir, un tanto esquemáticamente, que Dedekind trabaja sistemáticamente sobre el conjunto y no sobre la lista de los elementos que lo componen.

Aquí podemos tomar el ejemplo de un grupo con 6 elementos por última vez para comprender las particularidades del enfoque de Dedekind y las diferencias que presenta con los de Galois y Cayley.

Galois lo habría denotado :

\[ \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_3 & x_2 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_1 & x_3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_3 & x_1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_2 & x_1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_1 & x_2 \end{array} \right) \]

Luego, lo habría descompuesto en :

\[ \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_3 & x_1 \end{array} \right) \quad \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_1 & x_2 \end{array} \right) \]

Cayley hubiera escrito :

Además, hubiese hecho aparecer un corte posible en dos partes de tres elementos cada una, las cuales forman la tabla de un nuevo grupo :

Dedekind lo denota simplemente :

\[ G \]

Él materializa la descomposición dando primeramente otro nombre al segundo grupo (aunque sin especificar lo que contiene exactamente) : $K$. Luego, escribe una igualdad del tipo :
\[ G=K+K\theta \]
donde $\theta$ representa uno de los elementos de $G$ que no está en $K$.

De hecho, este tipo de procesos demuestra que Dedekind no busca saber ’’lo que está pasando dentro’’ de los grupos que utiliza. Los considera como conjuntos homogéneos de elementos indiferenciados. En su curso sobre la obra de Galois, el significado que adquieren los grupos es el de un nuevo objeto matemático que forma un bloque (que posiblemente se puede volver a cortar en bloques más pequeños), definido por una propiedad característica dada de antemano (la definición que citamos anteriormente), y no por la enumeración de sus elementos.

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Der Universität in Göttingen, Steel engraving from Bibliographisches Institut Hildburghausen (ca 1850)

Ahora bien, del mismo modo que encontramos rastros de la tradición algebraica inglesa en la obra de Cayley, no podemos dejar de señalar que el curso de Dedekind se une, en este punto, a las preferencias epistemológicas que se cultivaban en el mismo período en la Universidad de Göttingen [36]. De hecho, cuando impartía su curso de álgebra, Dedekind estaba efectivamente trabajando dentro de una ’’nueva escuela de matemáticas’’, caracterizada no solo por sus raíces geográficas sino también por su forma de concebir las matemáticas y practicarlas. . Este enfoque, que el historiador de las matemáticas José Ferreirós califica de ’’conceptual abstracto’’, consistía en intentar construir las teorías desde las bases más generales posibles, evitando recurrir a representaciones particulares de los objetos y, contrariamente, privilegiando las definiciones supuestas desde el principio para dar cuenta de las ’’propiedades intrínsecas’’ de estos objetos [37]. Tal enfoque fue defendido en particular por Dirichlet, quien fue el mentor de Dedekind y quien recomendaba, según una expresión que se ha hecho famosa, ’’poner el pensamiento en el lugar del cálculo’’ [38]. También lo puso en práctica otro colega inspirador de Dedekind en Göttingen, Bernhard Riemann (1826-1866), quien pretendía definir funciones a partir de ’’conceptos fundamentales característicos’’ y ya no a partir de una serie de operaciones. Si Dedekind no dejó de subrayar la ’’influencia’’ que estos dos matemáticos pudieron haber tenido sobre él, el concepto de grupo ofrece aquí un ejemplo histórico concreto de lo que puede abarcar esta expresión, a menudo de contornos vagos.

Para terminar, nos queda evocar la posteridad del enfoque desarrollado por Dedekind para el concepto de grupo. De los tres significados aquí estudiados, el suyo es sin duda el que parece más ’’natural’’ a los matemáticos de hoy, quienes gustosamente lo calificarían de ’’abstracto’’ o ’’axiomático’. Sin embargo, paradójicamente, en un principio sólo conoció una difusión muy confidencial. De hecho, el curso de Dedekind permaneció en formato manuscrito en los archivos de la Universidad de Göttingen hasta 1981, y solo cuatro estudiantes habían asistido a él entre 1856 y 1858... Si esta forma de definir los grupos parece hoy tan familiar, es en realidad porque Dedekind encontró tardíamente un portavoz muy eficaz en la persona de Heinrich Weber (1842-1913). En 1895, este escribió un libro de texto de álgebra superior que conoció un gran éxito, y donde la parte dedicada a la teoría de Galois está directamente inspirada en la lectura de los cursos de Dedekind [39].

Más aún, lo que los matemáticos pusieron en la categoría ’’álgebra’’ cambió profundamente a principios del siglo XX. Este es el momento en que comienza a tomar forma lo que se denomina la ’’teoría de las estructuras algebraicas’’, a través del trabajo de una nueva generación de matemáticos que, precisamente, se proclamaron sucesores de Dedekind y, por lo tanto, adoptaron un punto de vista cercano al suyo. [Sobre este tema : Leo Corry, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Basel, Birkhäuser, 1996.]]. Sin embargo, es todavía en el marco de esta teoría de estructuras que trabajan los algebristas de hoy. Así, si estas lecciones de 1856-58 pueden parecerle familiares a un lector de hoy, es de hecho porque el álgebra que este lector aprendió en la universidad es heredado, al menos en parte, de los trabajos de Dedekind.

Conclusión

Al término de este recorrido, volvamos a la cita de François Le Lionnais :

’’La gran generalidad de esta concepción, fruto del genio de Galois en la primera mitad del siglo XIX, le ha permitido intervenir en los capítulos más variados de la matemática, de unir su existencia y mecanismos a la estructura del espíritu humano y, quizás, a la arquitectura misma del universo’’.

La diversidad de los tres enfoques que hemos analizado aquí muestra que la noción de grupo no está ’’preinscrita’’ ni en el cerebro humano ni en el universo. Se forjó, a partir de 1830, en diversos contextos sociales y culturales, donde existían tanto formas específicas de hacer matemáticas como ideas específicas sobre lo que son, o lo que deberían ser las matemáticas. Como resultado, este concepto puede haber adquirido significados extremadamente diferentes durante el siglo XIX. Aquellos de ellos que nos parecen los más ’’naturales’’ lo son en realidad porque nuestra cultura matemática nos lleva a verlos como tales.

Sin embargo, lo que podemos leer también en la cita de Le Lionnais, si la miramos con otros ojos, es todo lo que el concepto de grupo, tal como se concibe hoy, debe a este proceso histórico : una primera implementación en el obra de Galois ; una intervención en ’’los más variados capítulos de las matemáticas’’, como se esforzó en señalar Cayley ; un concepto, finalmente, en el que vemos nacer la idea de ’’estructura’’, en la forma en que los algebristas de principios del siglo XX interpretaban la obra de Dedekind. Si el significado que le damos hoy a la palabra ’’grupo’’ en matemáticas no está ligado a la naturaleza de la mente humana, sí lo está, por otro lado, a la historia de este concepto.

Article original édité par Karine Chemla

Notes

[1Del mismo modo, el conjunto de los números enteros no es un grupo para la suma : el número al que habría que sumar $2$ para encontrar $0$ es $-2$, pero este no es un número natural.

[2Para otras ilustraciones de este concepto, se puede consultar los siguientes artículos, en línea de Paisajes Matemáticos : Ornamentos y cristales, mosaicos y grupos, II y III y Mezclas de cartas y matemáticas.

[3Más precisamente, las transformaciones geométricas en cuestión aquí son isometrías del plano.

[4François Le Lionnais, Las grandes corrientes del pensamiento matemático, Cahiers du Sud, 1948. La cita es de la página 197 de la tercera edición (Paris, Hermann, 1998). Sobre François le Lionnais, ver : François Le Lionnais, un erudito universal.

[5André Lentin, autor del capítulo sobre la noción de grupo, menciona así los trabajos de Klein, Lie y Poincaré, pero también el uso de grupos en geometría proyectiva, geometría de Lobachefski, analysis situs

[6Esta memoria fue editada en 1846 en el volumen 11 del Journal de Liouville. También forma parte de Écrits et Mémoires Mathématiques d’Évariste Galois, editado por Robert Bourgne y Jean-Pierre Azra (París, Gauthier-Villars, 1962 ; reed. Jacques Gabay, 1997).

[7El grado de una ecuación es la mayor potencia a la que aparece la incógnita. La raíz cúbica de un número $a$ es el número $b$ tal que $b^3=a$. Por ejemplo, para resolver ecuaciones cuadráticas, que tienen la forma $ax^2+bx+c=0$, basta con calcular el discriminante : $\Delta = b^2-4ac$. Si es positivo, las soluciones son $x_1 = \frac{-b +\sqrt\Delta}{2a}$ y $x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ ; si es negativo, son $ x_1= \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ y $ x_2=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

[8Para ser más precisos, debemos agregar ’’en el conjunto de los números complejos’’. Este es el teorema que a veces se denomina ’’teorema fundamental del álgebra’’ o ’’teorema de d’Alembert-Gauss’’.

[9Joseph-Louis Lagrange, ’’Reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones ecuaciones’’, Memorias de la Royal Academy of Sciences and Belles-Lettres of Berlin, 1770, p. 134-215 y 1771, pág. 238-253 [reeditado en Obras de Lagrange, t. 3, pág. 203-422].

[10Niels Henrik Abel, ’’Demostración de la imposibilidad de la resolución algebraica de las ecuaciones generales que sobrepasan el grado cuarto’’, Journal für die reine und angewandte Mathematik [Journal de Crelle], t. 1, 1826, p. 65-84 [reditado en Obras completas de Niels Henrik Abel, t. 1, p. 66-87].

[11En este punto, en realidad se unió a lo que había hecho Lagrange, y también podría inspirarse en la investigación de Cauchy de 1815 sobre permutaciones (’’Sobre el número de valores que una función puede adquirir cuando uno permuta en ella de todas las formas posibles las cantidades que contiene’’ y ’’Sobre las funciones que solo pueden obtener dos valores iguales y de signos opuestos como resultado de las transposiciones operadas entre las variables que contienen’’, Journal de l’ Ecole Polytechnique, vol. 10, n° 17, p. 1-112 [reimpreso en Obras completas, 2ª ser., t. 1, p. 64-169]).

[12El lector encontrará una descripción general menos resumida, incluso si sigue siendo elemental, en un texto de Gustave Verriest, ver a partir de la página 328.

[13Yoïchi Hirano, ’’Nota sobre la difusión de la teoría de Galois. Primera aclaración de las ideas de Galois por Liouville’’, Historia Scientarum, n° 27, 1984, p. 27-41 ; René Taton, ’’Las relaciones científicas de Évariste Galois con los matemáticos de su tiempo’’, Revue d’histoire des sciences, t. 1, 1947, pág. 114-130 e Id., ’’Évariste Galois y sus contemporáneos’’, p. 5-11 en Gilbert Walusinski (ed.), Presencia de Évariste Galois (1811-1832), París, APMEP, 1983.

[14Sobre este punto : Catherine Goldstein, Un teorema de Fermat y sus lectores, Saint-Denis, Presses Universitaires de Vincennes, 1995.

[15Los enfoques comparativos demuestran ser particularmente fructíferos para identificar estas variaciones y dar cuenta de estos debates. Por lo tanto, se puede citar aquí : Danny J. Beckers, ’’Lagrange in the Netherlands : Dutch Attempts to Obtain Rigor in Calculus, 1797-1840’’, Historia Mathematica, n° 26, 1999, p. 224-238 ; Gert Schubring, ’’Intercambios entre matemáticos franceses y alemanes sobre el rigor en los conceptos de Aritmética y Análisis’’, p. 89-104 en Intercambios de influencias científicas y técnicas entre países europeos de 1780 a 1830. Actas del 114º congreso nacional de sociedades científicas, París, 3-9 de abril de 1989, sección de historia de la ciencia y la tecnología, París, CTHS, 1990 y Gert Schubring, Conflicts Between Generalization, Rigor and Intuition, Nueva York, Springer, 2005, o incluso Joan L. Richards, ’’Rigor and Clarity : Foundations of Mathematics in France and England, 1800-1840’’, Science in Contexto, vol. 4, nº 2, 1991, pág. 297-319.

[16Entre los libros de texto de álgebra más difundidos, uno puede citar los Elementos de álgebra para el uso de la École Centrale des Quatre Nations y el Álgebra adicional para el uso de la École Centrale des Quatre Nations, ambos de Sylvestre-François Lacroix. Estos libros de texto fueron escritos a fines del siglo XVIII y XIX, en el contexto de reformas educativas revolucionarias, pero fueron reimpresos muchas veces y fueron ampliamente utilizados en las clases preparatorias. Sobre el tema del contenido matemático que transmiten, se puede leer : Pierre Lamandé, ’’La concepción de los números en Francia hacia 1900 : la obra didáctica de Sylvestre-François Lacroix’’, Revue d’histoire des mathematiques, n° 10, 2004, pág. 45-106.

[17Sobre este tema, véanse los primeros capítulos del libro de Hourya Sinaceur, Cuerpos y modelos : ensayos sobre la historia del álgebra real, París, Vrin, 1991. Debemos añadir, para ser más precisos, que la resolución por radicales no es el único punto de vista teórico que se puede tener sobre la resolución de ecuaciones : para el siglo XIX, las investigaciones de Klein sobre el icosaedro, o las de las funciones elípticas, son otras.

[18El método de la dicotomía es un ejemplo bien conocido de resolución numérica. Este se basa en la continuidad de los polinomios y permite encontrar un valor aproximado de las raíces reales : si un polinomio $P$ toma un valor positivo para un real $x_1$ y un valor negativo para un $x_2$ real, entonces la ecuación $P(x)=0$ tiene solución entre $x_1$ y $x_2$. Luego podemos repetir los mismos cálculos con el promedio $x_3$ de $x_1$ y $x_2$, para saber si la solución está entre $x_1$ y $x_3$ o entre $x_3$ y $x_2$. A medida que el intervalo en el que se busca la solución es cada vez más pequeño, nos acercamos más y más a la solución. Hoy en día, el uso de hojas de cálculo de calculadora para encontrar un valor aproximado de una ecuación se basa en un enfoque similar. Newton desarrolló otro método de resolución numérica ; sobre este tema, consulte el artículo El método de Newton y su fractal, en línea en este sitio.

[19Galois, 1997, op. cit., pág. 39.

[20Caroline Ehrhardt, Evariste Galois y la teoría de grupos. Fortuna y reelaboraciones (1811-1910), París, tesis doctoral, EHESS, 2007, capítulo 3.

[21Arthur Cayley, ’’On the Theory of Groups as Depending of the Symbolical Ecuación $\theta^n=1$’’, Philosophical Magazin, 4th ser., vol. 7, 1854, pág. 40-47 y pág. 408-409 ; Revista filosófica, 4ª ser., vol. 18, 1859, pág. 34-37 [republicado en The Collected Mathematical Papers, t. 2, pág. 123-132 y t. 4, pág. 88-91].

[22En esta definición, los símbolos $1$, $\alpha$, $\beta$, … que forman el grupo son operaciones (en el sentido en que Cayley las definió previamente) y la operación que está asociada con el grupo es la composición de estas operaciones, llamado ’’producto’’. Tenga en cuenta también que la definición de Cayley, que citamos aquí en su totalidad, difiere de la que mencionamos en la introducción : por ejemplo, Cayley no menciona la cuestión de la inversa (regla 4).

[23Un matemático moderno diría que hay dos grupos de cuatro elementos módulo isomorfismo.

[24Se trata, más precisamente, de sustituciones, cuaterniones de Hamilton y formas cuadráticas

[25Estas son funciones elípticas.

[26Si bien algunos de estos temas también tienen objeto de investigación de Galois, recordemos que el ’’Prefacio a las dos memorias de análisis puro’’, en el que afirma que su memoria sobre ecuaciones es solo una aplicación de su ’’tesis general’’, no se publicó en el Journal de Liouville. Este deseo de generalidad y abstracción, que es la particularidad de la relectura de Cayley, no puede, por tanto, atribuirse a la lectura de las obras de Galois.

[27Marie-José Durand-Richard, ’’The English Algebraic School : the conceptual and institucional condiciones de un cálculo simbólico como fundamento del conocimiento’’, p. 445-477 en C. Goldstein, J. Gray y J. Ritter, L’Europe math. Historia, mitos, identidades, París, Editions de la Maison des sciences de l’homme, 1996.

[28Augustus de Morgan, ’’Negative and Impossibles Quantities’’, Penny Encyclopedia, suppl. vol., 1840, p. 133-134.

[29Compte rendu de l’ouvrage de George Salmon, Lessons Introductory to Modern Higher Algebra, Dublin, Hodges-Smith, 1859, publicado en Philosophical Magazine, 4th ser., t. 18, 1859, p. 378.

[30Este título designaba a los profesores que habían defendido una tesis de habilitación y que eran profesores en la universidad, sin ocupar una cátedra de enseñanza.

[31Dirichlet menciona las investigaciones de Dedekind sobre este tema en varias cartas. Además, unos años antes, Dirichlet también había guiado a otro joven investigador, Leopold Kronecker (1823-1891), en este camino.

[32En un artículo publicado en 1855 en el Journal de Crelle (’’Bemerkungen zu einer Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung’’, vol. 50, 1855, pp. 268-271), Dedekind cita un artículo de George Boole que apareció en este número.

[33Este curso, conservado en los archivos de la Universidad de Göttingen, se publicó con motivo del ciento cincuenta aniversario de la muerte de Dedekind (Richard Dedekind, ’’Eine Vorlesung über Algebra’’, p. 59-108 en Wingfried Scharlau, Richard Dedekind 1831-1981. Eine Würdigung zu seinem Geburtstag, Brauschweig, F. Vieweg und Söhn, 1981). Sobre este punto también se puede consultar : W. Purkert, ’’Ein Manuskript Dedekinds über Galois-Theorie’’, Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik, und Medezin, vol. 13, 1976, pág. 1-16.

[34R. Dedekind, ’’Eine Vorlesung über Algebra’’, p. 64. Se aprecia aquí que, como Cayley, Dedekind no define esta noción a partir de las mismas reglas que están en vigor hoy en día.

[35R. Dedekind, ’’Eine Vorlesung über Algebra’’, pág. 63

[36Sobre las matemáticas en Alemania en el siglo XIX, véase : Detlef Laugwitz, Bernhard Riemann, 1826-1866. Puntos de inflexión en la concepción de las matemáticas, Boston, Birkhäuser, 1999 ; David E. Rowe, ’’Klein, Hilbert y la tradición matemática de Göttingen’’, Osiris, 2nd ser., vol. 5, 1989, pág. 186-213 ; H. G. W. Begehr, H. Koch, J. Kramer, N. Schappacher y E. J. Thiele (eds.), Matemáticas en Berlín, Berlín, Birkhäuser, 1998.

[37José Ferreirós, Laberintos del Pensamiento. A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, Basilea, Birkhäuser, 1999, cap. 1.

[38Dirichlet, ’’Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacobi. Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften von 1852’’, G. Werke de Lejeune Dirichlet, vol. 2, pág. 225-252. La cita está en la pág. 245.

[39Heinrich Weber, Lehrbuch der Álgebra, Braunschweig, F. Vieweg und Sohn, 1895-1896, 2 vols.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Un concepto matemático, tres nociones : los grupos en el siglo XIX según Galois, Cayley y Dedekind» — Images des Mathématiques, CNRS, 2023

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