Un drapeau en or perdu dans l’histoire

Pista azul El 13 enero 2020  - Escrito por  Andrés Navas Ver los comentarios
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Le drapeau originel du Chili comporterait un design géométrique très élégant inspiré de la proportion d’or.

Y a-t-il des maths dans les drapeaux ?

Bien sûr, en plus d’être des objets symboliques, historiques, etc. [1],
les drapeaux sont aussi des objets géométriques, et en tant que tels ils peuvent être fort intéressants. On trouvera par exemple dans cet article une discussion étonnante à propos du drapeau de la Corée du Sud.

Parmi les drapeaux nationaux géométriquement les plus remarquables on trouve celui de l’Iran [2] et du Népal. Ce dernier est en fait considéré comme «le drapeau national le plus mathématique au monde», et sa construction «à l’ancienne» (c’est-à-dire, à la règle et au compas) est décrite dans la Constitution Nationale du pays. Voici une vidéo explicative (en anglais) dans le formidable site YouTube de vulgarisation Numberphile :

La plupart des drapeaux se font sur une toile rectangulaire dont les proportions longueur / largeur sont des nombres rationnels. Parmi les plus utilisés on trouve 1:1 (Suisse, Vatican, etc.), 2:1 (Palestine, Slovénie, etc.), 3:2 (France, Iraq, Ukraine, etc.), 5:3 (Allemagne, Bulgarie, etc.) et 8:5 (Pologne, Suède, etc.). On notera l’apparition (parfois intentionnelle) de la suite de Fibonacci. La liste complète de ces proportions est accessible ici. On verra qu’il n’y a que trois drapeaux qui comportent un nombre irrationnel comme proportion :

Togo (à gauche) : le rapport est égal à $\, \varphi \sim 1,618... \,$ (le nombre d’or).

Iran (au centre) : le rapport est égal à $\, \frac{75}{28} (7 \sqrt{5} - 15) \sim 1,747...$

Népal (à droite) : le rapport longueur / largeur du plus petit rectangle contenant le drapeau est égal à
\[\frac{24 + \frac{297 - 180 \sqrt{2}}{92 - 36 \sqrt{2}} \left( 1 + \frac{8 - 3\sqrt{2}}{\sqrt{118 - 48\sqrt{2}} -6} \right) } {32 + \frac{297 - 180 \sqrt{2}}{92 - 36 \sqrt{2}} \left( 1 + \frac{6}{(8 - 3\sqrt{2}) \big( \sqrt{1 + \frac{18}{41 - 24\sqrt{2}}} - 1\big)} \right)} \sim 0.820...\]

Notre but ici est de décrire le design géométrique surprenant d’un autre drapeau, qui malheureusement n’est plus utilisé. Il s’agit du drapeau originel chilien, qui comporte de manière remarquable la proportion d’or, souvent utilisée dans le monde du design.

Un rappel rapide sur la proportion d’or

JPEG Rappelons que le nombre d’or $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \sim 1,618...$ est étroitement lié à la géométrie pentagonale. En effet, c’est le rapport entre les longueurs de la diagonale et du côté d’un pentagone régulier. Pour voir ceci, traçons ses diagonales. Puisque l’angle interne du pentagone est de $108º$, on voit apparaître deux types de triangles isocèles spéciaux : l’un d’angles $72º$, $72º$ et $36º$ (dit triangle doré), et l’autre d’angles $36º$, $36º$ et $108º$ (dit gnomon doré).

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Or, dans ces deux triangles, la proportion entre les longueurs du côté le plus large et le plus court est égale à $\varphi$. Voyons pourquoi ceci est vrai. Si dans un triangle doré on trace la bissectrice de l’un des angles de $72º$, on voit apparaître un petit triangle doré, ainsi qu’un petit gnomon doré. En particulier, dans la figure à gauche, les triangles $ABC$ et $BCD$ sont deux triangles dorés, donc similaires. Par conséquent, $\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{CD}.$ Quitte à changer d’échelle, on peut supposer que $BC = 1$. Nous avons alors $AD = DB = BC = 1$. Donc, si l’on note $x = AC = AB$, on obtient
\[\frac{x}{1} = \frac{1}{x-1},\]
d’où l’on déduit rapidement $\, x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi \,$ (notons que l’autre solution de cette équation quadratique en $x$ représente un point $D'$ situé à l’extérieur de $[AC]$). Par suite,
\[\frac{AC}{BC} = \frac{AB}{BD} = \varphi,\]
et ces rapports correspondent à ceux d’un triangle et d’un gnomon dorés.

Le design dévoilé

Avec les outils plus haut, on peut décrire le design géométrique du drapeau chilien originel. Mais à dire vrai, ce n’est qu’une reconstruction théorique, car il n’existe aucun document formel qui explique sa construction. Nous reviendrons sur ce point plus bas.

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Commençons par considérer le rectangle sur l’image à gauche. Attention : ce n’est pas le fameux rectangle doré, pour lequel le rapport largeur / longueur est égal à $\varphi$. Pour notre rectangle, ce rapport est égal à
\[\tan (36º) = \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2+\sqrt{5}}} \sim 0,726...\]
(testez cette égalité : c’est un joli exercice !).

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Traçons ensuite les bissectrices des angles de $72º$ et les trissectrices des angles de $108º$ au centre. Dans ce cas particulier, il n’y a pas de problème à faire ceci même avec une règle et un compas, car c’est équivalent à construire dix angles de $36º$ centrés en un seul point, et nous savons depuis Euclide comment le faire à partir du pentagone régulier [3]. Bref, nous obtenons la configuration d’angles exhibée à droite.

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Maintenant, traçons un cercle centré au milieu du rectangle de telle manière que le diamètre soit en proportion égale à $1/\varphi$ par rapport à la largeur du rectangle. Ce cercle coupe en un point chacun des 10 segments déjà tracés. Si l’on joint 5 de ces points comme montré à gauche, on obtient une étoile régulière à 5 pointes, avec plusieurs proportions dorées.

Pour conclure, on construit un rectangle (en blanc) de la même largeur que le bleu, mais dont la longueur soit en proportion égale à $\varphi$. Finalement, on construit en bas un autre rectangle (en rouge) toujours de la même largeur mais dont la longueur comprend celles des rectangles bleu et blanc.

On voit ainsi apparaître un design géométrique raisonnablement proche de celui du drapeau qui ondule dans l’image à la une de cet article. Or, ceci est très naturel, car il s’agit d’une illustration d’une fête populaire chilienne au XIXe siècle du naturaliste français Claude Gay, laquelle fait partie de son oeuvre «Histoire Physique et Politique du Chili» (publiée à Paris en 1848) [4].

Le design «à la Euclide» plus haut permet d’implémenter facilement une construction à la règle et au compas. En voici une vidéo illustrative (vous pouvez voir plus de détails ici).

Exercice : Vérifiez que la proportion longueur / largeur du drapeau en haut est égale à \[\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}} \sim 1,801...,\] et qu’il s’agit bien d’un nombre irrationnel.

Rêve d’une nuit de géométrie

Même si les outils géométriques de la construction plus haute ne sont pas du tout sophistiqués (ils étaient déjà connus des anciens Grecs), on ne peut que se laisser surprendre par l’élégance de ce design conçu il y a plus de 200 ans. D’ailleurs, ce sont les mêmes pièces polygonales qui, disposées d’une manière différente, donnent lieu à l’un des objets géométriques les plus remarquables inventés au XXe siècle, à savoir, le pavage de Penrose (dont il a été déjà question sur ce site ; voir aussi Wikipédia). Il s’agit d’un pavage à deux pièces polygonales qui ne possède aucune symétrie par translation. Autrement dit, si l’on déplace le pavage dans n’importe quelle direction, il ne retombera jamais exactement sur lui même, pourtant il y aura des morceaux de plus en plus grands qui le feront. D’autre part, une rotation d’ordre 5 centrée «au milieu» du pavage préservera la structure en entier.

Dans cette vidéo on illustre le passage de la configuration du drapeau à celle de Penrose. Impossible de ne pas se demander : si l’on avait appris le design du drapeau à l’école, aurait-on pu concevoir un pavage de type Penrose bien avant ? [5]

Un peu d’histoire

Le drapeau dont il est question dans cet article est celui avec lequel l’indépendance du Chili vis-à-vis de l’Espagne a été signée en 1818. Il est conservé au Musée d’Histoire Nationale de Santiago. Vous noterez dans les photos reproduites en bas que, outre le design géométrique, il comporte :

  • deux blasons typiquement franc-maçons au centre, l’un avec un obélisque et l’autre avec un volcan [6] ;
  • une petite étoile à 8 branches (un astérisque jaune difficile à visualiser) au centre de l’étoile à 5 pointes : c’est la représentation de Vénus dans la culture Mapuche, le peuple autochtone le plus important du pays.

Ces images ont été prises juste après la dernière restauration du drapeau. Celui-ci a subi plusieurs manipulations durant son existence, dont on ne dispose malheureusement pas d’un récit complet. Cela explique pourquoi les proportions entre ses parties ne coïncident pas toujours avec celles du modèle théorique en haut. En particulier, il est fort probable que la partie bleue ait été modifiée, car l’étoile n’est visiblement pas bien centrée...

Il y a beaucoup de mystères autour de cet objet. Par exemple, les historiens ne sont pas d’accord sur la personne qui a créé le drapeau. Il semblerait qu’il soit né de conversations entre Bernardo O’Higgins (devenu le premier gouverneur du pays) et Ignacio Zenteno (son ministre de guerre). Mais la conception finale est attribuée soit à Antonio Arcos soit à Gregorio de Andía y Varela, tous deux des ingénieurs militaires qui, curieusement, étaient d’origine espagnole (d’ailleurs, Arcos est mort à Paris en 1851).

Le drapeau a toujours été conservé dans des musées, sauf pendant une vingtaine d’années. En effet, au début des années 80, il a été «kidnappé» par un commando en signe de protestation contre la dictature d’Augusto Pinochet. En fait, c’est pendant ces années que la présence de la section dorée a été signalée pour la première fois de manière claire et explicite par Gastón Soublette [7]. Cependant, le modèle théorique présenté dans son livre «La Estrella de Chile» comportait des contradictions géométriques évidentes [8]. Le modèle décrit ici est issu de mon propre travail de recherche, et il fait partie d’un journal d’histoire du pays [9].

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Il semblerait que le design géométrique était une connaissance plus ou moins établie (au moins dans le monde militaire) pendant le XIXe siècle. C’est ce que montre cet autre drapeau à droite, produit vers la fin de ce siècle, et conservé dans un musée au nord du pays (dans la ville d’Arica).

Cependant, on n’a jamais retrouvé de document avec des règles claires pour sa reproduction. C’est ainsi qu’en 1912 on a choisi de simplifier le modèle. À titre de comparaison, vous pouvez voir en bas le design du drapeau de 1818 (à gauche) et celui du drapeau actuel (à droite). Dans ce dernier, la région bleue n’est qu’un carré sur lequel est centrée une étoile dont le diamètre du cercle circonscrit est la moitié du côté du carré. On aboutit de cette façon à un modèle de rapport longueur / largeur égal à 3:2 (comme celui du drapeau français).

Et oui, ce changement fut un vrai sacrilège géométrique. Cependant, lors des manifestations massives des dernières semaines dans le pays, on a vu réapparaître de manière spontanée ce drapeau en or oublié...

C’est peut-être le moment de l’instaurer à nouveau et de mettre en valeur toute son élégance géométrique !

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Post-scriptum :

Pour en savoir plus :

L’histoire de cet article a été reproduite (en espagnol) dans plusieurs journaux tels que El Mostrador (au Chili) et El País (en Espagne). Cependant, il n’y en avait pas de version française.

Toujours en espagnol, vous pouvez aussi consulter mes livres «Un Viaje a las Ideas» et «Lecciones de Matemáticas para el Recreo».

Remerciements :

Je remercie chaleureusement Dante Yovanne et Nicolé Geyssel pour les deux dernières vidéos de cet article, ainsi que Julie Levrault pour sa relecture attentive.
Je remercie également les conseils et corrections de Bruno Duchesne, Christian Mercat, Gilles Schneller et Arnaud Girand.

Article édité par Romain Dujardin

Notas

[1La discipline qui étudie les drapeaux de plusieurs points de vue est la vexillologie. Il y a des associations vexillologiques un peu partout dans le monde, y compris en France. Ces dernières années, la vexillologie a été rendue plus visible (voire ridiculisée) par le fameux sketch «Fun with Flags» de la célèbre série «The Big-Bang Theory».

[2Même s’il est difficile de retrouver une explication claire et concise du design

[3Plus précisément, nous ne sommes pas ici devant le problème de la trisection d’un angle arbitraire, dont l’impossibilité -avec une règle et un compas- a déjà été évoquée dans cet article.

[4Une cordillère du nord du pays porte le nom «Claude Gay».

[5Il y a quelques années, on a découvert que des pavages de type Penrose étaient déjà produits dans le monde islamique au XIIIe siècle, notamment à Isfahan (l’Iran actuel). En voici une photographie prise à la mosquée Darb e Imam. On trouvera ici plus de renseignements sur ce sujet passionnant.

[6Il y a plus de 80 volcans actifs sur la Cordillère des Andes au Chili. Des collègues vulcanologues se sont déjà demandé lequel de ces volcans est représenté sur le drapeau, mais cela semble fort difficile à trancher.

[7Il a toujours été très réservé sur comment il a eu accès au drapeau kidnappé...

[8Voir cet article.

[9Voir cet article publié à la Revista Bicentenario.

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Para citar este artículo:

Andrés Navas — «Un drapeau en or perdu dans l’histoire» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Biblioteca Nacional, Santiago de Chile.

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