10 juin 2009

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Un ensemble-limite

Hommage à un dessinateur anonyme

Michèle Audin et Arnaud Chéritat

Au cours d’une étude historique des travaux de Fatou et Julia sur l’itération des fractions rationnelles, l’une des auteurs de cet article (que nous désignerons par la lettre M, nous utiliserons la lettre A pour désigner l’autre auteur) s’intéresse à l’histoire des images, images d’« ensembles de Julia » notamment.

C’est une idée courante qu’il a fallu attendre l’arrivée des ordinateurs pour voir apparaître, déferler même, des images d’ensemble de Julia. C’est vrai du déferlement, voire de la publication de ces images, mais ce n’est pas vrai de leur existence, puisque Gaston Julia [1] lui-même avait dessiné, dès 1917, un ensemble « de Julia » tout à fait réaliste sur un de ses manuscrits [2]. Voici un dessin réalisé par Tan Lei et son ordinateur (pour un article sur ce site) de l’ensemble que Julia avait autrefois dessiné... à la main.

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Vous avez sans doute déjà vu des images de ce genre [3]. Analogues sont les « ensembles-limites » dont nous allons donner un exemple dans cet article... De cet exemple, il existe une image ancienne, une figure dessinée « à la main » et pourtant très précise.

Précisons qu’il n’est besoin de savoir, ni ce qu’est un ensemble de Julia, ni ce qu’est un ensemble-limite, pour lire cet article !

Les ensembles de Julia ont été inventés et étudiés dès 1906 [4] ; les ensembles-limites figuraient déjà dans les travaux de Poincaré et Felix Klein à la fin du dix-neuvième siècle... mais, en existe-t-il des figures « d’époque » ? M s’adresse à certains de ses collègues spécialistes des ensembles de Julia, à Xavier Buff par exemple, qui en parle à Étienne Ghys, lequel se souvient qu’il a vu une figure d’ensemble-limite quelque part dans les Œuvres de Poincaré. Ayant lu pour ce travail quelques articles de Poincaré, le Mémoire sur les groupes kleinéens [5] notamment, M a l’impression opposée. Xavier en parle encore autour de lui et transmet la mention d’un article déjà ancien de Mandelbrot dans lequel il serait question d’une figure dessinée par un élève de Felix Klein...

Feuilletage, donc, par M, des onze volumes des Œuvres de Poincaré. Étienne n’avait pas tort, il y a en effet des figures, des images d’ensembles-limites... mais pas dans un article de Poincaré : on trouve ces figures dans le onzième volume, un volume d’hommages, et dans un texte de Garnier [6], une conférence donnée en 1954 au cours des cérémonies du centenaire de Poincaré.

L’article de Mandelbrot, lui, est paru en 1983 dans le journal The Mathematical Intelligencer, il contient une grande figure dessinée par l’ordinateur d’un collaborateur de Mandelbrot, ainsi qu’une des figures d’un livre de Fricke et Klein... qui est une de celles que l’on trouve justement dans l’article de Garnier [7]. Les deux figures représentent le même ensemble-limite. Reproduisons ici celle de Fricke et Klein.

La figure 156 de Fricke et Klein

Le livre de Fricke et Klein s’appelle Leçons sur la théorie des fonctions automorphes, première partie : les fondements en théorie des groupes [8]. Il s’agit, essentiellement à partir de cours donnés par Felix Klein, d’un texte écrit avec Robert Fricke (qui avait été un élève de Klein), et paru en 1897. Le nom de l’auteur des figures n’apparaît pas dans le livre. C’est à cet anonyme que notre article souhaite rendre hommage.

Retour à l’article de Mandelbrot, qui était très content de sa propre figure, et commentait triomphalement la figure de Fricke et Klein ainsi :

Il semble aujourd’hui évident que la figure 156 a été tracée par un malheureux dessinateur (d’après la légende, un élève-ingénieur de Fricke), à qui l’on avait expliqué comment déterminer exactement quelques points de l’ensemble-limite, et que l’on avait ensuite laissé dessiner une courbe « très tortueuse [9] et compliquée » passant par ces points. Comme Fricke ne savait pas ce à quoi il fallait s’attendre, il n’avait donné aucune indication explicite au dessinateur.


La figure de Mandelbrot, très supérieure à celle du livre de Fricke et Klein d’après son auteur, ne peut être reproduite ici. Elle ne diffère pas essentiellement de la figure ci dessous, produite par A pour cet article (une fois le programme, assez simple, écrit, il ne faut que quelques secondes à un ordinateur portable de 2009 pour dessiner la figure).


Assez mal à l’aise parce qu’elle ne comprend rien à cette figure (où sont passés les cercles ? de quoi s’agit-il ? que représentent le noir et le blanc ?), M s’adresse enfin à A, qui lui a déjà très gentiment fabriqué et offert de nombreuses figures, et qui la renvoie au livre Indra’s Pearls [10]... dans lequel on peut lire, à propos d’une autre figure du même genre et du même livre de Fricke et Klein :

La figure 145 a été tracée par un des étudiants de Klein, par chance un dessinateur doué, dont les belles figures ne seraient pas améliorées avant l’avènement du dessin par ordinateur un siècle plus tard.

Une divergence d’opinion semble-t-il... et un peu plus : les mathématiciens ont une « conscience de classe » très bien formée, n’est-ce pas ? Le « malheureux dessinateur » sur lequel ironise Mandelbrot est un élève de Fricke, lui-même un élève un peu oublié du Grand Felix Klein, dont le nom n’apparaît même pas. C’est d’ailleurs Fricke qui a donné les instructions, et bien sûr, il n’y connaissait rien [11]...

De quoi s’agit-il ?

Et si nous vous expliquions de quoi il s’agit ? On commence avec des cercles, ceux représentés sur la figure suivante [12].

Il y en a cinq. Chacun est tangent à deux ou trois autres. Ils découpent le plan en cinq régions intérieures (les cinq disques délimités par les cinq cercles) et trois régions extérieures. Prenons notre pot de peinture digitale [13] et colorions ces dernières.

Nous appelons ces régions des « polygones ». Comme on le voit sur la figure, ce sont :

- un « triangle », puisque limité par trois « côtés », qui sont des arcs de nos cercles (le triangle est peint en orangé) ; c’est la partie appelée $\bar{P}''$ sur la figure originelle, celle du « malheureux dessinateur »,

- un « quadrilatère » puisque limité par quatre « côtés » (c’est la partie peinte en vert foncé), le $\bar{P}'$ sur la figure originelle,

- et un « pentagone » (la partie en violet foncé à l’« extérieur » des cinq cercles), le $\bar{P}$.

Vous connaissez les réflexions, aussi appelées symétries axiales : je prends un point du plan ainsi qu’une droite appelée axe de réflexion, je dessine la droite perpendiculaire à l’axe et qui passe par le point. Je regarde le point situé sur la perpendiculaire, à la même distance de l’axe que le premier, mais de l’autre côté : c’est le symétrique du premier point par rapport à l’axe.

C’est certainement plus clair avec la figure ci-dessous.

Le symétrique (la réflexion) d’un objet peut se calculer (et se définir) point par point, comme par exemple entre la lettre R et la lettre cyrillique Я (appelée Ya).

Changeons maintenant de point de vue. Considérons chaque symétrie axiale comme une opération que l’on peut effectuer sur une figure. On parle également de transformation.
Si j’effectue deux fois la même opération de symétrie, je retrouve la figure dont je suis parti. Non seulement c’est la même mais elle se situe au même endroit. Par contre si j’effectue une symétrie puis une autre d’axe différent, j’obtiens soit une rotation soit une translation : la figure est la même mais elle a bougé.

Je me donne maintenant plusieurs axes, disons trois (les trois droites blanches de la figure ci-dessous). Il leur correspond trois symétries « de base » : que je nomme a, b, et c. Je m’amuse à regarder toutes les images d’une (même) figure que j’obtiens quand je lui fais subir successivement un nombre quelconque de mes symétries « de base », 1, 2, 3, 4, 5,... jusqu’à l’infini, et dans un ordre quelconque : par exemple a, b, a, c, b. En termes techniques, on compose les transformations a b et c.
Avec trois axes bien choisis, on peut obtenir ceci :

Les axes des réflexions sont les droites blanches, supports des trois côtés
d’un des triangles violets, qui a pour angles 30°, 60° et 90°. Ses différentes images sont représentées en violet ou en mauve selon que le nombre de réflexions correspondant est pair ou impair [14].

Dans le même genre mais moins connue : l’inversion. On remplace la droite, axe de la réflexion, par un cercle, et on « inverse » par rapport à ce cercle. Je prends un point du plan, je trace la demi-droite qui part du centre du cercle et passe par mon point. Je regarde le point situé sur cette demi-droite et tel que la distance au centre divisée par le rayon du cercle est l’inverse de la distance au centre du point de départ divisée par le rayon du cercle. Vous suivez encore ? Un petit dessin pour aider :

Si on effectue une inversion sur la lettre R, on obtient :

Les inversions ont une propriété extraordinaire. L’image de n’importe quel cercle est un cercle (sauf s’il passe par le centre : alors l’image est une droite) [15].

Mais revenons à nos cinq cercles tangents. Les cinq inversions leur correspondant déterminent un nouvel ensemble de transformations. Rappelons-nous les trois zones coloriées de tout à l’heure, celles non contenues dans les cercles. En prenant leurs 3x5 inverses selon les cinq cercles, puis les 4x3x5 inverses de ces inverses (un peu comme des réflexions secondaires)...

... puis les 4x4x3x5 suivantes...

... etc... on obtient un pavage [16].

L’ensemble-limite est le nom donné à l’ensemble des points du plan qui ne sont pas couverts par ce pavage. Il est figuré en noir sur le dessin ci-dessus. C’est la courbe tortueuse de la figure originelle. Si l’on applique une des inversions à un point de l’ensemble-limite, on trouve encore un point de cet ensemble-limite. On dit que celui-ci est invariant [17].

L’ensemble-limite et la figure du dessinateur

La figure (réalisée par A et son ordinateur) montre

  • les cinq cercles qui définissent les inversions utilisées [18] (en blanc),
  • les trois « polygones » que ces cercles déterminent et que nous avons déjà colorés en vert, orangé et violet,
  • leurs images respectives par les inversions [19], en vert, orangé, violet,
  • ce que l’on appelle l’ensemble-limite (en noir), qui est la frontière entre les couleurs et qui est justement la courbe tortueuse qui intéressait Klein, Fricke, et qu’a dessinée notre anonyme.

La juxtaposition de la figure d’A et de celle du livre de Fricke et Klein montre à quel point ces deux auteurs et le dessinateur avaient bien compris ce qui se passait, puisqu’ils ont été capables de concevoir, en 1897, une courbe contenant tant du vrai ensemble-limite (la courbe très ondulée et les cercles dessinés en gras). Il manque à cette figure ce qui va rendre l’ensemble-limite invariant, c’est-à-dire des petites « copies » de la courbe ondulée accrochées aux cercles tangents dessinés en gras, et ainsi de suite (n’hésitez pas à aller zoomer sur l’image en fin d’article pour admirer ces petites copies !).

La superposition des deux figures, réalisée ci-dessous, montre à quel point la courbe ondulée était précise (en rouge, celle de l’ordinateur d’A).


Superposition

Et si l’on partait d’autres cercles...

Lorsque nous avons transformé le triangle violet en lui appliquant toutes les réflexions, nous avons réussi à recouvrir tout le plan par des triangles violets et mauves qui ne se recoupaient pas. C’est bien entendu parce que nous avons choisi des angles de 90, 60 et 30 degrés. Avec un triangle « un peu plus quelconque », la situation aurait été bien différente et la figure beaucoup moins claire.

Il en est de même si l’on modifie nos cinq cercles, particulièrement bien choisis [20]. Nous n’en dirons pas plus dans cet article.

Histoire de la figure : récapitulons

Autant que nous le sachions, les premières figures d’ensemble-limite se trouvent dans le livre de Fricke et Klein (en 1897).

Nous ne savons pas qui était le dessinateur, ni qui lui a donné les instructions pour réaliser les figures.

La figure 156 a été reproduite successivement dans

  • l’article de Garnier (en 1954),
  • le livre de Magnus [21] (en 1974, la source est citée) --- une référence que nous avons découverte pendant l’écriture de cet article [22],
  • l’article de Mandelbrot (en 1983),
  • enfin en 2009 (dans le livre dont il est question dans la note 2 et) dans le présent article.

(Une figure assez semblable du même livre de Fricke et Klein avait été reproduite dans

  • le livre Indra’s Pearls (en 2002))

Zoomer à loisir sur l’ensemble limite, Fricke et Klein en auraient rêvé. Ne nous privons pas de ce plaisir :


Les mathématiciens l’ont appris dès les années 1980, un ordinateur bien programmé dessine vite et bien. Les ordinateurs de 2009 dessinent encore mieux et encore plus vite. Encore faut-il leur dire ce que l’on veut que la figure montre.

Rendons hommage ici à la qualité et à la clarté des figures réalisées par notre anonyme.

Notes

[1Gaston Julia (1893—1978), était un spécialiste des fonctions d’une variable complexe.

[2Le travail de M fait l’objet d’un livre dont la couverture reproduit cet ensemble (au sens propre) de Julia.

[3On en trouvera sans mal ici ou là, et notamment dans cette galerie.

[4D’abord par Pierre Fatou (1878—1929), qui est l’auteur de nombreux travaux sur les séries trigonométriques, l’itération des fractions rationnelles, d’un livre sur les groupes fuchsiens et kleinéens... et de travaux d’astonomie. Puis, de façon plus systématique, à partir de 1917, par Pierre Fatou et Gaston Julia.

[5Paru dans le journal suédois Acta Mathematica en 1883. Le groupe qui donne naissance à la figure que nous allons considérer est un groupe « kleinéen ». La terminologie vient du nom de Felix Klein, dont il va être question aussi.

[6René Garnier (1887—1984) était un spécialiste d’équations différentielles.

[7Passons sur le fait que Garnier et les éditeurs des Œuvres de Poincaré ont reproduit cette figure (et d’autres, issues du même ouvrage) sans en indiquer la source, sans même d’ailleurs indiquer qu’elles n’avaient pas été dessinées spécifiquement pour cet article...

[8En allemand, bien sûr : Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band. Die gruppentheoretischen Grundlagen.

[9(ou onduleuse ?) wiggly, écrit Mandelbrot en anglais

[10de David Mumford, Caroline Series et David Wright, un livre très clair et très joliment illustré, tout à fait recommandable (en anglais).

[11Notons aussi que Fricke était professeur, non pas dans une université prestigieuse, mais dans une école d’ingénieurs.

[12Dans son mémoire sur les groupes kleinéens, Poincaré dessine des cercles (qui vont engendrer les groupes auquels il s’intéresse), décrit ce qui se passe, mais, comme nous l’avons déjà dit, n’inclut pas de figure de l’ensemble-limite.

[13Il ne s’agit pas de « peinture au doigt » mais de peinture « numérique ».

[14Un peu plus techniquement : on considère le groupe engendré par les réflexions a, b et c. La jolie figure (pavage) formée par les images successives du triangle montre comment ce groupe opère sur le plan.

[15Elles ont aussi la propriété extraordinaire de conserver les angles, elles sont conformes, voir l’article de Christian Mercat dans cette même rubrique.

[16et un groupe, bien sûr, un des groupes kleinéens (du nom de Felix Klein) étudiés par Poincaré... cela nous entraînerait bien loin, mais notons que ces groupes jouent leur rôle dans de nombreux domaines des mathématiques, équations différentielles, géométrie, dynamique, arithmétique...

[17C’est aussi une fractale, comme les courbes fractales « de Newton » de l’article de Tan Lei. Les ensembles de Julia et les ensembles-limites sont des objets de même nature : ce sont les points du plan en lesquels une certaine famille de fonctions n’est pas « normale » (une notion qu’il n’est pas question d’expliquer ici). Ils partagent donc un certain nombre de propriétés.

[18engendrant le groupe considéré

[19éléments du groupe

[20Un mot technique : les groupes (groupes kleinéens) obtenus sont discrets.

[21Non Euclidean tessellations and their groups, Academic Press, 1974. Le commentaire de Magnus sur cette image est le suivant : Les points-limites constituent une infinité de cercles limites et aussi en une infinité de courbes continues non différentiables.

[22Merci à Pierre de la Harpe

Crédits images

Un ensemble limite, par Arnaud Chéritat. — Figure dessinée par Arnaud Chéritat

Affiliation des auteurs

Arnaud Chéritat : Directeur de Recherche (CNRS) à l'Institut de Mathématiques de Bordeaux , Michèle Audin : Université de Strasbourg et Ouvroir de littérature potentielle

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Michèle Audin et Arnaud Chéritat, « Un ensemble-limite »Images des Mathématiques, CNRS, 2009.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Un-ensemble-limite.html

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