Un exposé de S. Smirnov

Le 21 août 2010  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (7)

Aujourd’hui, le nouveau médaillé Fields Stanislav Smirnov a donné sa conférence plénière.

Le voici, accompagné de son « président de séance », le professeur Kesten, quelques secondes avant le début de son exposé.

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Le contenu de l’exposé est bien sûr un peu trop technique pour être discuté dans Images des Maths. Je vais me contenter de citer l’un des résultats qu’il a cités, démontré il y a à peine quelques mois, en collaboration avec Hugo Duminil-Copin. [1]

Recouvrez le plan avec des hexagones réguliers, comme sur cette figure.

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Maintenant, partez d’un sommet, par exemple le point 0, et cherchez à vous déplacer en suivant $N$ côtés d’hexagones avec une seule condition : il est interdit de repasser par où on est déjà passé. Par exemple, j’ai dessiné en rouge un chemin de longueur 12. De combien de manières peut-on le faire ? Appelons $F(N)$ ce nombre. Il n’est pas question de trouver une formule pour $F(N)$ mais on peut chercher à comprendre à quelle vitesse $F(N)$ croît quand $N$ tend vers l’infini. On suspecte une croissance de type exponentielle, c’est-à-dire qu’on pense que $F(N)$ est de l’ordre de $c^N$ pour une certaine constante $c$ inconnue qui s’appelle la constante de connectivité. Eh bien, les auteurs ont trouvé cette constante ; elle vaut $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ [2].

Cela semble un petit problème amusant (et d’une certaine façon c’est le cas) mais ce genre de résultats est important dans des problèmes de physique statistique.

Notes

[1On peut également lire cet article sur Les travaux de Stanislas Smirnov.

[2Plus précisément, ils montrent que la limite de $F(N) ^{1/N}$ quand $N$ tend vers l’infini est $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Un exposé de S. Smirnov» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

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  • Un exposé de S. Smirnov

    le 21 août 2010 à 18:41, par Étienne Ghys

    Bonsoir,

    Ce que je lis dans leur prépublication (et ce que m’a confirmé Smirnov ce soir au pot offert par la délégation du Canada !), c’est que ce résultat avait été prévu « heuristiquement » par des physiciens en 1982 et qu’on en attendait une justification de puis 28 ans...

    Etienne

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