Un exposé de S. Smirnov

Le 21 août 2010  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (7)

Aujourd’hui, le nouveau médaillé Fields Stanislav Smirnov a donné sa conférence plénière.

Le voici, accompagné de son « président de séance », le professeur Kesten, quelques secondes avant le début de son exposé.

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Le contenu de l’exposé est bien sûr un peu trop technique pour être discuté dans Images des Maths. Je vais me contenter de citer l’un des résultats qu’il a cités, démontré il y a à peine quelques mois, en collaboration avec Hugo Duminil-Copin. [1]

Recouvrez le plan avec des hexagones réguliers, comme sur cette figure.

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Maintenant, partez d’un sommet, par exemple le point 0, et cherchez à vous déplacer en suivant $N$ côtés d’hexagones avec une seule condition : il est interdit de repasser par où on est déjà passé. Par exemple, j’ai dessiné en rouge un chemin de longueur 12. De combien de manières peut-on le faire ? Appelons $F(N)$ ce nombre. Il n’est pas question de trouver une formule pour $F(N)$ mais on peut chercher à comprendre à quelle vitesse $F(N)$ croît quand $N$ tend vers l’infini. On suspecte une croissance de type exponentielle, c’est-à-dire qu’on pense que $F(N)$ est de l’ordre de $c^N$ pour une certaine constante $c$ inconnue qui s’appelle la constante de connectivité. Eh bien, les auteurs ont trouvé cette constante ; elle vaut $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ [2].

Cela semble un petit problème amusant (et d’une certaine façon c’est le cas) mais ce genre de résultats est important dans des problèmes de physique statistique.

Notes

[1On peut également lire cet article sur Les travaux de Stanislas Smirnov.

[2Plus précisément, ils montrent que la limite de $F(N) ^{1/N}$ quand $N$ tend vers l’infini est $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Un exposé de S. Smirnov» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

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  • Un exposé de S. Smirnov

    le 21 août 2010 à 16:20, par Julien Olivier

    C’est le genre de résultat qui paraît si simple... Est-ce que ça l’est (et sa démonstration récente provient essentiellement du fait que personne ne s’était posé la question auparavant) ou est-ce que c’est en fait difficile ?

    Répondre à ce message

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