Un exposé de S. Smirnov

Le 21 août 2010  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (7)

Aujourd’hui, le nouveau médaillé Fields Stanislav Smirnov a donné sa conférence plénière.

Le voici, accompagné de son « président de séance », le professeur Kesten, quelques secondes avant le début de son exposé.

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Le contenu de l’exposé est bien sûr un peu trop technique pour être discuté dans Images des Maths. Je vais me contenter de citer l’un des résultats qu’il a cités, démontré il y a à peine quelques mois, en collaboration avec Hugo Duminil-Copin. [1]

Recouvrez le plan avec des hexagones réguliers, comme sur cette figure.

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Maintenant, partez d’un sommet, par exemple le point 0, et cherchez à vous déplacer en suivant $N$ côtés d’hexagones avec une seule condition : il est interdit de repasser par où on est déjà passé. Par exemple, j’ai dessiné en rouge un chemin de longueur 12. De combien de manières peut-on le faire ? Appelons $F(N)$ ce nombre. Il n’est pas question de trouver une formule pour $F(N)$ mais on peut chercher à comprendre à quelle vitesse $F(N)$ croît quand $N$ tend vers l’infini. On suspecte une croissance de type exponentielle, c’est-à-dire qu’on pense que $F(N)$ est de l’ordre de $c^N$ pour une certaine constante $c$ inconnue qui s’appelle la constante de connectivité. Eh bien, les auteurs ont trouvé cette constante ; elle vaut $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ [2].

Cela semble un petit problème amusant (et d’une certaine façon c’est le cas) mais ce genre de résultats est important dans des problèmes de physique statistique.

Notes

[1On peut également lire cet article sur Les travaux de Stanislas Smirnov.

[2Plus précisément, ils montrent que la limite de $F(N) ^{1/N}$ quand $N$ tend vers l’infini est $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

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Pour citer cet article :

Étienne Ghys — «Un exposé de S. Smirnov» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

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  • Pourquoi c’est important

    le 22 août 2010 à 20:21, par Rémi Peyre

    En espérant ne pas raconter trop de bêtises...

    La question des chemins auto-évitants se retrouve quand, dans un milieu de dimension 2 (par exemple une membrane), on s’intéresse à des polymères (des chaînes de molécules) ou à des frontières. Dans le cas de la polymérisation, la valeur de c est liée à la température à partir de laquelle la molécule cesse de polymériser en bloc, c’est-à-dire qu’au lieu de faire une grande chaîne elle en fait plein de petites.

    Autant que je sache, ce qui intéresse Smirnov ce n’est pas tant la valeur de c qui l’intéresse, que la façon dont F(N) diffère de c^N. En effet, on soupçonne le quotient F(N)/c^N de croître comme une puissance bien précise de N (je ne sais plus combien au juste, peut-être N^[11/32]). (Cela dit, pour l’instant Smirnov n’a pas réussi à mener cette seconde étape à bien). Cet exposant « 11/32 » serait universel, c’est-à-dire qu’il ne dépend pas de savoir si le réseau est fait d’hexagones, de carrés, de triangles ou n’importe quoi (alors que la valeur de c, elle, en dépend). De même que la valeur de c est liée à la température de transition de phase, la valeur de « 11/32 » exprime la façon dont le système se comporte au voisinage de cette transition. On pourrait considérer que c’est du pinaillage, mais en fait toute la physique des interfaces étudie précisément ce qui se passe pile au niveau des transitions.

    Tous ces résultats s’expliquent en fait dans une théorie (assez abstruse) que les physiciens ont développée heuristiquement : ils se sont dits « il est vraisemblable que tel truc se comporte de telle manière, et dans ce cas on a forcément un exposant qui vaut 11/32 ». Le problème est qu’on n’a pas de démonstrations des suppositions heuristiques en question (qui sont très difficiles à prouver, voire à... énoncer proprement !), donc il faut trouver un moyen de rendre rigoureux l’argument des physiciens ou de le contourner. Le résultat sur la constante de connectivité est un premier pas important qui montre qu’on peut arriver à prouver de façon complètement rigoureuse certaines heuristiques des physiciens, et surtout met en lumière des méthodes pour le faire.

    Concernant la difficulté du problème : oui, c’est un problème très difficile, et si la question est restée ouverte aussi longtemps après avoir été formulée ce n’est certainement pas parce qu’elle n’intéressait pas les gens ! Cela dit la démonstration de ce problème est « relativement facile », au sens où on peut l’exposer quasi complètement en une heure... sauf qu’elle fait appel à l’introduction d’un objet complètement étrange (une « observable parafermionique ») qu’il fallait avoir une sacrée perspicacité pour définir et étudier !!

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