Un homme à la mesure du mètre - I

Piste verte 8 décembre 2011  - Ecrit par  Damien Gayet Voir les commentaires (2)

Pourquoi la disparition de la sonde Mars Orbiter en 1999 a-t-elle un lien direct avec la Révolution française et Joseph Delambre, helléniste distingué de la fin du XVIIIème et astronome sur le tard ? Vous le saurez en lisant le premier volet de cet article. Les amateurs de grandes épopées scientifiques, ceux qui se méfient des Baléares et les fans de quizz amusants (n’oubliez pas de cliquer sur les phrases en rouge !) en auront pour leur temps !

La désunion des unités

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La sonde Mars Orbiter, vue d’artiste

Le 23 septembre 1999, à 11h30 heure française, les contrôleurs de la NASA ont des suées froides. La sonde américaine Mars Climate Orbiter, envoyée étudier la Planète Rouge et qui a coûté la bagatelle de
150 millions de dollars, ne répond plus. Et pour cause, elle était en feu. Que s’était-il passé ? Un astéroïde l’avait-il percutée ? Des Martiens belliqueux l’avaient-ils carbonisée ? La sonde était arrivée en fait à une altitude martienne de 57 kilomètres, en pleine atmosphère, au lieu des 140 kilomètres prévus, si bien qu’elle avait pris feu. La coupable de ce fatal grand écart, une grotesque erreur tellement humaine qu’ elle en est absurde : la société Lockheed Martin Astronautics de Denver, Colorado, qui a conçu la sonde, collaborait sur ce programme avec les Californiens de la Jet Propulsion Laboratory. Pendant quatre ans, les ingénieurs de la JPL utilisèrent le système métrique, alors que la LMA faisaient tous leurs calculs selon le système américain des miles, gallons et autres livres. Le hic, c’est que personne n’avait pensé à effectuer les conversions d’unités ! La trajectoire de la sonde était donc totalement faussée [1].

Au fait, pourquoi les Etats-Unis n’ont-ils pas adopté le système métrique ?

En 1794, Jean Antoine Joseph Fauchet, alors ambassadeur de France aux États-Unis, promouvait l’adoption par les Amériques du très-français et très-révolutionnaire système métrique. Mais Fauchet se mit dans l’idée de soutenir la Révolte du Whisky de 1794, ce qui le disqualifia aux yeux de Georges Washington. Sans doute à cause de ce couac diplomatique initial, les États-Unis, malgré de nombreuses autres
tentatives, conservent jusqu’à maintenant les pieds, pouces et miles au lieu des mètres, centimètres et autres kilomètres.

N’y a-t-il pas un peu de Tour de Babel dans cette histoire ? Le Dieu Mars aurait-il propagé la diversité des mesures pour préserver la tranquillité de sa planète éponyme ? Ce n’est peut-être pas pour rien qu’il y a plus de deux siècles des savants, pour la plupart athées, militèrent pour l’adoption sur Terre d’une unique mesure de longueur universelle, le mètre. Nous allons évoquer les aventures réelles et intellectuelles de l’un de ces hommes, Joseph Delambre, un astronome des Lumières hors du commun.

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La Tour de Babel, Pieter Bruegel l’Ancien (1525-1569)

Le mètre révolutionnaire

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L’ellipsoïde terrestre exagérément aplati

Oui, d’où vient le mètre, au fait ? Revenons à la la fin du dix-huitième siècle, mais en France. Toise, pied, pouce et autres boisseaux, pintes et livres étaient des mesures plus ou moins communes, mais définies de façon arbitraire et locale : un étalon municipal ou un creux dans la pierre de halles servait de référence. Une mesure pouvait même posséder des valeurs très différentes sous la même appellation en fonction de l’endroit où on l’utilisait. Par ailleurs, la nature de la mesure choisie étaient fondamentalement liée à l’activité qu’elle concernait.

Que pouvait bien mesurer une hommée ?

Un champ était estimé non pas par sa surface, mais par la quantité de grain qu’il était nécessaire de semer pour une récolte donnée, voire en hommées, le nombre de paysans qu’il fallait pour labourer ou moissonner le champ en un seul jour.

La Révolution décide d’abolir ces particularismes incompatibles avec la nouvelle philosophie universaliste qui l’a fondée, et de définir pour les mesures liées à la longueur un étalon, le mètre, qui sera valable pour la France entière et même, porté par les idéaux des Lumières, pour la Terre entière. Il était tout à fait possible de choisir comme mètre la longueur d’une certaine règle, mais l’enjeu était justement d’éviter tout arbitraire.

Les anciennes mesures locales étaient-elles vraiment si arriérées ?

Dans son excellent livre Mesurer le monde, Ken Alder remet en cause cette vision trop simple et trop naturelle du bon mètre contre les méchantes mesures locales : [2]

Ce projet des Lumières a souvent été perçu comme une tentative de changement des fondements de l’ordre social en substituant aux relations interpersonnelles un mètre universel, tiré des sciences naturelles et susceptible de soumettre le monde social à une analyse objective. Cependant, sous l’Ancien Régime, le peuple considérait lui aussi que son système de mesure était « naturel », en ce sens qu’il avait été adapté aux dimensions du monde de son vécu et qu’il exprimait ses besoins, ses valeurs et l’histoire de sa vie. [...] Leur objectif était de faire de la productivité la mesure visible du progrès économique et des prix la variable par excellence des échanges commerciaux. Pour eux, la réforme du système métrique constituait une étape cruciale dans la formation de l’Homo economicus des Temps modernes.

En 1791, afin que toute personne sur Terre puisse s’approprier le nouvel étalon de longueur, et que celui-ci soit donc exempt de tout particularisme, l’Académie des Sciences décide que le mètre serait une proportion donnée d’une longueur terrestre. On savait à l’époque que la Terre n’était pas parfaitement sphérique, mais ressemblait plutôt à un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles (voir la figure ci-dessus). Newton l’avait prédit théoriquement, les expéditions de Maupertuis et Clairaut en Laponie ainsi que de Bouguer et de la Condamine au Pérou en 1734 l’avaient confirmé. Dans ce cas, quelle pouvait être une longueur naturelle ? Le premier candidat était celle de l’équateur. Le second, celle d’un méridien, légèrement plus petite que la première (d’environ trois centièmes). L’Académie, en l’occurence Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Condorcet, optèrent pour la seconde solution.

À votre avis, quels furent les arguments géopolitiques de l’Académie pour ce choix ? [3]

On peut dire que chaque peuple appartient à un des méridiens de la terre, mais qu’une partie seulement est placée sous l’équateur. Le quart du méridien terrestre deviendroit donc l’unité réelle de mesure, et la dix-millionième partie de cette longueur en serait l’unité usuelle.

La commission chargea deux astronomes, Pierre Méchain et Jean-Baptiste Delambre, de mesurer la portion d’arc de méridien entre Dunkerque et Barcelone. Cet arc de neuf degrés et demi formait donc environ un dixième du quart du méridien. Connaissant précisément la longueur de cette partie ainsi que l’angle de cet arc, on en déduirait la longueur totale d’un méridien.

Pourquoi ce calcul fut plus problématique que prévu

Estimer la longueur du méridien total à partir de celle de l’arc entre Dunkerque et Barcelone s’avéra présenter un grave problème.
Si le méridien était parfaitement circulaire, alors le rapport des longueurs serait précisément le rapport entre l’angle de l’arc et 360 degrés. Mais les méridiens sont des ellipses, et le calcul dépend cette fois de l’excentricité de cette ellipse, qu’on appelle l’excentricité de la Terre. Elle est égale, grosso modo, à la différence relative entre la longueur d’un méridien et celle de l’équateur. Avant l’expédition de Delambre et Méchain, on estimait cette excentricité à trois pour cent. Mais on le verra plus tard, au retour des astronomes on s’aperçut que l’excentricité qu’ils trouvaient était deux fois plus grande. Il fallut trancher...

Ce qui nous paraît être une banale affaire de mesure s’avéra être une incroyable aventure relatée dans l’ouvrage Mesurer le monde de Ken Adler, mais également par Delambre lui-même dans la Base du système métrique décimal [4]. Pendant plus de six ans, de juin 1792 à novembre 1798, les deux scientifiques sacrifièrent à la mesure de cet arc leur énergie et leur santé. Méchain y perdit même une partie de la raison, et enfin en mourut. Delambre avait pour mission de mesurer le méridien entre Dunkerque et Rodez, et Méchain, entre Rodez et Barcelone.

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Usage des nouvelles mesures

Un autodidacte amiénois à Paris

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Joseph Delambre par Julien Leopold Boilly (1820)

Comment l’Académie avait-elle pu choisir pour cette mission fondamentale Delambre, un astronome qui ne s’était mis à l’astronomie qu’à trente-cinq ans ?
Né en 1749 à Amiens, fils d’un drapier modeste, Jean-Baptiste Delambre se fit
remarquer au collège par sa prodigieuse mémoire et son goût pour les langues et la littérature. Encouragé par l’abbé Jacques Delille, professeur à Amiens, mais surtout poète et traducteur fameux et qui sera plus tard élu à l’Académie française, Delambre « monta » à Paris grâce à une bourse municipale et suivit les cours du Collège du Plessy. Il échoua malheureusement aux examens à cause de sa mauvaise vue [5].

Il manqua toute sa vie à Delambre quelque chose...

Enfant, il avait en effet contracté la petite vérole (la variole), ce qui d’une part lui avait fait irrémédiablement perdre ses cils, et d’autre part avait gravement détérioré sa vue, au point qu’il pensa longtemps qu’il la perdrait définitivement un jour.

Sommé de revenir au bercail amiénois par sa famille qui n’avait pas les moyens de subvenir à ses études parisiennes, Delambre refusa et plongea dans l’ascétisme, ne se nourrissant que de pain pendant plusieurs mois mais jouissant de l’atmosphère des Lumières en fréquentant les cafés et autres clubs littéraires.
Il accepta ensuite un poste de précepteur pour le fils d’un noble à Compiègne, ce qui l’obligea à apprendre les mathématiques... afin de pouvoir les enseigner à son élève. Il obtint ensuite à vingt-deux ans une place autrement plus intéressante, celle de précepteur chez Jean-Claude Geoffroy d’Assy, le receveur général des finances.

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L’hôtel d’Assy, maintenant les Archives nationales

Helléniste plus que distingué, Delambre lisait dans le texte les auteurs grecs, en particulier les astronomes. Afin de parfaire sa connaissance en la matière, il lut l’Astronomie de Jérôme Lalande [6]. Puis il se mit à suivre au Collège de France les cours de son idole, et se fit rapidement remarquer par sa perspicacité et sa connaissance encyclopédique de l’astronomie et des Grecs. En 1783, Lalande lança la carrière d’astronome de Delambre en lui prêtant un sextant puis en utilisant ses mesures pour une nouvelle édition de son Histoire. Rapidement Delambre, qui a alors totalement recouvré toute la finesse de la vue, acquit une réputation de grand astronome. En 1787, les d’Assy firent construire pour leur précepteur préféré un observatoire en haut de leur résidence.

Les planètes de la célébrité

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Mercure passant devant le Soleil

En 1786, Delambre se fait connaître lors d’un passage de Mercure devant le Soleil. Alors que le ciel de Paris est nuageux et que tous les observateurs ont abandonné leur position, Delambre reste au poste, et vers huit heures du matin, lors d’une éclaircie, il constate l’apparition de Mercure... quarante minutes après l’heure prédite par son maître, Lalande. Delambre supputait que les tables de ce dernier n’étaient pas correctes. Lalande ne s’en offusqua pas.

Lalande, ce personnage truculent, disait de lui-même

Je suis toile cirée pour (...)

Je suis toile cirée pour les insultes et éponge pour les louanges.

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Jérôme Lalande (1732-1807)

Comme Delambre le raconte lui-même
dans sa propre Histoire de l’Astronomie au dix-huitième siècle [7] de 1827 publiée à titre posthume chez Bachelier [8],

Uranus. Découvert par Herschel le 13 mars 1781, vers les pieds des Gémeaux. [...] Les tables de Delambre, faites en 1789, couronnées [9] en 1789, et publiées en 1790 dans l’Astronomie de Lalande, ont servi jusqu’à présent aux calculateurs d’éphémérides.

Qu’est-ce qu’une table astronomique ?

Depuis au moins Ptolémée et jusqu’à l’avènement de l’informatique, une grande partie de l’énergie des astronomes passait dans l’établissement de tables, c’est-à-dire de tableaux qui donnaient la position d’un astre donné en fonction du temps.
Les théories mathématiques qui déterminaient les trajectoires étaient donc converties en tableaux de chiffres.

Comment Delambre construisait-il ses tables et pourquoi eurent-elles autant de succès ? Voici ce qu’en dit Joseph Fourier, lors de son éloge funèbre en 1823 [10] :

Avant lui, les calculs astronomiques étaient fondés sur des méthodes numériques, indirectes et irrégulières ; il les a toutes changées ou perfectionnées. La plupart de celles dont les astronomes se servent aujourd’hui lui appartiennent : il les a déduites de formules analytiques qui rendent les opération plus sûres, plus uniformes et plus faciles.

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Pierre Simon Laplace (1749 - 1827)

En fait, Delambre s’était enthousiasmé de la toute nouvelle méthode des perturbations de Laplace [11]. Comme le raconte Fourier dans son Éloge,

il assistait à la séance de l’Académie des
sciences de Paris où M. de Laplace venait de communiquer
ses importantes découvertes sur les inégalités respectives de
Saturne et de Jupiter ; Delambre forma aussitôt le dessein
d’appliquer les résultats de cette profonde analyse, et de
perfectionner ainsi les tables des deux planètes.

Quelle est cette « profonde analyse » laplacienne ?

Selon les lois de Kepler, la trajectoire d’une planète (disons Uranus) tournant autour du Soleil est une ellipse fixe. Mais selon la loi de la gravitation universelle de Newton, les autres planètes du système solaire ont une influence sur la course d’Uranus, certes beaucoup plus faible que celle exercée par le Soleil. La méthode de Laplace permet de prendre en compte cet effet secondaire de façon simplifiée. [12]

Delambre fut également célèbre pour ses tables précises du Soleil, de la Lune, de Jupiter ainsi que de ses satellites. Voici ce qu’en dit Fourier :

Delambre s’appliqua surtout à celles des satellites de Jupiter
 ; entreprise difficile et d’une prodigieuse étendue, dans
laquelle il lut soutenu par deux motifs puissants, l’utilité publique et la grandeur propre du sujet.

Les satellites de Jupiter, d’utilité publique ??

Fourier explique ensuite en quoi résidait cette « utilité publique » :

Les astres qui accompagnent Jupiter sont les premiers corps célestes que le
télescope nous ait fait découvrir ; ils disparaissent lorsqu’ils
pénètrent dans l’ombre de la planète. Ces phénomènes, entièrement
semblables aux éclipses lunaires, se reproduisent
beaucoup plus fréquemment, puisqu’un seul des satellites est
éclipsé (quatre fois dans l’intervalle de sept jours). Galilée, qui
contempla le premier ces curieux phénomènes, jugea
aussitôt que ce genre d’observations servirait à perfectionner les
connaissances géographiques. En effet, lorsque le cours des
satellites fut connu, et réduit en tables assez exactes, on rectifia
une multitude d’erreurs énormes dans la détermination
des longitudes, et surtout vers la partie orientale de l’ancien
continent.

Le méridien de la gloire

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Image du film Un mètre pour mesurer le Monde, Axel Engstfeld, 2010
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Assignat de 1792

La méthode pour mesurer la partie du méridien passant par Paris entre Dunkerque et Barcelone, utilisée depuis la Renaissance, est celle de la triangulation. Au lieu de mesurer bêtement un millier de kilomètres, on mesure les angles d’une suite de triangles adjacents.

Pourquoi mesurer les angles permet-il de calculer les longueurs ?

Considérons la figure ci-dessous, et mettons-nous à la place de Delambre. Les trois sommets A, B et C sont des signaux lumineux placés à la fenêtre d’une tour, en haut d’un clocher ou en haut d’une montagne. L’astronome placé en A, à l’aide du Cercle de Borda dont on explique plus bas l’usage, mesure l’angle CAB, ici $\alpha$ sur le dessin, puis se place en B pour mesurer l’angle CBA, ici $\beta$. S’il connaît la longueur AB, ici en rouge, alors des formules classiques et assez simples de trigonométrie permettent de déterminer les deux autres longueurs AC et BC. Ensuite, on recommence avec un triangle adjacent à AC ou BC, et ainsi de suite !

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Si l’on connaît précisément la longueur d’un seul côté d’un seul triangle, côté que les arpenteurs appellent base, on connaît donc toutes les longueurs de tous les triangles, et par d’élémentaires opérations géométriques, on peut déterminer la longueur du méridien. On trouvera d’autres explications ici.

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Les triangles de Delambre entre Dunkerque et Paris
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Les triangles de Méchain entre Barcelone et la Montagne d’Alaric

Les longueurs des triangles étaient d’une trentaine de kilomètres, et il a fallu quatre-vingt-dix de ces triangles pour la mesure de la méridienne. Pour chaque sommet d’un triangle, il fallait trouver un endroit sûr, stable dans le temps (si par exemple il fallait revenir faire une mesure),
et suffisamment haut pour pouvoir être visible de loin, et ceci dans plusieurs directions correspondant aux autres sommets.
Les clochers des églises, les tours
des châteaux faisaient en théorie le bonheur des astronomes. Pour connaître les invraisemblables aventures de Méchain et Delambre pendant les six ans de cette triangulation, en plein milieu de l’incroyable tourmente révolutionnaire de cette époque, nous renvoyons le lecteur au livre de Ken Alder dont les notes et références rendent ce qui y est raconté absolument convaincant.

Pourquoi donc Delambre dut-il se mettre à la couture ?

Delambre utilisait pour ses signaux un grand voile blanc visible de très loin. A Herment près de Clermond-Ferrand, la population locale prit ce tissu pour un drapeau royaliste, et Delambre dût coudre sur le voile deux bandes... rouge et bleue.

On y apprendra que les aubergistes n’acceptaient presque jamais les assignats des astronomes, qu’une attaque de horde de chiens fit perdre une journée de travail pendant la mesure de la base de Perpignan, qu’on les prit souvent pour des conspirateurs antirévolutionnaires ou même pour des sorciers, que Méchain frôla la folie pure pour ce qu’il pensait être une erreur de mesure, et finalement y laissa la vie dans les îles Baléares, et d’autres histoires tout aussi étonnantes.

Méchain était en vacances dans les Baléares ?

Les îles Baléares se situent au sud de Barcelone, et sont nécessaires aux géomètres de l’époque pour prolonger la mesure du méridien. Méchain y est mort de la « fièvre tierce », c’est-à-dire la malaria.

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Les triangles supplémentaires de Méchain entre Barcelone et les Îles Baléares

Hors les problèmes humains et logistiques, la difficulté de la mesure du méridien était diaboliquement triple, avec ses légions de sous-problèmes : premièrement, la précision des mesures prises sur le terrain ; deuxièmement, la correction théorique des erreurs qu’on commettait systématiquement, quelle que fût la qualité de la mesure, comme les problèmes liés à la réfraction de l’air [13], ou bien aux défauts optiques si la direction du signal n’était pas optimale pour les lentilles ; troisièmement, la compréhension de la géométrie de ces triangles terrestre et de leur lien avec la réelle forme de la Terre.

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Le cercle de Borda

Quant au nombre et la diversité de ces difficultés, la seule liste donnée par la table des matières de Méthodes analytiques pour la détermination d’un arc de méridien [14] daté de 1798 fait frémir. On y lit, entre autres, « Correction due aux variations du baromètre et du thermomètre », ou encore « Examen de l’erreur produite par une petite inclinaison dans le cercle qui sert à mesurer les distances au zénith ».

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De gauche à droite : le pied de roi, le pic de Constantinople, une vara, une demi-toise anglaise, une aune de Paris de 1554, une aune de Paris de 1746 et un mètre

Concernant le premier problème, celui de la précision des mesures, on se rend compte du degré de minutie et donc de lourdeur quand Delambre décrit le protocole géométrique qu’il s’astreignait à suivre dans les lieux où il effectuait les mesures [15].

Un exemple de premier problème

A Vignarcourt, Vouzon et Chaumont, j’observois dans l’intérieur de clochers embarrassés de charpente. Après avoir mesuré les dimensions intérieures du périmètre ABKD, j’abaissois des perpendiculaires sur deux faces voisines, telles que AD et DK, et l’on conçoit facilement de quelle manière je pouvois déterminer ma position par rapport au centre, c’est-à-dire la distance $r$ à ce centre, et l’angle $y$ qu’elle faisoit, avec les signaux que j’avais à observer. Dans ces cas, à la vérité, il étoit assez difficile de répondre du centre à deux pouces près ; mais il doit arriver bien rarement que cette erreur, déjà si légère, se porte en entier sur la longueur de notre méridienne.

Dans l’exemple ci-dessus, la précision de la position du signal atteignait deux pouces, soit environ... 5 centimètres ! En consultant les tables d’angles, par exemple sur la figure ci-dessous, on constate que les deux astronomes étaient la plupart du temps capables de trouver le bon angle à moins de deux secondes près
 [16], ce qui correspond sur un triangle d’environ 30 kilomètres à une erreur incroyablement faible de...

Sauriez-vous estimer cette erreur ?

... environ 30 centimètres.
En effet, considérons le triangle formé de deux côtés de R= trente kilomètres, soit $R=3.10^6$ centimètres, séparés d’un angle de deux secondes, et d’un troisième côté dont on veut trouver la longueur. L’angle est si petit que la longueur recherchée est presque celle de l’arc de cercle de rayon $R$ vu sous l’angle de 2 secondes. Puisque pour un angle de $360$ degrés, la longueur est de $2\pi R$, alors pour un angle de deux secondes, soit $\frac{2}{60\times 60}$ degrés,
la longueur du petit bout d’arc de cercle vaut $R \frac{2\pi}{360}\frac{2}{60\times 60}$, soit environ $30$ centimètres.

Par ailleurs, il faut approximativement cent triangles pour estimer les 1000 kilomètres environ du méridien entre Dunkerque et Barcelone. Or une erreur répétée une centaine de fois de trente centimètres engendre une erreur totale de 30 mètres. Trente mètres sur 1000 kilomètres, c’est une erreur de 30 millionièmes, ce qui est excellent.
En fait, lorsque les astronomes comparèrent la mesure réelle de la base du triangle près de Perpignan avec la mesure déduite de la mesure réelle de base près de Melun et des calculs tirés des angles de cinquante-trois triangles, ils trouvèrent une différence de moins de soixante centimètres [17], ce qui est absolument stupéfiant.

Pourquoi cette fabuleuse précision fut en un sens inutile !

Au retour des astronomes, il y eut un gros débat quand on réalisa que d’après leurs mesures, l’aplatissement de la Terre était deux fois plus important que celui estimé par toutes les autres expéditions géodésiques. Le problème, c’est que ce facteur deux changeait de 300 mètres la longueur de l’arc de méridien mesuré par les deux astronomes et... de 0,2 millimètres la taille du mètre ! Et les académiciens choisirent de conserver l’ancienne valeur de l’aplatissement ! Cette erreur paraît infime, et l’est pour la plupart des usages courants... mais pour une telle expédition et une telle énergie dépensée, savoir que ces 0,2 millimètres se sentent sous le doigt est plutôt désespérant...

Passons maintenant au second type de problème, celui des erreurs systématiques.

Un exemple du second problème [18]

On peut suivre les explications suivantes sur la figure ci-dessous.

Correction pour l’excentricité de la Lunette inférieure.
Quand on commence l’observation d’un angle ACB (fig. 1.), on met la lunette supérieure sur l’objet A, à droite, dans la direction CA. Si la lunette inférieure étoit concentrique, on la dirigeroit selon CB, et l’arc intercepté donneroit sur le limbe la mesure cherché. Mais à cause de l’excentricité CD, la lunette inférieure, qui est fixée en D, prend la direction DB.

Et Delambre d’estimer les termes correctifs.

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Le cercle de Borda géométrisé vue de haut

Concernant le troisième problème, pour chaque subtilité mathématique rencontrée, Delambre rédige un calcul réel par de la géométrie plane ou sphérique, puis des développements limités pour estimer les corrections sans trop souffrir.

Un exemple du troisième problème

Les cercles de Borda, qui ont servi à toutes nos opérations, permettent de répéter d’une manière presque indéfinie la mesure des distances des étoiles au zénith dans une même nuit pour en conclure la hauteur du pôle ; mais ces distances sont observées hors du méridien : elles ont besoin d’une correction. Je donne pour la calculer une série très-convergente, dont les deux premiers termes suffisent toujours, et des moyens faciles pour renfermer ces deux termes dans une table commode.

On trouvera, dans le même genre, un théorème de Legendre, cité régulièrement par Delambre dans ses ouvrages, qui permet de traiter un triangle sphérique
comme un triangle plat, quitte à changer un petit peu les angles, et dont la démonstration s’appuie assez simplement sur le développement limité à l’ordre
3 de la fonction sinus. [19]

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Tableau d’angles tiré de la Base du système métrique décimal, tome premier

À la toute fin d’une telle expédition, une question particulièrement naturelle mais tout autant angoissante pour les astronomes était la suivante : la mesure du méridien trouvée a-t-elle une chance de ne pas être trop éloignée de la valeur réelle ?

Au fait, c’est quoi la longueur du méridien ?

La définition de cette valeur réelle n’est d’ailleurs pas tout à fait claire. Si l’on entend par là la longueur du méridien réel, c’est-à-dire en tenant compte de la moindre aspérité de la surface de la Terre, la nature fractale de l’arc à mesurer indique que cette valeur est infinie [20]. Il faut donc supposer que la surface de la Terre est lisse, et dans le cas des astronomes, qu’elle est un ellipsoïde.

À chaque mesure, les savants savaient qu’ils commettaient une erreur. Afin de rendre celle-ci très petite, ils effectuaient vingt fois la même mesure, ce que le cercle de Borda permettait de faire en réduisant à chaque fois l’erreur. Mais il y avait toujours une petite chance pour qu’ils se fussent trompé sérieusement vingt fois ! La théorie des probabilités permet d’estimer cette faible malchance. Si au total il y a une probabilité très faible pour que le résultat obtenu s’écarte trop du vrai résultat, alors on peut avoir une grande confiance en la mesure.

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Je n’ai pas trouvé dans les travaux de Delambre issus directement de l’expédition de la méridienne de tels arguments. Ces commentaires arrivent plus tard, à la fin des années dix, sans doute parce que Laplace ne publie ses résultats concernant le théorème central limite (qui alors ne s’applique qu’à la loi binomiale) [21], en particulier sa Théorie analytique des probabilités, qu’à partir de 1810.

Delambre a suffisamment enduré de souffrances lors de l’aventure du méridien pour ne pas jouir à plein de sa victoire.

La tentative de mesure du mètre par les Anglais vue par un Delambre vindicatif [22]

Pendant que les astronomes François travailloient à déterminer la grandeur de la terre pour en faire la base dun système de nouvelles mesures, M. Shuckburgh, en Angleterre, cherchoit à fixer le rapport des mesures Angloises avec le pendule qui bat les secondes à la latitudes de 51,5 degrés ; il se servoit de deux pendules, dont l’un battoit quarante-deux fois et l’autre quatre-vingt-quatre dans une minute. Ces expériences, faites avec un très-grand soin, devoient donner ce rapport avec une extrême précision ; mais la plus grande difficulté devoit se trouver où l’on l’attendoit le moins. Deux étalons également authentiques des mesures Angloises, celui de la Tour de Londres et celui de la cour de l’Échiquier, quoique faits tous deux par des artistes de très-grande réputation (Graham et Bird), se sont trouvés différer entre eux d’une manière sensible, qui a prouvé le danger de ces mesures arbitraires dont le modèle naturel n’existe nulle part, qu’on ne peut suffisamment vérifier, qui peuvent s’altérer et se perdre sans retour.

Conclusion de ce premier volet

La précision des calculs et surtout de leur vérification expérimentale a toujours été l’une des armes de la science. Sans l’incroyable finesse des mesures de Tycho Brahé, Kepler n’aurait sans doute pas perçu l’infime écart qui faisait passer la trajectoire de Mars d’un cercle à une ellipse. Du temps de Delambre, ce besoin scientifique de précision se doublait d’un impératif politique : l’Humanité allait fonder ses décisions sur la Nature, et non plus sur l’arbitraire des tyrans et des traditions locales. Par la moindre marge d’erreur pouvait se glisser la dissension et la division des peuples. Le Delambre astronome et le Delambre mesureur du méridien bénéficia donc de ce double enjeu pour faire reconnaître ses talents.

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La géométrie précise des tours ou clochers
Tiré des Mesures pour la base du système métrique décimal

Qu’en est-il aujourd’hui de ces enjeux ? La précision est d’une importance fondamentale pour la technologie et l’industrie. Les horloges se doivent non seulement d’être atomiques, mais aussi de tenir compte des infimes variations de l’écoulement du temps dues à la faible gravité quand elles sont emportées par les satellites. Mais la pure performance de précision a largement perdu de son aura, d’autant plus qu’elle est la plupart du temps réalisée par des ordinateurs anonymes. Et quand elles font la une des journaux, c’est pour valider une nouvelle théorie ou infirmer une ancienne...

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Le viaduc de Millau. Les piles du pont se devaient d’être verticales au millimètre près. Sans le laser et le GPS et leur précision légendaire, pas de pont !

Second volet : le teaser

Le second volet est consacré non plus aux prouesses scientifiques et techniques de Delambre, mais à ses qualités réjouissantes d’historien sarcastique, à ses opinions politiques et à sa vision de la science, et même de l’addiction aux jeux. De nombreux bandeaux rouges amusants ou déroutants à cliquer vous attendent !

Post-scriptum :

Je remercie, pour leur relecture attentive, les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Jean-Michel Muller, chuy, Michel Mouyssinat, Victorieuse et Avner Bar-Hen, ainsi qu’Estelle Veyron La Croix.

Article édité par Bertrand Rémy

Notes

[1Comme le dit sobrement la NASA sur son site, « this mission was unsuccesful due to navigation error caused by the failure to translate English units to metric ». Plus précisément, LMA utilisait comme unité de force le pound-force, tandis que la JPL s’exprimait dans l’unité internationale, le newton. Au total, l’action des propulseurs a été sous-estimée d’un facteur 4,45.

[2La création d’une mesure universelle présente toujours une facette politique et idéologique. Le Produit Intérieur Brut comme étalon de la richesse nationale, ou plus près d’IDM la contestation des indicateurs bibliométriques des chercheurs ou des classements internationaux des universités, sont des exemples critiqués de telles mesures.

[3Cité par Delambre dans sa Base du système métrique décimal, ou mesure de l’arc du méridien entre Dunkerque et Barcelone, tome premier, 1806, p 15, à voir et télécharger sur le formidable site de la Bibliothèque de France, Gallica.

[4Les trois tomes de la Base du système métrique décimal, 1806, à lire sur Gallica.

[5Échec qui est omis dans l’Éloge de M. Delambre rédigée par Joseph Fourier en 1823, alors secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences.

[6Téléchargeable en trois tomes ici.

[7Histoire de l’Astronomie au dix-huitième siècle, 1827, disponible sur Gallica.

[8Pour l’histoire de cet imprimeur scientifique, cliquez ici.

[9Delambre reçut en effet l’un des prix de l’Académie des Sciences pour ces tables.

[10Disponible chez nos amis les Américains ici.

[11Méthode qu’on peut trouver dans son ouvrage Exposition du système du monde, disponible sur... Gallica !

[12On trouvera aux pages 9 et 10 de l’article d’É. Ghys Résonances et petits diviseurs une explication très simple de ces idées.

[13La réfraction de l’air est le phénomène de courbure des rayons lumineux en raison de la variation de densité ou de température de l’atmosphère, dont un cas extrême est le mirage.

[14Méthodes analytiques pour la détermination d’un arc de méridien, 1799, disponible ici.

[15Op. cit., p 33

[16Par ailleurs, au vu des tables d’angles données par Delambre, un paradoxe saute aux yeux : le cercle répétiteur avait une précision d’une seconde d’angle, mais les angles sont donnés avec une précision d’un centième de seconde. La réponse tient à la particularité du cercle de Borda (voir le dessin) : cet instrument permettait d’additionner un nombre $n$ de mesures du même angle, au total disons $\alpha$, si bien que les astronomes notaient comme résultat la moyenne $\frac{\alpha}{n}$. De plus, il est raisonnable
de penser qu’en moyenne, s’il n’y a pas de défaut constant, la mesure est bien l’angle réel.

[17Base du système métrique, tome troisième, p 419.

[18Méthodes analytiques pour la détermination d’un arc du méridien, p 18.

[19Op. cit., p 13.

[20À ce sujet, voir cet article d’IdM, où il est mentionné que la côte française possède une dimension fractale de 1,3.

[21Dans cet article d’IDM, on trouvera une explication de ce théorème.

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Pour citer cet article :

Damien Gayet — «Un homme à la mesure du mètre - I» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Crédits image :

La sonde Mars Orbiter, vue d’artiste - Nasa
Assignat de 1792 - Wikipedia
L’ellipsoïde terrestre exagérément aplati - Jos Leys
De gauche à droite : le pied de roi, le pic de Constantinople, une vara, une demi-toise anglaise, une aune de Paris de 1554, une aune de Paris de 1746 et un mètre - Musée des arts et métiers/S. Pelly
Usage des nouvelles mesures - Musées de la ville de Paris
Joseph Delambre par Julien Leopold Boilly (1820) - Wikipedia
L’hôtel d’Assy, maintenant les Archives nationales - Archives nationales
Mercure passant devant le Soleil - Wikipedia
Jérôme Lalande (1732-1807) - Wikipedia
Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) - Wikipedia
Les triangles de Méchain entre Barcelone et la Montagne d’Alaric - Gallica
Les triangles de Delambre entre Dunkerque et Paris - Gallica
Image du film Un mètre pour mesurer le Monde, Axel Engstfeld, 2010 - Axel Engstfeld
Le cercle de Borda géométrisé vue de haut - Gallica
Le cercle de Borda - Gallica
Tableau d’angles tiré de la Base du système métrique décimal, tome premier - Gallica
Timbre célébrant les expéditions de La Condamine et Maupertuis - La Poste
Un téléscope semblable à celui qui a permis à Herschel de découvrir Uranus - Wikipedia
Pierre Méchain (1698-1759) - Wikipedia
Pierre Louis Maupertuis (1698-1759) - Wikipedia
Jeu de cartes révolutionnaire, 1793-1794 - BNF, Gallica
Napoleon Bonaparte vu par les Anglais - BNF, Gallica
La Tour de Babel, Pieter Bruegel l’Ancien (1525-1569) - Kunsthistorisches Museum, Vienne
Les triangles supplémentaires de Méchain entre Barcelone et les Îles Baléares - Observatoire de Paris
Claude Henri de Saint-Simon par Charles Baugniet (1848) - Wikipedia
La Voie Lactée selon Friedrich Wilhelm Herschel - Bibliothèque de l’Observatoire de Paris
Comète de 1664-1665 par Johannes Hevelius - Bibliothèque de l’Observatoire de Paris
Neptune et sa tache sombre - Nasa
Lettre de Prony à Delambre datée de l’an 2 de la République - Michel Mouyssinat
Lettre de Delambre avec l’en-tête de l’Institut - Michel Mouyssinat
Fluides turbulents - LMFA
La géométrie précise des tours ou clochers - Gallica

Commentaire sur l'article

  • Un homme à la mesure du mètre - I

    le 24 février 2012 à 15:36, par Frank Wolff

    Bonjour,

    du point de vue « métrique » je ne parviens pas à comprendre la nécessité de connaître par la mesure la longueur totale d’un méridien, qui est par définition de 40 millions de mètres.

    A part la possibilité de convertir en mètres les unités préexistantes, mais comme on sait qu’elles étaient « arbitraires et locales », le coté « universel » du mètre n’est-il pas alors rattrapé par ses racines ?

    Du reste sait-on quelle unité de mesure était utilisée par Delambre ?

    Répondre à ce message
    • Un homme à la mesure du mètre - I

      le 27 février 2012 à 10:09, par Damien Gayet

      Bonjour,

      Pour toute unité de mesure, il faut un étalon, c’est-à-dire un objet réel dont les paramètres seront considérés comme valant « un » dans ce système de mesure. On peut prendre n’importe quoi, et décréter qu’il fait « un mètre ».

      Mais bien entendu, toute cette histoire consite justement à créer un objet dont les dimensions seraient « universelles ». La taille de la Terre, dont on pensait qu’elle était plus ou moins régulière, convenait bien. Les révolutionnaires ont donc construit une barre en métal à partir des mesures de Méchain et Delambre, et dont on disait qu’elle était « un mètre ».

      Ensuite on en faisait des copies qu’on envoyait partout en France, et remplaçait les unités de mesures locales. Mais vous avez raison, le passage de l’ancienne à la nouvelle n’était absolument pas clair : comment traduire une hommée en mètres et secondes ?? Ce passage (voir la note au sujet des « mesures arriérées ») a été aussi un passage en force idéologique, qui stipule qu’il existe des paramètres universels pour l’économie, ce qui n’est absolument pas évident.

      Par ailleurs, et c’est plutôt le sens de votre question, le passage moins idéologique du pied au mètre se faisait approximativement, certes, mais ensuite les gens s’exprimaient dans une mesure nationale, voire internationale, et qui ne varierait pas avec le temps. Un peu comme le passage à l’euro a fait sans doute grimper le prix « réel » (par rapport au salaire moyen disons) du café, mais maintenant on peut comparer les prix des cafés (quelle victoire !) avec l’Italie et l’Allemagne (pour l’instant !)

      Il y avait bien une forte résistance à utiliser ces nouvelles mesures. Par exemple, le temps décimal (avec les semaines de dix jours) n’a jamais réussi à percer et a disparu rapidement.

      Cordialement, D. Gayet

      Répondre à ce message

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