La désunion des unités

La sonde Mars Orbiter, vue d’artiste

Le 23 septembre 1999, à 11h30 heure française, les contrôleurs de la NASA ont des suées froides. La sonde américaine Mars Climate Orbiter, envoyée étudier la Planète Rouge et qui a coûté la bagatelle de
150 millions de dollars, ne répond plus. Et pour cause, elle était en feu. Que s’était-il passé ? Un astéroïde l’avait-il percutée ? Des Martiens belliqueux l’avaient-ils carbonisée ? La sonde était arrivée en fait à une altitude martienne de 57 kilomètres, en pleine atmosphère, au lieu des 140 kilomètres prévus, si bien qu’elle avait pris feu. La coupable de ce fatal grand écart, une grotesque erreur tellement humaine qu’ elle en est absurde : la société Lockheed Martin Astronautics de Denver, Colorado, qui a conçu la sonde, collaborait sur ce programme avec les Californiens de la Jet Propulsion Laboratory. Pendant quatre ans, les ingénieurs de la JPL utilisèrent le système métrique, alors que la LMA faisaient tous leurs calculs selon le système américain des miles, gallons et autres livres. Le hic, c’est que personne n’avait pensé à effectuer les conversions d’unités ! La trajectoire de la sonde était donc totalement faussée [1].

N’y a-t-il pas un peu de Tour de Babel dans cette histoire ? Le Dieu Mars aurait-il propagé la diversité des mesures pour préserver la tranquillité de sa planète éponyme ? Ce n’est peut-être pas pour rien qu’il y a plus de deux siècles des savants, pour la plupart athées, militèrent pour l’adoption sur Terre d’une unique mesure de longueur universelle, le mètre. Nous allons évoquer les aventures réelles et intellectuelles de l’un de ces hommes, Joseph Delambre, un astronome des Lumières hors du commun.

La Tour de Babel, Pieter Bruegel l’Ancien (1525-1569)

Le mètre révolutionnaire

L’ellipsoïde terrestre exagérément aplati

Oui, d’où vient le mètre, au fait ? Revenons à la la fin du dix-huitième siècle, mais en France. Toise, pied, pouce et autres boisseaux, pintes et livres étaient des mesures plus ou moins communes, mais définies de façon arbitraire et locale : un étalon municipal ou un creux dans la pierre de halles servait de référence. Une mesure pouvait même posséder des valeurs très différentes sous la même appellation en fonction de l’endroit où on l’utilisait. Par ailleurs, la nature de la mesure choisie étaient fondamentalement liée à l’activité qu’elle concernait.

La Révolution décide d’abolir ces particularismes incompatibles avec la nouvelle philosophie universaliste qui l’a fondée, et de définir pour les mesures liées à la longueur un étalon, le mètre, qui sera valable pour la France entière et même, porté par les idéaux des Lumières, pour la Terre entière. Il était tout à fait possible de choisir comme mètre la longueur d’une certaine règle, mais l’enjeu était justement d’éviter tout arbitraire.

En 1791, afin que toute personne sur Terre puisse s’approprier le nouvel étalon de longueur, et que celui-ci soit donc exempt de tout particularisme, l’Académie des Sciences décide que le mètre serait une proportion donnée d’une longueur terrestre. On savait à l’époque que la Terre n’était pas parfaitement sphérique, mais ressemblait plutôt à un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles (voir la figure ci-dessus). Newton l’avait prédit théoriquement, les expéditions de Maupertuis et Clairaut en Laponie ainsi que de Bouguer et de la Condamine au Pérou en 1734 l’avaient confirmé. Dans ce cas, quelle pouvait être une longueur naturelle ? Le premier candidat était celle de l’équateur. Le second, celle d’un méridien, légèrement plus petite que la première (d’environ trois centièmes). L’Académie, en l’occurence Borda, Lagrange, Laplace, Monge et Condorcet, optèrent pour la seconde solution.

La commission chargea deux astronomes, Pierre Méchain et Jean-Baptiste Delambre, de mesurer la portion d’arc de méridien entre Dunkerque et Barcelone. Cet arc de neuf degrés et demi formait donc environ un dixième du quart du méridien. Connaissant précisément la longueur de cette partie ainsi que l’angle de cet arc, on en déduirait la longueur totale d’un méridien.

Ce qui nous paraît être une banale affaire de mesure s’avéra être une incroyable aventure relatée dans l’ouvrage Mesurer le monde de Ken Adler, mais également par Delambre lui-même dans la Base du système métrique décimal [4]. Pendant plus de six ans, de juin 1792 à novembre 1798, les deux scientifiques sacrifièrent à la mesure de cet arc leur énergie et leur santé. Méchain y perdit même une partie de la raison, et enfin en mourut. Delambre avait pour mission de mesurer le méridien entre Dunkerque et Rodez, et Méchain, entre Rodez et Barcelone.

Usage des nouvelles mesures

Un autodidacte amiénois à Paris

Joseph Delambre par Julien Leopold Boilly (1820)

Comment l’Académie avait-elle pu choisir pour cette mission fondamentale Delambre, un astronome qui ne s’était mis à l’astronomie qu’à trente-cinq ans ?
Né en 1749 à Amiens, fils d’un drapier modeste, Jean-Baptiste Delambre se fit
remarquer au collège par sa prodigieuse mémoire et son goût pour les langues et la littérature. Encouragé par l’abbé Jacques Delille, professeur à Amiens, mais surtout poète et traducteur fameux et qui sera plus tard élu à l’Académie française, Delambre « monta » à Paris grâce à une bourse municipale et suivit les cours du Collège du Plessy. Il échoua malheureusement aux examens à cause de sa mauvaise vue [5].

Sommé de revenir au bercail amiénois par sa famille qui n’avait pas les moyens de subvenir à ses études parisiennes, Delambre refusa et plongea dans l’ascétisme, ne se nourrissant que de pain pendant plusieurs mois mais jouissant de l’atmosphère des Lumières en fréquentant les cafés et autres clubs littéraires.
Il accepta ensuite un poste de précepteur pour le fils d’un noble à Compiègne, ce qui l’obligea à apprendre les mathématiques... afin de pouvoir les enseigner à son élève. Il obtint ensuite à vingt-deux ans une place autrement plus intéressante, celle de précepteur chez Jean-Claude Geoffroy d’Assy, le receveur général des finances.

L’hôtel d’Assy, maintenant les Archives nationales

Helléniste plus que distingué, Delambre lisait dans le texte les auteurs grecs, en particulier les astronomes. Afin de parfaire sa connaissance en la matière, il lut l’Astronomie de Jérôme Lalande [6]. Puis il se mit à suivre au Collège de France les cours de son idole, et se fit rapidement remarquer par sa perspicacité et sa connaissance encyclopédique de l’astronomie et des Grecs. En 1783, Lalande lança la carrière d’astronome de Delambre en lui prêtant un sextant puis en utilisant ses mesures pour une nouvelle édition de son Histoire. Rapidement Delambre, qui a alors totalement recouvré toute la finesse de la vue, acquit une réputation de grand astronome. En 1787, les d’Assy firent construire pour leur précepteur préféré un observatoire en haut de leur résidence.

Les planètes de la célébrité

Mercure passant devant le Soleil

En 1786, Delambre se fait connaître lors d’un passage de Mercure devant le Soleil. Alors que le ciel de Paris est nuageux et que tous les observateurs ont abandonné leur position, Delambre reste au poste, et vers huit heures du matin, lors d’une éclaircie, il constate l’apparition de Mercure... quarante minutes après l’heure prédite par son maître, Lalande. Delambre supputait que les tables de ce dernier n’étaient pas correctes. Lalande ne s’en offusqua pas.

Lalande, ce personnage truculent, disait de lui-même

Jérôme Lalande (1732-1807)

Comme Delambre le raconte lui-même
dans sa propre Histoire de l’Astronomie au dix-huitième siècle [7] de 1827 publiée à titre posthume chez Bachelier [8],

Uranus. Découvert par Herschel le 13 mars 1781, vers les pieds des Gémeaux. [...] Les tables de Delambre, faites en 1789, couronnées [9] en 1789, et publiées en 1790 dans l’Astronomie de Lalande, ont servi jusqu’à présent aux calculateurs d’éphémérides.

Comment Delambre construisait-il ses tables et pourquoi eurent-elles autant de succès ? Voici ce qu’en dit Joseph Fourier, lors de son éloge funèbre en 1823 [10] :

Avant lui, les calculs astronomiques étaient fondés sur des méthodes numériques, indirectes et irrégulières ; il les a toutes changées ou perfectionnées. La plupart de celles dont les astronomes se servent aujourd’hui lui appartiennent : il les a déduites de formules analytiques qui rendent les opération plus sûres, plus uniformes et plus faciles.

Pierre Simon Laplace (1749 - 1827)

En fait, Delambre s’était enthousiasmé de la toute nouvelle méthode des perturbations de Laplace [11]. Comme le raconte Fourier dans son Éloge,

il assistait à la séance de l’Académie des
sciences de Paris où M. de Laplace venait de communiquer
ses importantes découvertes sur les inégalités respectives de
Saturne et de Jupiter ; Delambre forma aussitôt le dessein
d’appliquer les résultats de cette profonde analyse, et de
perfectionner ainsi les tables des deux planètes.

Delambre fut également célèbre pour ses tables précises du Soleil, de la Lune, de Jupiter ainsi que de ses satellites. Voici ce qu’en dit Fourier :

Delambre s’appliqua surtout à celles des satellites de Jupiter
 ; entreprise difficile et d’une prodigieuse étendue, dans
laquelle il lut soutenu par deux motifs puissants, l’utilité publique et la grandeur propre du sujet.

Le méridien de la gloire

Image du film Un mètre pour mesurer le Monde, Axel Engstfeld, 2010

Assignat de 1792

La méthode pour mesurer la partie du méridien passant par Paris entre Dunkerque et Barcelone, utilisée depuis la Renaissance, est celle de la triangulation. Au lieu de mesurer bêtement un millier de kilomètres, on mesure les angles d’une suite de triangles adjacents.

Si l’on connaît précisément la longueur d’un seul côté d’un seul triangle, côté que les arpenteurs appellent base, on connaît donc toutes les longueurs de tous les triangles, et par d’élémentaires opérations géométriques, on peut déterminer la longueur du méridien. On trouvera d’autres explications ici.

Les triangles de Delambre entre Dunkerque et Paris

Les triangles de Méchain entre Barcelone et la Montagne d’Alaric

Les longueurs des triangles étaient d’une trentaine de kilomètres, et il a fallu quatre-vingt-dix de ces triangles pour la mesure de la méridienne. Pour chaque sommet d’un triangle, il fallait trouver un endroit sûr, stable dans le temps (si par exemple il fallait revenir faire une mesure),
et suffisamment haut pour pouvoir être visible de loin, et ceci dans plusieurs directions correspondant aux autres sommets.
Les clochers des églises, les tours
des châteaux faisaient en théorie le bonheur des astronomes. Pour connaître les invraisemblables aventures de Méchain et Delambre pendant les six ans de cette triangulation, en plein milieu de l’incroyable tourmente révolutionnaire de cette époque, nous renvoyons le lecteur au livre de Ken Alder dont les notes et références rendent ce qui y est raconté absolument convaincant.

On y apprendra que les aubergistes n’acceptaient presque jamais les assignats des astronomes, qu’une attaque de horde de chiens fit perdre une journée de travail pendant la mesure de la base de Perpignan, qu’on les prit souvent pour des conspirateurs antirévolutionnaires ou même pour des sorciers, que Méchain frôla la folie pure pour ce qu’il pensait être une erreur de mesure, et finalement y laissa la vie dans les îles Baléares, et d’autres histoires tout aussi étonnantes.

Hors les problèmes humains et logistiques, la difficulté de la mesure du méridien était diaboliquement triple, avec ses légions de sous-problèmes : premièrement, la précision des mesures prises sur le terrain ; deuxièmement, la correction théorique des erreurs qu’on commettait systématiquement, quelle que fût la qualité de la mesure, comme les problèmes liés à la réfraction de l’air [13], ou bien aux défauts optiques si la direction du signal n’était pas optimale pour les lentilles ; troisièmement, la compréhension de la géométrie de ces triangles terrestre et de leur lien avec la réelle forme de la Terre.

Le cercle de Borda

Quant au nombre et la diversité de ces difficultés, la seule liste donnée par la table des matières de Méthodes analytiques pour la détermination d’un arc de méridien [14] daté de 1798 fait frémir. On y lit, entre autres, « Correction due aux variations du baromètre et du thermomètre », ou encore « Examen de l’erreur produite par une petite inclinaison dans le cercle qui sert à mesurer les distances au zénith ».

De gauche à droite : le pied de roi, le pic de Constantinople, une vara, une demi-toise anglaise, une aune de Paris de 1554, une aune de Paris de 1746 et un mètre

Concernant le premier problème, celui de la précision des mesures, on se rend compte du degré de minutie et donc de lourdeur quand Delambre décrit le protocole géométrique qu’il s’astreignait à suivre dans les lieux où il effectuait les mesures [15].

Dans l’exemple ci-dessus, la précision de la position du signal atteignait deux pouces, soit environ... 5 centimètres ! En consultant les tables d’angles, par exemple sur la figure ci-dessous, on constate que les deux astronomes étaient la plupart du temps capables de trouver le bon angle à moins de deux secondes près
 [16], ce qui correspond sur un triangle d’environ 30 kilomètres à une erreur incroyablement faible de...

Par ailleurs, il faut approximativement cent triangles pour estimer les 1000 kilomètres environ du méridien entre Dunkerque et Barcelone. Or une erreur répétée une centaine de fois de trente centimètres engendre une erreur totale de 30 mètres. Trente mètres sur 1000 kilomètres, c’est une erreur de 30 millionièmes, ce qui est excellent.
En fait, lorsque les astronomes comparèrent la mesure réelle de la base du triangle près de Perpignan avec la mesure déduite de la mesure réelle de base près de Melun et des calculs tirés des angles de cinquante-trois triangles, ils trouvèrent une différence de moins de soixante centimètres [17], ce qui est absolument stupéfiant.

Passons maintenant au second type de problème, celui des erreurs systématiques.

Concernant le troisième problème, pour chaque subtilité mathématique rencontrée, Delambre rédige un calcul réel par de la géométrie plane ou sphérique, puis des développements limités pour estimer les corrections sans trop souffrir.

On trouvera, dans le même genre, un théorème de Legendre, cité régulièrement par Delambre dans ses ouvrages, qui permet de traiter un triangle sphérique
comme un triangle plat, quitte à changer un petit peu les angles, et dont la démonstration s’appuie assez simplement sur le développement limité à l’ordre
3 de la fonction sinus. [19]

Tableau d’angles tiré de la Base du système métrique décimal, tome premier

À la toute fin d’une telle expédition, une question particulièrement naturelle mais tout autant angoissante pour les astronomes était la suivante : la mesure du méridien trouvée a-t-elle une chance de ne pas être trop éloignée de la valeur réelle ?

À chaque mesure, les savants savaient qu’ils commettaient une erreur. Afin de rendre celle-ci très petite, ils effectuaient vingt fois la même mesure, ce que le cercle de Borda permettait de faire en réduisant à chaque fois l’erreur. Mais il y avait toujours une petite chance pour qu’ils se fussent trompé sérieusement vingt fois ! La théorie des probabilités permet d’estimer cette faible malchance. Si au total il y a une probabilité très faible pour que le résultat obtenu s’écarte trop du vrai résultat, alors on peut avoir une grande confiance en la mesure.

Je n’ai pas trouvé dans les travaux de Delambre issus directement de l’expédition de la méridienne de tels arguments. Ces commentaires arrivent plus tard, à la fin des années dix, sans doute parce que Laplace ne publie ses résultats concernant le théorème central limite (qui alors ne s’applique qu’à la loi binomiale) [21], en particulier sa Théorie analytique des probabilités, qu’à partir de 1810.

Delambre a suffisamment enduré de souffrances lors de l’aventure du méridien pour ne pas jouir à plein de sa victoire.

Conclusion de ce premier volet

La précision des calculs et surtout de leur vérification expérimentale a toujours été l’une des armes de la science. Sans l’incroyable finesse des mesures de Tycho Brahé, Kepler n’aurait sans doute pas perçu l’infime écart qui faisait passer la trajectoire de Mars d’un cercle à une ellipse. Du temps de Delambre, ce besoin scientifique de précision se doublait d’un impératif politique : l’Humanité allait fonder ses décisions sur la Nature, et non plus sur l’arbitraire des tyrans et des traditions locales. Par la moindre marge d’erreur pouvait se glisser la dissension et la division des peuples. Le Delambre astronome et le Delambre mesureur du méridien bénéficia donc de ce double enjeu pour faire reconnaître ses talents.

La géométrie précise des tours ou clochers

Tiré des Mesures pour la base du système métrique décimal

Qu’en est-il aujourd’hui de ces enjeux ? La précision est d’une importance fondamentale pour la technologie et l’industrie. Les horloges se doivent non seulement d’être atomiques, mais aussi de tenir compte des infimes variations de l’écoulement du temps dues à la faible gravité quand elles sont emportées par les satellites. Mais la pure performance de précision a largement perdu de son aura, d’autant plus qu’elle est la plupart du temps réalisée par des ordinateurs anonymes. Et quand elles font la une des journaux, c’est pour valider une nouvelle théorie ou infirmer une ancienne...

Le viaduc de Millau. Les piles du pont se devaient d’être verticales au millimètre près. Sans le laser et le GPS et leur précision légendaire, pas de pont !