Un journal mathématique néerlandais au XVIIIe siècle - Le Passe-Temps mathématique (1754-1769)

Piste bleue Le 15 mars 2018  - Ecrit par  Jenneke Krüger Voir les commentaires

Au XVIIIe siècle, aux Pays-Bas, beaucoup d’instituteurs avaient besoin d’améliorer leur connaissance des mathématiques. Ainsi quand le libraire Pieter Jordaan voulut publier des nouvelles mensuelles des écoles néerlandaises et françaises, il ajouta quelques feuilles consacrées aux mathématiques pour favoriser la vente. Son journal, intitulé Le Passe-temps mathématique, fut assez populaire pendant une quinzaine d’années.

1 - Les mathématiques aux Pays-Bas

Au XVIIIe siècle, l’image des mathématiques était assez bonne aux Pays-Bas, principalement pour deux raisons :

• Leur utilité, par exemple pour les marchands, les comptables, les arpenteurs géomètres, la navigation, l’architecture, la gestion de l’eau.

• La philosophie des Lumières, très prisée aux Pays-Bas, qui accordait de l’importance aux sciences naturelles et aux mathématiques dans l’éducation ; les étudier permettait de mieux connaître la création de Dieu (van Berkel, 1999).

Les mathématiques ‘pures’ comme les ‘mixtes’, ainsi distinguées par Christian Wolff (1679-1754) (Bos, 2006) et Diderot et d’Alembert dans le Discours préliminaire de l’Encyclopédie (1750/1752), étaient appréciés aux Pays-Bas. La comptabilité, la géométrie, l’algèbre, la trigonométrie ou encore la navigation s’apprenaient dans des livres ou en prenant des leçons avec un enseignant privé.

Van Maanen (2006) indique qu’aux Pays-Bas, les connaissances mathématiques étaient principalement partagées par des praticiens, via des ouvrages qu’ils écrivaient et l’enseignement qu’ils dispensaient à leurs étudiants. Les mathématiques, pures et mixtes, étaient également étudiées dans certaines universités, et dans quelques écoles navales via l’enseignement de la navigation. Enfin, certaines parties de mathématiques étaient enseignées dans les différentes écoles primaires et supérieures. En général les mathématiques étaient considérées comme utiles, pour les adultes comme pour les enfants.

La première société savante aux Pays-Bas — la Société hollandaise des sciences (Hollandsche Maatschappij der Wetenschappen) — fut établie à Haarlem en 1752 et des Mémoires de la Société furent publiés dès 1754. Parmi ses membres, on trouve des professeurs mathématiques comme L. Praalder (Utrecht) et J.H. Van Swinden (Amsterdam), des praticiens comme C. L. Brunings, inspecteur des Rivières en Hollande, mais aussi des savants étrangers, comme C. Hutton, M. C. Cassini, A. Lavoisier et G. Monge. Si plusieurs amateurs et instituteurs étaient membres de la Société mathématique de Hambourg créée en 1690, la première Société mathématique aux Pays-Bas fut instituée en 1778, par des instituteurs et praticiens des mathématiques.

2 - L’enseignement

JPEG - 73.5 ko
Figure 1 - Les Pays-Bas en 1750

Toutes les villes et beaucoup de villages avaient une école primaire. L’instituteur, qui était payé par l’administration municipale et par l’Église, enseignait le catéchisme, les cantiques, la lecture, l’écriture et l’arithmétique. Dans les plus grandes villes existaient également des « écoles françaises », écoles primaires privées proposant une éducation avancée, dispensée partiellement ou totalement en français et intégrant la lecture, l’écriture, ainsi que l’arithmétique, la géométrie, la comptabilité, la géographie, la danse ou encore l’escrime (Krüger, 2014a). Dans quelques villes, comme Amsterdam et Deventer, les mathématiques — la géométrie, l’arithmétique, la fortification ou la navigation par exemple — étaient également enseignées dans une école supérieure, nommée ‘athenaeum illustre’.

Au cours du XVIIIe siècle, même s’il n’existait pas encore de système national de formation des enseignants, de plus en plus d’administrations municipales demandaient que les candidats à un poste d’instituteur dans une école primaire participent à un concours dans lequel des problèmes mathématiques occupaient une place importante. C’était surtout le cas dans l’ouest du pays (fig. 1) où il y avait de nombreuses petites villes, comme Purmerend, Zaandijk, Wormerveer, Monnikendam [1] : l’activité économique y était plus importante et on y trouvait plus d’instituteurs. Une qualification en mathématiques permettait également d’attirer des étudiants privés qui souhaitaient une formation mathématique, élémentaire ou plus avancée, en géométrie, algèbre, comptabilité ou navigation. Il n’y avait pas encore beaucoup de professeurs de mathématiques (Smid, 2014), mais beaucoup d’instituteurs et d’autres personnes devaient ou voulaient enseigner les mathématiques.

3 - Passe-temps mathématique : les tout premiers mois

JPEG - 49.9 ko
Figure 2 - Le frontispice du deuxième volume

C’est dans ce contexte que Pieter Jordaan, libraire à Purmerend, inaugura en 1754 un journal mensuel qu’il intitula Passe-temps mathématique avec les Nouvelles des écoles françaises et néerlandaises (Mathematische Liefhebberye, met het Nieuws der Fransche en Duytsche Schoolen in Nederland) [2]. Le journal était composé de deux parties : 1) les Mathématiques ; 2) les Nouvelles pour les Écoles primaires Néerlandaises et Françaises (fig. 2).

Comme il l’écrivit dans la préface du premier numéro en avril 1754, il voulait publier les Nouvelles des Écoles primaires. Pensant que celles-ci seraient difficiles à vendre, il avait eu l’idée d’y ajouter quelques feuilles sur les mathématiques, particulièrement sur l’arithmétique et l’algèbre qui constituaient des sujets importants pour les enseignants.

Purmerend était une petite ville dans l’ouest de la République, une région où demeuraient beaucoup d’enseignants en mathématiques [3]. Malgré son titre, le contenu et le rythme mensuel de publication du Passe-temps mathématique indiquent que c’était surtout un journal professionnel pour les instituteurs, le premier aux Pays-Bas. Jordaan publia le journal d’avril 1754 à décembre 1769.

3.1 - Les Nouvelles

Des correspondants, le plus souvent des instituteurs, envoyaient les nouvelles des écoles à Jordaan. Nous ne savons pas comment ceux-ci sont devenus correspondants, peut-être par le réseau de Jordaan ou grâce à des petites annonces dans les journaux. En juin 1755, il y avait 45 correspondants dont la majorité exerçait dans l’ouest du pays. Les Nouvelles contenaient les annonces de postes pour instituteurs, les questions des concours pour ces postes, des listes de cantiques pour tous les dimanches, les listes des noms d’instituteurs de chaque région, ou encore des articles sur une nouvelle assurance pour les veuves des instituteurs. Étaient également publiés des avertissements contre des imposteurs, qui ne payaient pas leurs leçons d’arpentage par exemple (Mathematische Liefhebberye, 1759).

Les questions des concours pour les postes d’instituteur dans les écoles néerlandaises formaient une catégorie particulière. Elles étaient publiées dans la partie Nouvelles, les réponses étant publiées dans le Passe-temps mathématique. En 1754, Jordaan publia également l’ensemble des réponses aux concours d’avril à décembre, sous la forme d’un volume au prix de 35 centimes. Elles étaient rédigées par Pieter Joffer, instituteur à Oost-Zaandam. On retrouve dans l’avant-propos des traces de débats sur les vertus de l’usage de l’algèbre et de la géométrie. Ainsi, parmi les praticiens des mathématiques et les instituteurs, certains préféraient user de la géométrie le plus possible, d’autres, dont Joffer, préféraient les solutions algébriques. Dans certains cas, la nature de la solution attendue était explicitement imposée : par exemple, dans l’avant-propos, les lecteurs étaient appelés à résoudre par l’algèbre les questions admettant une solution algébrique. En janvier 1755 Jordaan annonça dans Les Nouvelles que « pour remplir les feuilles vides, on avait l’intention de publier des examens pour plusieurs postes de ces dernières années » et fit appel aux instituteurs qui avaient formulé ou connaissaient les questions de ces concours locaux. Ce fut un succès. Dorénavant, les concours étaient publiés régulièrement.

3.2 - Les Mathématiques

Pendant les premiers mois de publication, le contenu mathématique fut surtout consacré à la théorie des séries arithmétiques avec des exemples, quelques questions et leurs solutions, suivis de quelques questions à destination des lecteurs. Les réponses, fournies par les lecteurs ou par l’auteur d’une question, étaient publiées quelques mois plus tard. En avril, dans le premier numéro, il y avait par exemple quatre questions pour les lecteurs, deux portant sur l’arithmétique et deux sur des séries arithmétiques. Les réponses, envoyées par deux lecteurs, parurent en juillet.

Exemple d’avril 1754, question II
– Des paysans ont chacun acheté douze vaches, chacun a payé 320 ducatons. De plus, les prix des vaches de chaque paysan forment une série arithmétique. Si le prix de chaque animal est un nombre entier, quel est le nombre maximum possible de paysans ?

JPEG - 35.2 ko
Figure 3 - La réponse sur question II, première partie, par D.T.V.W. Sa solution : 7 paysans.

Solution de la question II (Traduction du texte de la figure 3)

Soit le premier terme de la Progression Arithmétique $= x$

La différence des termes $= y$

Ainsi selon la deuxième Proposition de la Progression Arithmétique, p.4
Etc.

Cette fraction doit être un nombre entier (selon la condition du problème).
‘Ducatonnen’ et ‘Guld(ens)’ sont des monnaies.

D.T.V.W. continue sa solution comme suit.

C’est évident que si l’on additionne ou soustrait deux nombres entiers, la somme ou la différence seront des nombres entiers aussi.

Ainsi si on soustrait $\frac{168}{2}$ et ajoute $\frac{12y}{2}$, le résultat $\frac{y}{2}$ sera un nombre entier.

Soit $\frac{y}{2} = n$, alors $y=2n$ et $x=84-11n$

Si on prend n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Alors x = 73, 62, 51, 40, 29, 18, 7
Et y = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

En déduire que le maximum des paysans est 7.

(Parce qu’on n’a plus de 7 progressions arithmétiques avec tous les nombres entiers).

C’était une question facile quand on avait lu et compris l’article sur les séries paru dans le numéro d’avril. Dans sa réponse, un lecteur, qui signa D.T.V.W. et qui publia des solutions à presque tous les problèmes d’avril à juillet, se référait à cet article (fig.3) et la solution est de la même forme que celle présentée en avril, avec des caractères différents. Il est possible que D.T.V.W. ait été l’auteur de la théorie présentée en avril, des questions comme de cette réponse. La réponse du second correspondant (A.B.P.D.) était formulée de façon très différente et sa solution n’était pas complète. Les solutions des quatre problèmes d’avril, envoyées par deux personnes, furent publiées en juillet. En juillet, ce sont quatre personnes qui proposèrent des solutions pour les dix problèmes du mois.

Cette structure, avec dix questions chaque mois auxquelles les lecteurs pouvaient répondre, fut conservée jusqu’en juillet. Les questions portaient sur des problèmes d’arithmétique, d’algèbre, de proportionnalité, de calcul des probabilités, de séries arithmétiques, de problèmes géométriques et des applications aux calculs sur les monnaies. Les réponses aux problèmes de probabilités étaient publiées avec un délai de quelques mois supplémentaires par rapport aux autres ; il est possible qu’on ait eu besoin d’un spécialiste pour ces questions. En effet, les probabilités n’étaient pas enseignées dans les écoles primaires, mais l’étaient peut-être par quelques professeurs privés. Elles étaient néanmoins utilisées pour résoudre des questions en lien avec les assurances-vie et les jeux de hasard [4].

Certaines questions étaient assez difficiles :

33 - Une personne qui mesure des graines commande une nouvelle cuvette à mesurer. Il veut que ce soit fait avec la moindre quantité de bois possible. Quel rapport entre la hauteur et la largeur doit-il choisir ?

Deux lecteurs envoyèrent une réponse, Jan van Leeuwen et D.T.V.W., mais seule celle de D.T.V.W. fut publiée (notons que $p$ désigne ici π) :

Que le volume soit $a$.

Le rapport entre le diamètre et la circonférence égale $1 : p$

Que le rayon soit $x$ et que la hauteur soit $y$

Alors $1 : p = 2x : 2p.x$, où $2p.x$ est la circonférence

Pour obtenir la surface de base on multiplie la moitié de la circonférence par le rayon, ce qui est égal à $pxx$

En multipliant la surface de base par la hauteur le volume est égal à $pyxx=a $

En multipliant la circonférence $2px$ par la hauteur du côté la surface du côté $= 2pxy $

Alors la surface complète de la cuvette $= 2pxy + pxx$

$2pxy + pxx$ devait être un minimum

Quelle différentielle (fluxion, selon Newton) égale […] (voir fig. 4).

JPEG - 29.7 ko
Figure 4 - Réponse à la question 33, la dernière partie ; la notation comme chez Newton

Aux Pays-Bas, le calcul différentiel était transmis selon la méthode des fluxions de Newton, par les professeurs de l’université de Leiden, tout particulièrement Willem Jacob ’s Gravesande (1688-1742), puis Pieter van Musschenbroek (1692-1761).

Un problème comme celui-ci était probablement trop avancé pour la plupart des instituteurs. De plus, les exposés sur les séries arithmétiques avaient la forme d’un cours pour étudiants : très complets, mais un peu monotones. Jordaan, qui dut s’apercevoir que cela n’était pas adapté, initia une collaboration avec Jacob Oostwoud (1714 - 1784), auteur de publications mathématiques, membre de la Société mathématique de Hambourg et enseignant de mathématiques à Oost-Zaandam, une petite ville proche.

4 - Jacob Oostwoud rédacteur du Passe-temps mathématique (1754-1765)

Jordaan demanda à Oostwoud d’ajouter quelques problèmes plus simples pour ceux qui ne connaissaient pas bien l’algèbre. Ainsi, dès 1754 et pendant plus de dix ans, Oostwoud fut le rédacteur principal du contenu mathématique du journal et attira un bon nombre de lecteurs et de correspondants grâce à ses réseaux institutionnels (fig. 5).

4.1 - Oostwoud rédacteur

JPEG - 80.6 ko
Figure 5 - Le nom de Jacob Oostwoud est présent pour la première fois dans le numéro de novembre 1754.

Oostwoud annonça que la plupart des questions proposées serait de nature arithmétique et que quelques questions d’algèbre seraient parfois ajoutées. En août, Oostwoud commença très simplement avec l’addition et la soustraction, en expliquant ces opérations, et donnant des exemples suivis de questions similaires. Jusqu’à la fin de l’année 1754, il choisit ou formula lui-même toutes les questions, puis commença à publier des questions d’autres lecteurs dès 1755, ainsi que quelques discussions sur la clarté de rédaction d’un problème ou la meilleure méthode de résolution.

Parmi les auteurs identifiés, il y a Paul Halcke, dont le nom revient fréquemment, mais aussi Heinrich Meisner et Michael Scharff, tous trois membres de la Société mathématique de Hambourg. On retrouve également Laurens Praalder (professeur des mathématiques, mathématicien de la ville Rotterdam, arpenteur et examinateur de l’école navale à Rotterdam), Symon Panser (professeur de mathématiques, d’astronomie et de navigation à Embden) en astronomie, Nicholaas Struyk (mathématicien à Amsterdam, célèbre auteur de livres sur les mathématiques dont les probabilités, l’astronomie, la géographie...) en géographie, et Adolph Marci (comptable et auteur d’ouvrages mathématiques) qui propose des carrés magiques. Mais la plupart des auteurs néerlandais nommés sont des auteurs connus du XVIIe siècle comme Ludolf van Ceulen et Frans van Schooten pour ce qui est de la géométrie, Abraham de Graaf à la fois pour la géométrie et l’algèbre, Christiaan Huygens pour les probabilités, Klaas Gietermaker et Klaas de Vries pour la navigation.

En complément des questions et des réponses, Oostwoud intégrait également des exposés théoriques et des discussions. À partir de 1755, il publia régulièrement les lettres d’un mathématicien néerlandais du XVIIe siècle, Dirk Rembrandsz van Nierop (1610-1682) [5] qui correspondait avec des mathématiciens célèbres comme Descartes, Huygens ou encore van Schooten, ainsi qu’avec des amateurs de sciences mathématiques et des praticiens des mathématiques (capitaines, arpenteurs, éditeurs...). Dès décembre 1759, Oostwoud alterna les lettres de Dirk Rembrandsz avec des essais sur Les œuvres de la Création écrit par son père Govert Oostwoud (1671-1723) et des extraits du Mathematisches Sinnen-Confect de Paul Halcke.

4.2 - Exemples de problèmes mathématiques : l’année 1758

Au cours de cette année il y eut des questions sur beaucoup d’aspects des mathématiques : arithmétique, avec des problèmes de calcul d’âge ou des calculs avec des racines, des carrés... ; arithmétique commerciale ; navigation ; algèbre, avec équations et séries ; géométrie ; probabilités, etc. La partie mathématique consistait donc principalement en des questions et réponses qui pouvaient parfois être l’occasion d’introduire des développements théoriques.

Souvent, lors de la publication d’une question, Oostwoud indiquait le nom d’un ou deux auteurs ayant proposé un problème similaire et donnait des possibilités de généralisation. Par exemple, en février, la question 766 portait sur un problème arithmétique de mélange, pour lequel sont cités Valentin Heins et Paul Halcke, tous les deux également membres de la Société mathématique de Hambourg. Les problèmes de mélange, qui consistaient à déterminer le prix ou la composition d’un mélange, étaient très importants dans les activités liées au commerce et Oostwoud avait discuté des méthodes de résolution pour plusieurs types de problèmes d’arithmétique commerciale dans les années précédentes, dans le journal et dans d’autres ouvrages. L’exemple était suivi de huit questions arithmétiques posées par Halcke, avec les réponses mais sans méthode, ce qui provoqua la réaction de pas moins de dix-huit lecteurs qui envoyèrent leurs propres solutions ! On trouve ensuite trente problèmes envoyés par des lecteurs qui sont pour la plupart des questions d’arithmétique et d’arithmétique commerciale. Certains relèvent néanmoins de la géométrie : c’est par exemple le cas de la question 788, de A. B. Strabbe (fig. 6), un instituteur et comptable d’Amsterdam, également membre de la Société mathématique de Hambourg.

788 – Soit le triangle isocèle ABC, la longueur des côtés AB et CB est 8 et celle de la base AB est 10. DE est perpendiculaire à AB, BD à AC et DG à BC. Quelle est l’aire du triangle BEG ?

Solution de la question 788 : explication

D’après la proposition 8 du livre VI d’Euclide

(Si dans un triangle rectangle on dessine une perpendiculaire, de l’angle droit jusqu’à la base, les triangles adjacentes à la perpendiculaire sont semblable l’un à l’autre et à tout le triangle),

on peut utiliser les proportions :

$BC : DC = DC : CG$ ou $8 : 5 = 5 : CG$.

Ainsi$ CG=3 \frac{1}{8}$ et $BG=4 \frac{7}{8}$

$BC :DC=BG : \frac{1}{2} EG$.

Ainsi $\frac{1}{2} EG=3 \frac{3}{64}$ et $\frac{1}{2}EG^2 =\frac{9 1161}{4096}$

$BG^2 -\frac{1}{2}EG^2=\frac{14 1975}{4096}$.

La perpendiculaire du triangle $BEG $ est la racine de ce nombre.

Ainsi l’aire du triangle $BEG = 3 \frac{3}{64}\sqrt{\frac{14 1975}{4096}}$

L’illustration (fig. 6) servant pour deux questions différentes, le rédacteur indiqua que, pour la question 788, les lignes perpendiculaires BD, DE et DG doivent être tracées. La réponse publiée (parmi sept reçues) s’appuyait sur le livre VI des Éléments d’Euclide (fig. 7).

Willem Laan, instituteur, envoya la question 821, concernant une série arithmétique, publiée en mars 1758.

JPEG - 52.9 ko
Figure 8 - Réponse à la question 821, par l’auteur et J. Th. R.

821 - Trouvez cinq nombres tels que, si on soustrait le premier du second, le second du troisième, le troisième du quatrième et le quatrième du cinquième, les résultats sont des carrés dont les racines forment une série arithmétique, avec la propriété suivante : si on multiple le premier terme avec le troisième, le produit est égal à la somme du deuxième et du quatrième terme ou au cube du premier terme.

Solution de la question 821

Introduction : soient les nombres $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$, $n_5$.

Soit $x=\sqrt{n_2-n_1}$, $x+a=\sqrt{n_3-n_2}$, $x+2a=\sqrt{n_4-n_3}$, $x+3a=\sqrt{n_5-n_4}$.

Soit la progression $x$, $x+a$, $x+2a$, $x+3a$

Alors, d’après l’énoncé : \[x (x+2a)=( x+a)+( x+3a)=2x+4a\]

On divise par $x+2a$

Donc $x=2$, le terme premier

Si on prend $a=1$, les termes de la progression sont 2, 3, 4, 5. On les élève au carré : 4, 9, 16, 25, qui représentent donc les différences des nombres cherchés.

La somme du deuxième et quatrième terme est 3+5=8, c’est donc le cube du premier nombre.

Donc le premier nombre est 2 et les autres sont 6, 15, 31, 56.

Cette question fut peut-être considérée comme trop difficile ou manquant d’intérêt, car il n’y eut plus que sept correspondants, sur les vingt du mois de mars, qui envoyèrent une réponse (fig. 8). Les questions 823 à 826, sur un sujet comparable, ont par contre toutes obtenues plus de dix réponses. Chaque mois Oostwoud publiait des personnes ayant envoyé une réponse (en rappelant la question correspondante). Souvent la solution de l’auteur lui-même était publiée et les solutions d’un ou deux autres correspondants.

Dans la question 822, son auteur Jan Schoen attendait une réponse géométrique ou algébrique.

822 - Soit le triangle ABC, la longueur de la base AB est a, la somme de AC et BC est c, la perpendiculaire AC est b. Quelles sont les longueurs des côtés AC et BC, par l’algèbre ? Ou construire le triangle, par la géométrie.

Six réponses ont été furent envoyées, dont au moins une géométrique. Des réponses de nature différente — géométrique ou algébrique — à une même question étaient régulièrement publiées, ce qui permettait aux lecteurs d’étudier plusieurs méthodes de résolution et d’éventuellement les comparer.

Neuf questions, envoyées par A. Broekhuyzen, instituteur à Monster, furent publiées en avril. Par exemple, la question 844 et une autre portaient sur la navigation et furent résolues par 14 des 23 lecteurs ayant envoyé des réponses ce mois-ci (fig. 9). Comme Oostwoud l’indiqua, cette question était issue de l’Art des navigateurs de Klaas de Vries, dont la première des nombreuses éditions parut en 1727.

844 - En 1721, un marinier détermina la position de deux étoiles. L’épi de la Vierge au sud au-dessus de l’horizon était à 10 degrés de moins que l’étoile la plus claire du Lion le plus haut au-dessus l’horizon nord. À quelle latitude était le marinier ?

JPEG - 44.4 ko
Figure 9 - À droite : la réponse à la question 844. (KL) représente la vierge, (W) le Lion. À gauche : la sphère céleste représentée par Klaas de Vries, dont la figure de la réponse 844 est une simplification.

Remarques sur la solution 844

Sur la figure 9, dans les deux cas :
NZ est l’horizon, N le Nord, Z le Sud, T le Zénith, P le pole et LT est égale à PN, c’est la latitude.

K est la Vierge et W le Lion. AW est la différence en hauteur des deux étoiles. KL est la déclinaison de K. De Vries intégrait beaucoup de tables dans son livre, sur la déclinaison et le changement de déclinaison par an par exemple. Il était fréquent de calculer des sections des méridiens, comme ATK.

Dans le numéro de mai, Oostwoud publia des réponses à une collection de sept questions sur les probabilités. Ces questions furent posées par Gysbert Centen, qui était instituteur à Wormer, dans la région de Purmerend et Wormerveer. Il envoya assez régulièrement des questions et des réponses entre 1755 et 1761. La première (722, octobre 1757) et la dernière question (780, janvier 1758) étaient respectivement :

722 - Quand on jette deux dés, quelle est la probabilité d‘obtenir 2, 3 ou 4 ?

780 - Quand on jette trois dés, quelle est la probabilité d’obtenir 3, 4, 5 ou 6 ?

JPEG - 40.3 ko
Figure 10 - Une table pour les possibilités avec trois dés (Mathematische Liefhebberye, 1758, p.197)
JPEG - 20 ko
Figure 11 - La première partie de la réponse à la question 780 (Mathematische Liefhebberye, 1758, p.201)

Oostwoud commença par proposer un dénombrement des tirages possibles : « Pour une réponse complète à ces questions, il est nécessaire de montrer combien de tirages différents sont possibles ». Il montra alors comment on pouvait construire une table générale avec toutes les possibilités pour un dé jusqu’à six dés (fig. 10). Les réponses étaient écrites sous la forme de rapports de proportion — 1 à 36, 1 à 215 (« 1 tot 215 »), 1 à 71, etc. — plutôt que sous forme de fractions — 1/36, 1/215, 3/213, etc. (fig. 11).

Un autre lecteur, R. van Vrede de Arnhem, envoya une question compliquée (question 863), mêlant géométrie et algèbre avec des équations des troisième et quatrième degrés. Notons que les questions de géométrie étaient le plus souvent envoyées par des lecteurs.

863 - D’un certain endroit, on peut voir selon une ligne droite deux poteaux, placés sur un champ horizontal. Ils semblent avoir la même hauteur, mais si on les approche de 168 pieds, le poteau le plus proche semble être deux fois plus haut que le second poteau. Néanmoins, on sait que le second poteau a 43 1/5 pieds de plus que le poteau le plus proche et que la distance entre eux est de 158 2/5 pieds. Quelle est la hauteur de chaque poteau ?

JPEG - 18.8 ko
Figure 12 - Partie de la réponse à 863

Il n’y eut que quatre réponses parmi 23 correspondants. Oostwoud publia deux méthodes de solution, partant d’une épure (fig. 12). Une première réponse, donnée par l’auteur lui-même, utilisait le cube d’un polynôme. Une seconde, par G.G.Z. et J. Th. R., utilisait deux polynômes de degré 4.

Tous trois obtenaient la même solution : $DE=100 \frac{4}{5}$ et $BC=57 \frac{3}{5}$.

Solution complète de G. G. Z (commentaire de l’auteure entre crochets)

$BC$ est le poteau avant, $DE$ est le poteau arrière. $AF$ est le distance de 168 ‘voeten’(pieds, environ 30 cm). $DB = 158 \frac{2}{5}$. $EH$ est la différence entre $BC$ et $DE$, $43 \frac{1}{5}$.

[Dessiner $CK$ parallèle à $EF$, on aura des triangles semblables : $AEF$ et $AKC$ ; $ABC$ et $ADE$

Dessiner $CH$ parallèle à $BD$, les triangles semblables sont $CEH$ et $AED$
Alors G.G.Z. peux utiliser des proportionnalités.]

\[AE : AC=AF : AK=AD : AB\]

\[AF : KF= AD : BD\]

$[AF :(AF-AK)=AD:( AD-AB)$, selon la proposition 19 du livre V des Éléments d’Euclide ;

$KF=\dfrac{7257 \tfrac{2}{3}}{x}$]

Soit $DE=x$.

\[EH : CH = DE : AD\]

\[43 \frac{1}{5} :158 \frac{2}{5}= x : 3 \frac{2}{3}x\]

\[AD : BD=AF :KF \]

\[3 \frac{2}{3}x :158 \frac{2}{5}=168 : \dfrac{7257 \frac{2}{3}}{x}\]

Donc $KF=CF$ (les angles $KCF$, $CFE$, $DFE$, $BKC$ sont égaux donc le triangle $KFC$ est isocèle)

Dans le triangle $BCF$ : $CF=\dfrac{7257 \frac{2}{3}}{ x}$ , $BC=x-43 \frac{1}{5}$, $BF=AD-(AF+BD)=3 \frac{2}{3}x-326 \frac{2}{5}$

[G.G.Z. applique le théorème de Pythagore dans le triangle $BCF$ et après réduction, il obtient une équation de degré quatre.

Au XVIII e siècle aux Pays Bas, il était courant de préférer les solutions positives : certaines méthodes étaient appliquées (transformation, application d’une progression arithmétique ou géométrique, division par un diviseur polynôme linéaire) pour obtenir au moins une solution non-négative. ]

$1625x^4$ $-279000x^3$ $+12195360xx$ $- 5925685248$ $=0$
$ 1 $ $9$ $81 $ $6561$ (diviser)
$1625y^4$ $-31000y^3$ $+12150560xx$ $-903168$ $=0$

Alors \[x=9y\]

[On estimait l’intervalle d’une solution]

Le hauteur des poteaux [G.G.Z. veut dire $x$] est compris entre 89 et 133, donc $y>9$ et $y<15$.

[En appliquant une combinaison des méthodes, on obtient un diviseur possible du polynôme.]

En divisant $1625x^4-279000x^3+12195360x^2-5925685248$ par $5y-56$, on obtient

\[325y^3-2560yy+1440y+16128\]

Ainsi $5y=56$ et $y=11 \frac{1}{5}$,

La hauteur du grand poteau $DE$ est donc $9y=x=100 \frac{4}{5}$ voet.
et celle du petit poteau $BC$ est $x-43 \frac{1}{5} =57 \frac{3}{5}$ voet.

[G.G.Z. utilise $x$ pour les deux inconnues].

En novembre il y eut une autre question impliquant l’utilisation de polynômes de degré trois, posée par R. van Vrede [6], probablement professeur dans une école française et manifestement un expert en mathématiques. Il y répondit lui-même, car il voulait présenter la meilleure méthode permettant d’extraire une racine cubique d’un binôme.

En juillet 1758 Oostwoud s’excusa de ne pas publier les solutions des douze derniers problèmes de mars ; sa femme était décédée ce mois-là. En août le premier problème était un petit poème sur l’âge de sa femme à sa mort.
En voici une traduction non versifiée :

Moi et ma femme au foyer ensemble

Avaient un an de plus que cent années

Quand elle s’est reposée,

Aussi je me rends compte

Si Dieu me garde sur la Terre

Treize ans de plus

Alors mes années seront

Comme celles de ma femme au foyer

Ainsi je demande mes amis

Qui d’entre eux peut par l’Art de Compter

Trouver combien d’années

Ma femme au foyer

A vécu sur cette Terre.

Une réponse fut donnée par B.D.M.W. en novembre, sous la forme d’un long poème dans lequel il exprimait sa sympathie, donnait donc la réponse concernant l’âge de la femme et présentait une nouvelle question, numérotée 1000. En décembre il y eut encore deux petits poèmes de réponse.

Comme dans tous les volumes des questions de concours de l’année et les solutions des questions précédentes étaient publiées. Par exemple, en 1758, la solution à une question du concours pour le poste d’instituteur à Westzaandam de l’année 1757 fut publiée. Ayant pour objet des calculs d’intérêts, la solution proposée était basée sur l’usage des logarithmes.

9 – Cent ‘Gulden’ sont placés avec 4% d’intérêts. Si l’on souhaite doubler le capital, combien de temps gagne-t-on en recevant des intérêts composés au lieu d’intérêts simples ?

Solution de la question 9

$Log\ 104=2.0170333$

$ Log\ 100=2.0000000$

Différence 1e  : 170333

$ Log\ 200=2.3010300$

$ Log\ 100=2.0000000$

Différence 2e  : 3010300

Diviser 3010300 par 170333, c’est à peu près 17 années et 245 2/3 jours (on considère une année de 365 jours). Avec des intérêts simples, on a besoin de 25 années. Avec des intérêts composés, 7 années et à peu près 119 1/3 jours de moins sont nécessaires.

5 - Les correspondants

Les correspondants qui contribuaient aux questions mathématiques étaient des enseignants des écoles néerlandaises et françaises. On retrouve parfois les mêmes noms dans Les Nouvelles, sur les listes des enseignants ou parmi les examinateurs ou les candidats pour un poste.

En 1758, les réponses aux 256 questions publiées furent envoyées par 51 personnes. Par exemple, les réponses à celles d’avril (fig. 13) furent données par 25 lecteurs (ou 23 si on considère chacun des couples Kok & Kooyman et W. & J. Pauw comme une seule personne). Kok et Kooyman, comme D.V. à Watergang, avaient répondu ensemble à toutes les questions. La plupart des personnes ne signaient pas avec leurs initiales mais avec un surnom, tandis que les prénoms et les surnoms étaient toujours listés dans Les Nouvelles.

JPEG - 260.9 ko
Figure 13 - Les lecteurs qui envoyaient les solutions pour avril 1758

D’avril 1754 à la fin de l’année 1758, à peu près 90 personnes envoyèrent des questions qui furent publiées. Certains d’entre eux n’envoyaient qu’une question, d’autres en envoyaient plus de 60. De janvier 1759 à décembre 1769 à peu près 100 personnes, dont au moins deux femmes, adressèrent au journal des questions effectivement publiées. Quelquefois Oostwoud précisait qu’il ne publiait pas certaines questions sans réponse ou déjà connues, sans mentionner les noms de leurs auteurs. Quelquefois, Oostwoud ne reproduisait que les questions sans réponse et les questions trop connues ne furent pas publiées. Dans leurs réponses, les correspondants utilisaient l’arithmétique, avec des nombres de nature différentes (comme des racines polygonales — polygonaal wortels [7] par exemple), l’algèbre avec des équations d’une ou plusieurs variables et des polynômes jusqu’au degré cinq, la trigonométrie, les logarithmes et la géométrie. On usait rarement de la notation décimale, introduite dans l’instruction de la géodésie depuis 1600. Le calcul différentiel était aussi assez rare. Parmi les lecteurs il y avait évidemment des novices dans les mathématiques et des spécialistes ; un des objectifs de Jacob Oostwoud était que les premiers puissent profiter de la connaissance supérieure des seconds.

Parmi les correspondants de 1758 (cf fig. 13), prenons l’exemple de Klaas Musk. En 1754 il était instituteur à Monnikendam et gagnait 500 florins par an ; il a été plusieurs fois candidat à un poste dans d’autres villes : en mars 1754 à Zaandijjk, avec douze autres candidats, en septembre 1754 à Ouderkerk, avec 23 autres personnes. Dès décembre 1754, il envoyait des réponses à plusieurs questions presque tous les mois (128 en 1758 par exemple), de préférence arithmétique ou algébrique, mais ne proposait qu’un nombre restreint de questions (neuf de 1755 à 1758).

En juin 1756, il fut nommé enseignant dans la nouvelle école préparatoire pour les garçons de la maison d’enfants d’Utrecht, ce qui constituait un poste prestigieux, avec un salaire annuel de 700 florins. L’enseignement préparait les élèves pour l’examen d’admission dans la Fondation de Renswoude où ils recevraient une éducation spéciale avec beaucoup de mathématiques pour les professions techniques (Krüger, 2014b). Musk devait apprendre aux garçons à lire ‘parfaitement’, à écrire, ainsi que l’arithmétique et l’algèbre. Il avait à examiner ses élèves en présence des administrateurs tous les quatre mois. Désormais, il était qualifié de ‘mathématicien’ au lieu d’instituteur ; il était devenu un spécialiste parmi les instituteurs.

6 - La fin du journal

Louis Schut, le successeur de Klaas Musk à Monnikendam, devint le rédacteur après Oostwoud, dès 1766. On a l’impression, en lisant le journal, qu’il y eut progressivement plus de redondances dans les questions dans les sujets abordés, même si Louis Schut continuait de traiter les questions des concours. Le nombre de correspondants qui envoyaient des questions restait à peu près le même, néanmoins le nombre de ceux qui envoyaient des réponses diminuait. En 1768 il n’y eut que 22 personnes qui envoyèrent des réponses aux questions, soit moins de la moitié de l’effectif de 1758. Or en juin 1769 une annonce indiquait qu’on pouvait acheter Mathematische Liefhebberye : een verzameling van 1000 vragen (une collection de mille questions), rassemblées par Oostwoud, qui était une sélection des questions du Passe-temps mathématique des années passées. En décembre 1769 Jordaan annonçait que ce serait le dernier volume du journal ; il ne donnait pas de raison, mais le journal n’était probablement plus suffisamment rentable pour lui.

L’un des collaborateurs du Passe-temps Mathématique, A.B. Strabbe, commença un nouveau journal en 1770. Strabbe (1741 – 1805) professeur de mathématique et comptable, traduisait et adaptait également beaucoup de livres mathématiques, par exemple les livres d’Alexis Clairaut sur la géométrie et sur l’algèbre. Seuls deux volumes de son journal furent publiés, l’éditeur ne voulant pas continuer car ce n’était pas rentable non plus.

En 1778, Strabbe, avec trois autres personnes, un professeur de mathématiques, un instituteur et un arpenteur, créa la première Société mathématique des Pays-Bas, avec la devise : « Un travail infatigable vaincra tout ». Une bonne partie des membres se nommait ‘professeur de mathématiques’ ou ‘instituteur’. En 1779 parut la première revue de la Société, intitulée Exercices sur des sujets utiles des mathématiques, avec un essai sur l’application de l’algèbre à la géométrie, suivi de beaucoup de questions. Au cours du XIXe siècle, la plupart des membres de la société étaient des mathématiciens, une minorité seulement était professeur mathématique dans une école secondaire ou instituteur. Un nouveau journal de mathématiques spécifique pour les enseignants n’apparut aux Pays-Bas que vers la fin du XIXe siècle.

7 - Conclusions

Le Passe-temps Mathématique eut plusieurs fonctions : annoncer les postes d’instituteurs à pourvoir ; informer sur les questions posées aux concours pour ces postes et indiquer des réponses ; être un moyen de formation mathématique et de récréation pour les enseignants ; échanger des questions et des méthodes de résolutions qu’on pouvait appliquer dans la pratique du métier d’enseignant.

Le journal avait ainsi un rôle dans la circulation mathématique parmi les instituteurs qui pouvait dispenser à leur tour leur connaissance mathématique. Une partie des lecteurs et des correspondants étaient des amateurs (ou des dilettantes) de mathématiques, mais un nombre important avait un intérêt particulier pour les questions posées aux concours qui, semble-t-il, devinrent un facteur de plus en plus influent dans le succès du journal. Peut-être cela a-t-il été une raison pour limiter le nombre de sujets traités dans le journal et la difficulté du contenu.

Le journal fut assez populaire auprès des instituteurs et des professeurs de mathématiques qui, pendant presque quinze années, contribuèrent beaucoup au journal tant par les questions que les solutions qu’ils envoyèrent. Ce succès fut surtout celui de Jacob Oostwoud qui arriva à attirer des lecteurs de niveau très hétérogène en mathématiques. Le rythme mensuel de la publication aura contribué à la popularité du journal car les lecteurs ne devaient pas attendre longtemps pour voir publiées les solutions ou les questions envoyées.

Il est néanmoins possible que le nombre limité de sujets abordés ait eu pour conséquence le fait que des lecteurs pouvaient, après quelques années, se passer du journal. En effet, les collections de questions rassemblées par Oostwoud pouvaient par exemple suffire pour la préparation des concours. Le manque d’une association des instituteurs ou d’une Société avec des membres eut pour conséquence la fragilité de l’existence du journal qui dépendait d’une seule personne, l’éditeur Jordaan. Ainsi, quand après quinze années, il décida d’arrêter la publication ce fut la fin pour le Passe-temps mathématique.

Références bibliographiques

Une version numérisée de chaque volume de la revue Mathematische Liefhebberye est disponible sur le site de la bibliothèque de l’université d’Amsterdam.

Berkel, Klaas van (1999). « The legacy of Stevin, a chronological narrative », in K. van Berkel, A. van Helden & L. Palm (Eds.), A history of science in the Netherlands, Leiden : Brill, p. 3-238.

Bos, Henk (2006). « De zeventiende eeuw- wiskunde aan het begin van de Moderne Tijd », in M. Keestra (Ed.), Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde, Amsterdam : Nieuwezijds, p. 127-150.

Charrière, Isabelle de (1795). Les trois femmes, Londres : Baylis.

Diderot, Denis & d’Alembert, Jean le Rond (1752). Discours préliminaire de l’Encyclopédie, Traduction en anglais, London : W.Innys, e.a.

Krüger, Jenneke (2014a). Actoren en factoren achter het wiskundecurriculum sinds 1600, PhD thesis, University of Utrecht.

Krüger, Jenneke (2014b). « The power of mathematics education in the 18th century », in B. Ubuz, C. Haser & M. Mariotti (Eds.), Proceedings of CERME8, Antalya 2013, p. 2020-2029.

Maanen, van Jan (2006). « Sprongen in het diepe en passen op de plaats - wiskunde in de achttiende eeuw », in M. Keestra (Ed.), Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde, Amsterdam : Nieuwezijds, p. 127-150.

Mathematische Liefhebberye (1754-1769). Purmerend : P. Jordaan.

Smid, Harm Jan (2014). « History of Mathematics Teacher Education », in A. Karp & G. Schubring (Eds.), Handbook on the History of Mathematics Education, New York : Springer, p. 579-595.

Post-scriptum :

Je tiens à remercier Jenny Boucard et Hélène Gispert pour leur patience avec ma connaissance limitée de la langue française, leur relecture et leurs remarques constructives, leurs conseils et le beau travail de Jenny sur l’édition numérique. Je remercie aussi les relecteurs Damien Gayet, Walter gfeller, Sébastien Martinez et Sébastien Kernivinen pour leur relecture attentive et leurs conseils.

Article édité par Jenny Boucard

Notes

[1Dans les régions maritimes, la navigation était très importante pour les commerçants et pour l’économie néerlandaise ;c’est notamment le cas des provinces de Holland et Zeeland.

[2Les documents actuellement connus ne permettent pas de connaître le tirage du journal. Chaque mois, le libraire Jordaan envoyait un certain nombre des copies du journal aux libraires d’autres villes. Un individu pouvait également commander le journal lui-même et avait la possibilité d’acheter les parties mathématiques plus tard, l’année suivante par exemple.

[3C’est ce que remarque Mme de Charrière en 1795 : « C’est un Hollandois, né en Nord-Hollande, sur les bords du Zuyderzée, dans un de ces villages où Descartes inspira le goût de l’Algèbre et de la Géométrie. Ce goût s’y est conservé. La plupart des Maîtres d’école y enseignent les Mathématiques ; beaucoup des Maîtres d’école y enseignent les Mathématiques ; beaucoup de paysans les étudient et deviennent de bons calculateurs et d’habiles Méchaniciens. » (Charrière, 1795).

[4C’est en 1660 que la première publication néerlandaise sur les probabilités des jeux de hasard, par Christiaan Huygens, fut publiée.

[5Son nom en français est ‘Dirk, fils de Rembrandt, qui vient de Nierop’.

[6R. van Vrede, se nommait R. van Vrede à Arnhem, au lieu des formulations néerlandaises R. van Vrede ‘te’ Arnhem ou ‘van’ Arnhem.

[7Les nombres polygonaux sont les nombres que l’on peut représenter par un polygone (lorsque l’on figure chaque unité par un point) ; ils peuvent être obtenus à partir de la progression arithmétique associée. Les nombres triangulaires sont par exemple : 1 ; 1+2=3 ; 1+2+3 = 6 ; 1+2+3+4 = 10 ; 1+2+3+4+5 = 15 ; 1+2+3+4+5+6 =21. La racine polygonale du nombre triangulaire 21 est 6 car 21 est la somme des six premiers termes de la progression arithmétique associée.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Jenneke Krüger — «Un journal mathématique néerlandais au XVIIIe siècle - Le Passe-Temps mathématique (1754-1769)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM