Un parquet de Penrose

Piste bleue 25 janvier 2016  - Ecrit par  Thomas Fernique, Evgeny Poloskin Voir les commentaires (8)

Cet article présente le processus de fabrication d’un parquet d’environ 50 mètres carrés qui représente un pavage de Penrose. C’est l’occasion de redéfinir formellement les pavages de Penrose et d’en rappeler quelques propriétés mathématiques remarquables.

L’article est majoritairement en piste bleue, la partie « réalisation théorique » peut toutefois
s’aventurer sur la piste rouge...

Pavages de Penrose

Il existe plusieurs variantes des pavages de Penrose et plusieurs façons de les définir. On considère ici les pavages du plan par deux losanges - le fin et le gras (avec respectivement un plus petit angle de $36°$ et de $72°$) - qui s’arrangent autour de chaque sommet d’un pavage d’une des sept façons ci-dessous (à rotation près).

Ces pavages de Penrose ont plusieurs propriétés remarquables. Tout d’abord, ils existent, ce qui n’a rien d’évident vu la définition ci-dessus. L’aperçu d’un d’entre eux est représenté ci-dessous (ainsi qu’en tête de l’article).

Il y a même une infinité [1] de pavages de Penrose différents (à translation près). Ils sont cependant localement indistinguables : tout motif fini qui apparaît dans l’un d’entre eux apparaît dans tous les autres. Ainsi l’aperçu ci-dessus peut provenir de n’importe quel pavage de Penrose car il faudrait pouvoir représenter le plan tout entier pour différencier deux pavages.

Sans doute plus intéressant, les pavages de Penrose sont tous non-périodiques : aucun ne peut être obtenu en répétant régulièrement un motif fini sur une grille carrée. Ils sont cependant tous quasi-périodiques : si un motif apparaît quelque part dans un pavage, alors il réapparaît à distance bornée de n’importe quel point de ce pavage (ce qui est vrai pour tous les pavages périodiques). En d’autres termes, ils sont relativement réguliers mais pas trop... ce qui ne facilite pas leur construction mais leur confère un grand intérêt dans la modélisation des quasi-cristaux.

Ils ont par ailleurs une symétrie locale : si un motif fini apparaît dans un pavage, alors son image par une rotation d’angle $36°$ apparaît aussi dans ce même pavage. Cette symétrie n’est sans doute pas étrangère à leur beauté, même si certains préféreront peut-être y voir la marque du fameux nombre d’or, qui donne notamment le rapport entre les proportions de losanges gras et fins.

Réalisation pratique

La valeur esthétique de ces pavages a en effet été utilisée dans quelques réalisations architecturales, dont la rareté est sans doute conséquence de leur complexité (le site Eschertile en recense un certain nombre). Nous relatons ici la réalisation par les auteurs de cet article d’un parquet de Penrose dans un appartement parisien selon le plan ci-dessous (nous reviendrons après sur les moyens mathématiques utilisés pour tracer ce plan).

La première étape est la découpe (deux jours de travail à deux). Nous avons acheté dans une scierie vosgienne des planches de sapin (bois clair) et de chêne (bois plus sombre). Nous avons découpé à la scie à onglet à $72°$ les planches de sapin pour obtenir $2783$ losanges gras et à $36°$ les planches de chêne pour obtenir $1781$ losanges fins. Un calcul montre que les côtés de ces losanges ont la même longueur quand le ratio des largeurs des planches de sapin et de chêne vaut $\sin(72°)/\sin(36°)$, qui n’est autre que le nombre d’or $\varphi\simeq1,618$... La scierie ayant une précision d’un millimètre, nous avons commandé des planches de $144$ et $89$ millimètres car $144/89$ est un très bon approximant du nombre d’or [2]. Les côtés des losanges font alors $151,41$ millimètres et des poussières, soit une erreur de l’ordre du micromètre (négligeable devant la précision de coupe) !

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La deuxième étape est l’usinage (deux jours). Nous avons en effet passé les quatre côtés de chacun de ces $4564$ losanges à la toupie, de sorte à creuser une encoche pour qu’une fausse languette (rôle que nous avons dévolu à un lamello de hêtre) puisse solidariser les tuiles adjacentes.

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La troisième étape est la pose (sept jours). En suivant précautionneusement le plan, nous pré-assemblions les pièces en groupes d’une vingtaine de pièces, marquions la zone recouverte pour n’enduire que celle-ci de colle (difficile à enlever lorsqu’elle sèche) et assemblions le morceau aux pièces déjà collées. Une des difficultés est de toujours former des morceaux qui pourront bien s’encastrer : les fausses languettes forcent en effet à maintenir une sorte de convexité de l’ensemble des pièces déjà collées.

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La quatrième étape est le pourtour (sept jours). Les tuiles doivent en effet être découpées, et la forme biscornue de l’appartement (un périmètre de 70 mètres pour une surface de moins de 50 mètres carrés) ainsi que l’existence de poteaux porteurs et de grilles d’aération ne nous ont pas facilité la tâche. Nous avons découpé tuile par tuile à la scie à onglet (ce qui est long et dangereux mais donne un meilleur résultat qu’une scie circulaire guidée).

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La cinquième et dernière étape est la finition (quatre jours) :

  • premier ponçage grossier dans deux directions et sur les bords à la bordureuse ;
  • second ponçage plus fin avec une monobrosse à quatre plateaux ;
  • mélange des sciures du deuxième ponçage avec un liant mastic à bois pour combler les rainures ;
  • troisième ponçage fin avec une monobrosse à quatre plateaux ;
  • application d’un fond dur puis de deux couches croisées de vitrifiant (avec égrenage à chaque fois).

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Voici finalement quelques vues d’ensemble (malheureusement il a bien fallu mettre quelques meubles dessus...)

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Réalisation théorique

La façon historique de construire un pavage de Penrose, exposée dans l’article originel de Sir Roger Penrose (1974), consiste à itérer une substitution [3]. Il est plus simple de travailler avec les triangles obtenus en coupant en deux les losanges gras et fins respectivement selon leur petite et grande diagonale. Un motif formé de tels triangles est alors transformé comme suit : chaque triangle est décomposé en triangles plus petits (les dimensions sont divisés par le nombre d’or). La figure ci-dessous montre quelques itérations de cette transformation [4].

Le point clef est que cette transformation préserve la caractérisation locale des pavages de Penrose, c’est-à-dire les 7 arrangements de losanges possibles autour d’un sommet. Il suffit donc le l’itérer à l’infini à partir d’une simple tuile, en remettant à chaque fois le motif « à l’échelle » (multiplication des dimensions par le nombre d’or) de sorte à garder des triangles toujours de la même taille et à finir par recouvrir le plan tout entier.

Voici une autre méthode due à Nicolaas de Bruijn (1981), la coupe et projection. Considérons d’abord un cadre plus simple. Si l’on trace une droite sur une feuille quadrillée et que l’on considère la bande obtenue en faisant glisser un carré sur cette droite, alors les segments de la grille contenus dans cette bande forment une sorte d’escalier (figure ci-dessous).

Si l’on projette alors cet escalier sur la droite initiale, on obtient un pavage par deux tuiles (les projections de segments horizontaux et verticaux) qui s’avère périodique si et seulement si la droite a une pente rationnelle, et quasi-périodique dans tous les cas [5].

Or cette construction se généralise très bien en dimensions supérieures. Ainsi, la figure ci-dessous, à gauche, représente un pavage obtenu de façon similaire mais en coupant une grille quadrillée à trois dimensions par un plan (au lien d’une droite). On obtient alors une sorte de surface en escalier, ce qu’on voit naturellement en coloriant différemment les tuiles. La figure de droite représente la même chose mais lorsque la grille quadrillée a quatre dimensions... ce qui devient évidemment plus abstrait, mais la construction reste pourtant exactement la même !

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Ce qu’a montré De Bruijn, c’est que tout pavage de Penrose pouvait s’obtenir en coupant une grille quadrillée à cinq dimensions par un plan bien choisi [6]. En d’autres termes, bien que les pavages de Penrose soient non-périodiques, on peut en donner une description à partir d’un grille régulière comme n’importe quel pavage périodique... en passant dans la cinquième dimension !

Les lecteurs attentifs n’auront pas manqué de remarquer qu’une des pièces de l’appartement est décorée par un pavage qui n’est pas un pavage de Penrose. Il contient par exemple des étoiles formées de 10 losanges fins, qui ne font pas partie des 7 arrangements propres aux pavages de Penrose. Il s’agit en fait d’un pavage de Penrose généralisé obtenu à partir de la méthode de coupe et projection ci-dessus simplement en décalant le plan de coupe (sans en changer la pente). Ces pavages ont exactement les mêmes propriétés que les pavages de Penrose (non-périodicité, quasi-périodicité, etc.) sauf qu’ils ont des motifs différents. Ils forment une famille que l’on peut agréablement représenter par la vidéo ci-dessous [7]. Ce qui a d’ailleurs fait dire à un mathématicien impertinent que Sir Penrose n’aurait découvert qu’une partie infinitésimale des pavages de Penrose (vexant ce dernier au point de devoir lui présenter des excuses [8]).

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des Maths et les auteurs remercient le relecteur Sébastien Peronno pour sa relecture attentive et ses commentaires judicieux qui ont permis d’améliorer le texte.

Notes

[1Et même une infinité indénombrable.

[2C’est en effet une fraction réduite de la fraction continue du nombre d’or.

[3Une présentation plus formelle de ce qui suit peut être trouvé dans cet article d’images des mathématiques.

[4Un des coins de chaque triangle est marqué par un disque bleu de sorte à briser la symétrie du triangle, ce qui est nécessaire pour savoir précisément avec quelle orientation disposer les nouveaux triangles.

[5Ceci se montre en remarquant que quand la droite passe presque à la même distance d’un point A et d’un point B, alors l’escalier sera identique dans un voisinage de A et B.

[6Plus précisément, un plan qui contient un point dont la somme des coordonnées est un entier et qui est engendré, par exemple, par les vecteurs $(\varphi,0,-\varphi,-1,1)$ et $(-1,1,\varphi,0,-\varphi)$, où $\varphi$ est le nombre d’or.

[7C’est une famille à un paramètre, qui est proportionnel au temps dans la vidéo, et qui est égal à la somme des coordonnées de n’importe quel point du plan de coupe (cette somme est constante sur le plan).

[8Anecdote rapportée par André Katz à l’auteur.

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Pour citer cet article :

Thomas Fernique, Evgeny Poloskin — «Un parquet de Penrose» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

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Commentaire sur l'article

  • Un parquet de Penrose

    le 26 janvier à 17:25, par ROUX

    « En suivant précautionneusement le plan »
    Pourquoi ?
    Ne peut-on pas poser au hasard les tuiles et avoir toujours le bon angle à combler avec une ou l’autre des deux tuiles ?

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    • Un parquet de Penrose

      le 26 janvier à 19:05, par Thomas Fernique

      Non, tout comme on ne peut pas poser les lattes d’un parquet dans l’ordre que l’on veut. En effet, la languette interdit de poser les tuiles « par le haut » : il faut les glisser sur le sol pour insérer la languette dans la rainure des tuiles déjà présente.

      D’où aussi la remarque sur la « pseudo-convexité » de l’ensemble déjà collé à maintenir. Considérez un « ruban » du pavage complet, c’est-à-dire une suite de tuiles adjacentes deux à deux par des arêtes toutes parallèles. Si à un moment vous avez collé deux parties de ce ruban mais pas le milieu, alors vous ne pourrez pas insérer toutes les tuiles manquantes en les glissants (à cause des languettes sur les arêtes parallèles).

      Même sans ce problème, ça serait hasardeux de préjuger de la place exacte d’une tuile sans avoir posé au moins une tuile voisine : on travaille qd même à une précision inférieure au millimètre).

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      • Un parquet de Penrose

        le 28 janvier à 14:18, par ROUX

        Je vous remercie pour la réponse pratique, et c’est une question, évidemment indispensable, que je ne m’étais effectivement pas posé.
        Je m’étais posé une question mathématique : peut-on partir complètement au hasard et paver sans trou ?

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        • Un parquet de Penrose

          le 28 janvier à 14:35, par Thomas Fernique

          Non : deux losanges disposés n’importe où sur le plan n’ont aucune raison de pouvoir être complétés de sorte à former un pavage (a fortiori un pavage de Penrose).

          De même, si vous commencez à paver à deux en commençant chacun à un coin différent de votre appartement, indépendamment l’un de l’autre, alors vous n’avez que fort peu de chance de joindre les deux pavages harmonieusement...Une façon de le voir : chacun commence en fait à construire une surface dans l’espace à cinq dimensions - il y a peu de chances que ces deux surfaces se rejoignent !
          En fait c’est déjà le cas pour des tuiles carrés : si vous posez deux carrés séparés par une distance qui n’est pas multiple du côté de ces carrés, ça va être dur de terminer sans devoir couper des carrés...Ceci dit dans ce cas on peut supposer que les carrés sont toujours posés sur un même réseau (la grille carrée) : dans ce cas il suffit de poser dans n’importe quel ordre. Mais pour les deux losanges de Penrose, il n’y a pas de réseau sous-jacent...

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  • Un parquet de Penrose

    le 27 janvier à 13:02, par bedaride nicolas

    Et on peut commander pour chez soi ?

    Répondre à ce message
    • Un parquet de Penrose

      le 28 janvier à 11:43, par Thomas Fernique

      Evgeny Poloskin, menuisier de son état, est intéressé par toute commande (moi je me bornerai à fournir le dessin). Evidemment c’est plus cher qu’un parquet classique. Disons en gros pour 50m2 :
      * 2000 euros de bois (avec de l’érable ou du frêne à la place du sapin c’est mieux mais c’est plutôt 3500)
      * 1200 euros pour colle, fond dur, mastic, vitrificateur et location des ponceuses
      * un mois de travail pour une personne (moins si à deux)
      Merci de me contacter par mail pour plus de précisions (ça peut dépendre de la forme de l’appartement, du travail pour préparer la surface etc.)

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  • Un parquet de Penrose

    le 30 janvier à 01:32, par Yann

    Bonjour,
    Merci pour ce joli article !
    Auriez vous des images de dimensions supérieures ?
    Ou un guide pour en fabriquer soi même ?
    Cordialement

    Répondre à ce message
    • Un parquet de Penrose

      le 1er février à 13:08, par Thomas Fernique

      J’en ai quelques uns dans ces slides (page 60-66).

      sinon je peux vous envoyer un court programme python qui calcule une coupe et projection (contactez moi par mail).

      Répondre à ce message

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