Pavages de Penrose

Il existe plusieurs variantes des pavages de Penrose et plusieurs façons de les définir. On considère ici les pavages du plan par deux losanges - le fin et le gras (avec respectivement un plus petit angle de $36°$ et de $72°$) - qui s’arrangent autour de chaque sommet d’un pavage d’une des sept façons ci-dessous (à rotation près).

Ces pavages de Penrose ont plusieurs propriétés remarquables. Tout d’abord, ils existent, ce qui n’a rien d’évident vu la définition ci-dessus. L’aperçu d’un d’entre eux est représenté ci-dessous (ainsi qu’en tête de l’article).

Il y a même une infinité [1] de pavages de Penrose différents (à translation près). Ils sont cependant localement indistinguables : tout motif fini qui apparaît dans l’un d’entre eux apparaît dans tous les autres. Ainsi l’aperçu ci-dessus peut provenir de n’importe quel pavage de Penrose car il faudrait pouvoir représenter le plan tout entier pour différencier deux pavages.

Sans doute plus intéressant, les pavages de Penrose sont tous non-périodiques : aucun ne peut être obtenu en répétant régulièrement un motif fini sur une grille carrée. Ils sont cependant tous quasi-périodiques : si un motif apparaît quelque part dans un pavage, alors il réapparaît à distance bornée de n’importe quel point de ce pavage (ce qui est vrai pour tous les pavages périodiques). En d’autres termes, ils sont relativement réguliers mais pas trop... ce qui ne facilite pas leur construction mais leur confère un grand intérêt dans la modélisation des quasi-cristaux.

Ils ont par ailleurs une symétrie locale : si un motif fini apparaît dans un pavage, alors son image par une rotation d’angle $36°$ apparaît aussi dans ce même pavage. Cette symétrie n’est sans doute pas étrangère à leur beauté, même si certains préféreront peut-être y voir la marque du fameux nombre d’or, qui donne notamment le rapport entre les proportions de losanges gras et fins.

Réalisation pratique

La valeur esthétique de ces pavages a en effet été utilisée dans quelques réalisations architecturales, dont la rareté est sans doute conséquence de leur complexité (le site Eschertile en recense un certain nombre). Nous relatons ici la réalisation par les auteurs de cet article d’un parquet de Penrose dans un appartement parisien selon le plan ci-dessous (nous reviendrons après sur les moyens mathématiques utilisés pour tracer ce plan).

La première étape est la découpe (deux jours de travail à deux). Nous avons acheté dans une scierie vosgienne des planches de sapin (bois clair) et de chêne (bois plus sombre). Nous avons découpé à la scie à onglet à $72°$ les planches de sapin pour obtenir $2783$ losanges gras et à $36°$ les planches de chêne pour obtenir $1781$ losanges fins. Un calcul montre que les côtés de ces losanges ont la même longueur quand le ratio des largeurs des planches de sapin et de chêne vaut $\sin(72°)/\sin(36°)$, qui n’est autre que le nombre d’or $\varphi\simeq1,618$... La scierie ayant une précision d’un millimètre, nous avons commandé des planches de $144$ et $89$ millimètres car $144/89$ est un très bon approximant du nombre d’or [2]. Les côtés des losanges font alors $151,41$ millimètres et des poussières, soit une erreur de l’ordre du micromètre (négligeable devant la précision de coupe) !

La deuxième étape est l’usinage (deux jours). Nous avons en effet passé les quatre côtés de chacun de ces $4564$ losanges à la toupie, de sorte à creuser une encoche pour qu’une fausse languette (rôle que nous avons dévolu à un lamello de hêtre) puisse solidariser les tuiles adjacentes.

La troisième étape est la pose (sept jours). En suivant précautionneusement le plan, nous pré-assemblions les pièces en groupes d’une vingtaine de pièces, marquions la zone recouverte pour n’enduire que celle-ci de colle (difficile à enlever lorsqu’elle sèche) et assemblions le morceau aux pièces déjà collées. Une des difficultés est de toujours former des morceaux qui pourront bien s’encastrer : les fausses languettes forcent en effet à maintenir une sorte de convexité de l’ensemble des pièces déjà collées.

La quatrième étape est le pourtour (sept jours). Les tuiles doivent en effet être découpées, et la forme biscornue de l’appartement (un périmètre de 70 mètres pour une surface de moins de 50 mètres carrés) ainsi que l’existence de poteaux porteurs et de grilles d’aération ne nous ont pas facilité la tâche. Nous avons découpé tuile par tuile à la scie à onglet (ce qui est long et dangereux mais donne un meilleur résultat qu’une scie circulaire guidée).

La cinquième et dernière étape est la finition (quatre jours) :

• premier ponçage grossier dans deux directions et sur les bords à la bordureuse ;
• second ponçage plus fin avec une monobrosse à quatre plateaux ;
• mélange des sciures du deuxième ponçage avec un liant mastic à bois pour combler les rainures ;
• troisième ponçage fin avec une monobrosse à quatre plateaux ;
• application d’un fond dur puis de deux couches croisées de vitrifiant (avec égrenage à chaque fois).
  
  

Voici finalement quelques vues d’ensemble (malheureusement il a bien fallu mettre quelques meubles dessus...)

Réalisation théorique

La façon historique de construire un pavage de Penrose, exposée dans l’article originel de Sir Roger Penrose (1974), consiste à itérer une substitution [3]. Il est plus simple de travailler avec les triangles obtenus en coupant en deux les losanges gras et fins respectivement selon leur petite et grande diagonale. Un motif formé de tels triangles est alors transformé comme suit : chaque triangle est décomposé en triangles plus petits (les dimensions sont divisés par le nombre d’or). La figure ci-dessous montre quelques itérations de cette transformation [4].

Le point clef est que cette transformation préserve la caractérisation locale des pavages de Penrose, c’est-à-dire les 7 arrangements de losanges possibles autour d’un sommet. Il suffit donc le l’itérer à l’infini à partir d’une simple tuile, en remettant à chaque fois le motif « à l’échelle » (multiplication des dimensions par le nombre d’or) de sorte à garder des triangles toujours de la même taille et à finir par recouvrir le plan tout entier.

Voici une autre méthode due à Nicolaas de Bruijn (1981), la coupe et projection. Considérons d’abord un cadre plus simple. Si l’on trace une droite sur une feuille quadrillée et que l’on considère la bande obtenue en faisant glisser un carré sur cette droite, alors les segments de la grille contenus dans cette bande forment une sorte d’escalier (figure ci-dessous).

Si l’on projette alors cet escalier sur la droite initiale, on obtient un pavage par deux tuiles (les projections de segments horizontaux et verticaux) qui s’avère périodique si et seulement si la droite a une pente rationnelle, et quasi-périodique dans tous les cas [5].

Or cette construction se généralise très bien en dimensions supérieures. Ainsi, la figure ci-dessous, à gauche, représente un pavage obtenu de façon similaire mais en coupant une grille quadrillée à trois dimensions par un plan (au lien d’une droite). On obtient alors une sorte de surface en escalier, ce qu’on voit naturellement en coloriant différemment les tuiles. La figure de droite représente la même chose mais lorsque la grille quadrillée a quatre dimensions... ce qui devient évidemment plus abstrait, mais la construction reste pourtant exactement la même !

Ce qu’a montré De Bruijn, c’est que tout pavage de Penrose pouvait s’obtenir en coupant une grille quadrillée à cinq dimensions par un plan bien choisi [6]. En d’autres termes, bien que les pavages de Penrose soient non-périodiques, on peut en donner une description à partir d’un grille régulière comme n’importe quel pavage périodique... en passant dans la cinquième dimension !

Les lecteurs attentifs n’auront pas manqué de remarquer qu’une des pièces de l’appartement est décorée par un pavage qui n’est pas un pavage de Penrose. Il contient par exemple des étoiles formées de 10 losanges fins, qui ne font pas partie des 7 arrangements propres aux pavages de Penrose. Il s’agit en fait d’un pavage de Penrose généralisé obtenu à partir de la méthode de coupe et projection ci-dessus simplement en décalant le plan de coupe (sans en changer la pente). Ces pavages ont exactement les mêmes propriétés que les pavages de Penrose (non-périodicité, quasi-périodicité, etc.) sauf qu’ils ont des motifs différents. Ils forment une famille que l’on peut agréablement représenter par la vidéo ci-dessous [7]. Ce qui a d’ailleurs fait dire à un mathématicien impertinent que Sir Penrose n’aurait découvert qu’une partie infinitésimale des pavages de Penrose (vexant ce dernier au point de devoir lui présenter des excuses [8]).