Un paseo matemático por Mesopotamia

La medida de la circunferencia y la aproximación

Piste bleue Le 8 juillet 2013  - Ecrit par  Jean Brette
Le 27 septembre 2022  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas
Article original : Promenade mathématique en Mésopotamie Voir les commentaires
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Una tablilla de arcilla hallada en 1936 en Suse (Irán) que data de alrededor del año 1680 a.C. conduce a la notable aproximación $\pi \approx 3+\frac{1}{8} = 3,125$. ¿Cómo pudo ser obtenido esto ? Este artículo propone una hipótesis, pretexto perfecto para abordar algunos pasajes de las matemáticas de esta época en Mesopotamia.

Los preparativos

La historia del número $\pi$ comienza hace casi 4.000 años, y todo el mundo con una docena de años sabe hoy que un valor aproximado es $\pi \approx 3,14$, y que este número sirve para calcular el perímetro $P$ o el área $ A$ de un círculo de radio $R$ (o diámetro $D$) :

\[P = 2 \pi R= \pi D\hspace{6cm}A= \pi R^{2}\]

Algunos recuerdan también que la fracción $\frac{22}{7}=3+\frac{1}{7}$ es una excelente aproximación. Ella es debida a Arquímedes (287-212 a. C.). Por un lado, él demostró que si conocemos el perímetro de un disco entonces podemos deducir su área, es decir, que efectivamente es el mismo $\pi$ el que entra en ambas fórmulas. Por otro lado, él dio un método para evaluar la ’’razón del perímetro del círculo respecto a su diámetro’’ (y no ’’el valor del número $\pi$’’ ; el símbolo $\pi$ solo data de principios del siglo XVIII). Encuadrando el círculo entre dos hexágonos cuyo perímetro es fácil de calcular, luego duplicando sucesivamente el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados, obtiene el acotamiento :

\[3+\frac{10}{71}\le\pi\le3+ \frac{1}{7}\]

Sin duda alguna, es más fácil apreciar este logro dando los valores numéricos correspondientes :

\[3,1408\le\pi\le3,1428\]

Vemos aquí el interés y la eficacia de los métodos de acotamiento : por un lado proporcionan una aproximación y, por otro, permiten controlar el error cometido. Las desigualdades anteriores nos dicen entonces que el valor decimal de $\pi$ comienza con 3,14, y el siguiente decimal es 0, 1 o 2, es decir, eligiendo uno de estos tres valores, estamos seguros de no cometer un error relativo mayor a 0.6 %. Esto equivale, por ejemplo, a ¡un error de 2 mm en una longitud de 3 m !. ¡Y esto fue posible hace más de 2000 años !

Que yo sepa, Arquímedes fue el primero en justificar explícitamente sus resultados sobre el círculo y en dar paso a paso una serie de argumentos que explican por qué lo que afirma es cierto. Pero no es el primero en interesarse por el círculo y su medida. Tenemos algunos testimonios muy antiguos, uno en Egipto y algunos otros en Mesopotamia, que van en esta dirección (más un pasaje de la Biblia, ¡pero la Biblia no es principalmente un trabajo de matemáticas !).

En el papiro del Rhind (que data de cerca del año 1650 a.C.), el escriba Ahmes da una receta para calcular el área de un círculo. Y tenemos algunas tablillas de arcilla ’’babilónicas’’ que datan del mismo período que se refieren al perímetro y al área de este. De la mayoría de ellos podemos deducir la aproximación $\pi=3$ , pero hay uno del que podemos deducir una mejor aproximación : $ \pi \approx 3 +\frac{1}{8}$. Ella es el tema de este artículo.

El paseo puede comenzar, pero antes de partir hacia Babilonia 17 o 18 siglos a.C., aunque no sea absolutamente imprescindible, el lector/viajero tal vez pueda querer informarse sobre :

La representación de los números y operaciones aritméticas en base 60.

Escritura en base 60
$ $

Nuestro sistema numérico decimal, es decir en base 10, utiliza diez signos, los dígitos que representan los números del 0 al 9. Consiste en descomponer los números en sumas de potencias de 10.

Ejemplo :

$7857$ $=\quad7000$ $+\quad 800$$+\quad50$ $+\quad7$
$=\;7\times1000$ $+\;8\times100$ $+\;5\times10$ $+\;7\times1$
$=\;7\times\;\;10^{3}$$+\;8\times\;10^{2}$ $+\;5\times10^{1}$$+\;7\times10^{0}$

$ $

Es un sistema de numeración posicional, el valor correspondiente a un dígito depende de su posición. Aquí, el primer 7 significa 7000, mientras que el último significa 7.

El sistema de los babilonios, el sistema sexagesimal, es también un sistema numérico de posición, pero con base 60, y cada número se descompone en una suma de potencias de 60. Por lo tanto, debe usar 60 signos que representen los números del 0 al 59. Pero el cero aún no se había inventado. Además, estos 59 dígitos se representan mediante dos símbolos que representan 10 y 1.

Ejemplo :

$7857$ $=\quad7200$ $+\quad 600$$+\quad57$
$=\;2\times3600$ $+\;10\times60$ $+\;57\times1$
$=\;2\times\;\;60^{2}$$+\;10\times60^{1}$ $+\;57\times60^{0}$

$ $

7857, en base 10, se escribirá por tanto $\;2\;10\;57$ en base 60. Aquí, 2 , 10 y 57 son el equivalente de nuestros dígitos. Estos son signos, que los babilonios representan con la ayuda de dos figuras :

la viga PNG, que representa 10, y el clavo PNG , que representa 1.

Así, $\;32 = 3\times 10 + 2\;\;$ se escribe $ $ PNG $ $ y $\;24 = 2\times10 + 4\;\;$ se escribe $ $ PNG .

El número $7857 = 2\;10\;57$ se escribe entonces yuxtaponiendo las representaciones de $2,\,10$ y $57$, separadas por intervalos. :

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Este modo de representación tiene algunas desventajas :

1) No especifica cuál es la mayor potencia de 60 que se usa, y no usa un signo particular (análogo a nuestra coma) para separar la parte entera de la parte fraccionaria, si la hay.

$10\times 3600$$+\;2\times60$ $+\;30\times\;\;1$$=36150\qquad$primera opción
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$=\;10\;2\;30\;$ puede representar los números : $10\times\quad60$ $+\;2\times\;1$ $+\;30\times\; \frac{1}{60}\;$ $=\quad\; 602,5\quad$ segunda opción
$10\times \quad\;\;1\;$$+\;2\times\frac{1}{60}\;$ $+\;30\times \frac{1}{3600}$$=\quad \;\;10,0416..$ tercera opción...

Por lo tanto, los números se representan a una potencia de 60. Es el contexto el que da el orden de magnitud

$ $

2) Los grupos de símbolos solo están separados por espacios, lo que puede causar algunos problemas de descifrado. Por ejemplo, escribir :

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$ $
representa el número $36004 = 10 \times 3600\;+ 0\times 60\;+4$,
que puede confundirse, según el tamaño del intervalo, con la escritura :
$ $

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$ $
$\hspace {1cm}$, que representa el número $604 = 10\times 60\;+4$ ,
$\hspace {1cm}$que también se puede confundir con :
$ $

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$ $
$\hspace{1.5cm}$, que representa el número $\;14 =1\times 10\;+4$.
$ $

Unos siglos más tarde, para evitar estas posibles ambigüedades, se inventará un cartel que indique un puesto vacío. Es un cero tipográfico, que no representa el número 0, sino que simplemente indica que no hay ningún símbolo numérico allí. Aquí usaré el 0, si es necesario, para mayor claridad.
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3) Finalmente, este sistema de yuxtaposición no siempre permite distinguir la separación de dos números de la de dos dígitos. Por ejemplo :

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$ $
¿representa al número $2\;20\;10 = 8410$ o al número $\;2\;30 = 150$ ?,
¿o incluso a otros, de acuerdo con las observaciones anteriores ?

Vemos por estos ejemplos que el desciframiento e interpretación de las tablillas plantea serios problemas. Los historiadores, una vez que su texto ha sido descifrado y después de haber comprendido un posible origen matemático de un resultado numérico, están ansiosos por permitir que sus lectores se centren en métodos, algoritmos, en lugar de representaciones de números. Por lo tanto, utilizan separadores ’’modernos’’ en sus artículos, como la coma, el punto y coma o los dos puntos para separar los números entre sí y también separan la parte entera de la parte fraccionaria si es necesario. Dado que estos problemas de ambigüedad no surgen en el artículo adjunto, me limitaré a los intervalos y posiblemente al uso del cero.
$ $

Las operaciones elementales

Nuestras horas, minutos y segundos, un legado lejano de los babilonios, pueden ayudarnos a ver cómo funcionan las operaciones básicas. Sumamos las horas juntas, los minutos juntos, los segundos juntos, y llevamos un acarreo después de restar $\;\;60\;$ cada vez que un resultado excede $\;59$.
Por ejemplo : $ 47 + 32 = 79 = 60 + 19 =\; $ « 19 y me quedo con 1, que lo traspaso a la fila anterior » =$\; 1\;19$.
En resumen, hacemos lo mismo que en el sistema decimal reemplazando $10$ por $60$. (De hecho, nuestro sistema (h, min, s) no es realmente un sistema sexagesimal porque, como se habrá notado, 1d no es igual a 60 h, ¡excepto para trabajadores muy duros !)

Otros ejemplos :

Adición : ¿Qué hora será 27 minutos después de las 2:47 ?

$ 2\;47 + 0\;27 = (2 + 0) \; (47 + 27) = 2\;74 = 2\;(60 + 14) = (2+1)\;14 = 3\;14$

Sustracción : ¿Qué hora será 25 minutos antes de las 13:10 ?

No es posible restar $25$ de $10$. Primero se descompone $13$ en $12+1=(12\;60)$. El número $13\;10$ se reescribe como $12\;70$, lo que sí permite restar : $12\;70 – 0\;25 = 12\;45$

Multiplicación : ¿Cuánto es 7 veces 17 minutos y 58 segundos ?

$7\times(17min\;58s) = (7\times 17min)\;+\;(7\times58s)$

$7\times17 min= 119 min = 1 h\; 59 min\quad$ y $\quad7\times 58s = 406s = 6min\;46s $.
Luego : $7\times( 17\;58 ) = (1\;59\;0 )\;+\;(0\;6\;46) = 1\;65\;26 = 2\;5\;26$

División : ¿Cuánto es la quinta parte de 1 hora y 25 minutos ?

Es la quinta parte de 1 hora, es decir, 12 minutos, más la quinta parte de 25 minutos, es decir, 5 minutos. Eso es 12 + 5 = 17 minutos.

Agreguemos para terminar que existen varios sistemas de representación de los números según los períodos, los lugares o la naturaleza de las cantidades representadas. El lector interesado seguramente podrá satisfacer su curiosidad leyendo el artículo [21]

En camino...

Al leer artículos o libros sobre la historia y prehistoria del número $\pi$, por ejemplo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [8] u otros… , hay varias versiones del período babilónico. Algunos autores simplemente lo ignoran ; otros son bastante contundentes : ’’Los babilonios usaban $\pi = 3+\frac{1}{8}$’’ ; otros finalmente toman muchas precauciones, señalan el riesgo de cometer anacronismos, se acercan más a los hechos y dicen en esencia :

Se ha encontrado una tablilla de arcilla babilónica que da la relación entre el perímetro del hexágono y el de su círculo circunscrito. Se expresa en numeración sexagesimal (base 60) y es igual a : $57 \; 36 =\frac{57}{60}+\frac{36}{60^{2}}$ .

Ahora podemos deducir el valor aproximado $ \pi \approx 3+\frac{1}{8}$

Y suelen añadir, de una forma u otra :

No está claro cómo llegaron a este resultado, probablemente de forma experimental.

Eso es más o menos lo que dije durante treinta años en el Palais de la Découverte durante conferencias sobre el tema, y ​​eso es lo que estaba a punto de repetir una vez más durante una conferencia ’’abierta al público’’ por invitación de la Université de Bretagne-Sud en Vannes en diciembre de 2012. Mientras hacía la presentación con diapositivas, tuve una duda sobre esta última oración.

La primera parte es cierta : en realidad no sabemos cómo lo hicieron. La segunda parte me dio problemas : ¿podrían los babilonios realmente haber encontrado este valor experimentalmente ?

Hoy en día, el experimento es sencillo de hacer, con una cinta métrica y objetos cotidianos de diferentes diámetros : sartén, cacerola, latas. Medimos el perímetro y el diámetro, hacemos la división. Cada vez, encontré $3,14$. Las diferencias se referían al tercer decimal. Pese a todo, si estamos en 1650 A.C., seguramente no existen objetos manufacturados tan precisos, ni cintas métricas graduadas en milímetros. Así que renové la experiencia con objetos más ’’rústicos’’.

En ese momento, ciertamente había objetos cotidianos casi circulares : cestería y cerámica (algunos conocidos datan de más de 4.000 años A.C., y los tornos de alfarero de hoy no son muy diferentes de los tornos antiguos, aparte del motor). Para la medida, es más refinada : una cuerda, una correa de cuero, puede alargarse bajo tensión y contraerse en reposo. Por otro lado, una corteza de papiro seca no se estira. Desafortunadamente, no tenía ninguno a mano. Así que usé listones de ratán de 5 mm de ancho, que tampoco se estiran. Evidentemente, no están graduados, pero da igual : lo que nos interesa es la razón de dos longitudes : las del perímetro y el diámetro, y no las longitudes en sí. Es fácil rodear el objeto con el ratán y cortarlo. Curiosamente, es menos fácil cortar con precisión la hebra de ratán correspondiente al diámetro. De hecho, el borde superior de la cerámica suele estar redondeado. Por lo tanto, es necesario fijar el ratán del perímetro, luego cortar una segunda hoja de ratán correspondiente al diámetro interno de la primera. Queda por calcular la razón de las dos longitudes sin conocer sus valores exactos, lo que se puede hacer volviendo a los orígenes mismos de la división. (Figura 1)

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\[fig\;1\]

Sean P y D las dos hojas de ratán. Queremos saber cuántas veces D está contenido en P. Con cuidado y sucesivamente transferimos D a P. Podemos hacer esto tres veces y queda un pequeño segmento R. Luego cortamos una hebra de ratán de longitud R, que reportamos a su vez y sucesivamente en D.

Con la aproximación de Arquímedes, deberíamos poder llevarla 7 veces, con un pequeño resto R’. Tendremos por tanto $P = 3D +\frac{1}{7}D = D (3+\frac{1}{7})$. Con la de los babilonios, deberíamos poder llevar el segmento R 8 veces, o al menos casi 8 veces, es decir 7 veces, con un resto R’ bastante grande. Realicé esta operación con tres objetos : dos cerámicas y una canasta, ciertamente recientes pero bastante rústicos. No solo no pude posponer el segmento R 8 veces, sino que no lo hice 7 veces. Mi mejor desempeño fue 6.8 veces, es decir 6 veces, con un resto R’ muy grande. Por supuesto, hay muchas fuentes de error, especialmente cuando reportamos 7 veces R en el segmento D. Sin embargo, estos experimentos me convencieron de que los babilonios no obtuvieron su valor experimentalmente, al menos no de esta manera.
Pero en este caso, surgen dos preguntas :

Pregunta 1 : Si no es experimental, es teórico, geométrico. ¿Cómo podrían haberlo hecho ?

Pregunta 2 : Cualquiera que sea su método, ¿por qué no encontraron una razón de los perímetros que condujera a : $ \pi\approx 3+\frac{1}{7}$ ?

Pregunta 1 : ¿Cómo pudieron haberlo hecho ?

Los babilonios sabían cómo construir un hexágono regular (fig. 2), y sabían que su perímetro $P_{6}$ es : $P_{6} = 6 R = 3 D$

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\[fig\;2\]

El arco AB es más largo que el segmento AB. El perímetro P del círculo es por lo tanto mayor que el del hexágono, y la razón de los dos es :

$ \frac {P}{P_{6}} = \frac {\pi D}{3 D}= \frac{\pi}{3}$, lo que daría, usando la aproximación de Arquímedes : $ \frac{P }{P_{6}} = \frac{\pi}{3} =\, \frac{22}{7}\times \frac{1}{3}\, = \frac{22}{21}$ .

Es bastante natural para nosotros evaluar el perímetro del círculo, desconocido, en relación con el del hexágono, que se conoce. Los babilonios hacen lo contrario, y dan un valor de la razón $\frac {P_{6}}{P} = 57\; $36. El valor sexagesimal de $\frac{21}{22}$ es cercano a $57\; 16 \; 21$, notablemente diferente.

Así que traté de averiguar por qué los babilonios no obtuvieron ese valor. Para ello, tras un poco de ensayo y error, hice una hipótesis, e incluso dos. Más adelante veremos qué pensar al respecto.

Hipótesis 1 : Los babilonios conocían el teorema de Pitágoras mil años antes que este.

No pretendo que lo hayan demostrado ; la noción de demostración, en el sentido en que la entendemos hoy, es muy posterior. Simplemente asumo que conocían la relación entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo :

$\hspace 1cm$El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados : $a^{2}\;=\;b^{2}\;+\;c^{ 2 }$

Hipótesis 2 : Sabían cómo encontrar triángulos rectángulos con lados enteros. Tal vez no todos, pero al menos aquellos cuya hipotenusa y uno de los lados sean números enteros consecutivos.

Si aceptamos la hipótesis 1, la segunda es bastante razonable : de hecho, los matemáticos babilónicos ciertamente conocían la identidad : $(n + 1)^{2}\; = \;n^{2} + 2n + 1$, lo cual es obvio en forma gráfica (fig. 3) :

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\[fig\;3\]

Esta identidad facilita encontrar triángulos rectángulos con lados enteros ya que basta con que $2n+1$ sea el cuadrado de un entero $k$.

\[(n + 1)^{2}\, = \,n^{2} + (2n + 1)\,=\,n^{2} +\,k^{2}\]

Además, como $(2n+1)$ es un número impar, el propio número $\,k\,$ debe ser impar : $k\,=\,3,5,7,9,... $
Bien, pero ¿de qué sirve esto ?

Esto puede usarse para reemplazar cada lado del hexágono, por ejemplo AB, por una línea discontinua análoga a ACB, más cerca del círculo, gracias a los triángulos rectángulos AMC y BMC. (fig 4)

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\[fig\;4\]

Los primeros valores de $\;k\;$ conducen a los siguientes cuatro triángulos (fig 5)

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\[fig\;5\]

Queda por elegir cuál se acerca más al triángulo AMC de la fig 4, una vez reducido su lado horizontal a la longitud del segmento AM. No cabe duda de que se trata del triángulo rojo AMC’, de lados (7, 24, 25) (fig 6).

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\[fig\;6\]

Reemplazando cada lado del hexágono con una línea análoga a $AC'B$, obtenemos un dodecágono irregular. Sus lados son iguales, pero no sus ángulos porque $C'M > CM$.

(Para R = 1, tenemos : $C'M=\frac{7}{48}=0,146….>CM=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=0,134…$ ).

Su perímetro es $P_{12} = 12 AC’$. El del hexágono es $P_{6}= 12 AM$.

La razón entre los dos será : $\frac{P_{6}}{P_{12}}=\frac{12 AM}{12 AC '}=\frac{AM}{AC '}=\frac{24 } {25}$, cuyo valor sexagesimal es precisamente igual, ¡maravillosa sorpresa !, a $57\;36$, el valor dado por los babilonios.

La razón inversa, $\frac{P_{12}}{P_{6}}=\frac{25}{24}$ que vimos arriba debe estar cerca de $\frac{\pi}{3}$ , luego conduce inmediatamente a la aproximación : \[\pi\approx\frac{25}{8}=3+\frac{1}{8}.\]

(El triángulo amarillo conduce a $\pi\approx 3+\frac{1}{4}$ , mucho menos preciso).

Con este método, está claro que los babilonios no podían obtener la relación esperada arriba : $\frac{P_{12}}{P_{6}}=\frac{22}{21}$ , porque no existe un triángulo rectángulo de lados $(k, 21, 22) $ con entero $k$.

Por supuesto, no hay evidencia de que los babilonios hicieran esto. Solo el descubrimiento de una nueva tablilla de arcilla podría hacer eso. Además, esta idea se basa en las hipótesis 1 y 2. ¿Sabían realmente los babilonios cómo encontrar tales triángulos rectángulos ?

La respuesta es SÍ (lo que ya sabía, por supuesto, pero hice un poco de trampa aquí... por el suspenso).

Quizás la tablilla matemática más famosa es la tablilla Plimpton 322 [9], que actualmente se encuentra en la Universidad de Columbia. Nueva York (fig 7). Fue encontrada en 1920 en Larsa (ahora Senkereh, Irak, 300 km al sur de Bagdad) y data de alrededor de 1800 A.C.

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\[fig \;7 \]

Mide aproximadamente 9 cm por 13 cm, y es interpretada por los historiadores como una lista de 15 triángulos rectángulos en números enteros, de los cuales hoy podemos comprobar que el ángulo más agudo decrece progresivamente de 45 a 30°. (Pero la noción de ángulo no entra en juego : es esencialmente un resultado aritmético, y muy notable).

Tiene 17 líneas. Las últimas 15 líneas se dividen en 4 columnas, de las cuales las dos primeras líneas especifican el contenido. La columna 4 contiene el signo (KI) seguido de los números del 1 al 15. Por lo tanto, leemos KI 1, KI 2, KI 3, … KI 15, que significa aproximadamente : línea n°1, línea n°2, etc.

Las columnas 1, 2 y 3 se relacionan con triángulos rectángulos. Las columnas 2 y 3 dan respectivamente el lado más corto y la hipotenusa de cada triángulo. La columna 1 da el cuadrado de la razón de los dos lados del ángulo recto.

Por ejemplo, la línea 5 comienza, en sistema sexagesimal, con :

$48\;54\;01\;40 \hspace {5cm} 1\;05\qquad1\;37 \hspace {3cm}$ , cuyo valor es, una vez convertido a decimal :

$0,815007716049383 \hspace{3.3cm}65\hspace{1.3cm} 97 \hspace{3.2cm} (65= 1\times 60 + 5\quad et\quad 97 = 1\times60 + 37)$

Podemos verificar que $ \;97^{2} - 65^{2} = 9409 - 4225 = 5184 = 72^{2}\;$ . El triángulo de lados 97, 65 y 72 es, por tanto, rectángulo. (fig 8 a) :

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\[fig\;8\]

La pendiente de la hipotenusa es : $\frac{65}{72}=0,902777777..$ , cuyo cuadrado es : $0.815007716049383$.
¡Este es exactamente el valor indicado al principio de la línea, con 15 decimales ! Es casi demasiado preciso para ser verdad, pero podemos verificar que es lo mismo para las otras líneas.

Existe una controversia sobre los métodos que los babilonios podrían haber utilizado para constituir esta tablilla [10], [11], [12], [13], [14]. También hay errores en la copia del escribano, y pequeños misterios, por ejemplo la línea 11, que da como lados 45 y 1 ~; 15, es decir, en numeración decimal : 45 y 75. Ambos son múltiplos de 15, y este triángulo no es otro que el triángulo de lados (3, 4, 5). ¿Por qué no se da en esta forma mucho más simple ? ¿Y cuál podría ser el punto de dar el cuadrado de la pendiente, en lugar de la pendiente misma ?

Hay una interpretación ligeramente diferente de los números que se muestran en la tablilla : si dividimos los tres lados por 72, el lado horizontal se convierte en 1, la hipotenusa se convierte en $\frac{97}{72}$ y el último lado $\frac{65}{72}$. En este ’’prototipo’’ o triángulo rectángulo ’’normalizado’’ (fig 8 b), tenemos : $(\frac{97}{72})^{2}-1=(\frac{65}{72} )^{2} = 0,815007…$

Es lo mismo, pero esta vez entendemos mejor por qué los babilonios dan el cuadrado de la pendiente, y por qué solo dan las longitudes de la hipotenusa y de un solo lado : en este triángulo, la longitud del tercer lado es siempre 1. Por lo tanto, es inútil mencionarlo. Esta interpretación es la clave de uno de los métodos propuestos para la elaboración de la tablilla, pero aquí no es relevante.

¡Lo que importa para nuestros propósitos es que supieron cómo hacerlo ! Además, supieron hacer mucho más de lo que supone la hipótesis 2, ya que en esta tabla sólo el triángulo (3, 4, 5) tiene una hipotenusa y un lado entero consecutivo. Por lo tanto, es muy probable que conocieran un método general para encontrar todos los triángulos de este tipo.

Con el método explicado anteriormente, hemos visto que no existe ningún triángulo de lados enteros cuya hipotenusa y uno de los lados sea igual a 22 y 21 respectivamente.

Hay una segunda razón por la que los babilonios probablemente no pudieron lograr ni la relación $\frac{22}{21}$ ni su inversa $\frac{21}{22}$, ya sea experimentalmente o no. Responde a la pregunta 2 y se basa en cómo los babilonios calculaban el valor de las fracciones.

Pregunta 2. Cálculo de fracciones y números regulares.

Hoy en día, para calcular el valor numérico decimal de una fracción, realizamos la división, a mano o más probablemente… con calculadora. Al hacerlo, podemos observar que para ciertas fracciones, la división ’’cabe justo’’ y que luego obtenemos una expansión finita. Para otras, no.

Por ejemplo : $\frac{3}{25} = 0,12 \; ; \frac{1}{8} = 0,125\; $ tienen expansiones finitas, lo que no es igual que para $\frac{1}{3} = 0, 33333...$

En Babilonia, para el cálculo de las transacciones habituales, los escribas procedieron de manera diferente. Memorizaron (¿o consultaron ?) tablas de inversas y calcularon el valor de una fracción realizando una multiplicación :
\[\frac{m}{n} = m \times \frac{1}{n}\]

Hemos encontrado muchas tablillas de inversas, a menudo para números enteros menores de 60 o 90, pero no las dan todas. Sólo dan los recíprocos de los números para los que ’’la división es exacta’’. Un ejemplo : como estamos en base 60, pensemos en horas, minutos y segundos, un lejano legado de los babilonios : el tercio de hora es 0 h y 20 minutos por lo tanto, en base 60, se escribe un tercio : $0\;20$, o incluso, más brevemente : $20$. Su desarrollo es por tanto finito, lo que no ocurre en base 10. Los números para los que ’’la división es exacta’’ se dice que son regulares en base 60. Son los números enteros cuyos factores primos son los de 60, y que por tanto sólo son divisibles por 2, 3 y 5.

Esta es la lista de los primeros : 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30 , 32, ….

Notamos inmediatamente, en esta lista, que los números 7 y 11 no son regulares, ni tampoco lo son el 21 y el 22. Por lo tanto, los inversos $\frac{1}{7}$ y $\frac{1}{11}$ no son calculables en este contexto, como tampoco la relación $\frac{22}{21} = 22\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{7}$, o la razón inversa $\frac{21}{22} = 21\times\frac{1}{2}\times\ \frac{1}{11}$ .

Cabe señalar de paso que el uso de los inversos de los enteros regulares por sí solo no se limitaba a los cálculos habituales. Ocurría lo mismo en los cálculos ’’aprendidos’’, como la tablilla Plimpton, donde podemos notar que las longitudes de los lados utilizados en el cálculo de las pendientes son todas regulares.

Sea como fuere, tenemos aquí un segundo argumento militante a favor de una relación de perímetro distinta de $\frac{P_{6}}{P_{12}}=\frac{21}{22}$.

El final del paseo

Después de este pequeño y agradable descubrimiento, busqué, primero en mi biblioteca personal, luego en Internet, para ver si ya se había planteado la idea de usar el triángulo (7, 24, 25) para determinar esta constante. En vano, y agradezco de antemano a cualquier lector que pueda señalarme una fuente. Pero todavía quería llegar al fondo del asunto. Volviendo de mi conferencia en Vannes [7], donde presenté esta idea, (¡por fin !) fui en busca de textos sobre la tablilla que da este informe. Esto es lo que aprendí.

Forma parte de un conjunto encontrado en 1936 por el arqueólogo francés Robert De Mecquenem, durante la obra n°1 de las excavaciones realizadas bajo la Ciudad Real de Susa (actualmente cerca de Ilam, en Irán, es decir unos 200 km al este de Babilonia). En el informe de excavación [15], se menciona el hallazgo de un conjunto de tablillas, sin más detalles : al parecer, las esculturas, juguetes, cerámicas merecían más atención en el sitio que las tablillas, que fueron encontradas en bastante grandes números en todos los fosos arqueológicos. También es cierto que para apreciar su interés habría sido necesario traducirlos, lo que sólo se hace una vez que has vuelto a tu oficina, y no en un foso arqueológico.

Recién fueron transcritas y luego traducidas hasta 1950 por la señorita Marguerite Rutten, del Museo del Louvre, quien llamó al profesor Evert Marie Bruins, de la Universidad de Amsterdam, para interpretar su contenido matemático. No se publicaron hasta 1961 [16], pero a partir de 1950, E. M. Bruins menciona su contenido en diversas conferencias o artículos [17], [18], [19].

Estas tablillas de Susa, numeradas 1, 2, 3, … A, B, C .., contienen tablas de multiplicar, problemas (por ejemplo el cálculo del radio del círculo circunscrito a un triángulo isósceles, el de las áreas de un hexágono regular y un heptágono regular, resoluciones de ecuaciones cuadráticas, etc.) y tablas de constantes. Lo que nos interesa es una de estas últimas.

La tablilla I [16], [20], contiene 70 constantes. Las primeras 36 son matemáticas. Las siguientes son más difíciles de interpretar, aunque sabemos que se refieren a obras (quizás volúmenes de terraplenes, o construcciones varias, etc.) y varios materiales (tierra, arcilla, tapial, betún, plomo, bronce, cobre, plata, caña cortada , etc)

Las tres primeras constantes matemáticas, las ’’constantes de anillo’’ o ’’círculo’’, dan los números 5, 20 y 10, que se interpretan respectivamente como el área, el diámetro y el radio de un disco en función de su perímetro, que se supone ¡es igual a 1 !

Esto puede sorprender al lector moderno, que calcula el área y el perímetro de un disco a partir de su radio R. Los babilonios procedieron de manera diferente, como lo demuestran varias tablillas que contenían un círculo y datos numéricos, por ejemplo, la tablilla YBS 7302 conservada en la Universidad de Yale (fig 9).

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\[fig\;9\quad (de acuerdo a E.Robson [13] )\]
Eleanor Robson [13] da la siguiente explicación : ¡3 es el perímetro, 9 su cuadrado y 45 su área !
Con nuestras notaciones modernas :
\[P=2 \pi R\hspace{1.5cm} ;\hspace{1.5cm}P^{2} = 4{\pi}^{2} R^{2} \hspace{1cm} y \hspace{ 1cm} A= \pi R^{2 } =\frac{P^{2}} {4 \pi} \]
Con la aproximación gruesa $\pi = 3 , A=\frac{P^{2}}{4\times 3}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, que se escribe , en base 60, $A = 0\;45$.
La misma idea, aplicada a la tablilla de Susa, da : si $P = 1$, entonces $A = \frac{1}{4 \times 3} =\frac{1}{12}$, que se escribe : $0 \;5$ (5 es de hecho el duodécimo de 60). En cuanto al radio, $R = \frac{1}{2 \pi} = \frac{1}{6}$, que se escribe $0\;10$, siempre en base 60. El diámetro es entonces igual a 20, de ahí las constantes 5, 20 y 10 indicadas en la tabla.

Todo esto es coherente, muestra que la aproximación $\pi = 3$ era común, y también muestra que los babilonios sabían que si conocemos su perímetro, podemos calcular el área del disco, lo cual solo se demostrará dentro de 15 siglos. más tarde por Arquímedes, como hemos visto.

Otras líneas indican valores similares para la mitad, el tercio o el cuarto de un círculo, suponiéndose siempre que la longitud del arco en cuestión es igual a 1.

Encontramos más adelante constantes unidas a polígonos regulares de lado 1 : las líneas 26, 27 y 28 de la tablilla dan las respectivas áreas de : pentágono, hexágono y heptágono. La línea 29 da la ’’constante del triángulo’’. Esta vez, no se trata de un área, sino de una longitud : la de la altura del triángulo equilátero de lado 1 : es igual a $52 \; 30$, es decir 0,875, a comparar con $\frac{\sqrt{3}}{2}=0,866… $ La línea 31 también da una longitud, la de la diagonal del cuadrado de lado 1, igual a : $1\;25=1+\frac{25}{60}=1,41666…$ (pero la tablilla YBC 7289 es mucho más precisa).

¿Y la línea 30 ? Es la que da la ’’constante de ciclo (círculo más perfecto)’’ : 57 36, que nos interesa hoy. E. M. Bruins considera que es una mejora en las constantes de anillo al comienzo de la tablilla. No hay mayor aclaración. [16], [20] (fig 10)

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\[fig\;10\]

En particular, y esto fue una gran sorpresa para mí, ¡no hay absolutamente ninguna cuestión de hexágono, ni de perímetro, ni de razón de perímetros ! ¿Qué pensar ? Las líneas 29 y 31 dan longitudes, por lo que podemos sospechar que esta constante también se refiere a una longitud y, por lo tanto, quizás fue un factor correctivo a aplicar para mejorar el cálculo del radio (aunque también mejora el cálculo del área del disco) .

En [18] p. 313-314, E. M. Bruins propone, como lo hice al principio de este artículo, un método que los babilonios podrían haber usado para calcular esta constante con el conocimiento de que disponían. Para ello evalúa las áreas de dodecágonos regulares inscritos y exinscritos en un disco de radio 2, cuya área es $4 \pi$.

No doy los detalles de sus cálculos. El área del primer dodecágono es muy fácil de calcular, y es igual a 12. La del segundo es menos fácil de obtener. Requiere la resolución de ecuaciones cuadráticas simultáneas, así como una aproximación de $\sqrt{12}$ , y finalmente le permite demostrar que el área del dodecágono exinscrito es menor que 13. El área del disco es $4\pi$, por lo que comprueba : $12\le 4 \pi \le 13$.

E. M. Bruins luego calcula el promedio de 12 y 13, y obtiene :

\[\pi=\frac{1}{4}.\frac{12+13}{2}=\frac{25}{8}=3+\frac{1}{8}\]

Este es de hecho el resultado esperado, sobre el que podemos hacer tres comentarios :

  1. ¿La idea del enmarcado ya era conocida y atestiguada por otras tablillas ? Lo ignoro.
  2. Al hacerlo de esta manera, calcula el valor de $\pi$ que se puede deducir hoy de la constante, pero no de la constante misma, que no aparece en ninguna parte de este enfoque.
  3. Finalmente, y curiosamente, elige calcular áreas, mientras que el contexto (líneas 29 y 31) sugiere longitudes. Es tanto más curioso que en sus comentarios completos publicados diez años después [16], señala que un triángulo semejante al triángulo (7, 24, 25) sí aparece en las tablillas de Susa, esta vez sobre un problema totalmente diferente : el cálculo del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo isósceles de lados (50, 50, 60), cálculo al que dedica página y media mientras que sólo dedica seis líneas a ’’la constante del ciclo’’, sin siquiera recordar su propuesta de 1950. Sea como fuere, esto demuestra que los geómetras de Susa efectivamente se habían encontrado con el triángulo (7, 24, 25).

¿Qué concluir ?

  1. En el mundo editorial, dice una máxima, sobre el plagio :

    Todos copian a todos menos al primero, cuyo nombre olvidamos.

    En el presente caso, conocemos al primero : a falta de conocer al escriba que escribió la tablilla, ¡el primero que la reveló a la comunidad matemática es el profesor Evert Marie Bruins ! Pregunta : ¿quién inventó la fábula de un hexágono, y de la razón de los dos perímetros, una versión errónea recogida en todas partes (incluso por mí), una fábula que no aparece en la tablilla, y que E. M. Bruins nunca menciona, al menos en los textos que conozco ? ¿Podría ser Petr Beckmann [8] cuyo trabajo se publicó en 1971, o es anterior ?

  2. Alexandre Dumas, a quien criticaron por tomarse unas libertades con la Historia, con H mayúscula, en Los tres mosqueteros, habría respondido :

    ¡Podemos violar la historia, siempre que la hagamos bella niños !

  3. A quien haya inventado la fábula sobre los perímetros, debo agradecerle : sin él, probablemente nunca me hubiera hecho la pregunta y probablemente nunca hubiera pensado en usar el triángulo (7, 24, 25).
  4. Este paseo me permitió aumentar mis conocimientos de las matemáticas babilónicas (o más bien ’’mesopotámicas’’, dadas las distancias entre Babilonia, Susa y Larsa), y tomar mayor conciencia de las dificultades relacionadas con la interpretación de las tablillas y con las extrapolaciones que sugieren [13], [19]. Pero también me hace una pregunta más personal : ¿por qué nunca antes me había cuestionado ?
  5. Y finalmente, este paseo primero me intrigó mucho, luego me divirtió y enriqueció, ¡que es lo principal para mí !

Espero que haya sido lo mismo para el lector.

Para saber más, y continuar el paseo…

Sobre la historia del número $\pi$ :

[1] Collectif  : N° Spécial π du Petit Archimède. Amiens 1980

[2] J-P. Delahaye : Le fascinant nombre $\pi$. Ed. Belin. Paris. 1997

[3] P. Eymard et J-P Lafon : Autour du nombre $\pi$. Ed. Hermann. Paris. 1999

[4] P. Dubreil : Les nombres mystérieux in Les grands courants de la pensée mathématique. Ed. A. Blanchard. Paris. 1962

[5] B. Gourévitch :
L’ univers de Pi 2000

[6] F. Gramain : Les décimales de Pi. 2010

[7] J. Brette : Pi, une aventure commencée il y a 4000 ans.
Conférence pour Planète Sciences. Université de Bretagne Sud Vannes. 2012.(vidéo)

[8] P. Beckmann : A history of π. St Martin’s Press. NY. 1971

Sobre la tablilla Plimpton 322

[9] On trouvera ici un autre excellent cliché de cette tablette (recto, verso et champs), ainsi que de bien d’autres, mathématiques ou non..

[10] E.M.Bruins : On Plimpton 322. Pythagorean numbers in Babylonian mathematics. 1949

[11] R.Creighton Buck : Sherlock Holmes in Babylon. AMM 87. 1980

[12] E. Robson : Neither Sherlock Holmes nor Babylon : a reassessment of Plimpton 322. Historia mathematica 28. 2001

[13] E. Robson : Words and Pictures. New light on Plimpton 322. AMM 109-2. 2001.

[14] J. P. Britton, C.Proust, S. Shnider : Plimpton 322 : a review and a different perspective. Arch. Hist. Exact Sci. (2011) 65

Sobre las tablillas de Susa

[15] R. De Mecquenem : Fouilles de Suse. Rapport 1936.

[16] E.M. Bruins et M. Rutten : Textes mathématiques de Suse.
(Mémoires de la Mission archéologique en Iran. t. XXXIV).
Ed. P.Geuthner. Paris. 1961.

[17] E.M. Bruins : Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse. 1950

[18] E.M. Bruins : Aperçu sur les mathématiques babyloniennes. Revue d’histoire des sciences et de leurs applications t 3, n°4 1950

[19] E.M. Bruins : Nouvelles découvertes sur les mathématiques babyloniennes. Conférences du Palais de la Découverte. D 11. 1951

[20] Pour voir une reproduction de la tablette I, extraite du Texte III de [16],

Sobre la numeración

[21] C. Proust : Numerical and Metrological Graphemes : From Cuneiform to Transliteration CDLI 2009.

Post-scriptum :

Agradecimientos : Agradezco calurosamente a Christine Proust, del Laboratorio SPHERE (CNRS- Université Paris Diderot), especialista de renombre mundial en matemáticas babilónicas, por el tiempo que me dedicó, por sus críticas, sus detalles, sus referencias y sus sugerencias para mejorar mi primer manuscrito. Gracias también a Jean-Paul Delahaye, a quien debo la referencia [8], a Christian Houzel, que me señaló otra fábula muy difundida (¡egipcia esta vez, pero esa es otra historia !), así como a mis primeros lectores por su aliento y crítica : Michel, Pierre, Mireille, François.

Finalmente, gracias a Carole Gaboriau y Vincent Beffara, de IdM que, con sus consejos e información, acompañaron con paciencia e indulgencia mis primeros pasos en el software de edición de IdM, así como a Angela Gammella y Clément Caubel, que procesaron para la corrección final para IdM.

Article original édité par Karine Chemla

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Pour citer cet article :

Edgard Araya, Andrés Navas — «Un paseo matemático por Mesopotamia» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

Image à la une - Diagramas (figs. 1 a 6, 8 y 9) : JB.
fig 7 : Cortesía Rare Book & Manuscript Library, Columbia University, New York, USA. Foto Ch. Proust.
fig 10 : Extracto de la página : Texto III de [16]

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