Un pequeño teorema de distanciamiento físico

Piste bleue Le 2 novembre 2020  - Ecrit par  Andrés Navas
Le 21 juillet 2020
Article original : Un petit théorème de distanciation physique Voir les commentaires
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Si cuatro amigos se juntan a tomar un café manteniendo una distancia al menos igual a $\mathcal{d}$ entre ellos, entonces necesariamente habrá dos a distancia mayor o igual que $\mathcal{d} \sqrt{2}$.

En numerosos países del mundo, las autoridades han instado a la normalización de las actividades. Sin querer entrar en la discusión sobre lo apropiado de esto frente al avance aún sostenido de la pandemia de coronavirus, quisiera inspirarme en un mensaje que me pareció muy singular :

Los amigos pueden reunirse, por ejemplo, en grupos de a cuatro para tomar un café, pero deben mantener siempre una distancia de al menos $2 \, m$ entre ellos [1].

Por el momento, admitiremos que las personas se encuentran en una misma superficie. Así, no consideraremos el caso de que algunas están en un segundo piso de un local y las otras en el primero. Obviamente, una posibilidad es que los cuatro amigos se posicionen cada uno sobre un vértice de un cuadrado imaginario de $2 \, m$ de lado. Si tal es el caso, entonces cuatro pares de amigos estarán a $2 \, m$ de distancia, y dos pares a $2\sqrt{2} \, m \sim 2,83 \, m$.

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Otra posibilidad es que dos se posicionen sobre los extremos de un trazo de longitud $2 \, m$ y los otros dos sobre los vértices de los dos triángulos equiláteros que tienen a este trazo como uno de sus lados. En este caso, si bien cinco pares de amigos están a distancia $2 \, m$, hay un par de amigos a distancia $2 \sqrt{3} \, m \sim 3,46 \, m$, que es incluso mayor que la distancia $2\sqrt{2} \, m$ de la configuración cuadrada de más arriba.

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Una pregunta surge naturalmente :

¿Pueden los amigos quedar más juntos respetando siempre la norma de que la distancia entre cualesquiera dos de ellos sea al menos $2 \, m$ ?

Pues bien, un pequeño teorema de geometría elemental señala que esto es imposible.

Teorema : Si cuatro puntos en el plano están a una distancia de al menos $\mathcal{d}$ entre dos cualesquiera de ellos, entonces necesariamente hay dos puntos a distancia mayor o igual que $\mathcal{d} \sqrt{2}$. Además, si la distancia entre ningún par de puntos excede $\mathcal{d} \sqrt{2}$, entonces los puntos son los vértices de un cuadrado de lado $\mathcal{d}$.

En nuestro contexto, estamos considerando $\mathcal{d} = 2$ (metros). Sin embargo, esto es simplemente un asunto de la escala de medición, por lo que supondremos simplemente que $\mathcal{d} = 1$.

Invito al lector a pensar de dónde nace la validez del teorema antes de desplegar la demostración de abajo. Para dar una pista, insistiré en el hecho de que estamos suponiendo que los cuatro puntos se ubican sobre un mismo plano. Si esto no fuese impuesto, podríamos ubicar los puntos sobre los vértices de un tetraedro regular de lado $1$ : la distancia entre dos cualesquiera sería entonces igual a $1$...

Problema : Pruebe que es imposible colocar cinco puntos en el espacio tridimensional de tal manera que la distancia entre dos cualesquiera de ellos sea igual a 1.

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Prueba del teorema

Para la demostración recordamos el siguiente lema de geometría elemental del plano : si fijamos las longitudes de dos lados de un triángulo y hacemos variar el ángulo entre ellos, entonces la longitud del tercer lado crecerá a medida que dicho ángulo crece [2].

Consideremos, entonces, nuestros cuatro puntos del plano a distancia al menos $1$ entre ellos.

Si tres puntos son colineales, entonces, sobre la recta en la que reposan estos tres puntos, habrá dos a una distancia mayor o igual que $2$, lo cual es estrictamente mayor que $\sqrt{2}$.

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Si no hay ningún trío de puntos colineales, entonces los cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero (no degenerado) [3].

Si el cuadrilátero no es convexo, entonces en el vértice ’’que apunta hacia adentro’’ se forman tres ángulos. Como estos suman $360º$, necesariamente uno de ellos mide más de $90º$. Por el lema de arriba, el lado opuesto a dicho ángulo es estrictamente más largo que la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos iguales a las distancias entre dicho vértice y dos de los tres vértices restantes. Como estas miden al menos $1$, dicha hipotenusa tiene un largo de al menos $\sqrt{2}$.

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Finalmente, si el cuadrilátero es convexo y tiene algún ángulo que mide más de $90º$, entonces el mismo argumento prueba que frente a dicho ángulo se extiende un segmento (diagonal) de longitud estrictamente mayor a $\sqrt{2}$. Por otra parte, si todos los ángulos fuesen iguales a $90º$, entonces las diagonales del cuadrilátero tendrían un largo al menos igual a $\sqrt{2}$, con una desigualdad estricta si uno de los lados del cuadrilátero mide más que $1$.

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Hemos probado, entonces, que siempre existe un par de puntos a distancia mayor o igual que $\sqrt{2}$. Además, el único caso en que esta longitud no es rebasada por ningún par de puntos es aquel en que se forma un cuadrilátero (convexo) de ángulos todos iguales a $90º$ y con todos los lados midiendo $1$. Dicho cuadrilátero no es otra cosa que un cuadrado (de lado $1$).

Muy bonito, pero... ¿para qué sirve ?

A pesar de ser elemental, el teorema de arriba no tiene nada de banal. Lo que nos indica es que si uno desea ’’proyectar’’ el esqueleto (o, simplemente, los vértices) de un tetraedro regular en el plano, entonces siempre se producirá una ’’distorsión’’ [4]. Sin entrar en la definición precisa de este concepto, se puede afirmar sin temor que, por nuestros días, es uno de los más importantes y útiles en geometría y otras ramas de estudio. Se lo utiliza, por ejemplo, en la compresión de grandes cantidades de datos para su almacenamiento, o en la representación gráfica de redes sociales. Esto último no debiera extrañarnos ; a fin de cuentas, un tetraedro puede ser pensado como la representación de una red de Facebook de cuatro individuos (los cuatro vértices), todos amigos entre ellos. Pues bien, esta red no puede ser representada de manera fidedigna en el plano : al ser ilustrada, siempre habrá un par de amigos que parecerán ’’un poco menos amigos’’ de lo que realmente son.

Otro ejemplo, y un problema

La figura de abajo representa otra red social de cuatro personas : todas son amigas entre ellas salvo $A$ con $C$ y $B$ con $D$. Entre estas, la distancia social es igual a $2$ (tienen amigos en común, pero no son amigas entre ellas). Sin embargo, si proyectamos esta red en el plano, entonces al menos una de las parejas de no amigos parecerán más cercanos de lo que realmente son. En efecto, esto es consecuencia del enunciado siguiente :

Problema : Pruebe que si cuatro puntos $A,B,C,D$ del plano son tales que las distancias $\mathcal{dist} (A,B)$, $\mathcal{dist} (B,C)$, $\mathcal{dist} (C,D)$ y $\mathcal{dist} (D,A)$ son todas menores o iguales que $1$, entonces al menos una de las distancias $\mathcal{dist} (A,C)$ o $\mathcal{dist} (B,D)$ es menor o igual que $\sqrt{2}$.

Sugerencia : Esta vez, busque ángulos menores o iguales a $90^º$.

Observación : A diferencia del caso del tetraedro, esta red no puede ser representada de manera fiel en el espacio tridimensional (¿por qué ?).

En fin, mucho sobre este interesantísimo tema puede ser estudiado en este este libro apasionante. Por mi parte, voy a continuar la lectura disfrutando de mis reservas de café durante estos distorsionados días de cuarentena.

Post-scriptum :

Agradezco con fuerza a María José Moreno y Nicolé Geyssel por haber producido las imágenes de este artículo, así como a Anahí Gajardo por su genial regalo (la cafetera octogonal) y sus observaciones. Agradezco igualmente a Patrick Popescu-Pampu por sus correcciones a la versión francesa de este artículo.

Article original édité par Philippe Colliard

Notes

[1Esto fue señalado explícitamente hace algunos días por la subsecretaria del Ministerio de Salud de Chile : ver aquí.

[2Esto es una consecuencia directa del teorema del coseno, pero -de manera más elemental- también puede deducirse de la desigualdad triangular (ejercicio).

[3Aunque esto no es del todo evidente, el lector no debiera tener problemas en explicar por qué es cierto.

[4Esta noción puede hacerse cuantitativa ; para el caso considerado, nuestro teorema muestra que ella es igual a $\sqrt{2}$.

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Pour citer cet article :

— «Un pequeño teorema de distanciamiento físico» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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Image à la une - La fotografía de portada fue tomada por Ignacio Navas.

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